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Physik · Klasse 12 · Kapitel

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Q2: Mechanische und elektromagnetische Schwingungen

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
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  • Achtung typischer Fehler
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○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz beschreiben.

MerkenKenngrößen einer Schwingung

Die Amplitude ŷ ist der größte Ausschlag, die Periodendauer T die Zeit einer Schwingung.

Es gilt f = 1 : T und ω = 2π · f. Bei einer harmonischen Schwingung hängt T nicht von der Amplitude ab.

BeispielFrequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz

Ein Federpendel macht in 12 s genau 20 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
Federpendel20 Schwingungenin 12 sf = ?
Schritt für Schritt
  1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
  2. f = 20 : 12 s
  3. f = 1,67 Hz
  1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
  2. f = 20 : 12 s
  3. f = 1,67 Hz
Ergebnis:
1,67 Hz

AchtungFrequenz und Periodendauer nicht als Kehrwert

So nicht
T = 0,02 s, also f = 0,02 Hz
So richtig
f = 1 : 0,02 s = 50 Hz

Frag, wie viele Schwingungen in eine Sekunde passen: f = 1 : T.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Fadenpendel macht in 4 s genau 20 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    Fadenpendel20 Schwingungenin 4 sf = ?
    So fängst du an:
    f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    Lösung zeigen
    1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    2. f = 20 : 4 s
    3. f = 5 Hz
    Ergebnis:
    5 Hz
  2. ●2
    Ein Wagen zwischen zwei Federn macht in 4 s genau 20 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    Wagen zwischen zwei Federn20 Schwingungenin 4 sf = ?
    Lösung zeigen
    1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    2. f = 20 : 4 s
    3. f = 5 Hz
    Ergebnis:
    5 Hz
  3. ★3
    Das Diagramm zeigt y(t) für ein Fadenpendel mit ŷ = 5 cm. Lies die Periodendauer ab und berechne die Kreisfrequenz ω.
    0,10,20,30,40,50,60,70,80,91−6−4−2246t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Eine Periode reicht von einem Nulldurchgang nach oben bis zum nächsten nach oben
    2. abgelesen: T = 0,4 s
    3. ω = 2π : T = 2π : 0,4 s = 15,7 1/s
    Ergebnis:
    15,7 1/s

2Ich kann die Periodendauer eines Federpendels berechnen und ihre Abhängigkeit von den Parametern begründen.

MerkenPeriodendauer des Federpendels

Für das Federpendel gilt T = 2π · √(m : D).

Viermal so schwer heißt doppelt so lange. Beim Fadenpendel gilt T = 2π · √(l : g), die Masse zählt dort nicht.

BeispielPeriodendauer des Federpendels

Ein Körper mit m = 100 g hängt an einer Feder mit D = 20 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
Ruhelagem = 100 gD = 20 N/mT = ?
Schritt für Schritt
  1. T = 2π · √m : D
  2. m = 0,1 kg, m : D = 0,005 kg · m/N
  3. T = 2π · √0,005 s² = 0,444 s
  1. T = 2π · √m : D
  2. m = 0,1 kg, m : D = 0,005 kg · m/N
  3. T = 2π · √0,005 s² = 0,444 s
Ergebnis:
0,444 s

AchtungDie Wurzel vergessen

So nicht
v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s
So richtig
v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s

Schau auf die Einheit: m²/s² heißt, es ist noch v². Erst die Wurzel daraus ist v.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Körper mit m = 400 g hängt an einer Feder mit D = 5 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 400 gD = 5 N/mT = ?
    So fängst du an:
    T = 2π · √m : D
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D
    2. m = 0,4 kg, m : D = 0,08 kg · m/N
    3. T = 2π · √0,08 s² = 1,78 s
    Ergebnis:
    1,78 s
  2. ●5
    Ein Körper mit m = 150 g hängt an einer Feder mit D = 20 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 150 gD = 20 N/mT = ?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D
    2. m = 0,15 kg, m : D = 0,0075 kg · m/N
    3. T = 2π · √0,0075 s² = 0,544 s
    Ergebnis:
    0,544 s
  3. ★6
    Ein Körper mit 100 g schwingt an einer Feder mit der Periodendauer T = 0,8 s. Berechne die Federkonstante D.
    Ruhelagem = 100 gT = 0,8 sD = ?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D, quadriert und umgestellt: D = 4π² · m : T²
    2. m = 0,1 kg, T² = 0,64 s²
    3. D = 4π² · 0,1 kg : 0,64 s² = 6,17 N/m
    Ergebnis:
    6,17 N/m

3Ich kann die Auslenkung einer harmonischen Schwingung mit y(t) = ŷ · sin(ω · t) berechnen.

MerkenZeitgesetz der Schwingung

Startet der Körper in der Ruhelage nach oben, gilt y(t) = ŷ · sin(ω · t).

Dabei ist ω = 2π : T, im Sinus steht ein Winkel im Bogenmaß.

BeispielAuslenkung zu einem Zeitpunkt

Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 10 cm und T = 3 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,3 s.
0,751,52,2533,754,55,256−12−8−44812t in sy in cmy = ?
Schritt für Schritt
  1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
  2. ω = 2π : 3 s = 2,09 1/s, ω · t = 0,628
  3. y = 10 cm · sin(0,628) = 5,88 cm
  1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
  2. ω = 2π : 3 s = 2,09 1/s, ω · t = 0,628
  3. y = 10 cm · sin(0,628) = 5,88 cm
Ergebnis:
5,88 cm

AchtungTaschenrechner im Gradmaß

So nicht
sin(0,628) im Gradmaß = 0,011
So richtig
sin(0,628) im Bogenmaß = 0,588

Prüfe vor dem Rechnen die Einstellung. Bei sin(ω · t) muss der Rechner auf Bogenmaß stehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 2 cm und T = 1,2 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,36 s.
    0,30,60,91,21,51,82,12,4−2−112t in sy in cmy = ?
    So fängst du an:
    y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
    Lösung zeigen
    1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
    2. ω = 2π : 1,2 s = 5,24 1/s, ω · t = 1,88
    3. y = 2 cm · sin(1,88) = 1,9 cm
    Ergebnis:
    1,9 cm
  2. ●8
    Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 6 cm und T = 1,6 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,16 s.
    0,40,81,21,622,42,83,2−6−4−2246t in sy in cmy = ?
    Lösung zeigen
    1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
    2. ω = 2π : 1,6 s = 3,93 1/s, ω · t = 0,628
    3. y = 6 cm · sin(0,628) = 3,53 cm
    Ergebnis:
    3,53 cm
  3. ★9
    Ein Pendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 5 cm, T = 0,8 s. Wann ist nach dem Start erstmals y = 1 cm?
    0,20,40,60,811,2−6−4−2246t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. sin(ω · t) = y : ŷ, also ω · t = arcsin(y : ŷ), der Rechner im Bogenmaß
    2. ω = 2π : 0,8 s = 7,85 1/s, arcsin(1 : 5) = 0,201
    3. t = 0,201 : 7,85 1/s = 0,0256 s
    Ergebnis:
    0,0256 s

4Ich kann Energieumwandlungen und Dämpfung bei Schwingungen beschreiben und berechnen.

MerkenEnergie und Dämpfung

Ohne Reibung bleibt die Energie E = ½ · D · ŷ² gleich.

Im Umkehrpunkt ist sie Spannenergie, in der Ruhelage Bewegungsenergie. Dämpfung wandelt sie in innere Energie um, die Amplitude nimmt ab.

BeispielEnergie einer Schwingung

Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 20 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 2 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
Wagen zwischen FedernD = 20 N/mŷ = 2 cmE = ?
Schritt für Schritt
  1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
  2. ŷ = 0,02 m, ŷ² = 0,0004 m²
  3. E = ½ · 20 N/m · 0,0004 m² = 0,004 J = 4 mJ
  1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
  2. ŷ = 0,02 m, ŷ² = 0,0004 m²
  3. E = ½ · 20 N/m · 0,0004 m² = 0,004 J = 4 mJ
Ergebnis:
4 mJ

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

Schreib die Formel ganz hin: E = ½ · m · v². Nimm am Ende die Hälfte.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 40 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 8 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
    Wagen zwischen FedernD = 40 N/mŷ = 8 cmE = ?
    So fängst du an:
    Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
    Lösung zeigen
    1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
    2. ŷ = 0,08 m, ŷ² = 0,0064 m²
    3. E = ½ · 40 N/m · 0,0064 m² = 0,128 J = 128 mJ
    Ergebnis:
    128 mJ
  2. ●11
    Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 200 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 2 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
    Wagen zwischen FedernD = 200 N/mŷ = 2 cmE = ?
    Lösung zeigen
    1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
    2. ŷ = 0,02 m, ŷ² = 0,0004 m²
    3. E = ½ · 200 N/m · 0,0004 m² = 0,04 J = 40 mJ
    Ergebnis:
    40 mJ
  3. ★12
    Ein Wagen mit 250 g schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 20 N/m und ŷ = 3 cm. Berechne seine größte Geschwindigkeit.
    Wagen zwischen Federnm = 250 g, D = 20 N/mŷ = 3 cmv_max = ?
    Lösung zeigen
    1. In der Ruhelage ist die ganze Spannenergie Bewegungsenergie: ½ · D · ŷ² = ½ · m · v²
    2. umgestellt: v = ŷ · √D : m
    3. v = 0,03 m · √20 N/m : 0,25 kg = 0,268 m/s
    Ergebnis:
    0,268 m/s

5Ich kann erzwungene Schwingungen und Resonanz erklären.

MerkenErzwungene Schwingung und Resonanz

Ein Erreger zwingt dem Oszillator seine Frequenz auf.

Trifft die Erregerfrequenz die Eigenfrequenz, wird die Amplitude sehr groß: Resonanz. Dämpfung macht die Resonanzspitze niedriger und breiter.

BeispielErzwungene Schwingung und Resonanz

Ein Federpendel hat die Eigenfrequenz 2,5 Hz. Sie wird mit 1,25 Hz, 2,5 Hz oder 5 Hz von einem Motor angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
Federpendelf₀ = 2,5 HzErreger: 1,25 · 2,5 · 5 Hzstärkste Schwingung?
Schritt für Schritt
  1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
  2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
  3. Hier also bei 2,5 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
  1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
  2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
  3. Hier also bei 2,5 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
Ergebnis:
Bei 2,5 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.

AchtungResonanz als „schneller anregen heißt stärker“

So nicht
f₀ = 0,5 Hz, angestoßen mit 1 Hz: schwingt am höchsten
So richtig
f₀ = 0,5 Hz, angestoßen mit 0,5 Hz → Resonanz, schwingt am höchsten

Vergleiche die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz. Am stärksten schwingt es, wenn beide gleich sind.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Eine Schaukel hat die Eigenfrequenz 0,3 Hz. Sie wird mit 0,15 Hz, 0,3 Hz oder 0,6 Hz angestoßen. Wann schwingt sie am stärksten?
    Schaukelf₀ = 0,3 HzErreger: 0,15 · 0,3 · 0,6 Hzstärkste Schwingung?
    So fängst du an:
    Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
    Lösung zeigen
    1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
    2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
    3. Hier also bei 0,3 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
    Ergebnis:
    Bei 0,3 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  2. ●14
    Eine Fußgängerbrücke hat die Eigenfrequenz 2 Hz. Sie wird mit 1 Hz, 2 Hz oder 4 Hz von Schritten angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
    Fußgängerbrückef₀ = 2 HzErreger: 1 · 2 · 4 Hzstärkste Schwingung?
    Lösung zeigen
    1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
    2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
    3. Hier also bei 2 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
    Ergebnis:
    Bei 2 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  3. ★15
    Die Resonanzkurve einer Brücke hat ihre Spitze bei 20 Hz. Die Dämpfung wird stärker eingestellt. Wie ändert sich die Resonanzkurve?
    102030402468f in Hzŷ relativ
    Lösung zeigen
    1. Bei Resonanz wird im Takt der Eigenfrequenz Energie zugeführt.
    2. Die Amplitude wächst, bis die Dämpfung so viel Energie abführt, wie dazukommt.
    3. Stärkere Dämpfung: Die Amplitude bleibt kleiner, die Spitze flacher und breiter.
    Ergebnis:
    Die Spitze wird niedriger und breiter, sie bleibt fast bei derselben Frequenz.

6Ich kann elektromagnetische Schwingungen im Schwingkreis beschreiben und mit der Thomsonschen Gleichung berechnen.

MerkenElektromagnetischer Schwingkreis

Im Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischem Feld und Magnetfeld.

Das eine sitzt im Kondensator, das andere in der Spule, die Eigenfrequenz ist f = 1 : (2π · √(L · C)).

BeispielThomsonsche Schwingungsgleichung

Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 100 mH und einem Kondensator mit C = 4,7 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
CLL = 100 mHC = 4,7 µFf = ?
Schritt für Schritt
  1. f = 1 : (2π · √L · C)
  2. L · C = 0,1 H · 4,7 · 10⁻⁶ F, √L · C = 6,86 · 10⁻⁴ s
  3. f = 1 : (2π · 6,86 · 10⁻⁴ s) = 232 Hz
  1. f = 1 : (2π · √L · C)
  2. L · C = 0,1 H · 4,7 · 10⁻⁶ F, √L · C = 6,86 · 10⁻⁴ s
  3. f = 1 : (2π · 6,86 · 10⁻⁴ s) = 232 Hz
Ergebnis:
232 Hz

AchtungFrequenz statt Kreisfrequenz

So nicht
f = 50 Hz: U₀ = N · B · A · 50 1/s
So richtig
f = 50 Hz: ω = 2π · 50 Hz = 314 1/s → U₀ = N · B · A · 314 1/s

Rechne zuerst ω = 2π · f aus. Setz erst dann in die Formel ein.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 1 mH und einem Kondensator mit C = 2,2 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
    CLL = 1 mHC = 2,2 µFf = ?
    So fängst du an:
    f = 1 : (2π · √L · C)
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C)
    2. L · C = 0,001 H · 2,2 · 10⁻⁶ F, √L · C = 4,69 · 10⁻⁵ s
    3. f = 1 : (2π · 4,69 · 10⁻⁵ s) = 3,39 kHz
    Ergebnis:
    3,39 kHz
  2. ●17
    Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 100 mH und einem Kondensator mit C = 1 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
    CLL = 100 mHC = 1 µFf = ?
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C)
    2. L · C = 0,1 H · 1 · 10⁻⁶ F, √L · C = 3,16 · 10⁻⁴ s
    3. f = 1 : (2π · 3,16 · 10⁻⁴ s) = 503 Hz
    Ergebnis:
    503 Hz
  3. ★18
    Ein Schwingkreis schwingt mit 400 Hz. Der Kondensator wird gegen einen mit 9-facher Kapazität getauscht, die Spule bleibt. Berechne die neue Frequenz.
    CLvorher f = 400 HzC mal 9f neu = ?
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C), also f wächst mit 1 : √C
    2. C wird 9-mal so groß: f wird durch √9 = 3 geteilt
    3. f = 400 Hz : 3 = 133 Hz
    Ergebnis:
    133 Hz

7Ich kann das lineare Kraftgesetz als Bedingung prüfen und Geschwindigkeit und Beschleunigung durch Ableiten bestimmen.

MerkenKraftgesetz und Ableitung

Harmonisch schwingt ein Körper genau dann, wenn F = −D · y gilt.

Aus y(t) = ŷ · sin(ω · t) folgt v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t) und a(t) = −ω² · y(t), also ω = √(D : m).

BeispielGeschwindigkeit und Beschleunigung durch Ableiten

Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 10 cm und f = 1,5 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
0,1670,3330,50,6670,83311,1671,333−12−8−44812t in sy in cm
Schritt für Schritt
  1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
  2. ω = 2π · 1,5 Hz = 9,42 1/s, ŷ = 0,1 m
  3. v_max = 0,1 m · 9,42 1/s = 0,942 m/s
  1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
  2. ω = 2π · 1,5 Hz = 9,42 1/s, ŷ = 0,1 m
  3. v_max = 0,1 m · 9,42 1/s = 0,942 m/s
Ergebnis:
0,942 m/s

AchtungEinheiten nicht angeglichen

So nicht
p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa
So richtig
50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa

Rechne zuerst alle Angaben in die Einheiten der Formel um.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 6 cm und f = 2 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
    0,1250,250,3750,50,6250,750,8751−6−4−2246t in sy in cm
    So fängst du an:
    Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
    Lösung zeigen
    1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
    2. ω = 2π · 2 Hz = 12,6 1/s, ŷ = 0,06 m
    3. v_max = 0,06 m · 12,6 1/s = 0,754 m/s
    Ergebnis:
    0,754 m/s
  2. ●20
    Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 6 cm und f = 5 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
    0,050,10,150,20,250,30,350,4−6−4−2246t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
    2. ω = 2π · 5 Hz = 31,4 1/s, ŷ = 0,06 m
    3. v_max = 0,06 m · 31,4 1/s = 1,88 m/s
    Ergebnis:
    1,88 m/s
  3. ★21
    Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 5 cm und f = 5 Hz. Berechne den Betrag der größten Beschleunigung.
    0,050,10,150,20,250,30,350,4−6−4−2246t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Zweimal ableiten: a(t) = −ŷ · ω² · sin(ω · t), also a_max = ŷ · ω²
    2. ω = 2π · 5 Hz = 31,4 1/s, ŷ = 0,05 m
    3. a_max = 0,05 m · (31,4 1/s)² = 49,3 m/s²
    Ergebnis:
    49,3 m/s²

8Ich kann erzwungene elektromagnetische Schwingungen, Phasenverschiebung und Rückkopplung erklären.

MerkenResonanz im Schwingkreis und Rückkopplung

Abgestimmt ist ein Schwingkreis, wenn seine Eigenfrequenz die Senderfrequenz trifft.

Die Rückkopplung führt im Takt Energie nach. Bei Resonanz hinkt der Oszillator dem Erreger um 90° nach.

BeispielSchwingkreis abstimmen

Ein Schwingkreis mit L = 200 µH soll auf einen Sender mit f = 500 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
CLL = 200 µHSender 500 kHzC = ?
Schritt für Schritt
  1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
  2. f = 500.000 Hz, L = 2 · 10⁻⁴ H
  3. C = 1 : (4π² · (500.000 Hz)² · 0,0002 H) = 507 pF
  1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
  2. f = 500.000 Hz, L = 2 · 10⁻⁴ H
  3. C = 1 : (4π² · (500.000 Hz)² · 0,0002 H) = 507 pF
Ergebnis:
507 pF

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Rechne zuerst v² = v · v aus und schreib die Zeile hin.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Schwingkreis mit L = 330 µH soll auf einen Sender mit f = 1500 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
    CLL = 330 µHSender 1500 kHzC = ?
    So fängst du an:
    Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
    Lösung zeigen
    1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
    2. f = 1.500.000 Hz, L = 3,3 · 10⁻⁴ H
    3. C = 1 : (4π² · (1.500.000 Hz)² · 0,00033 H) = 34,1 pF
    Ergebnis:
    34,1 pF
  2. ●23
    Ein Schwingkreis mit L = 470 µH soll auf einen Sender mit f = 1500 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
    CLL = 470 µHSender 1500 kHzC = ?
    Lösung zeigen
    1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
    2. f = 1.500.000 Hz, L = 4,7 · 10⁻⁴ H
    3. C = 1 : (4π² · (1.500.000 Hz)² · 0,00047 H) = 24 pF
    Ergebnis:
    24 pF
  3. ★24
    Ein Radio hat eine Spule mit L = 200 µH und einen Drehkondensator von 80 pF bis 500 pF. Berechne die höchste Frequenz, auf die es sich abstimmen lässt.
    CLL = 200 µHC: 80 pF bis 500 pFf_max = ?
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C): die höchste Frequenz bei der kleinsten Kapazität
    2. L · C = 2 · 10⁻⁴ H · 8 · 10⁻¹¹ F
    3. f = 1 : (2π · √L · C) = 1260 kHz
    Ergebnis:
    1260 kHz

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Fadenpendel macht in 12 s genau 25 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    Fadenpendel25 Schwingungenin 12 sf = ?
    Lösung zeigen
    1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    2. f = 25 : 12 s
    3. f = 2,08 Hz
    Ergebnis:
    2,08 Hz
  2. ●26
    Ein Federpendel (m = 200 g, D = 20 N/m) wird einmal 2 cm und einmal 5 cm weit ausgelenkt. Wie unterscheiden sich die Periodendauern? Begründe.
    Ruhelagem = 200 gD = 20 N/mŷ: 2 cm oder 5 cmT gleich?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D enthält die Amplitude nicht.
    2. Größerer Ausschlag: größere Kraft, schnellerer Körper.
    3. Längerer Weg und größere Geschwindigkeit gleichen sich genau aus.
    Ergebnis:
    Gar nicht: T hängt nicht von der Amplitude ab.
  3. ●27
    Ein Körper mit m = 400 g hängt an einer Feder mit D = 50 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 400 gD = 50 N/mT = ?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D
    2. m = 0,4 kg, m : D = 0,008 kg · m/N
    3. T = 2π · √0,008 s² = 0,562 s
    Ergebnis:
    0,562 s
  4. ●28
    Bei einem Fadenpendel mit 100 g wird die Masse der Kugel verneunfacht, sonst bleibt alles gleich. Wie ändert sich die Periodendauer? Begründe mit der Formel.
    m = 100 gMasse der Kugel: mal 9T neu?
    Lösung zeigen
    1. Fadenpendel: T = 2π · √l : g, ohne Masse.
    2. Die Masse der Kugel wird verneunfacht.
    3. T bleibt gleich: Beim Fadenpendel kommt die Masse in der Formel für T nicht vor.
    Ergebnis:
    T bleibt gleich: Beim Fadenpendel kommt die Masse in der Formel für T nicht vor.
  5. ●29
    Ein Pendel schwingt mit ŷ = 6 cm und T = 1 s und startet in der Ruhelage nach oben. Welche Gleichung beschreibt y(t)?
    0,250,50,7511,251,51,752−6−4−2246t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Start in der Ruhelage nach oben heißt: y(t) = ŷ · sin(ω · t).
    2. ω = 2π : T = 2π : 1 s = 6,28 1/s
    3. Also y(t) = 6 cm · sin(6,28 1/s · t).
    Ergebnis:
    y(t) = 6 cm · sin(6,28 1/s · t)
  6. ●30
    Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 40 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 4 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
    Wagen zwischen FedernD = 40 N/mŷ = 4 cmE = ?
    Lösung zeigen
    1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
    2. ŷ = 0,04 m, ŷ² = 0,0016 m²
    3. E = ½ · 40 N/m · 0,0016 m² = 0,032 J = 32 mJ
    Ergebnis:
    32 mJ

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kenngrößen einer Schwingung
Die Amplitude ŷ ist der größte Ausschlag, die Periodendauer T die Zeit einer Schwingung.
Periodendauer des Federpendels
Für das Federpendel gilt T = 2π · √(m : D).
Zeitgesetz der Schwingung
Startet der Körper in der Ruhelage nach oben, gilt y(t) = ŷ · sin(ω · t).
Energie und Dämpfung
Ohne Reibung bleibt die Energie E = ½ · D · ŷ² gleich.
Erzwungene Schwingung und Resonanz
Ein Erreger zwingt dem Oszillator seine Frequenz auf.
Elektromagnetischer Schwingkreis
Im Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischem Feld und Magnetfeld.
Kraftgesetz und Ableitung
Harmonisch schwingt ein Körper genau dann, wenn F = −D · y gilt.
Resonanz im Schwingkreis und Rückkopplung
Abgestimmt ist ein Schwingkreis, wenn seine Eigenfrequenz die Senderfrequenz trifft.

AchtungGrößere Amplitude dauert länger

So nicht
f = 4 Hz → T = 4 s
So richtig
T = 1 : f = 1 : 4 Hz = 0,25 s

Beim harmonischen Schwinger hängt T nicht von der Amplitude ab.

AchtungMasse beim Fadenpendel

So nicht
c = 340 m/s, f = 170 Hz → λ = 340 · 170 = 57 800 m
So richtig
λ = c : f = 340 m/s : 170 Hz = 2 m

Beim Fadenpendel kürzt sich die Masse heraus; es zählt die Länge.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz beschreiben.

    31
    Ein Wagen zwischen zwei Federn macht in 4 s genau 25 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    Wagen zwischen zwei Federn25 Schwingungenin 4 sf = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6,25 Hz

  2. Ich kann die Periodendauer eines Federpendels berechnen und ihre Abhängigkeit von den Parametern begründen.

    32
    Ein Körper mit m = 150 g hängt an einer Feder mit D = 80 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 150 gD = 80 N/mT = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,272 s

  3. Ich kann die Auslenkung einer harmonischen Schwingung mit y(t) = ŷ · sin(ω · t) berechnen.

    33
    Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 10 cm und T = 1,2 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,24 s.
    0,30,60,91,21,51,82,12,4−12−8−44812t in sy in cmy = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9,51 cm

  4. Ich kann Energieumwandlungen und Dämpfung bei Schwingungen beschreiben und berechnen.

    34
    Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 10 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 2 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
    Wagen zwischen FedernD = 10 N/mŷ = 2 cmE = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 mJ

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Ableitung
wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Lösungen

  1. 5 Hz
  2. 5 Hz
  3. 15,7 1/s
  4. 1,78 s
  5. 0,544 s
  6. 6,17 N/m
  7. 1,9 cm
  8. 3,53 cm
  9. 0,0256 s
  10. 128 mJ
  11. 40 mJ
  12. 0,268 m/s
  13. Bei 0,3 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  14. Bei 2 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  15. Die Spitze wird niedriger und breiter, sie bleibt fast bei derselben Frequenz.
  16. 3,39 kHz
  17. 503 Hz
  18. 133 Hz
  19. 0,754 m/s
  20. 1,88 m/s
  21. 49,3 m/s²
  22. 34,1 pF
  23. 24 pF
  24. 1260 kHz
  25. 2,08 Hz
  26. Gar nicht: T hängt nicht von der Amplitude ab.
  27. 0,562 s
  28. T bleibt gleich: Beim Fadenpendel kommt die Masse in der Formel für T nicht vor.
  29. y(t) = 6 cm · sin(6,28 1/s · t)
  30. 32 mJ
  31. 6,25 Hz
  32. 0,272 s
  33. 9,51 cm
  34. 2 mJ