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Physik · Klasse 12 · Kapitel

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Physik Oberstufe: Mechanische und elektromagnetische Schwingungen

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○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

1Ich kann eine Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz beschreiben.

MerkenKenngrößen einer Schwingung

Die Amplitude ŷ ist der größte Ausschlag, die Periodendauer T die Zeit einer Schwingung.

Es gilt f = 1 : T und ω = 2π · f. Bei einer harmonischen Schwingung hängt T nicht von der Amplitude ab.

BeispielFrequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz

Ein Federpendel macht in 25 s genau 10 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
Federpendel10 Schwingungenin 25 sf = ?
Schritt für Schritt
  1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
  2. f = 10 : 25 s
  3. f = 0,4 Hz
  1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
  2. f = 10 : 25 s
  3. f = 0,4 Hz
Ergebnis:
0,4 Hz

AchtungFrequenz statt Kreisfrequenz

So nicht
f = 50 Hz: U₀ = N · B · A · 50 1/s
So richtig
f = 50 Hz: ω = 2π · 50 Hz = 314 1/s → U₀ = N · B · A · 314 1/s

In den Formeln für Schwingungen steht die Kreisfrequenz ω = 2π · f, nicht die Frequenz f.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Fadenpendel macht in 4 s genau 25 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    Fadenpendel25 Schwingungenin 4 sf = ?
    So fängst du an:
    f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    Lösung zeigen
    1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    2. f = 25 : 4 s
    3. f = 6,25 Hz
    Ergebnis:
    6,25 Hz
  2. ●2
    Ein Fadenpendel macht in 12 s genau 10 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    Fadenpendel10 Schwingungenin 12 sf = ?
    Lösung zeigen
    1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    2. f = 10 : 12 s
    3. f = 0,833 Hz
    Ergebnis:
    0,833 Hz
  3. ★3
    Das Diagramm zeigt y(t) für ein Federpendel mit ŷ = 6 cm. Lies die Periodendauer ab und berechne die Kreisfrequenz ω.
    0,1250,250,3750,50,6250,750,87511,1251,25−6−4−2246t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Eine Periode reicht von einem Nulldurchgang nach oben bis zum nächsten nach oben
    2. abgelesen: T = 0,5 s
    3. ω = 2π : T = 2π : 0,5 s = 12,6 1/s
    Ergebnis:
    12,6 1/s

2Ich kann die Periodendauer eines Federpendels berechnen und ihre Abhängigkeit von den Parametern begründen.

MerkenPeriodendauer des Federpendels

Für das Federpendel gilt T = 2π · √(m : D).

Viermal so schwer heißt doppelt so lange. Beim Fadenpendel gilt T = 2π · √(l : g), die Masse zählt dort nicht.

BeispielPeriodendauer des Federpendels

Ein Körper mit m = 200 g hängt an einer Feder mit D = 20 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
Ruhelagem = 200 gD = 20 N/mT = ?
Schritt für Schritt
  1. T = 2π · √m : D
  2. m = 0,2 kg, m : D = 0,01 kg · m/N
  3. T = 2π · √0,01 s² = 0,628 s
  1. T = 2π · √m : D
  2. m = 0,2 kg, m : D = 0,01 kg · m/N
  3. T = 2π · √0,01 s² = 0,628 s
Ergebnis:
0,628 s

AchtungDie Wurzel vergessen

So nicht
v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s
So richtig
v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s

Schau auf die Einheit: m²/s² heißt, es ist noch v². Erst die Wurzel daraus ist v.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Körper mit m = 250 g hängt an einer Feder mit D = 10 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 250 gD = 10 N/mT = ?
    So fängst du an:
    T = 2π · √m : D
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D
    2. m = 0,25 kg, m : D = 0,025 kg · m/N
    3. T = 2π · √0,025 s² = 0,993 s
    Ergebnis:
    0,993 s
  2. ●5
    Ein Körper mit m = 250 g hängt an einer Feder mit D = 20 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 250 gD = 20 N/mT = ?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D
    2. m = 0,25 kg, m : D = 0,0125 kg · m/N
    3. T = 2π · √0,0125 s² = 0,702 s
    Ergebnis:
    0,702 s
  3. ★6
    Ein Körper mit 400 g schwingt an einer Feder mit der Periodendauer T = 0,4 s. Berechne die Federkonstante D.
    Ruhelagem = 400 gT = 0,4 sD = ?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D, quadriert und umgestellt: D = 4π² · m : T²
    2. m = 0,4 kg, T² = 0,16 s²
    3. D = 4π² · 0,4 kg : 0,16 s² = 98,7 N/m
    Ergebnis:
    98,7 N/m

3Ich kann die Auslenkung einer harmonischen Schwingung mit y(t) = ŷ · sin(ω · t) berechnen.

MerkenZeitgesetz der Schwingung

Startet der Körper in der Ruhelage nach oben, gilt y(t) = ŷ · sin(ω · t).

Dabei ist ω = 2π : T, im Sinus steht ein Winkel im Bogenmaß.

BeispielAuslenkung zu einem Zeitpunkt

Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 8 cm und T = 3 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,6 s.
0,751,52,2533,754,55,256−8−448t in sy in cmy = ?
Schritt für Schritt
  1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
  2. ω = 2π : 3 s = 2,09 1/s, ω · t = 1,26
  3. y = 8 cm · sin(1,26) = 7,61 cm
  1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
  2. ω = 2π : 3 s = 2,09 1/s, ω · t = 1,26
  3. y = 8 cm · sin(1,26) = 7,61 cm
Ergebnis:
7,61 cm

AchtungTaschenrechner im Gradmaß

So nicht
sin(0,628) im Gradmaß = 0,011
So richtig
sin(0,628) im Bogenmaß = 0,588

ω · t ist ein Winkel im Bogenmaß. Stell den Rechner auf Bogenmaß, sonst rechnet er mit Grad.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 10 cm und T = 1 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,2 s.
    0,250,50,7511,251,51,752−12−8−44812t in sy in cmy = ?
    So fängst du an:
    y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
    Lösung zeigen
    1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
    2. ω = 2π : 1 s = 6,28 1/s, ω · t = 1,26
    3. y = 10 cm · sin(1,26) = 9,51 cm
    Ergebnis:
    9,51 cm
  2. ●8
    Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 5 cm und T = 1 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,4 s.
    0,250,50,7511,251,51,752−6−4−2246t in sy in cmy = ?
    Lösung zeigen
    1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
    2. ω = 2π : 1 s = 6,28 1/s, ω · t = 2,51
    3. y = 5 cm · sin(2,51) = 2,94 cm
    Ergebnis:
    2,94 cm
  3. ★9
    Ein Pendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 6 cm, T = 1 s. Wann ist nach dem Start erstmals y = 3 cm?
    0,250,50,7511,251,5−6−4−2246t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. sin(ω · t) = y : ŷ, also ω · t = arcsin(y : ŷ), der Rechner im Bogenmaß
    2. ω = 2π : 1 s = 6,28 1/s, arcsin(3 : 6) = 0,524
    3. t = 0,524 : 6,28 1/s = 0,0833 s
    Ergebnis:
    0,0833 s

4Ich kann Energieumwandlungen und Dämpfung bei Schwingungen beschreiben und berechnen.

MerkenEnergie und Dämpfung

Ohne Reibung bleibt die Energie E = ½ · D · ŷ² gleich.

Im Umkehrpunkt ist sie Spannenergie, in der Ruhelage Bewegungsenergie. Dämpfung wandelt sie in innere Energie um, die Amplitude nimmt ab.

BeispielEnergie einer Schwingung

Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 100 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 2 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
Wagen zwischen FedernD = 100 N/mŷ = 2 cmE = ?
Schritt für Schritt
  1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
  2. ŷ = 0,02 m, ŷ² = 0,0004 m²
  3. E = ½ · 100 N/m · 0,0004 m² = 0,02 J = 20 mJ
  1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
  2. ŷ = 0,02 m, ŷ² = 0,0004 m²
  3. E = ½ · 100 N/m · 0,0004 m² = 0,02 J = 20 mJ
Ergebnis:
20 mJ

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

Schreib die Formel ganz hin: E = ½ · m · v². Nimm am Ende die Hälfte.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 200 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 6 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
    Wagen zwischen FedernD = 200 N/mŷ = 6 cmE = ?
    So fängst du an:
    Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
    Lösung zeigen
    1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
    2. ŷ = 0,06 m, ŷ² = 0,0036 m²
    3. E = ½ · 200 N/m · 0,0036 m² = 0,36 J = 360 mJ
    Ergebnis:
    360 mJ
  2. ●11
    Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 40 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 4 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
    Wagen zwischen FedernD = 40 N/mŷ = 4 cmE = ?
    Lösung zeigen
    1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
    2. ŷ = 0,04 m, ŷ² = 0,0016 m²
    3. E = ½ · 40 N/m · 0,0016 m² = 0,032 J = 32 mJ
    Ergebnis:
    32 mJ
  3. ★12
    Ein Wagen mit 200 g schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 80 N/m und ŷ = 8 cm. Berechne seine größte Geschwindigkeit.
    Wagen zwischen Federnm = 200 g, D = 80 N/mŷ = 8 cmv_max = ?
    Lösung zeigen
    1. In der Ruhelage ist die ganze Spannenergie Bewegungsenergie: ½ · D · ŷ² = ½ · m · v²
    2. umgestellt: v = ŷ · √D : m
    3. v = 0,08 m · √80 N/m : 0,2 kg = 1,6 m/s
    Ergebnis:
    1,6 m/s

5Ich kann erzwungene Schwingungen und Resonanz erklären.

MerkenErzwungene Schwingung und Resonanz

Ein Erreger zwingt dem Oszillator seine Frequenz auf.

Trifft die Erregerfrequenz die Eigenfrequenz, wird die Amplitude sehr groß: Resonanz. Dämpfung macht die Resonanzspitze niedriger und breiter.

BeispielErzwungene Schwingung und Resonanz

Eine Fußgängerbrücke hat die Eigenfrequenz 1 Hz. Sie wird mit 0,5 Hz, 1 Hz oder 2 Hz von Schritten angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
Fußgängerbrückef₀ = 1 HzErreger: 0,5 · 1 · 2 Hzstärkste Schwingung?
Schritt für Schritt
  1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
  2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
  3. Hier also bei 1 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
  1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
  2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
  3. Hier also bei 1 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
Ergebnis:
Bei 1 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.

AchtungResonanz als „schneller anregen heißt stärker“

So nicht
f₀ = 0,5 Hz, angestoßen mit 1 Hz: schwingt am höchsten
So richtig
f₀ = 0,5 Hz, angestoßen mit 0,5 Hz → Resonanz, schwingt am höchsten

Am stärksten schwingt ein Oszillator, wenn die Erregerfrequenz seine Eigenfrequenz trifft. Schneller anregen heißt nicht stärker.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Rückspiegel im Auto hat die Eigenfrequenz 25 Hz. Sie wird mit 12,5 Hz, 25 Hz oder 50 Hz vom Motor angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
    Rückspiegel im Autof₀ = 25 HzErreger: 12,5 · 25 · 50 Hzstärkste Schwingung?
    So fängst du an:
    Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
    Lösung zeigen
    1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
    2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
    3. Hier also bei 25 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
    Ergebnis:
    Bei 25 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  2. ●14
    Die Trommel einer Waschmaschine hat die Eigenfrequenz 5 Hz. Sie wird mit 2,5 Hz, 5 Hz oder 10 Hz durch die Drehung angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
    Trommel einer Waschmaschinef₀ = 5 HzErreger: 2,5 · 5 · 10 Hzstärkste Schwingung?
    Lösung zeigen
    1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
    2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
    3. Hier also bei 5 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
    Ergebnis:
    Bei 5 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  3. ★15
    Die Resonanzkurve eines Lautsprechers hat ihre Spitze bei 2 Hz. Die Dämpfung wird stärker eingestellt. Wie ändert sich die Resonanzkurve?
    12342468f in Hzŷ relativ
    Lösung zeigen
    1. Bei Resonanz wird im Takt der Eigenfrequenz Energie zugeführt.
    2. Die Amplitude wächst, bis die Dämpfung so viel Energie abführt, wie dazukommt.
    3. Stärkere Dämpfung: Die Amplitude bleibt kleiner, die Spitze flacher und breiter.
    Ergebnis:
    Die Spitze wird niedriger und breiter, sie bleibt fast bei derselben Frequenz.

6Ich kann elektromagnetische Schwingungen im Schwingkreis beschreiben und mit der Thomsonschen Gleichung berechnen.

MerkenElektromagnetischer Schwingkreis

Im Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischem Feld und Magnetfeld.

Das eine sitzt im Kondensator, das andere in der Spule, die Eigenfrequenz ist f = 1 : (2π · √(L · C)).

BeispielThomsonsche Schwingungsgleichung

Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 2 mH und einem Kondensator mit C = 1 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
CLL = 2 mHC = 1 µFf = ?
Schritt für Schritt
  1. f = 1 : (2π · √L · C)
  2. L · C = 0,002 H · 1 · 10⁻⁶ F, √L · C = 4,47 · 10⁻⁵ s
  3. f = 1 : (2π · 4,47 · 10⁻⁵ s) = 3,56 kHz
  1. f = 1 : (2π · √L · C)
  2. L · C = 0,002 H · 1 · 10⁻⁶ F, √L · C = 4,47 · 10⁻⁵ s
  3. f = 1 : (2π · 4,47 · 10⁻⁵ s) = 3,56 kHz
Ergebnis:
3,56 kHz

AchtungWurzelzusammenhang wie ein Verhältnis gerechnet

So nicht
Masse mal 4: T = 4 · 0,5 s = 2 s
So richtig
Masse mal 4: T = √4 · 0,5 s = 1 s

Die Größe steht unter der Wurzel. Viermal so groß heißt nur doppelt so lange, neunmal so groß dreimal so lange.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 1 mH und einem Kondensator mit C = 4,7 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
    CLL = 1 mHC = 4,7 µFf = ?
    So fängst du an:
    f = 1 : (2π · √L · C)
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C)
    2. L · C = 0,001 H · 4,7 · 10⁻⁶ F, √L · C = 6,86 · 10⁻⁵ s
    3. f = 1 : (2π · 6,86 · 10⁻⁵ s) = 2,32 kHz
    Ergebnis:
    2,32 kHz
  2. ●17
    Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 5 mH und einem Kondensator mit C = 1 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
    CLL = 5 mHC = 1 µFf = ?
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C)
    2. L · C = 0,005 H · 1 · 10⁻⁶ F, √L · C = 7,07 · 10⁻⁵ s
    3. f = 1 : (2π · 7,07 · 10⁻⁵ s) = 2,25 kHz
    Ergebnis:
    2,25 kHz
  3. ★18
    Ein Schwingkreis schwingt mit 1000 Hz. Der Kondensator wird gegen einen mit 4-facher Kapazität getauscht, die Spule bleibt. Berechne die neue Frequenz.
    CLvorher f = 1000 HzC mal 4f neu = ?
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C), also f wächst mit 1 : √C
    2. C wird 4-mal so groß: f wird durch √4 = 2 geteilt
    3. f = 1000 Hz : 2 = 500 Hz
    Ergebnis:
    500 Hz

7Ich kann das lineare Kraftgesetz als Bedingung prüfen und Geschwindigkeit und Beschleunigung durch Ableiten bestimmen.

MerkenKraftgesetz und Ableitung

Harmonisch schwingt ein Körper genau dann, wenn F = −D · y gilt.

Aus y(t) = ŷ · sin(ω · t) folgt v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t) und a(t) = −ω² · y(t), also ω = √(D : m).

BeispielGeschwindigkeit und Beschleunigung durch Ableiten

Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 8 cm und f = 4 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
0,0630,1250,1880,250,3130,3750,4380,5−8−448t in sy in cm
Schritt für Schritt
  1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
  2. ω = 2π · 4 Hz = 25,1 1/s, ŷ = 0,08 m
  3. v_max = 0,08 m · 25,1 1/s = 2,01 m/s
  1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
  2. ω = 2π · 4 Hz = 25,1 1/s, ŷ = 0,08 m
  3. v_max = 0,08 m · 25,1 1/s = 2,01 m/s
Ergebnis:
2,01 m/s

AchtungFrequenz statt Kreisfrequenz

So nicht
f = 50 Hz: U₀ = N · B · A · 50 1/s
So richtig
f = 50 Hz: ω = 2π · 50 Hz = 314 1/s → U₀ = N · B · A · 314 1/s

Rechne zuerst ω = 2π · f aus. Setz erst dann in die Formel ein.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 8 cm und f = 1,5 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
    0,1670,3330,50,6670,83311,1671,333−8−448t in sy in cm
    So fängst du an:
    Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
    Lösung zeigen
    1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
    2. ω = 2π · 1,5 Hz = 9,42 1/s, ŷ = 0,08 m
    3. v_max = 0,08 m · 9,42 1/s = 0,754 m/s
    Ergebnis:
    0,754 m/s
  2. ●20
    Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 8 cm und f = 0,5 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
    0,511,522,533,54−8−448t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
    2. ω = 2π · 0,5 Hz = 3,14 1/s, ŷ = 0,08 m
    3. v_max = 0,08 m · 3,14 1/s = 0,251 m/s
    Ergebnis:
    0,251 m/s
  3. ★21
    Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 10 cm und f = 2 Hz. Berechne den Betrag der größten Beschleunigung.
    0,1250,250,3750,50,6250,750,8751−12−8−44812t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Zweimal ableiten: a(t) = −ŷ · ω² · sin(ω · t), also a_max = ŷ · ω²
    2. ω = 2π · 2 Hz = 12,6 1/s, ŷ = 0,1 m
    3. a_max = 0,1 m · (12,6 1/s)² = 15,8 m/s²
    Ergebnis:
    15,8 m/s²

8Ich kann erzwungene elektromagnetische Schwingungen, Phasenverschiebung und Rückkopplung erklären.

MerkenResonanz im Schwingkreis und Rückkopplung

Abgestimmt ist ein Schwingkreis, wenn seine Eigenfrequenz die Senderfrequenz trifft.

Die Rückkopplung führt im Takt Energie nach. Bei Resonanz hinkt der Oszillator dem Erreger um 90° nach.

BeispielSchwingkreis abstimmen

Ein Schwingkreis mit L = 470 µH soll auf einen Sender mit f = 800 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
CLL = 470 µHSender 800 kHzC = ?
Schritt für Schritt
  1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
  2. f = 800.000 Hz, L = 4,7 · 10⁻⁴ H
  3. C = 1 : (4π² · (800.000 Hz)² · 0,00047 H) = 84,2 pF
  1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
  2. f = 800.000 Hz, L = 4,7 · 10⁻⁴ H
  3. C = 1 : (4π² · (800.000 Hz)² · 0,00047 H) = 84,2 pF
Ergebnis:
84,2 pF

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht
m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J
So richtig
E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Rechne zuerst v² = v · v aus und schreib die Zeile hin.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Schwingkreis mit L = 470 µH soll auf einen Sender mit f = 1000 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
    CLL = 470 µHSender 1000 kHzC = ?
    So fängst du an:
    Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
    Lösung zeigen
    1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
    2. f = 1.000.000 Hz, L = 4,7 · 10⁻⁴ H
    3. C = 1 : (4π² · (1.000.000 Hz)² · 0,00047 H) = 53,9 pF
    Ergebnis:
    53,9 pF
  2. ●23
    Ein Schwingkreis mit L = 100 µH soll auf einen Sender mit f = 500 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
    CLL = 100 µHSender 500 kHzC = ?
    Lösung zeigen
    1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
    2. f = 500.000 Hz, L = 1 · 10⁻⁴ H
    3. C = 1 : (4π² · (500.000 Hz)² · 0,0001 H) = 1010 pF
    Ergebnis:
    1010 pF
  3. ★24
    Ein Radio hat eine Spule mit L = 200 µH und einen Drehkondensator von 50 pF bis 800 pF. Berechne die höchste Frequenz, auf die es sich abstimmen lässt.
    CLL = 200 µHC: 50 pF bis 800 pFf_max = ?
    Lösung zeigen
    1. f = 1 : (2π · √L · C): die höchste Frequenz bei der kleinsten Kapazität
    2. L · C = 2 · 10⁻⁴ H · 5 · 10⁻¹¹ F
    3. f = 1 : (2π · √L · C) = 1590 kHz
    Ergebnis:
    1590 kHz

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Eine schwingende Blattfeder macht in 12 s genau 15 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    schwingende Blattfeder15 Schwingungenin 12 sf = ?
    Lösung zeigen
    1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
    2. f = 15 : 12 s
    3. f = 1,25 Hz
    Ergebnis:
    1,25 Hz
  2. ●26
    Ein Federpendel (m = 100 g, D = 25 N/m) wird einmal 1 cm und einmal 5 cm weit ausgelenkt. Wie unterscheiden sich die Periodendauern? Begründe.
    Ruhelagem = 100 gD = 25 N/mŷ: 1 cm oder 5 cmT gleich?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D enthält die Amplitude nicht.
    2. Größerer Ausschlag: größere Kraft, schnellerer Körper.
    3. Längerer Weg und größere Geschwindigkeit gleichen sich genau aus.
    Ergebnis:
    Gar nicht: T hängt nicht von der Amplitude ab.
  3. ●27
    Ein Körper mit m = 250 g hängt an einer Feder mit D = 5 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 250 gD = 5 N/mT = ?
    Lösung zeigen
    1. T = 2π · √m : D
    2. m = 0,25 kg, m : D = 0,05 kg · m/N
    3. T = 2π · √0,05 s² = 1,4 s
    Ergebnis:
    1,4 s
  4. ●28
    Bei einem Federpendel mit 200 g wird die Masse vervierfacht, sonst bleibt alles gleich. Wie ändert sich die Periodendauer? Begründe mit der Formel.
    Ruhelagem = 200 gMasse: mal 4T neu?
    Lösung zeigen
    1. Federpendel: T = 2π · √m : D.
    2. Die Masse wird vervierfacht.
    3. T wird 2-mal so groß: T wächst mit √m.
    Ergebnis:
    T wird 2-mal so groß: T wächst mit √m.
  5. ●29
    Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 5 cm und T = 1,2 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,48 s.
    0,30,60,91,21,51,82,12,4−6−4−2246t in sy in cmy = ?
    Lösung zeigen
    1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
    2. ω = 2π : 1,2 s = 5,24 1/s, ω · t = 2,51
    3. y = 5 cm · sin(2,51) = 2,94 cm
    Ergebnis:
    2,94 cm
  6. ●30
    Ein Pendel schwingt mit ŷ = 2 cm und T = 2,5 s und startet in der Ruhelage nach oben. Welche Gleichung beschreibt y(t)?
    0,6251,251,8752,53,1253,754,3755−2−112t in sy in cm
    Lösung zeigen
    1. Start in der Ruhelage nach oben heißt: y(t) = ŷ · sin(ω · t).
    2. ω = 2π : T = 2π : 2,5 s = 2,51 1/s
    3. Also y(t) = 2 cm · sin(2,51 1/s · t).
    Ergebnis:
    y(t) = 2 cm · sin(2,51 1/s · t)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kenngrößen einer Schwingung
Die Amplitude ŷ ist der größte Ausschlag, die Periodendauer T die Zeit einer Schwingung.
Periodendauer des Federpendels
Für das Federpendel gilt T = 2π · √(m : D).
Zeitgesetz der Schwingung
Startet der Körper in der Ruhelage nach oben, gilt y(t) = ŷ · sin(ω · t).
Energie und Dämpfung
Ohne Reibung bleibt die Energie E = ½ · D · ŷ² gleich.
Erzwungene Schwingung und Resonanz
Ein Erreger zwingt dem Oszillator seine Frequenz auf.
Elektromagnetischer Schwingkreis
Im Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischem Feld und Magnetfeld.
Kraftgesetz und Ableitung
Harmonisch schwingt ein Körper genau dann, wenn F = −D · y gilt.
Resonanz im Schwingkreis und Rückkopplung
Abgestimmt ist ein Schwingkreis, wenn seine Eigenfrequenz die Senderfrequenz trifft.

AchtungPeriodendauer hängt von der Amplitude ab

So nicht
ŷ = 2 cm: T = 0,6 s; ŷ = 8 cm: T = 1,2 s
So richtig
ŷ = 2 cm: T = 0,6 s; ŷ = 8 cm: T = 0,6 s

Bei einer harmonischen Schwingung hängt die Periodendauer nicht von der Amplitude ab. Weiter ausgelenkt heißt auch schneller.

AchtungEnergie im Umkehrpunkt oder im leeren Kondensator verschwunden

So nicht
Umkehrpunkt: v = 0 m/s, also keine Energie
So richtig
Umkehrpunkt: E_Bewegung = 0 J, E_Spann = ½ · D · ŷ² → die ganze Energie

Die Energie wechselt nur die Form. Im Umkehrpunkt steckt sie ganz in der Spannenergie oder Lageenergie, in der Ruhelage ganz in der Bewegung.

AchtungSpitze bis Spitze als Amplitude

So nicht
von oben bis unten 8 cm: ŷ = 8 cm
So richtig
von oben bis unten 8 cm: ŷ = 8 cm : 2 = 4 cm

Die Amplitude misst man von der Mittellinie aus. Der Abstand von ganz oben nach ganz unten ist doppelt so groß.

AchtungJede Rückstellkraft gilt als harmonisch

So nicht
F wächst mit y: 2 cm und 1 N, 4 cm und 4 N, also harmonisch
So richtig
F : y = 0,5 N/cm und 1 N/cm → nicht proportional, nicht harmonisch

Harmonisch schwingt ein Körper nur, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist: F = −D · y.

AchtungSchweres Pendel schwingt schneller

So nicht
doppelt so schwere Kugel: T = 2 s : 2 = 1 s
So richtig
doppelt so schwere Kugel, gleiche Länge: T = 2 s wie vorher

Die Masse der Kugel ändert die Schwingungsdauer nicht. Beim Fadenpendel zählt nur die Länge des Fadens.

AchtungPendeldauer wie die Länge vervielfacht

So nicht
viermal so lang: T = 4 · 1 s = 4 s
So richtig
viermal so lang: T = 2 · 1 s = 2 s

Die Dauer wächst langsamer als die Länge. Viermal so lang heißt nur doppelt so lange, neunmal so lang heißt dreimal so lange.

AchtungHalbe Schwingung als ganze genommen

So nicht
Berg bis Tal = 20 cm, also λ = 20 cm
So richtig
Berg bis Tal ist eine halbe Welle: λ = 2 · 20 cm = 40 cm

Eine ganze Schwingung geht einmal hoch und einmal runter, bis alles wieder von vorn beginnt. Die Wellenlänge reicht von Berg zu Berg.

AchtungStrom wird verbraucht

So nicht
Vor der Lampe 0,3 A, hinter der Lampe 0,1 A – die Lampe hat Strom verbraucht.
So richtig
vor der Lampe 0,3 A → hinter der Lampe 0,3 A (die Lampe nimmt Energie, nicht Strom)

Der Strom wird nicht verbraucht. Was hineinfließt, fließt auch wieder heraus. Die Lampe nimmt Energie, nicht Strom.

AchtungEnergie wird erzeugt

So nicht
Generator: 500 J hinein, 600 J heraus
So richtig
500 J hinein = 400 J elektrisch + 100 J Wärme

Energie entsteht nicht und verschwindet nicht. Ein Wandler macht aus einer Energieart eine andere, ein Teil wird Wärme.

AchtungEinheiten nicht angeglichen

So nicht
p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa
So richtig
50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa

Die Angaben passen noch nicht zusammen. Rechne zuerst in die Einheiten der Formel um, dann setz ein.

AchtungEinheit vergessen

So nicht
ρ = 54 : 20 = 2,7
So richtig
ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³

Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich kann eine Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz beschreiben.

    31
    Ein Wagen zwischen zwei Federn macht in 25 s genau 50 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
    Wagen zwischen zwei Federn50 Schwingungenin 25 sf = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Hz

  2. Ich kann die Periodendauer eines Federpendels berechnen und ihre Abhängigkeit von den Parametern begründen.

    32
    Ein Körper mit m = 250 g hängt an einer Feder mit D = 20 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
    Ruhelagem = 250 gD = 20 N/mT = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,702 s

  3. Ich kann Energieumwandlungen und Dämpfung bei Schwingungen beschreiben und berechnen.

    33
    Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 200 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 6 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
    Wagen zwischen FedernD = 200 N/mŷ = 6 cmE = ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    360 mJ

  4. Ich kann erzwungene Schwingungen und Resonanz erklären.

    34
    Ein Rückspiegel im Auto hat die Eigenfrequenz 20 Hz. Sie wird mit 10 Hz, 20 Hz oder 40 Hz vom Motor angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
    Rückspiegel im Autof₀ = 20 HzErreger: 10 · 20 · 40 Hzstärkste Schwingung?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Bei 20 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Ableitung
wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Trigonometrische Funktionen

Lösungen

  1. 6,25 Hz
  2. 0,833 Hz
  3. 12,6 1/s
  4. 0,993 s
  5. 0,702 s
  6. 98,7 N/m
  7. 9,51 cm
  8. 2,94 cm
  9. 0,0833 s
  10. 360 mJ
  11. 32 mJ
  12. 1,6 m/s
  13. Bei 25 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  14. Bei 5 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
  15. Die Spitze wird niedriger und breiter, sie bleibt fast bei derselben Frequenz.
  16. 2,32 kHz
  17. 2,25 kHz
  18. 500 Hz
  19. 0,754 m/s
  20. 0,251 m/s
  21. 15,8 m/s²
  22. 53,9 pF
  23. 1010 pF
  24. 1590 kHz
  25. 1,25 Hz
  26. Gar nicht: T hängt nicht von der Amplitude ab.
  27. 1,4 s
  28. T wird 2-mal so groß: T wächst mit √m.
  29. 2,94 cm
  30. y(t) = 2 cm · sin(2,51 1/s · t)
  31. 2 Hz
  32. 0,702 s
  33. 360 mJ
  34. Bei 20 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.