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Physik · Klasse 13 · Kapitel

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Physik Oberstufe: Atome

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1Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

MerkenEnergieniveaus des Wasserstoffs

Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².

Ionisiert ist es bei E = 0. Anregung und Ionisation kosten genau den Abstand bis zum Zielniveau.

BeispielEnergiewerte des Wasserstoffatoms

Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre ist im Zustand n = 7. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7E_ion = ?
Schritt für Schritt
  1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
  2. E_7 = −13,6 eV : 49 = −0,278 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 0,278 eV
  1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
  2. E_7 = −13,6 eV : 49 = −0,278 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 0,278 eV
Ergebnis:
0,278 eV

AchtungWert eines Niveaus statt Abstand zweier Niveaus

So nicht
Anregung von n = 1 nach n = 3: ΔE = 1,51 eV
So richtig
ΔE = E_3 − E_1 = −1,51 eV − (−13,6 eV) = 12,09 eV

Ein Photon trägt den Abstand zweier Niveaus. Ziehe das untere vom oberen ab.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre soll vom Grundzustand in den Zustand n = 7 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 0,278 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen?
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7ΔE = ?Wasserstoff
    So fängst du an:
    ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_7 = −0,278 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −0,278 eV + 13,6 eV = 13,32 eV
    Ergebnis:
    13,32 eV
  2. ●2
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre soll vom Grundzustand in den Zustand n = 2 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 3,4 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen?
    n = 1n = 2ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_n − E_1 mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_2 = −3,4 eV, E_1 = −13,6 eV
    3. ΔE = −3,4 eV + 13,6 eV = 10,2 eV
    Ergebnis:
    10,2 eV
  3. ★3
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre wird vom Zustand n = 4 in den Zustand n = 7 angeregt. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_m − E_n mit E_n = −13,6 eV : n²
    2. E_4 = −0,85 eV, E_7 = −0,278 eV
    3. ΔE = −0,278 eV − (−0,85 eV) = 0,57 eV
    Ergebnis:
    0,57 eV

2Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

MerkenLinienspektrum

Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.

Dann gilt λ = h · c : ΔE. Die Serienformel f = f_R · (1 : n² − 1 : m²) sagt auch unsichtbare Linien voraus.

BeispielSpektrallinien aus dem Niveauschema

Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 2 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVλ = ?Wasserstoff
Schritt für Schritt
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 4) = 10,2 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 10,2 eV = 122 nm
  1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 4) = 10,2 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 10,2 eV = 122 nm
Ergebnis:
122 nm

AchtungFormel falsch umgestellt

So nicht
V = ρ · m
So richtig
ρ = m : V   | · V   | : ρ   →   V = m : ρ

Stell die Formel wie eine Gleichung um: Auf beiden Seiten dasselbe tun, bis die gesuchte Größe allein steht.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 5 nach n = 1. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVλ = ?Wasserstoff
    So fängst du an:
    Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 1 − 1 : 25) = 13,1 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 13,1 eV = 94,7 nm
    Ergebnis:
    94,7 nm
  2. ●5
    Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 3 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    1. Erst ΔE, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 9) = 1,89 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,89 eV = 656 nm
    Ergebnis:
    656 nm
  3. ★6
    Berechne die längste Wellenlänge der Balmer-Serie des Wasserstoffs (Sprünge nach n = 2). Liegt sie im sichtbaren Bereich?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVλ = ?Balmer-Serie
    Lösung zeigen
    1. Längste Wellenlänge: kleinster Sprung, von n + 1 nach n
    2. ΔE = 13,6 eV · (1 : 4 − 1 : 9) = 1,89 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,89 eV = 656 nm, sichtbar
    Ergebnis:
    656 nm

3Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

MerkenEmission und Absorption

Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.

Oder es wird ionisiert. Beim Zurückfallen sendet es Photonen derselben Energien aus.

BeispielAbsorption und Emission

Eine Wolke aus Wasserstoffatomen im Grundzustand wird mit Photonen von 9,5 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 9,5 eV
Schritt für Schritt
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 9,5 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
  1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
  2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
  3. 9,5 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
Ergebnis:
Die Photonen gehen ungehindert durch.

AchtungAtom nimmt einen beliebigen Teil der Photonenenergie

So nicht
11 eV-Photon: Das Atom nimmt 10,2 eV, 0,8 eV fliegen weiter.
So richtig
11 eV passt auf keinen Übergang → das Photon wird nicht absorbiert

Ein Photon wird ganz oder gar nicht absorbiert. Seine Energie muss genau zu einem Übergang passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wasserstoffgas in einer Glaskugel im Grundzustand wird mit Photonen von 15 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 15 eV
    So fängst du an:
    Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
    Lösung zeigen
    1. Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
    2. Oberhalb von E = 0 gibt es keine festen Niveaus mehr.
    3. Der Rest 15 eV − 13,6 eV = 1,4 eV wird Bewegungsenergie.
    Ergebnis:
    Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 1,4 eV davon.
  2. ●8
    Eine Wolke aus Wasserstoffatomen im Grundzustand wird mit Photonen von 18 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 18 eV
    Lösung zeigen
    1. Über 13,6 eV kann das Elektron das Atom ganz verlassen.
    2. Oberhalb von E = 0 gibt es keine festen Niveaus mehr.
    3. Der Rest 18 eV − 13,6 eV = 4,4 eV wird Bewegungsenergie.
    Ergebnis:
    Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 4,4 eV davon.
  3. ★9
    Im Spektrum der Sonne fehlt Licht bei 589 nm: eine dunkle Linie von Natrium. Die Atome senden die aufgenommene Energie doch wieder aus. Warum bleibt die Linie dunkel? Begründe.
    380 nm780 nmAbsorptionsspektrum
    Lösung zeigen
    1. Atome in der kühleren Schicht absorbieren genau Photonen mit 589 nm.
    2. Beim Zurückfallen senden sie Photonen derselben Energie aus, aber in alle Richtungen.
    3. In der ursprünglichen Richtung kommt deshalb viel weniger an: eine dunkle Linie.
    Ergebnis:
    Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.

4Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

MerkenNiveauschema und Spektralanalyse

Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.

Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster: Alle Linien müssen passen, eine einzelne reicht nicht.

BeispielNiveauschema und Spektrum

Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_1 in nm.
E_10 eVE_22,2 eVE_33,4 eVE_44,6 eVλ = ?Energieniveaus
Schritt für Schritt
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 3,4 eV − 0 eV = 3,4 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 3,4 eV = 365 nm
  1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
  2. ΔE = 3,4 eV − 0 eV = 3,4 eV
  3. λ = 1240 eV · nm : 3,4 eV = 365 nm
Ergebnis:
365 nm

AchtungWellenlängen addiert statt Energien

So nicht
λ(3 → 1) = λ(3 → 2) + λ(2 → 1)
So richtig
E(3 → 1) = E(3 → 2) + E(2 → 1), dann λ = h · c : E

Energien addieren sich, Wellenlängen nicht. Rechne jede Wellenlänge in eine Energie um und addiere dann.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_3 nach E_2 in nm.
    E_10 eVE_22,5 eVE_33,9 eVE_45,2 eVλ = ?Energieniveaus
    So fängst du an:
    ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 3,9 eV − 2,5 eV = 1,4 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,4 eV = 886 nm
    Ergebnis:
    886 nm
  2. ●11
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_4 nach E_2 in nm.
    E_10 eVE_21,8 eVE_32,9 eVE_43,7 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. ΔE = E_oben − E_unten, dann λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 3,7 eV − 1,8 eV = 1,9 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,9 eV = 653 nm
    Ergebnis:
    653 nm
  3. ★12
    Ein Atom sendet beim Sprung E_4 → E_3 Licht mit 954 nm aus, beim Sprung E_3 → E_2 mit 1030 nm. Berechne λ für den Sprung E_4 → E_2.
    E_1E_2E_3E_4954 nm1030 nmλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    1. Die Energien addieren sich, nicht die Wellenlängen: 1 : λ = 1 : λ₁ + 1 : λ₂
    2. ΔE₁ = 1240 eV · nm : 954 nm = 1,3 eV, ΔE₂ = 1,2 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 2,5 eV = 495 nm
    Ergebnis:
    495 nm

5Ich kann Orbitale als Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons deuten.

MerkenOrbitale

Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.

Es ist keine Bahn. Jede Messung liefert einen Ort, die Verteilung vieler Messungen das Orbital.

BeispielOrbital statt Bahn

Bewegt sich das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 3 auf einer Kreisbahn um den Kern?
Bahn?n = 3
Schritt für Schritt
  1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
  2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
  1. Eine Bahn hieße: Ort und Geschwindigkeit sind zugleich bestimmt.
  2. Für das Elektron im Atom gibt es nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.
  3. Das Orbital zeigt, wo es oft und wo es selten nachgewiesen wird.
Ergebnis:
Nein: Es gibt nur Nachweiswahrscheinlichkeiten.

AchtungElektron auf einer festen Bahn um den Kern

So nicht
Das Elektron kreist auf einer festen Bahn um den Kern.
So richtig
Orbital → Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons, keine Bahn

Im Atom hat das Elektron keine Bahn. Man kann nur sagen, wo es mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Das Bild zeigt eine Punktwolke für das Elektron im Wasserstoffatom im Zustand n = 4. Was sagen dicht liegende Punkte aus?
    dichte Punkte?n = 4
    So fängst du an:
    Jeder Punkt steht für einen möglichen Nachweisort.
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt steht für einen möglichen Nachweisort.
    2. Dichte Punkte heißen: Dort weist man es oft nach.
    3. Das Orbital zeigt Wahrscheinlichkeiten, keine Bahn.
    Ergebnis:
    Dort wird das Elektron oft nachgewiesen.
  2. ●14
    Was ändert sich am Orbital des Wasserstoffatoms im Zustand n = 3 gegenüber dem Zustand n = 2?
    größer oder kleiner?n = 3
    Lösung zeigen
    1. E_3 = −13,6 eV : 9 liegt höher als E_2 = −13,6 eV : 4.
    2. Das Elektron ist schwächer gebunden.
    3. Es wird im Mittel weiter vom Kern entfernt nachgewiesen.
    Ergebnis:
    Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  3. ★15
    Hat das Elektron im Wasserstoffatom einen festen Abstand vom Kern? Begründe mit der Punktwolke im Bild (n = 4).
    fester Abstand?n = 4
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt ist ein möglicher Nachweisort aus einer Messung.
    2. Die Punkte liegen in verschiedenen Abständen, dicht oder dünn.
    3. Einen festen Abstand gibt es nicht, nur Wahrscheinlichkeiten.
    Ergebnis:
    Nein: Es gibt nur eine Verteilung der Nachweisorte.

6Ich kann den Franck-Hertz-Versuch auswerten und als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.

MerkenFranck-Hertz-Versuch

Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.

Der Abstand der Strommaxima ist die Anregungsenergie. Quecksilber nur im Lehrerversuch, Neon zeigt leuchtende Schichten.

BeispielFranck-Hertz-Versuch auswerten

Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 9,3 V, 14,2 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
U in VI9,314,2ΔE = ?
Schritt für Schritt
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = 14,2 V − 9,3 V = 4,9 V
  3. ΔE = e · ΔU = 4,9 eV
  1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
  2. ΔU = 14,2 V − 9,3 V = 4,9 V
  3. ΔE = e · ΔU = 4,9 eV
Ergebnis:
4,9 eV

AchtungLage des ersten Maximums statt Abstand der Maxima

So nicht
erstes Maximum bei 7,0 V → Anregungsenergie 7,0 eV
So richtig
Maxima bei 7,0 V, 11,9 V, 16,8 V → Abstand 4,9 V → 4,9 eV

Das erste Maximum enthält noch eine Kontaktspannung. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 9,3 V, 14,2 V, 19,1 V, 24 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
    U in VI9,314,219,124ΔE = ?
    So fängst du an:
    Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = (24 V − 9,3 V) : 3 = 4,9 V
    3. ΔE = e · ΔU = 4,9 eV
    Ergebnis:
    4,9 eV
  2. ●17
    Im Lehrerversuch mit einer Quecksilberröhre liegen die Strommaxima bei 8,1 V, 12,9 V. Bestimme die Anregungsenergie der Quecksilberatome in eV.
    U in VI8,112,9ΔE = ?
    Lösung zeigen
    1. Die Anregungsenergie ist der Abstand zweier Maxima, über alle gemittelt
    2. ΔU = 12,9 V − 8,1 V = 4,8 V
    3. ΔE = e · ΔU = 4,8 eV
    Ergebnis:
    4,8 eV
  3. ★18
    In einer Neonröhre liegt das erste Strommaximum bei 20,5 V, der Abstand der Maxima ist 18,6 V. Wie viele leuchtende Schichten sind bei U = 100 V zu erwarten? Berechne mit Einheit.
    U in VI20,539,157,7U = 100 V
    Lösung zeigen
    1. Jede Schicht ist ein Ort, an dem die Elektronen Neonatome anregen.
    2. Bis 100 V: erstes Maximum bei 20,5 V, dann alle 18,6 V ein weiteres
    3. 20,5 V + 4 · 18,6 V liegt unter 100 V: 5 Schichten
    Ergebnis:
    5 Schichten

7Ich kann mit dem Modell des Potenzialtopfs Energien berechnen und das Betragsquadrat der Wellenfunktion deuten.

MerkenPotenzialtopf

Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).

Die Nachweiswahrscheinlichkeit folgt |ψ|². Für echte Atome stimmt das Modell nur grob.

BeispielEnergien im Potenzialtopf

Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,6 nm. Berechne seine Energie für n = 3 in eV.
ψ00,6 nmE_3 = ?n = 3
Schritt für Schritt
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,67 · 10⁻¹⁹ J
  3. E_3 = 9 · 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 1,51 · 10⁻¹⁸ J = 9,4 eV
  1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
  2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 1,67 · 10⁻¹⁹ J
  3. E_3 = 9 · 1,67 · 10⁻¹⁹ J = 1,51 · 10⁻¹⁸ J = 9,4 eV
Ergebnis:
9,4 eV

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Die Geschwindigkeit steht im Quadrat: v² heißt v mal v. Rechne v² zuerst aus, dann hast du den Rest schnell.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 0,3 nm. Berechne seine Energie für n = 3 in eV.
    ψ00,3 nmE_3 = ?n = 3
    So fängst du an:
    E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 6,69 · 10⁻¹⁹ J
    3. E_3 = 9 · 6,69 · 10⁻¹⁹ J = 6,02 · 10⁻¹⁸ J = 37,6 eV
    Ergebnis:
    37,6 eV
  2. ●20
    Ein Elektron sitzt in einem Potenzialtopf der Breite L = 1,5 nm. Berechne seine Energie für n = 1 in eV.
    ψ01,5 nmE_1 = ?n = 1
    Lösung zeigen
    1. E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²)
    2. E_1 = h² : (8 · m_e · L²) = 2,68 · 10⁻²⁰ J
    3. E_1 = 1 · 2,68 · 10⁻²⁰ J = 2,68 · 10⁻²⁰ J = 0,167 eV
    Ergebnis:
    0,167 eV
  3. ★21
    Ein Farbstoffmolekül ist ein Potenzialtopf mit L = 1,2 nm. Ein Elektron springt von n = 4 nach n = 3. Berechne λ in nm.
    ψ01,2 nmλ = ?n = 4
    Lösung zeigen
    1. E_n ≈ 0,376 eV · nm² · n² : L²
    2. ΔE = 0,376 eV · nm² · (16 − 9) : (1,2 nm)² = 1,83 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,83 eV = 678 nm
    Ergebnis:
    678 nm

8Ich kann Energiewerte von Ein-Elektronen-Systemen berechnen und das Pauli-Prinzip anwenden.

MerkenEin-Elektronen-Systeme und Pauli

Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².

In Atomen mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur ein Elektron aufnehmen: Pauli-Prinzip.

BeispielEin-Elektronen-Systeme

Welche Energie ist nötig, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
n = 1n = 2n = 3Li²⁺-Ion: E_ion = ?
Schritt für Schritt
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
  1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
  2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
  3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
Ergebnis:
122 eV

AchtungKernladungszahl vergessen

So nicht
He⁺, n = 1: E_ion = 13,6 eV
So richtig
He⁺, Z = 2: E_ion = 13,6 eV · 2² = 54,4 eV

Bei Ein-Elektronen-Systemen zieht der Kern Z-mal so stark. Alle Energien wachsen mit Z².

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Wie viel Energie braucht man, um das Li²⁺-Ion (Z = 3) aus dem Zustand n = 1 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3Li²⁺-Ion: E_ion = ?
    So fängst du an:
    Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_1 = −13,6 eV · 9 : 1 = −122 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 122 eV
    Ergebnis:
    122 eV
  2. ●23
    Wie viel Energie braucht man, um das He⁺-Ion (Z = 2) aus dem Zustand n = 3 weiter zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3He⁺-Ion: E_ion = ?
    Lösung zeigen
    1. Ein-Elektronen-System: E_n = −13,6 eV · Z² : n²
    2. E_3 = −13,6 eV · 4 : 9 = −6,04 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 6,04 eV
    Ergebnis:
    6,04 eV
  3. ★24
    In einem He⁺-Ion (Z = 2) springt das Elektron von n = 5 nach n = 4. Berechne die Wellenlänge des Photons in nm.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5λ = ?He⁺-Ion
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV · Z² : n², dann ΔE und λ = h · c : ΔE
    2. ΔE = 13,6 eV · 4 · (1 : 16 − 1 : 25) = 1,22 eV
    3. λ = 1240 eV · nm : 1,22 eV = 1020 nm
    Ergebnis:
    1020 nm

9Ich kann aus der kurzwelligen Grenze der Röntgenstrahlung das Wirkungsquantum bestimmen.

MerkenKurzwellige Grenze

Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).

Die Gerade λ_min über 1 : U hat die Steigung h · c : e.

BeispielKurzwellige Grenze der Röntgenstrahlung

Eine Röntgenröhre mit Molybdänanode wird mit U = 30 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
λIλ_min = ?λ_min = ?Molybdänanode, 30 kV
Schritt für Schritt
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 30 keV = 30.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 30.000 eV = 0,0413 nm = 41,3 pm
  1. λ_min = h · c : (e · U)
  2. e · U = 30 keV = 30.000 eV
  3. λ_min = 1240 eV · nm : 30.000 eV = 0,0413 nm = 41,3 pm
Ergebnis:
41,3 pm

AchtungUmrechnungszahl falsch

So nicht
2,5 km = 250 m
So richtig
2,5 km = 2,5 · 1000 m = 2500 m

Schreib den Vorsatz als Zahl: k heißt 1000, m heißt ein Tausendstel.

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Eine Röntgenröhre mit Kupferanode wird mit U = 35 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Kupferanode, 35 kV
    So fängst du an:
    λ_min = h · c : (e · U)
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 35 keV = 35.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 35.000 eV = 0,0354 nm = 35,4 pm
    Ergebnis:
    35,4 pm
  2. ●26
    Eine Röntgenröhre mit Wolframanode wird mit U = 30 kV betrieben. Berechne die kurzwellige Grenze λ_min des Bremsspektrums in pm (h · c ≈ 1240 eV · nm).
    λIλ_min = ?λ_min = ?Wolframanode, 30 kV
    Lösung zeigen
    1. λ_min = h · c : (e · U)
    2. e · U = 30 keV = 30.000 eV
    3. λ_min = 1240 eV · nm : 30.000 eV = 0,0413 nm = 41,3 pm
    Ergebnis:
    41,3 pm
  3. ★27
    Das Bremsspektrum einer Röntgenröhre mit Eisenanode endet bei λ_min = 25 pm. Mit welcher Spannung wird die Röhre betrieben? Berechne U in kV.
    λIλ_min = 25 pmU = ?Eisenanode
    Lösung zeigen
    1. U = h · c : (e · λ_min)
    2. h · c : λ_min = 1240 eV · nm : 0,025 nm = 49.600 eV
    3. U = 49.600 V = 49,6 kV
    Ergebnis:
    49,6 kV

10Ich kann das Röntgenspektrum mit dem Drehkristallverfahren aufnehmen und deuten.

MerkenRöntgenspektrum

Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

Das Bremsspektrum entsteht beim Abbremsen der Elektronen, die Linien bei Übergängen in den Anodenatomen.

BeispielDrehkristallverfahren

Drehkristallverfahren mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 8°. Berechne die Wellenlänge in pm.
θ = 8°NaCl, d = 282 pmλ = ?
Schritt für Schritt
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 8° = 0,1392
  3. λ = 2 · 282 pm · 0,1392 = 78,5 pm
  1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
  2. sin 8° = 0,1392
  3. λ = 2 · 282 pm · 0,1392 = 78,5 pm
Ergebnis:
78,5 pm

AchtungGlanzwinkel und Ablenkwinkel verwechselt

So nicht
Ring bei r : L = θ, also λ = 2 · d · r : L
So richtig
Ring beim Ablenkwinkel 2θ: r : L ≈ 2θ, also λ ≈ d · r : L

Der Strahl wird um 2θ abgelenkt, der Glanzwinkel θ steht in der Bragg-Bedingung. Prüfe, welchen Winkel du verwendest.

ÜbenJetzt du

  1. ○28
    Drehkristallverfahren mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 9°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 9°LiF, d = 201 pmλ = ?
    So fängst du an:
    Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 9° = 0,1564
    3. λ = 2 · 201 pm · 0,1564 = 62,9 pm
    Ergebnis:
    62,9 pm
  2. ●29
    Drehkristallverfahren mit einem Lithiumfluorid-Kristall (d = 201 pm): Ein Maximum erster Ordnung liegt beim Glanzwinkel θ = 10°. Berechne die Wellenlänge in pm.
    θ = 10°LiF, d = 201 pmλ = ?
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, hier n = 1
    2. sin 10° = 0,1736
    3. λ = 2 · 201 pm · 0,1736 = 69,8 pm
    Ergebnis:
    69,8 pm
  3. ★30
    Unter welchem Glanzwinkel θ erscheint die Kβ-Linie von Kupfer (λ = 139 pm) mit einem Kochsalz-Kristall (d = 282 pm) in zweiter Ordnung? Berechne θ in Grad.
    θ = ?NaCl, d = 282 pmλ = 139 pm
    Lösung zeigen
    1. Bragg: 2 · d · sin θ = n · λ, also sin θ = n · λ : (2 · d)
    2. sin θ = 2 · 139 pm : (2 · 282 pm) = 0,4929
    3. θ = 29,5°
    Ergebnis:
    29,5 °

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●31
    Ein Wasserstoffatom in einer Spektralröhre ist im Zustand n = 6. Wie viel Energie braucht man mindestens, um es zu ionisieren? Berechne in eV.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6E_ion = ?
    Lösung zeigen
    1. E_n = −13,6 eV : n², ionisiert heißt E = 0
    2. E_6 = −13,6 eV : 36 = −0,378 eV
    3. Bis E = 0 fehlen 0,378 eV
    Ergebnis:
    0,378 eV
  2. ●32
    Ein UV-Photon mit 15 eV ionisiert ein Wasserstoffatom im Grundzustand (Ionisierungsenergie 13,6 eV). Welche Bewegungsenergie hat das freie Elektron? Berechne in eV.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVE_Ph = 15 eV
    Lösung zeigen
    1. E_kin = E_Ph − 13,6 eV, denn so viel braucht die Ionisation
    2. E_Ph = 15 eV
    3. E_kin = 15 eV − 13,6 eV = 1,4 eV
    Ergebnis:
    1,4 eV
  3. ●33
    Berechne mit der Serienformel die Frequenz der Wasserstofflinie für den Sprung von m = 3 nach n = 1 in THz (f_R = 3,29 · 10¹⁵ Hz, 1 THz = 10¹² Hz).
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVf = ?Lyman-Serie
    Lösung zeigen
    1. f = f_R · (1 : n² − 1 : m²)
    2. 1 : 1 − 1 : 9 = 0,8889
    3. f = 3,29 · 10¹⁵ Hz · 0,8889 = 2,92 · 10¹⁵ Hz = 2920 THz
    Ergebnis:
    2920 THz
  4. ●34
    Eine Wolke aus Wasserstoffatomen im Grundzustand wird mit Photonen von 13 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 13 eV
    Lösung zeigen
    1. Absorbiert wird nur eine Energie, die genau zu einem Übergang passt.
    2. Die Abstände vom Grundzustand sind 10,2 eV, 12,09 eV, 12,75 eV und so weiter bis 13,6 eV.
    3. 13 eV passt auf keinen Abstand und reicht nicht zum Ionisieren.
    Ergebnis:
    Die Photonen gehen ungehindert durch.
  5. ●35
    Wasserstoffatome werden bis in den Zustand n = 7 angeregt. Wie viele verschiedene Spektrallinien können beim Zurückfallen entstehen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7Linien = ?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Paar von zwei Niveaus gibt eine Linie, auch über Zwischenstufen.
    2. Von 7 Niveaus lassen sich 7 · 6 : 2 Paare bilden.
    3. 7 · 6 : 2 = 21 Linien
    Ergebnis:
    21 Linien
  6. ●36
    Eine Spektralröhre zeigt helle Linien bei 656 nm, 486 nm und 434 nm. Welches Element leuchtet? Nutze die Tabelle im Bild.
    gemessen: 656 nm, 486 nm und 434 nmWasserstoff656 nm, 486 nm, 434 nmNatrium589 nm, 590 nmHelium588 nm, 668 nm, 502 nmLithium671 nm, 610 nmKalium766 nm, 770 nm, 404 nm
    Lösung zeigen
    1. Jedes Element hat sein eigenes Linienmuster wie einen Fingerabdruck.
    2. Vergleiche alle Linien mit der Tabelle: 656 nm, 486 nm und 434 nm
    3. Alle passen auf Wasserstoff, Abweichungen von 1 nm sind Messgenauigkeit.
    Ergebnis:
    Wasserstoff: Alle Linien passen.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Energieniveaus des Wasserstoffs
Das Elektron im Wasserstoffatom hat nur die Energien E_n = −13,6 eV : n².
Linienspektrum
Beim Sprung zwischen zwei Niveaus trägt ein Photon genau ihren Energieabstand davon.
Emission und Absorption
Ein Atom nimmt nur Photonen auf, die genau zu einem Abstand zweier Niveaus passen.
Niveauschema und Spektralanalyse
Energien addieren sich, Wellenlängen nicht.
Orbitale
Ein Orbital zeigt, wo das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit nachgewiesen wird.
Franck-Hertz-Versuch
Elektronen geben ihre Energie nur in festen Portionen an die Atome ab.
Potenzialtopf
Im Topf der Breite L passen nur stehende Wellen: E_n = n² · h² : (8 · m_e · L²).
Ein-Elektronen-Systeme und Pauli
Für Ionen mit einem Elektron gilt E_n = −13,6 eV · Z² : n².
Kurzwellige Grenze
Ein Photon bekommt höchstens die Energie e · U eines Elektrons: λ_min = h · c : (e · U).
Röntgenspektrum
Am Kristall gilt die Bragg-Bedingung 2 · d · sin θ = n · λ.

AchtungEnergieabgabe stufenlos gedacht

So nicht
Die Elektronen verlieren ihre Energie bei jedem Stoß ein wenig.
So richtig
unter der Anregungsenergie → elastisch; ab ihr → genau eine Portion

Atome nehmen nur feste Energieportionen auf. Dazwischen gibt es keine Zustände.

AchtungÜbergänge nur in den Grundzustand

So nicht
Zustand n = 4: drei Linien (4 → 1, 3 → 1, 2 → 1)
So richtig
n = 4: sechs Linien, auch 4 → 3, 4 → 2 und 3 → 2

Das Elektron kann auch über Zwischenstufen zurückfallen. Jedes Paar von Niveaus gibt eine Linie.

AchtungElement an einer einzelnen Linie erkannt

So nicht
Linie bei 589 nm → sicher Helium (588 nm)
So richtig
Alle Linien prüfen: 589 und 590 nm, keine bei 668 nm → Natrium

Ein Element erkennt man am ganzen Linienmuster. Jede gemessene Linie muss passen.

AchtungAnregung mit Ionisation verwechselt

So nicht
Beim Maximum werden die Atome ionisiert.
So richtig
Maximum → Anregung; zur Ionisation fehlt noch viel Energie

Beim Franck-Hertz-Versuch werden die Atome angeregt, nicht ionisiert. Das Elektron bleibt im Atom.

AchtungElektron im Potenzialtopf als pendelnde Kugel

So nicht
Das Elektron pendelt im Topf hin und her und ist überall gleich oft.
So richtig
Nachweiswahrscheinlichkeit → |ψ|², an den Knoten 0

Im Topf gibt es keine Bahn. Wo man das Elektron findet, sagt |ψ|², und an den Knoten ist es nie.

AchtungVorzeichen von ψ als Wahrscheinlichkeit gelesen

So nicht
Wo ψ negativ ist, wird das Elektron nie nachgewiesen.
So richtig
Tal von ψ → |ψ|² so groß wie bei einem Berg

Nicht ψ, sondern |ψ|² gibt die Nachweiswahrscheinlichkeit. Auch ein negatives ψ hat ein positives Quadrat.

AchtungAlle Elektronen im niedrigsten Zustand

So nicht
Lithium: alle drei Elektronen auf n = 1
So richtig
Lithium: zwei Elektronen auf n = 1, das dritte auf n = 2

Nach dem Pauli-Prinzip hat jeder Zustand Platz für höchstens ein Elektron. Auf n = 1 passen zwei, dann geht es weiter außen weiter.

AchtungKurzwellige Grenze vom Anodenmaterial abhängig gedacht

So nicht
Wolfram statt Kupfer → kurzwellige Grenze verschiebt sich
So richtig
λ_min = h · c : (e · U) hängt nur an der Spannung

Die kurzwellige Grenze hängt nur an der Spannung: λ_min = h · c : (e · U). Das Material verschiebt nur die Linien.

AchtungCharakteristische Linien von der Spannung abhängig gedacht

So nicht
höhere Röhrenspannung → Linien wandern zu kürzeren Wellen
So richtig
höhere Spannung → nur die Grenze wandert; die Linien bleiben, wo sie sind

Die Linien gehören zu den Anodenatomen, ihre Lage hängt nicht an der Spannung.

AchtungBrems- und charakteristische Strahlung verwechselt

So nicht
Bremsspektrum entsteht durch Sprünge in den Atomen.
So richtig
Bremsspektrum → Abbremsen im Kernfeld; Linien → Sprünge in inneren Schalen

Zwei Ursachen: Das Abbremsen gibt das kontinuierliche Spektrum, die Sprünge in den Atomen geben die Linien.

AchtungElektronvolt und Volt verwechselt

So nicht
U_0 = 0,85 eV
So richtig
e · U_0 = 0,85 eV, also U_0 = 0,85 V

Volt ist eine Spannung, Elektronvolt eine Energie. Ein Elektron, das 1 V durchläuft, gewinnt 1 eV.

AchtungEinheit vergessen

So nicht
ρ = 54 : 20 = 2,7
So richtig
ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³

Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann die Energiewerte des Wasserstoffatoms berechnen und Ionisation erklären.

    37
    Ein Wasserstoffatom soll vom Grundzustand in den Zustand n = 2 gehoben werden. Diese liegen 13,6 eV und 3,4 eV unter der Ionisationsgrenze. Wie viel Energie muss es aufnehmen? Berechne mit Einheit.
    n = 1n = 2ΔE = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10,2 eV

  2. Ich kann Spektrallinien des Wasserstoffs aus dem Niveauschema und mit der Serienformel berechnen.

    38
    Im Wasserstoffatom springt das Elektron von n = 6 nach n = 2. Berechne die Wellenlänge des ausgesandten Photons in nm.
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVn = 5−0,54 eVn = 6−0,38 eVλ = ?Wasserstoff
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    411 nm

  3. Ich kann Emission und Absorption von Photonen mit Energieniveaus erklären.

    39
    Eine Wolke aus Wasserstoffatomen im Grundzustand wird mit Photonen von 5 eV bestrahlt. Was geschieht mit diesen Photonen?
    n = 1−13,6 eVn = 2−3,4 eVn = 3−1,51 eVn = 4−0,85 eVE_Ph = 5 eV
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Photonen gehen ungehindert durch.

  4. Ich kann aus einem Energieniveauschema Spektrallinien vorhersagen und Gase an ihren Linien erkennen.

    40
    Das Bild zeigt das Energieniveauschema eines Atoms. Berechne die Wellenlänge des Photons beim Sprung von E_2 nach E_1 in nm.
    E_10 eVE_22,2 eVE_33,4 eVE_44,6 eVλ = ?Energieniveaus
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    564 nm

  5. Ich kann den Franck-Hertz-Versuch auswerten und als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.

    41
    Franck-Hertz-Versuch mit einer Neonröhre liegen die Strommaxima bei 22 V, 40,4 V, 58,8 V, 77,2 V. Bestimme die Anregungsenergie der Neonatome in eV.
    U in VI2240,458,877,2ΔE = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18,4 eV

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Steigung
wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts
Wahrscheinlichkeit
wie sicher etwas passiert

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 13,32 eV
  2. 10,2 eV
  3. 0,57 eV
  4. 94,7 nm
  5. 656 nm
  6. 656 nm
  7. Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 1,4 eV davon.
  8. Ionisiert: Das Elektron fliegt mit 4,4 eV davon.
  9. Die Atome senden in alle Richtungen, nach vorn fehlt es.
  10. 886 nm
  11. 653 nm
  12. 495 nm
  13. Dort wird das Elektron oft nachgewiesen.
  14. Es reicht weiter hinaus, die Energie ist höher.
  15. Nein: Es gibt nur eine Verteilung der Nachweisorte.
  16. 4,9 eV
  17. 4,8 eV
  18. 5 Schichten
  19. 37,6 eV
  20. 0,167 eV
  21. 678 nm
  22. 122 eV
  23. 6,04 eV
  24. 1020 nm
  25. 35,4 pm
  26. 41,3 pm
  27. 49,6 kV
  28. 62,9 pm
  29. 69,8 pm
  30. 29,5 °
  31. 0,378 eV
  32. 1,4 eV
  33. 2920 THz
  34. Die Photonen gehen ungehindert durch.
  35. 21 Linien
  36. Wasserstoff: Alle Linien passen.
  37. 10,2 eV
  38. 411 nm
  39. Die Photonen gehen ungehindert durch.
  40. 564 nm
  41. 18,4 eV