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Physik · Klasse 13 · Kapitel

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Q4: Atome

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1Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

MerkenEnergieniveaus des Wasserstoffs

Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².

Ionisiert ist es bei E = 0. Anregung und Ionisation kosten genau den Abstand bis zum Zielniveau.

BeispielEnergiewerte des Wasserstoffatoms

Ein Wasserstoffatom soll vom Grundzustand in den Zustand n = 7 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,278 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne mit Einheit.
n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7ΔE = ?Wasserstoff
Schritt für Schritt
  1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
  2. E_7 = −0,278 eV, E_1 = −13,6 eV
  3. ΔE = −0,278 eV + 13,6 eV = 13,32 eV
  1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
  2. E_7 = −0,278 eV, E_1 = −13,6 eV
  3. ΔE = −0,278 eV + 13,6 eV = 13,32 eV
Ergebnis:
13,32 eV

AchtungWert eines Niveaus statt Abstand zweier Niveaus

So nicht
Anregung von n = 1 nach n = 3: ΔE = 1,51 eV
So richtig
ΔE = E_3 − E_1 = −1,51 eV − (−13,6 eV) = 12,09 eV

Zeichne den Sprung als Pfeil ins Schema. Rechne oben minus unten.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre soll vom Grundzustand in den Zustand n = 2 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 3,4 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen?
    n = 1n = 2ΔE = ?Wasserstoff
    So fängst du an:
    ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_2 = −3,4 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −3,4 eV + 13,6 eV = 10,2 eV
    Ergebnis:
    10,2 eV
  2. ●2
    Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 4. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4E_ion = ?
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
    2. E_4 = −13,6 eV : 16 = −0,85 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 0,85 eV
    Ergebnis:
    0,85 eV
  3. ★3
    Ein Wasserstoffatom wird vom Zustand n = 3 in den Zustand n = 5 angeregt. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_m − E_n mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_3 = −1,51 eV, E_5 = −0,544 eV
    3. ΔE = −0,544 eV − (−1,51 eV) = 0,97 eV
    Ergebnis:
    0,97 eV

2Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

MerkenLinienspektrum

Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.

Dann gilt λ = h · c : ΔE. Die Serienformel f = f_R · (1 : n² − 1 : m²) sagt auch unsichtbare Linien voraus.

BeispielSpektrallinien aus dem Niveauschema

Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 4 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVλ = ?Wasserstoff
Schritt für Schritt
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 16) = 2,55 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 2,55 eV = 486 nm
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 16) = 2,55 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 2,55 eV = 486 nm
Ergebnis:
486 nm

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Rechne zuerst v² = v · v aus und schreib die Zeile hin.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 2 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVλ = ?Wasserstoff
    So fängst du an:
    Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 4) = 10,2 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 10,2 eV = 122 nm
    Ergebnis:
    122 nm
  2. ●5
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 5 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 25) = 13,1 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 13,1 eV = 94,7 nm
    Ergebnis:
    94,7 nm
  3. ★6
    Berechne die längste Wellenlänge der Brackett-Serie des Wasserstoffs (Sprünge nach n = 4). Liegt sie im sichtbaren Bereich?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVλ = ?Brackett-Serie
    Lösung zeigen
    1. Längste Wellenlänge: kleinster Sprung, von n + 1 nach n
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 16 − 1 : 25) = 0,306 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 0,306 eV = 4050 nm, infrarot
    Ergebnis:
    4050 nm

3Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

MerkenEmission und Absorption

Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.

Oder es wird ionisiert. Beim Zurückfallen sendet es Photonen derselben Energien aus.

BeispielAbsorption und Emission

Kaltes Wasserstoffgas im Grundzustand wird mit Photonen von 11 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 11 eV
Schritt für Schritt
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 11 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 11 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
Ergebnis:
Die Photonen gehen ungehindert durch.

AchtungAtom nimmt einen beliebigen Teil der Photonenenergie

So nicht
11 eV-Photon: Das Atom nimmt 10,2 eV, 0,8 eV fliegen weiter.
So richtig
11 eV passt auf keinen Übergang → das Photon wird nicht absorbiert

Vergleiche die Photonenenergie mit allen Abständen. Nur ein genauer Treffer oder mehr als die Ionisationsenergie wird aufgenommen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Kaltes Wasserstoffgas im Grundzustand wird mit Photonen von 12,75 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 12,75 eV
    So fängst du an:
    Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    Lösung zeigen
    1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    2. E_4 − E_1 = 13,6 eV − 0,85 eV = 12,75 eV
    3. Das passt genau: Die Atome gehen nach n = 4.
    Ergebnis:
    Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 4.
  2. ●8
    Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 18 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 18 eV
    Lösung zeigen
    1. Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
    2. Oberhalb von E = 0 gibt es keine festen Niveaus mehr.
    3. Der Rest 18 eV − 13,6 eV = 4,4 eV wird Bewegungsenergie.
    Ergebnis:
    Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 4,4 eV davon.
  3. ★9
    Im Licht eines Sterns hinter einer Gaswolke fehlt Licht bei 588 nm: eine dunkle Linie von Helium. Die Atome senden die aufgenommene Energie doch wieder aus. Warum bleibt die Linie dunkel? Begründe.
    380 nm780 nmAbsorptionsspektrum
    Lösung zeigen
    1. Atome in der kühleren Schicht absorbieren genau Photonen mit 588 nm.
    2. Beim Zurückfallen senden sie Photonen derselben Energie aus, aber in alle Richtungen.
    3. In der ursprünglichen Richtung kommt deshalb viel weniger an: eine dunkle Linie.
    Ergebnis:
    Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.

4Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

MerkenNiveauschema und Spektralanalyse

Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.

Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster: Alle Linien müssen passen, eine einzelne reicht nicht.

BeispielNiveauschema und Spektrum

Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_2 in nm.
E_10 eVE_22,5 eVE_33,9 eVE_45,2 eVλ = ?Energieniveaus
Schritt für Schritt
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 3,9 eV − 2,5 eV = 1,4 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 1,4 eV = 886 nm
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 3,9 eV − 2,5 eV = 1,4 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 1,4 eV = 886 nm
Ergebnis:
886 nm

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht
V = ρ · m
So richtig
ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Setz einfache Zahlen ein, zum Beispiel 6 = 12 : 2. Stell zuerst mit Zahlen um, dann mit Buchstaben.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_2 in nm.
    E_10 eVE_21,9 eVE_33,2 eVE_44,4 eVλ = ?Energieniveaus
    So fängst du an:
    ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 4,4 eV − 1,9 eV = 2,5 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 2,5 eV = 496 nm
    Ergebnis:
    496 nm
  2. ●11
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_1 in nm.
    E_10 eVE_21,9 eVE_33,2 eVE_44,4 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 4,4 eV − 0 eV = 4,4 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 4,4 eV = 282 nm
    Ergebnis:
    282 nm
  3. ★12
    Ein Atom sendet beim Sprung E_4 → E_3 Licht mit 1550 nm aus, beim Sprung E_3 → E_1 mit 428 nm. Berechne λ für den Sprung E_4 → E_1.
    E_1E_2E_3E_41550 nm428 nmλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. Die Energien addieren sich, nicht die Wellenlängen: 1 : λ = 1 : λ₁ + 1 : λ₂
    2. ΔE₁ = 1240 eV · nm : 1550 nm = 0,8 eV, ΔE₂ = 2,9 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 3,7 eV = 335 nm
    Ergebnis:
    335 nm

5Ich kann Orbitale als Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons deuten.

MerkenOrbitale

Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.

Es ist keine Bahn. Jede Messung liefert einen Ort, die Verteilung vieler Messungen das Orbital.

BeispielOrbital statt Bahn

Bewegt sich das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 1 auf einer Kreisbahn um den Kern?
Bahn?n = 1
Schritt für Schritt
  1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
  2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
  1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
  2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
Ergebnis:
Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.

AchtungElektron auf einer festen Bahn um den Kern

So nicht
Das Elektron kreist auf einer festen Bahn um den Kern.
So richtig
Orbital → Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons, keine Bahn

Beschreib nur Messbares: Wo wird das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Kreist das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 4 auf einer festen Bahn um den Kern?
    Bahn?n = 4
    So fängst du an:
    Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
    Lösung zeigen
    1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
    2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
    3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
    Ergebnis:
    Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  2. ●14
    Das Bild zeigt eine Punktwolke für das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 3. Was bedeutet es, wenn die Punkte an einer Stelle dicht liegen?
    dichte Punkte?n = 3
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt steht für einen möglichen Nachweisort.
    2. Dichte Punkte heißen: Dort weist man es oft nach.
    3. Das Orbital zeigt Wahrscheinlichkeiten, keine Bahn.
    Ergebnis:
    Dort wird das Elektron oft nachgewiesen.
  3. ★15
    Nach dem Bild der Kreisbahn müsste das Elektron im Wasserstoffatom ständig strahlen und in den Kern stürzen. Warum ist die Bahnvorstellung damit am Ende? Begründe.
    Bahn?n = 1
    Lösung zeigen
    1. Eine kreisende Ladung wird ständig beschleunigt und müsste Strahlung abgeben.
    2. Beobachtet wird: Atome im Grundzustand sind stabil und strahlen nicht.
    3. Die Quantenphysik beschreibt ihn mit fester Energie und Wahrscheinlichkeiten.
    Ergebnis:
    Atome sind stabil: Das Elektron hat keine Bahn, nur feste Energie.

6Ich kann den Franck-Hertz-Versuch auswerten und als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.

MerkenFranck-Hertz-Versuch

Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.

Der Abstand der Strommaxima ist die Anregungsenergie. Quecksilber nur im Lehrerversuch, Neon zeigt leuchtende Schichten.

BeispielFranck-Hertz-Versuch auswerten

Franck-Hertz-Versuch mit einer Neonröhre liegen die Strommaxima bei 21,2 V, 39,9 V, 58,6 V, 77,3 V. Bestimme die Anregungsenergie der Neonatome in eV.
U in VI21,239,958,677,3ΔE = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = (77,3 V − 21,2 V) : 3 = 18,7 V
  3. ΔE = e · ΔU = 18,7 eV
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = (77,3 V − 21,2 V) : 3 = 18,7 V
  3. ΔE = e · ΔU = 18,7 eV
Ergebnis:
18,7 eV

AchtungLage des ersten Maximums statt Abstand der Maxima

So nicht
erstes Maximum bei 7,0 V → Anregungsenergie 7,0 eV
So richtig
Maxima bei 7,0 V, 11,9 V, 16,8 V → Abstand 4,9 V → 4,9 eV

Miss die Abstände zwischen den Maxima und bilde ihren Mittelwert.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Franck-Hertz-Versuch mit einer Neonröhre liegen die Strommaxima bei 23,4 V, 42,4 V, 61,4 V, 80,4 V. Bestimme die Anregungsenergie der Neonatome in eV.
    U in VI23,442,461,480,4ΔE = ?
    So fängst du an:
    Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = (80,4 V − 23,4 V) : 3 = 19 V
    3. ΔE = e · ΔU = 19 eV
    Ergebnis:
    19 eV
  2. ●17
    Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 7 V, 12 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
    U in VI712ΔE = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = 12 V − 7 V = 5 V
    3. ΔE = e · ΔU = 5 eV
    Ergebnis:
    5 eV
  3. ★18
    In einer Neonröhre liegt das erste Strommaximum bei 23,4 V, der Abstand der Maxima ist 18,9 V. Wie viele leuchtende Schichten sind bei U = 80 V zu erwarten? Berechne mit Einheit.
    U in VI23,442,361,2U = 80 V
    Lösung zeigen
    1. Jede Schicht ist ein Ort, an dem die Elektronen Neonatome anregen.
    2. Bis 80 V: erstes Maximum bei 23,4 V, dann alle 18,9 V ein weiteres
    3. 23,4 V + 2 · 18,9 V liegt unter 80 V: 3 Schichten
    Ergebnis:
    3 Schichten

7Ich kann mit dem Modell des Potenzialtopfs Energien berechnen und das Betragsquadrat der Wellenfunktion deuten.

MerkenPotenzialtopf

Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).

Die Nachweiswahrscheinlichkeit folgt |ψ|². Für echte Atome stimmt das Modell nur grob.

BeispielEnergien im Potenzialtopf

Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,3 nm. Berechne seine Energie für n = 1 in eV.
ψ00,3 nmE_1 = ?n = 1
Schritt für Schritt
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,69 · 10⁻¹⁹ J
  3. E_1 = 1 · 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 4,18 eV
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,69 · 10⁻¹⁹ J
  3. E_1 = 1 · 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 4,18 eV
Ergebnis:
4,18 eV

AchtungZwischenergebnis als Antwort

So nicht
Gesamtwiderstand gesucht, Antwort: I = 0,5 A
So richtig
erst I = 0,5 A, dann weiter bis zur gesuchten Größe

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter bis zur gesuchten Größe.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 1 nm. Berechne seine Energie für n = 4 in eV.
    ψ01 nmE_4 = ?n = 4
    So fängst du an:
    E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,02 · 10⁻²⁰ J
    3. E_4 = 16 · 6,02 · 10⁻²⁰ J = 9,64 · 10⁻¹⁹ J = 6,02 eV
    Ergebnis:
    6,02 eV
  2. ●20
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,6 nm. Berechne seine Energie für n = 4 in eV.
    ψ00,6 nmE_4 = ?n = 4
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,67 · 10⁻¹⁹ J
    3. E_4 = 16 · 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 2,68 · 10⁻¹⁸ J = 16,7 eV
    Ergebnis:
    16,7 eV
  3. ★21
    Ein Farbstoffmolekül ist ein Potenzialtopf mit L = 0,8 nm. Ein Elektron springt von n = 3 nach n = 2. Berechne λ in nm.
    ψ00,8 nmλ = ?n = 3
    Lösung zeigen
    1. E_n ≈ 0,376 eV · nm² · n² : L²
    2. ΔE = 0,376 eV · nm² · (9 − 4) : (0,8 nm)² = 2,94 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 2,94 eV = 422 nm
    Ergebnis:
    422 nm

8Ich kann Energiewerte von Ein-Elektronen-Systemen berechnen und das Pauli-Prinzip anwenden.

MerkenEin-Elektronen-Systeme und Pauli

Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².

In Atomen mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur ein Elektron aufnehmen: Pauli-Prinzip.

BeispielEin-Elektronen-Systeme

Welche Energie ist nötig, um das He⁺-Ion (Z = 2) aus dem Zustand n = 3 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
n = 1n = 2n = 3He⁺-Ion: E_ion = ?
Schritt für Schritt
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_3 = −13,6 eV · 4 : 9 = −6,04 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 6,04 eV
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_3 = −13,6 eV · 4 : 9 = −6,04 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 6,04 eV
Ergebnis:
6,04 eV

AchtungKernladungszahl vergessen

So nicht
He⁺, n = 1: E_ion = 13,6 eV
So richtig
He⁺, Z = 2: E_ion = 13,6 eV · 2² = 54,4 eV

Multipliziere die Energien des Wasserstoffs mit Z².

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Energie ist nötig, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3Li²⁺-Ion: E_ion = ?
    So fängst du an:
    Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
    Ergebnis:
    122 eV
  2. ●23
    Wie viel Energie braucht man, um das He⁺-Ion (Z = 2) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3He⁺-Ion: E_ion = ?
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_1 = −13,6 eV · 4 : 1 = −54,4 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 54,4 eV
    Ergebnis:
    54,4 eV
  3. ★24
    Im Li²⁺-Ion (Z = 3) springt das Elektron von n = 5 nach n = 4. Berechne die Wellenlänge des Photons in nm.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5λ = ?Li²⁺-Ion
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV · Z² : n², dann ΔE und λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · 9 · (1 : 16 − 1 : 25) = 2,75 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 2,75 eV = 451 nm
    Ergebnis:
    451 nm

9Ich kann aus der kurzwelligen Grenze der Röntgenstrahlung das Wirkungsquantum bestimmen.

MerkenKurzwellige Grenze

Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).

Die Gerade λ_min über 1 : U hat die Steigung h · c : e.

BeispielKurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung

Eine Schulröntgenröhre mit Molybdänanode wird mit U = 40 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
λIλ_min = ?λ_min = ?Molybdänanode, 40 kV
Schritt für Schritt
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 40 keV = 40.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 40.000 eV = 0,031 nm = 31 pm
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 40 keV = 40.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 40.000 eV = 0,031 nm = 31 pm
Ergebnis:
31 pm

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht
2,5 km = 250 m
So richtig
2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m

Schreib den Vorsatz als Zahl: k heißt 1000, m heißt ein Tausendstel.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Eine Röntgenröhre mit Kupferanode wird mit U = 25 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Kupferanode, 25 kV
    So fängst du an:
    λ_min = h · c : (e · U)
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 25 keV = 25.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 25.000 eV = 0,0496 nm = 49,6 pm
    Ergebnis:
    49,6 pm
  2. ●26
    Eine Schulröntgenröhre mit Eisenanode wird mit U = 30 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Eisenanode, 30 kV
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 30 keV = 30.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 30.000 eV = 0,0413 nm = 41,3 pm
    Ergebnis:
    41,3 pm
  3. ★27
    Das Bremsspektrum einer Röntgenröhre mit Eisenanode endet bei λ_min = 50 pm. Mit welcher Spannung wird die Röhre betrieben? Berechne U in kV.
    λIλ_min = 50 pmU = ?Eisenanode
    Lösung zeigen
    1. U = h · c : (e · λ_min)
    2. h · c : λ_min = 1240 eV · nm : 0,05 nm = 24.800 eV
    3. U = 24.800 V = 24,8 kV
    Ergebnis:
    24,8 kV

10Ich kann das Röntgenspektrum mit dem Drehkristallverfahren aufnehmen und deuten.

MerkenRöntgenspektrum

Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

Das Bremsspektrum entsteht beim Abbremsen der Elektronen, die Linien bei Übergängen in den Anodenatomen.

BeispielDrehkristallverfahren

Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 7°. Berechne die Wellenlänge in pm.
θ = 7°NaCl, d = 282 pmλ = ?
Schritt für Schritt
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 7° = 0,1219
  3. λ = 2 · 282 pm · 0,1219 = 68,7 pm
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 7° = 0,1219
  3. λ = 2 · 282 pm · 0,1219 = 68,7 pm
Ergebnis:
68,7 pm

AchtungGlanzwinkel und Ablenkwinkel verwechselt

So nicht
Ring bei r : L = θ, also λ = 2 · d · r : L
So richtig
Ring beim Ablenkwinkel 2θ: r : L ≈ 2θ, also λ ≈ d · r : L

Zeichne den Strahl an der Netzebene. Der Ablenkwinkel ist 2θ, in Bragg steht θ.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 15°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 15°NaCl, d = 282 pmλ = ?
    So fängst du an:
    Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 15° = 0,2588
    3. λ = 2 · 282 pm · 0,2588 = 146 pm
    Ergebnis:
    146 pm
  2. ●29
    Drehkristallverfahren mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 7°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 7°LiF, d = 201 pmλ = ?
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 7° = 0,1219
    3. λ = 2 · 201 pm · 0,1219 = 49 pm
    Ergebnis:
    49 pm
  3. ★30
    Unter welchem Glanzwinkel θ erscheint die Kα-Linie von Kupfer (λ = 154 pm) mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm) in zweiter Ordnung? Berechne θ in Grad.
    θ = ?LiF, d = 201 pmλ = 154 pm
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, also sin θ = n · λ : (2 · d)
    2. sin θ = 2 · 154 pm : (2 · 201 pm) = 0,7662
    3. θ = 50°
    Ergebnis:
    50 °

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    Ein Wasserstoffatom soll vom Grundzustand in den Zustand n = 6 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,378 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_6 = −0,378 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −0,378 eV + 13,6 eV = 13,22 eV
    Ergebnis:
    13,22 eV
  2. ●32
    Ein UV-Photon mit 20 eV ionisiert ein Wasserstoffatom im Grundzustand (Ionisierungsenergie 13,6 eV). Welche Bewegungsenergie hat das freie Elektron? Berechne in eV.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVE_Ph = 20 eV
    Lösung zeigen
    1. E_kin = E_Ph − 13,6 eV, denn so viel braucht die Ionisation
    2. E_Ph = 20 eV
    3. E_kin = 20 eV − 13,6 eV = 6,4 eV
    Ergebnis:
    6,4 eV
  3. ●33
    Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 7 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVn = 6−0,38 eVn = 7−0,28 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 49) = 3,12 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 3,12 eV = 397 nm
    Ergebnis:
    397 nm
  4. ●34
    Bestimme mit der Serienformel die Frequenz der Wasserstofflinie für den Sprung von m = 3 nach n = 2 in THz (f_R = 3,29 · 10¹⁵ Hz, 1 THz = 10¹² Hz).
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVf = ?Balmer-Serie
    Lösung zeigen
    1. f = f_R · (1 : n² − 1 : m²)
    2. 1 : 4 − 1 : 9 = 0,1389
    3. f = 3,29 · 10¹⁵ Hz · 0,1389 = 4,57 · 10¹⁴ Hz = 457 THz
    Ergebnis:
    457 THz
  5. ●35
    Eine Wolke aus Wasserstoffatomen im Grundzustand wird mit Photonen von 12,09 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 12,09 eV
    Lösung zeigen
    1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    2. E_3 − E_1 = 13,6 eV − 1,51 eV = 12,09 eV
    3. Das passt genau: Die Atome gehen nach n = 3.
    Ergebnis:
    Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.
  6. ●36
    In einer Spektralröhre erreichen die Atome höchstens den Zustand n = 8. Wie viele verschiedene Spektrallinien können beim Zurückfallen entstehen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7n = 8Linien = ?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Paar von zwei Niveaus gibt eine Linie, auch über Zwischenstufen.
    2. Von 8 Niveaus lassen sich 8 · 7 : 2 Paare bilden.
    3. 8 · 7 : 2 = 28 Linien
    Ergebnis:
    28 Linien

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Energieniveaus des Wasserstoffs
Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².
Linienspektrum
Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.
Emission und Absorption
Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.
Niveauschema und Spektralanalyse
Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.
Orbitale
Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.
Franck-Hertz-Versuch
Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.
Potenzialtopf
Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).
Ein-Elektronen-Systeme und Pauli
Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².
Kurzwellige Grenze
Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).
Röntgenspektrum
Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

AchtungElektron kreist auf einer Bahn

So nicht
Blitz gesehen, nach 6 s Donner → das Gewitter ist 6 km weit weg
So richtig
s = 340 m/s · 6 s ≈ 2040 m ≈ 2 km  (Schall braucht rund 3 s je Kilometer)

Das Bohrsche Bild erklärt die Energiewerte, aber keine Bahn. Das Orbital ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

AchtungVorzeichen der Energie

So nicht
lauter gezupft → der Ton wird höher
So richtig
lauter gezupft → größere Amplitude → lauter. Höher wird er nur bei größerer Frequenz (kürzere Saite)

Gebundene Zustände haben negative Energie; null heißt: Das Elektron ist gerade frei.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

    37
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre soll vom Grundzustand in den Zustand n = 4 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,85 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen?
    n = 1n = 2n = 3n = 4ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12,75 eV

  2. Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

    38
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 5 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94,7 nm

  3. Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

    39
    Kaltes Wasserstoffgas im Grundzustand wird mit Photonen von 12,09 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 12,09 eV
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.

  4. Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

    40
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_2 in nm.
    E_10 eVE_21,6 eVE_32,8 eVE_44,1 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1030 nm

  5. Ich kann mit dem Modell des Potenzialtopfs Energien berechnen und das Betragsquadrat der Wellenfunktion deuten.

    41
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,8 nm. Berechne seine Energie für n = 2 in eV.
    ψ00,8 nmE_2 = ?n = 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,35 eV

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert

Lösungen

  1. 10,2 eV
  2. 0,85 eV
  3. 0,97 eV
  4. 122 nm
  5. 94,7 nm
  6. 4050 nm
  7. Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 4.
  8. Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 4,4 eV davon.
  9. Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.
  10. 496 nm
  11. 282 nm
  12. 335 nm
  13. Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  14. Dort wird das Elektron oft nachgewiesen.
  15. Atome sind stabil: Das Elektron hat keine Bahn, nur feste Energie.
  16. 19 eV
  17. 5 eV
  18. 3 Schichten
  19. 6,02 eV
  20. 16,7 eV
  21. 422 nm
  22. 122 eV
  23. 54,4 eV
  24. 451 nm
  25. 49,6 pm
  26. 41,3 pm
  27. 24,8 kV
  28. 146 pm
  29. 49 pm
  30. 50 °
  31. 13,22 eV
  32. 6,4 eV
  33. 397 nm
  34. 457 THz
  35. Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.
  36. 28 Linien
  37. 12,75 eV
  38. 94,7 nm
  39. Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.
  40. 1030 nm
  41. 2,35 eV