Physik · Klasse 13 · Kapitel

Physik Oberstufe: Atome

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1Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

MerkenEnergieniveaus des Wasserstoffs

Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².

Ionisiert ist es bei E = 0. Anregung und Ionisation kosten genau den Abstand bis zum Zielniveau.

BeispielEnergiewerte des Wasserstoffatoms

Ein Wasserstoffatom soll vom Grundzustand in den Zustand n = 4 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,85 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne mit Einheit.

Schritt für Schritt

ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
E_4 = −0,85 eV, E_1 = −13,6 eV
ΔE = −0,85 eV + 13,6 eV = 12,75 eV

ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
E_4 = −0,85 eV, E_1 = −13,6 eV
ΔE = −0,85 eV + 13,6 eV = 12,75 eV

Ergebnis:

12,75 eV

AchtungWert eines Niveaus statt Abstand zweier Niveaus

So nicht

Anregung von n = 1 nach n = 3: ΔE = 1,51 eV

So richtig

ΔE = E_3 − E_1 = −1,51 eV − (−13,6 eV) = 12,09 eV

Ein Photon trägt den Abstand zweier Niveaus. Ziehe das untere vom oberen ab.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 3. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
So fängst du an:
E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
Lösung zeigen
1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
2. E_3 = −13,6 eV : 9 = −1,51 eV
3. Bis E = 0 fehlen 1,51 eV
Ergebnis:
1,51 eV
●2
Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 5. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
Lösung zeigen
1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
2. E_5 = −13,6 eV : 25 = −0,544 eV
3. Bis E = 0 fehlen 0,544 eV
Ergebnis:
0,544 eV
★3
Ein Wasserstoffatom wird vom Zustand n = 2 in den Zustand n = 5 angeregt. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne in eV.
Lösung zeigen
1. ΔE = E_m − E_n mit E_n = −13,6 eV : n²
2. E_2 = −3,4 eV, E_5 = −0,544 eV
3. ΔE = −0,544 eV − (−3,4 eV) = 2,86 eV
Ergebnis:
2,86 eV

2Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

MerkenLinienspektrum

Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.

Dann gilt λ = h · c : ΔE. Die Serienformel f = f_R · (1 : n² − 1 : m²) sagt auch unsichtbare Linien voraus.

BeispielSpektrallinien aus dem Niveauschema

Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 7 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.

Schritt für Schritt

Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 49) = 3,12 eV
λ = 1240 eV · nm : 3,12 eV = 397 nm

Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 49) = 3,12 eV
λ = 1240 eV · nm : 3,12 eV = 397 nm

Ergebnis:

397 nm

AchtungWert eines Niveaus statt Abstand zweier Niveaus

So nicht

Anregung von n = 1 nach n = 3: ΔE = 1,51 eV

So richtig

ΔE = E_3 − E_1 = −1,51 eV − (−13,6 eV) = 12,09 eV

Zeichne den Sprung als Pfeil ins Schema. Rechne oben minus unten.

ÜbenJetzt du

○4
Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 6 nach n = 3. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
So fängst du an:
Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
Lösung zeigen
1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 9 − 1 : 36) = 1,13 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 1,13 eV = 1100 nm
Ergebnis:
1100 nm
●5
Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 5 nach n = 3. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
Lösung zeigen
1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 9 − 1 : 25) = 0,967 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 0,967 eV = 1280 nm
Ergebnis:
1280 nm
★6
Berechne die kürzeste Wellenlänge der Paschen-Serie des Wasserstoffs (Sprünge nach n = 3, Seriengrenze). In welchem Spektralbereich liegt sie?
Lösung zeigen
1. Kürzeste Wellenlänge: größter Sprung, von E = 0 nach n
2. ΔE = 13,6 eV : 9 = 1,51 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 1,51 eV = 821 nm, infrarot
Ergebnis:
821 nm

3Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

MerkenEmission und Absorption

Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.

Oder es wird ionisiert. Beim Zurückfallen sendet es Photonen derselben Energien aus.

BeispielAbsorption und Emission

Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 18 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?

Schritt für Schritt

Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
Oberhalb von E = 0 gibt es keine festen Niveaus mehr.
Der Rest 18 eV − 13,6 eV = 4,4 eV wird Bewegungsenergie.

Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
Oberhalb von E = 0 gibt es keine festen Niveaus mehr.
Der Rest 18 eV − 13,6 eV = 4,4 eV wird Bewegungsenergie.

Ergebnis:

Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 4,4 eV davon.

AchtungAtom nimmt einen beliebigen Teil der Photonenenergie

So nicht

11 eV-Photon: Das Atom nimmt 10,2 eV, 0,8 eV fliegen weiter.

So richtig

11 eV passt auf keinen Übergang → das Photon wird nicht absorbiert

Ein Photon wird ganz oder gar nicht absorbiert. Seine Energie muss genau zu einem Übergang passen.

ÜbenJetzt du

○7
Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 12,09 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
So fängst du an:
Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
Lösung zeigen
1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
2. E_3 − E_1 = 13,6 eV − 1,51 eV = 12,09 eV
3. Das passt genau: Die Atome gehen nach n = 3.
Ergebnis:
Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.
●8
Eine Wolke aus Wasserstoffatomen im Grundzustand wird mit Photonen von 9,5 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
Lösung zeigen
1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
3. 9,5 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
Ergebnis:
Die Photonen gehen ungehindert durch.
★9
Im Licht eines Sterns hinter einer Gaswolke fehlt Licht bei 589 nm: eine dunkle Linie von Natrium. Die Atome senden die aufgenommene Energie doch wieder aus. Warum bleibt die Linie dunkel? Begründe.
Lösung zeigen
1. Atome in der kühleren Schicht absorbieren genau Photonen mit 589 nm.
2. Beim Zurückfallen senden sie Photonen derselben Energie aus, aber in alle Richtungen.
3. In der ursprünglichen Richtung kommt deshalb viel weniger an: eine dunkle Linie.
Ergebnis:
Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.

4Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

MerkenNiveauschema und Spektralanalyse

Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.

Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster: Alle Linien müssen passen, eine einzelne reicht nicht.

BeispielNiveauschema und Spektrum

Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_2 in nm.

Schritt für Schritt

ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
ΔE = 4,4 eV − 1,9 eV = 2,5 eV
λ = 1240 eV · nm : 2,5 eV = 496 nm

ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
ΔE = 4,4 eV − 1,9 eV = 2,5 eV
λ = 1240 eV · nm : 2,5 eV = 496 nm

Ergebnis:

496 nm

AchtungWellenlängen addiert statt Energien

So nicht

λ(3 → 1) = λ(3 → 2) + λ(2 → 1)

So richtig

E(3 → 1) = E(3 → 2) + E(2 → 1), dann λ = h · c : E

Energien addieren sich, Wellenlängen nicht. Rechne jede Wellenlänge in eine Energie um und addiere dann.

ÜbenJetzt du

○10
Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_1 in nm.
So fängst du an:
ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
Lösung zeigen
1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
2. ΔE = 2,9 eV − 0 eV = 2,9 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 2,9 eV = 428 nm
Ergebnis:
428 nm
●11
Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_1 in nm.
Lösung zeigen
1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
2. ΔE = 4,9 eV − 0 eV = 4,9 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 4,9 eV = 253 nm
Ergebnis:
253 nm
★12
Ein Atom sendet beim Sprung E_4 → E_2 Licht mit 443 nm aus, beim Sprung E_2 → E_1 mit 590 nm. Berechne λ für den Sprung E_4 → E_1.
Lösung zeigen
1. Die Energien addieren sich, nicht die Wellenlängen: 1 : λ = 1 : λ₁ + 1 : λ₂
2. ΔE₁ = 1240 eV · nm : 443 nm = 2,8 eV, ΔE₂ = 2,1 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 4,9 eV = 253 nm
Ergebnis:
253 nm

5Ich kann Orbitale als Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons deuten.

MerkenOrbitale

Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.

Es ist keine Bahn. Jede Messung liefert einen Ort, die Verteilung vieler Messungen das Orbital.

BeispielOrbital statt Bahn

Was ändert sich am Orbital des Wasserstoffatoms im Zustand n = 4 gegenüber dem Zustand n = 3?

Schritt für Schritt

E_4 = −13,6 eV : 16 liegt höher als E_3 = −13,6 eV : 9.
Das Elektron ist schwächer gebunden.
Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.

E_4 = −13,6 eV : 16 liegt höher als E_3 = −13,6 eV : 9.
Das Elektron ist schwächer gebunden.
Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.

Ergebnis:

Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.

AchtungElektron auf einer festen Bahn um den Kern

So nicht

Das Elektron kreist auf einer festen Bahn um den Kern.

So richtig

Orbital → Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons, keine Bahn

Im Atom hat das Elektron keine Bahn. Man kann nur sagen, wo es mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.

ÜbenJetzt du

○13
Kreist das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 3 auf einer festen Bahn um den Kern?
So fängst du an:
Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
Lösung zeigen
1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
Ergebnis:
Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
●14
Kreist das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 2 auf einer festen Bahn um den Kern?
Lösung zeigen
1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
Ergebnis:
Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
★15
Hat das Elektron im Wasserstoffatom einen festen Abstand vom Kern? Begründe mit der Punktwolke im Bild (n = 1).
Lösung zeigen
1. Jeder Punkt ist ein möglicher Nachweisort aus einer Messung.
2. Die Punkte liegen in verschiedenen Abständen, dicht oder dünn.
3. Einen festen Abstand gibt es nicht, nur Wahrscheinlichkeiten.
Ergebnis:
Nein: Es gibt nur eine Verteilung der Nachweisorte.

6Ich kann den Franck-Hertz-Versuch auswerten und als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.

MerkenFranck-Hertz-Versuch

Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.

Der Abstand der Strommaxima ist die Anregungsenergie. Quecksilber nur im Lehrerversuch, Neon zeigt leuchtende Schichten.

BeispielFranck-Hertz-Versuch auswerten

Franck-Hertz-Versuch mit einer Neonröhre liegen die Strommaxima bei 23,4 V, 42,3 V. Bestimme die Anregungsenergie der Neonatome in eV.

Schritt für Schritt

Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
ΔU = 42,3 V − 23,4 V = 18,9 V
ΔE = e · ΔU = 18,9 eV

Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
ΔU = 42,3 V − 23,4 V = 18,9 V
ΔE = e · ΔU = 18,9 eV

Ergebnis:

18,9 eV

AchtungLage des ersten Maximums statt Abstand der Maxima

So nicht

erstes Maximum bei 7,0 V → Anregungsenergie 7,0 eV

So richtig

Maxima bei 7,0 V, 11,9 V, 16,8 V → Abstand 4,9 V → 4,9 eV

Das erste Maximum enthält noch eine Kontaktspannung. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima.

ÜbenJetzt du

○16
Franck-Hertz-Versuch mit einer Neonröhre liegen die Strommaxima bei 21,2 V, 39,9 V. Bestimme die Anregungsenergie der Neonatome in eV.
So fängst du an:
Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
Lösung zeigen
1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
2. ΔU = 39,9 V − 21,2 V = 18,7 V
3. ΔE = e · ΔU = 18,7 eV
Ergebnis:
18,7 eV
●17
Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 9,3 V, 14,2 V, 19,1 V, 24 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
Lösung zeigen
1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
2. ΔU = (24 V − 9,3 V) : 3 = 4,9 V
3. ΔE = e · ΔU = 4,9 eV
Ergebnis:
4,9 eV
★18
Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 8,1 V, 13 V, 17,9 V, 22,8 V. Welche Wellenlänge hat das Licht, das die angeregten Atome aussenden? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Anregungsenergie = Abstand der Maxima, dann λ = h · c : ΔE
2. ΔU = (22,8 V − 8,1 V) : 3 = 4,9 V, also ΔE = 4,9 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 4,9 eV = 253 nm, ultraviolett
Ergebnis:
253 nm

7Ich kann mit dem Modell des Potenzialtopfs Energien berechnen und das Betragsquadrat der Wellenfunktion deuten.

MerkenPotenzialtopf

Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).

Die Nachweiswahrscheinlichkeit folgt |ψ|². Für echte Atome stimmt das Modell nur grob.

BeispielEnergien im Potenzialtopf

Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,6 nm. Berechne seine Energie für n = 1 in eV.

Schritt für Schritt

E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,67 · 10⁻¹⁹ J
E_1 = 1 · 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 1,04 eV

E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,67 · 10⁻¹⁹ J
E_1 = 1 · 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 1,04 eV

Ergebnis:

1,04 eV

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht

m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J

So richtig

E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Die Geschwindigkeit steht im Quadrat: v² heißt v mal v. Rechne v² zuerst aus, dann hast du den Rest schnell.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 1 nm. Berechne seine Energie für n = 2 in eV.
So fängst du an:
E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
Lösung zeigen
1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,02 · 10⁻²⁰ J
3. E_2 = 4 · 6,02 · 10⁻²⁰ J = 2,41 · 10⁻¹⁹ J = 1,5 eV
Ergebnis:
1,5 eV
●20
Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 1 nm. Berechne seine Energie für n = 4 in eV.
Lösung zeigen
1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,02 · 10⁻²⁰ J
3. E_4 = 16 · 6,02 · 10⁻²⁰ J = 9,64 · 10⁻¹⁹ J = 6,02 eV
Ergebnis:
6,02 eV
★21
Ein Farbstoffmolekül ist ein Potenzialtopf mit L = 1,2 nm. Ein Elektron springt von n = 6 nach n = 5. Berechne λ in nm.
Lösung zeigen
1. E_n ≈ 0,376 eV · nm² · n² : L²
2. ΔE = 0,376 eV · nm² · (36 − 25) : (1,2 nm)² = 2,87 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 2,87 eV = 432 nm
Ergebnis:
432 nm

8Ich kann Energiewerte von Ein-Elektronen-Systemen berechnen und das Pauli-Prinzip anwenden.

MerkenEin-Elektronen-Systeme und Pauli

Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².

In Atomen mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur ein Elektron aufnehmen: Pauli-Prinzip.

BeispielEin-Elektronen-Systeme

Wie viel Energie braucht man, um das He⁺-Ion (Z = 2) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.

Schritt für Schritt

Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
E_1 = −13,6 eV · 4 : 1 = −54,4 eV
Bis E = 0 fehlen 54,4 eV

Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
E_1 = −13,6 eV · 4 : 1 = −54,4 eV
Bis E = 0 fehlen 54,4 eV

Ergebnis:

54,4 eV

AchtungKernladungszahl vergessen

So nicht

He⁺, n = 1: E_ion = 13,6 eV

So richtig

He⁺, Z = 2: E_ion = 13,6 eV · 2² = 54,4 eV

Bei Ein-Elektronen-Systemen zieht der Kern Z-mal so stark. Alle Energien wachsen mit Z².

ÜbenJetzt du

○22
Welche Energie ist nötig, um das Be³⁺-Ion (Z = 4) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
So fängst du an:
Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
Lösung zeigen
1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
2. E_1 = −13,6 eV · 16 : 1 = −218 eV
3. Bis E = 0 fehlen 218 eV
Ergebnis:
218 eV
●23
Welche Energie ist nötig, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 2 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
Lösung zeigen
1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
2. E_2 = −13,6 eV · 9 : 4 = −30,6 eV
3. Bis E = 0 fehlen 30,6 eV
Ergebnis:
30,6 eV
★24
Im Li²⁺-Ion (Z = 3) springt das Elektron von n = 5 nach n = 4. Berechne die Wellenlänge des Photons in nm.
Lösung zeigen
1. E_n = −13,6 eV · Z² : n², dann ΔE und λ = h · c : ΔE
2. ΔE = 13,6 eV · 9 · (1 : 16 − 1 : 25) = 2,75 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 2,75 eV = 451 nm
Ergebnis:
451 nm

9Ich kann aus der kurzwelligen Grenze der Röntgenstrahlung das Wirkungsquantum bestimmen.

MerkenKurzwellige Grenze

Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).

Die Gerade λ_min über 1 : U hat die Steigung h · c : e.

BeispielKurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung

Eine Röntgenröhre mit Kupferanode wird mit U = 40 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).

Schritt für Schritt

λ_min = h · c : (e · U)
e · U = 40 keV = 40.000 eV
λ_min = 1240 eV · nm : 40.000 eV = 0,031 nm = 31 pm

λ_min = h · c : (e · U)
e · U = 40 keV = 40.000 eV
λ_min = 1240 eV · nm : 40.000 eV = 0,031 nm = 31 pm

Ergebnis:

31 pm

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht

2,5 km = 250 m

So richtig

2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m

Schreib den Vorsatz als Zahl: k heißt 1000, m heißt ein Tausendstel.

ÜbenJetzt du

○25
Eine Röntgenröhre mit Eisenanode wird mit U = 25 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
So fängst du an:
λ_min = h · c : (e · U)
Lösung zeigen
1. λ_min = h · c : (e · U)
2. e · U = 25 keV = 25.000 eV
3. λ_min = 1240 eV · nm : 25.000 eV = 0,0496 nm = 49,6 pm
Ergebnis:
49,6 pm
●26
Eine Schulröntgenröhre mit Kupferanode wird mit U = 50 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
Lösung zeigen
1. λ_min = h · c : (e · U)
2. e · U = 50 keV = 50.000 eV
3. λ_min = 1240 eV · nm : 50.000 eV = 0,0248 nm = 24,8 pm
Ergebnis:
24,8 pm
★27
Das Bremsspektrum einer Röntgenröhre mit Kupferanode endet bei λ_min = 31 pm. Mit welcher Spannung wird die Röhre betrieben? Berechne U in kV.
Lösung zeigen
1. U = h · c : (e · λ_min)
2. h · c : λ_min = 1240 eV · nm : 0,031 nm = 40.000 eV
3. U = 40.000 V = 40 kV
Ergebnis:
40 kV

10Ich kann das Röntgenspektrum mit dem Drehkristallverfahren aufnehmen und deuten.

MerkenRöntgenspektrum

Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

Das Bremsspektrum entsteht beim Abbremsen der Elektronen, die Linien bei Übergängen in den Anodenatomen.

BeispielDrehkristallverfahren

Drehkristallverfahren mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 12°. Berechne die Wellenlänge in pm.

Schritt für Schritt

Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
sin 12° = 0,2079
λ = 2 · 201 pm · 0,2079 = 83,6 pm

Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
sin 12° = 0,2079
λ = 2 · 201 pm · 0,2079 = 83,6 pm

Ergebnis:

83,6 pm

AchtungGlanzwinkel und Ablenkwinkel verwechselt

So nicht

Ring bei r : L = θ, also λ = 2 · d · r : L

So richtig

Ring beim Ablenkwinkel 2θ: r : L ≈ 2θ, also λ ≈ d · r : L

Der Strahl wird um 2θ abgelenkt, der Glanzwinkel θ steht in der Bragg-Bedingung. Prüfe, welchen Winkel du verwendest.

ÜbenJetzt du

○28
Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 5°. Berechne die Wellenlänge in pm.
So fängst du an:
Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
Lösung zeigen
1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
2. sin 5° = 0,0872
3. λ = 2 · 282 pm · 0,0872 = 49,2 pm
Ergebnis:
49,2 pm
●29
Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 8°. Berechne die Wellenlänge in pm.
Lösung zeigen
1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
2. sin 8° = 0,1392
3. λ = 2 · 282 pm · 0,1392 = 78,5 pm
Ergebnis:
78,5 pm
★30
Unter welchem Glanzwinkel θ erscheint die Kβ-Linie von Kupfer (λ = 139 pm) mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm) in erster Ordnung? Berechne θ in Grad.
Lösung zeigen
1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, also sin θ = n · λ : (2 · d)
2. sin θ = 1 · 139 pm : (2 · 282 pm) = 0,2465
3. θ = 14,3°
Ergebnis:
14,3 °

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●31
Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 6. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
Lösung zeigen
1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
2. E_6 = −13,6 eV : 36 = −0,378 eV
3. Bis E = 0 fehlen 0,378 eV
Ergebnis:
0,378 eV
●32
Ein UV-Photon mit 20 eV ionisiert ein Wasserstoffatom im Grundzustand (Ionisierungsenergie 13,6 eV). Welche Bewegungsenergie hat das freie Elektron? Berechne in eV.
Lösung zeigen
1. E_kin = E_Ph − 13,6 eV, denn so viel braucht die Ionisation
2. E_Ph = 20 eV
3. E_kin = 20 eV − 13,6 eV = 6,4 eV
Ergebnis:
6,4 eV
●33
Bestimme mit der Serienformel die Frequenz der Wasserstofflinie für den Sprung von m = 4 nach n = 3 in THz (f_R = 3,29 · 10¹⁵ Hz, 1 THz = 10¹² Hz).
Lösung zeigen
1. f = f_R · (1 : n² − 1 : m²)
2. 1 : 9 − 1 : 16 = 0,0486
3. f = 3,29 · 10¹⁵ Hz · 0,0486 = 1,60 · 10¹⁴ Hz = 160 THz
Ergebnis:
160 THz
●34
Wasserstoffatome werden bis in den Zustand n = 7 angeregt. Wie viele verschiedene Spektrallinien können beim Zurückfallen entstehen? Berechne mit Einheit.
Lösung zeigen
1. Jedes Paar von zwei Niveaus gibt eine Linie, auch über Zwischenstufen.
2. Von 7 Niveaus lassen sich 7 · 6 : 2 Paare bilden.
3. 7 · 6 : 2 = 21 Linien
Ergebnis:
21 Linien
●35
Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_3 in nm.
Lösung zeigen
1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
2. ΔE = 3,7 eV − 2,9 eV = 0,8 eV
3. λ = 1240 eV · nm : 0,8 eV = 1550 nm
Ergebnis:
1550 nm
●36
Eine unbekannte Gasentladung zeigt helle Linien bei 655 nm, 486 nm und 434 nm. Welches Element leuchtet? Nutze die Tabelle im Bild.
Lösung zeigen
1. Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster wie einen Fingerabdruck.
2. Vergleiche alle Linien mit der Tabelle: 656 nm, 486 nm und 434 nm
3. Alle passen auf Wasserstoff, Abweichungen von 1 nm sind Messgenauigkeit.
Ergebnis:
Wasserstoff: Alle Linien passen.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Energieniveaus des Wasserstoffs: Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².
Linienspektrum: Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.
Emission und Absorption: Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.
Niveauschema und Spektralanalyse: Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.
Orbitale: Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.
Franck-Hertz-Versuch: Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.
Potenzialtopf: Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).
Ein-Elektronen-Systeme und Pauli: Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².
Kurzwellige Grenze: Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).
Röntgenspektrum: Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

AchtungEnergieabgabe stufenlos gedacht

So nicht

Die Elektronen verlieren ihre Energie bei jedem Stoß ein wenig.

So richtig

unter der Anregungsenergie → elastisch; ab ihr → genau eine Portion

Atome nehmen nur feste Energieportionen auf. Dazwischen gibt es keine Zustände.

AchtungÜbergänge nur in den Grundzustand

So nicht

Zustand n = 4: drei Linien (4 → 1, 3 → 1, 2 → 1)

So richtig

n = 4: sechs Linien, auch 4 → 3, 4 → 2 und 3 → 2

Das Elektron kann auch über Zwischenstufen zurückfallen. Jedes Paar von Niveaus gibt eine Linie.

AchtungElement an einer einzelnen Linie erkannt

So nicht

Linie bei 589 nm → sicher Helium (588 nm)

So richtig

Alle Linien prüfen: 589 und 590 nm, keine bei 668 nm → Natrium

Ein Element erkennt man am ganzen Linienmuster. Jede gemessene Linie muss passen.

AchtungAnregung mit Ionisation verwechselt

So nicht

Beim Maximum werden die Atome ionisiert.

So richtig

Maximum → Anregung; zur Ionisation fehlt noch viel Energie

Beim Franck-Hertz-Versuch werden die Atome angeregt, nicht ionisiert. Das Elektron bleibt im Atom.

AchtungElektron im Potenzialtopf als pendelnde Kugel

So nicht

Das Elektron pendelt im Topf hin und her und ist überall gleich oft.

So richtig

Nachweiswahrscheinlichkeit → |ψ|², an den Knoten 0

Im Topf gibt es keine Bahn. Wo man das Elektron findet, sagt |ψ|², und an den Knoten ist es nie.

AchtungVorzeichen von ψ als Wahrscheinlichkeit gelesen

So nicht

Wo ψ negativ ist, wird das Elektron nie nachgewiesen.

So richtig

Tal von ψ → |ψ|² so groß wie bei einem Berg

Nicht ψ, sondern |ψ|² gibt die Nachweiswahrscheinlichkeit. Auch ein negatives ψ hat ein positives Quadrat.

AchtungAlle Elektronen im niedrigsten Zustand

So nicht

Lithium: alle drei Elektronen auf n = 1

So richtig

Lithium: zwei Elektronen auf n = 1, das dritte auf n = 2

Nach dem Pauli-Prinzip hat jeder Zustand Platz für höchstens ein Elektron. Auf n = 1 passen zwei, dann geht es weiter außen weiter.

AchtungKurzwellige Grenze vom Anodenmaterial abhängig gedacht

So nicht

Wolfram statt Kupfer → kurzwellige Grenze verschiebt sich

So richtig

λ_min = h · c : (e · U) hängt nur an der Spannung

Die kurzwellige Grenze hängt nur an der Spannung: λ_min = h · c : (e · U). Das Material verschiebt nur die Linien.

AchtungCharakteristische Linien von der Spannung abhängig gedacht

So nicht

höhere Röhrenspannung → Linien wandern zu kürzeren Wellen

So richtig

höhere Spannung → nur die Grenze wandert; die Linien bleiben, wo sie sind

Die Linien gehören zu den Anodenatomen, ihre Lage hängt nicht an der Spannung.

AchtungBrems- und charakteristische Strahlung verwechselt

So nicht

Bremsspektrum entsteht durch Sprünge in den Atomen.

So richtig

Bremsspektrum → Abbremsen im Kernfeld; Linien → Sprünge in inneren Schalen

Zwei Ursachen: Das Abbremsen gibt das kontinuierliche Spektrum, die Sprünge in den Atomen geben die Linien.

AchtungElektronvolt und Volt verwechselt

So nicht

U_0 = 0,85 eV

So richtig

e · U_0 = 0,85 eV, also U_0 = 0,85 V

Volt ist eine Spannung, Elektronvolt eine Energie. Ein Elektron, das 1 V durchläuft, gewinnt 1 eV.

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht

V = ρ · m

So richtig

ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Stell die Formel wie eine Gleichung um: Auf beiden Seiten dasselbe tun, bis die gesuchte Größe allein steht.

AchtungEinheit vergessen

So nicht

ρ = 54 : 20 = 2,7

So richtig

ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³

Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.
37
Ein Wasserstoffatom ist im Zustand n = 3. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,51 eV
Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.
38
Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 3 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
Lösung zeigen
Ergebnis:
102 nm
Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.
39
Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 13 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Photonen gehen ungehindert durch.
Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.
40
Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_3 in nm.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1030 nm
Ich kann den Franck-Hertz-Versuch auswerten und als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.
41
Franck-Hertz-Versuch mit einer Neonröhre liegen die Strommaxima bei 20,5 V, 39,2 V, 57,9 V, 76,6 V. Bestimme die Anregungsenergie der Neonatome in eV.
Lösung zeigen
Ergebnis:
18,7 eV

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Steigung: wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

1,51 eV
0,544 eV
2,86 eV
1100 nm
1280 nm
821 nm
Absorbiert: Die Atome gehen nach n = 3.
Die Photonen gehen ungehindert durch.
Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.
428 nm
253 nm
253 nm
Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
Nein: Es gibt nur eine Verteilung der Nachweisorte.
18,7 eV
4,9 eV
253 nm
1,5 eV
6,02 eV
432 nm
218 eV
30,6 eV
451 nm
49,6 pm
24,8 pm
40 kV
49,2 pm
78,5 pm
14,3 °
0,378 eV
6,4 eV
160 THz
21 Linien
1550 nm
Wasserstoff: Alle Linien passen.
1,51 eV
102 nm
Die Photonen gehen ungehindert durch.
1030 nm
18,7 eV