Physik · Klasse 12 · Kapitel

Physik Oberstufe: Mechanische und elektromagnetische Schwingungen

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1Ich kann eine Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz beschreiben.

MerkenKenngrößen einer Schwingung

Die Amplitude ŷ ist der größte Ausschlag, die Periodendauer T die Zeit einer Schwingung.

Es gilt f = 1 : T und ω = 2π · f. Bei einer harmonischen Schwingung hängt T nicht von der Amplitude ab.

BeispielFrequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz

Ein Wagen zwischen zwei Federn macht in 5 s genau 40 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.

Schritt für Schritt

f = Zahl der Schwingungen : Zeit
f = 40 : 5 s
f = 8 Hz

f = Zahl der Schwingungen : Zeit
f = 40 : 5 s
f = 8 Hz

Ergebnis:

8 Hz

AchtungFrequenz statt Kreisfrequenz

So nicht

f = 50 Hz: U₀ = N · B · A · 50 1/s

So richtig

f = 50 Hz: ω = 2π · 50 Hz = 314 1/s → U₀ = N · B · A · 314 1/s

In den Formeln für Schwingungen steht die Kreisfrequenz ω = 2π · f, nicht die Frequenz f.

ÜbenJetzt du

○1
Eine schwingende Blattfeder macht in 25 s genau 15 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
So fängst du an:
f = Zahl der Schwingungen : Zeit
Lösung zeigen
1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
2. f = 15 : 25 s
3. f = 0,6 Hz
Ergebnis:
0,6 Hz
●2
Ein Federpendel macht in 15 s genau 25 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
Lösung zeigen
1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
2. f = 25 : 15 s
3. f = 1,67 Hz
Ergebnis:
1,67 Hz
★3
Das Diagramm zeigt y(t) für einen Wagen zwischen zwei Federn mit ŷ = 4 cm. Lies die Periodendauer ab und berechne die Kreisfrequenz ω.
Lösung zeigen
1. Eine Periode reicht von einem Nulldurchgang nach oben bis zum nächsten nach oben
2. abgelesen: T = 2 s
3. ω = 2π : T = 2π : 2 s = 3,14 1/s
Ergebnis:
3,14 1/s

2Ich kann die Periodendauer eines Federpendels berechnen und ihre Abhängigkeit von den Parametern begründen.

MerkenPeriodendauer des Federpendels

Für das Federpendel gilt T = 2π · √(m : D).

Viermal so schwer heißt doppelt so lange. Beim Fadenpendel gilt T = 2π · √(l : g), die Masse zählt dort nicht.

BeispielPeriodendauer des Federpendels

Ein Körper mit m = 250 g hängt an einer Feder mit D = 5 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.

Schritt für Schritt

T = 2π · √m : D
m = 0,25 kg, m : D = 0,05 kg · m/N
T = 2π · √0,05 s² = 1,4 s

T = 2π · √m : D
m = 0,25 kg, m : D = 0,05 kg · m/N
T = 2π · √0,05 s² = 1,4 s

Ergebnis:

1,4 s

AchtungDie Wurzel vergessen

So nicht

v² = 2 · 10 N/kg · 5 m = 100, also v = 100 m/s

So richtig

v² = 100 m²/s², also v = √(100 m²/s²) = 10 m/s

Schau auf die Einheit: m²/s² heißt, es ist noch v². Erst die Wurzel daraus ist v.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Körper mit m = 500 g hängt an einer Feder mit D = 50 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
So fängst du an:
T = 2π · √m : D
Lösung zeigen
1. T = 2π · √m : D
2. m = 0,5 kg, m : D = 0,01 kg · m/N
3. T = 2π · √0,01 s² = 0,628 s
Ergebnis:
0,628 s
●5
Ein Körper mit m = 50 g hängt an einer Feder mit D = 80 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
Lösung zeigen
1. T = 2π · √m : D
2. m = 0,05 kg, m : D = 0,000625 kg · m/N
3. T = 2π · √0,000625 s² = 0,157 s
Ergebnis:
0,157 s
★6
Ein Körper mit 400 g schwingt an einer Feder mit der Periodendauer T = 1,2 s. Berechne die Federkonstante D.
Lösung zeigen
1. T = 2π · √m : D, quadriert und umgestellt: D = 4π² · m : T²
2. m = 0,4 kg, T² = 1,44 s²
3. D = 4π² · 0,4 kg : 1,44 s² = 11 N/m
Ergebnis:
11 N/m

3Ich kann die Auslenkung einer harmonischen Schwingung mit y(t) = ŷ · sin(ω · t) berechnen.

MerkenZeitgesetz der Schwingung

Startet der Körper in der Ruhelage nach oben, gilt y(t) = ŷ · sin(ω · t).

Dabei ist ω = 2π : T, im Sinus steht ein Winkel im Bogenmaß.

BeispielAuslenkung zu einem Zeitpunkt

Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 6 cm und T = 1,6 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,48 s.

Schritt für Schritt

y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
ω = 2π : 1,6 s = 3,93 1/s, ω · t = 1,88
y = 6 cm · sin(1,88) = 5,71 cm

y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
ω = 2π : 1,6 s = 3,93 1/s, ω · t = 1,88
y = 6 cm · sin(1,88) = 5,71 cm

Ergebnis:

5,71 cm

AchtungTaschenrechner im Gradmaß

So nicht

sin(0,628) im Gradmaß = 0,011

So richtig

sin(0,628) im Bogenmaß = 0,588

ω · t ist ein Winkel im Bogenmaß. Stell den Rechner auf Bogenmaß, sonst rechnet er mit Grad.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 2 cm und T = 0,8 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,32 s.
So fängst du an:
y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
Lösung zeigen
1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
2. ω = 2π : 0,8 s = 7,85 1/s, ω · t = 2,51
3. y = 2 cm · sin(2,51) = 1,18 cm
Ergebnis:
1,18 cm
●8
Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 3 cm und T = 3 s. Berechne die Auslenkung bei t = 1,05 s.
Lösung zeigen
1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
2. ω = 2π : 3 s = 2,09 1/s, ω · t = 2,2
3. y = 3 cm · sin(2,2) = 2,43 cm
Ergebnis:
2,43 cm
★9
Ein Pendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 8 cm, T = 1,2 s. Wann ist nach dem Start erstmals y = 2,5 cm?
Lösung zeigen
1. sin(ω · t) = y : ŷ, also ω · t = arcsin(y : ŷ), der Rechner im Bogenmaß
2. ω = 2π : 1,2 s = 5,24 1/s, arcsin(2,5 : 8) = 0,318
3. t = 0,318 : 5,24 1/s = 0,0607 s
Ergebnis:
0,0607 s

4Ich kann Energieumwandlungen und Dämpfung bei Schwingungen beschreiben und berechnen.

MerkenEnergie und Dämpfung

Ohne Reibung bleibt die Energie E = ½ · D · ŷ² gleich.

Im Umkehrpunkt ist sie Spannenergie, in der Ruhelage Bewegungsenergie. Dämpfung wandelt sie in innere Energie um, die Amplitude nimmt ab.

BeispielEnergie einer Schwingung

Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 100 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 10 cm. Berechne die Energie der Schwingung.

Schritt für Schritt

Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
ŷ = 0,1 m, ŷ² = 0,01 m²
E = ½ · 100 N/m · 0,01 m² = 0,5 J = 500 mJ

Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
ŷ = 0,1 m, ŷ² = 0,01 m²
E = ½ · 100 N/m · 0,01 m² = 0,5 J = 500 mJ

Ergebnis:

500 mJ

AchtungDen Faktor ½ vergessen

So nicht

m = 2 kg, v = 3 m/s: E = 2 kg · (3 m/s)² = 18 J

So richtig

E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = 9 J

Schreib die Formel ganz hin: E = ½ · m · v². Nimm am Ende die Hälfte.

ÜbenJetzt du

○10
Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 80 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 4 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
So fängst du an:
Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
Lösung zeigen
1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
2. ŷ = 0,04 m, ŷ² = 0,0016 m²
3. E = ½ · 80 N/m · 0,0016 m² = 0,064 J = 64 mJ
Ergebnis:
64 mJ
●11
Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 20 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 5 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
Lösung zeigen
1. Im Umkehrpunkt steckt alles in der Spannenergie: E = ½ · D · ŷ²
2. ŷ = 0,05 m, ŷ² = 0,0025 m²
3. E = ½ · 20 N/m · 0,0025 m² = 0,025 J = 25 mJ
Ergebnis:
25 mJ
★12
Ein Wagen mit 200 g schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 25 N/m und ŷ = 4 cm. Berechne seine größte Geschwindigkeit.
Lösung zeigen
1. In der Ruhelage ist die ganze Spannenergie Bewegungsenergie: ½ · D · ŷ² = ½ · m · v²
2. umgestellt: v = ŷ · √D : m
3. v = 0,04 m · √25 N/m : 0,2 kg = 0,447 m/s
Ergebnis:
0,447 m/s

5Ich kann erzwungene Schwingungen und Resonanz erklären.

MerkenErzwungene Schwingung und Resonanz

Ein Erreger zwingt dem Oszillator seine Frequenz auf.

Trifft die Erregerfrequenz die Eigenfrequenz, wird die Amplitude sehr groß: Resonanz. Dämpfung macht die Resonanzspitze niedriger und breiter.

BeispielErzwungene Schwingung und Resonanz

Eine Schaukel hat die Eigenfrequenz 0,3 Hz. Sie wird mit 0,15 Hz, 0,3 Hz oder 0,6 Hz angestoßen. Wann schwingt sie am stärksten?

Schritt für Schritt

Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
Am größten bei der Eigenfrequenz.
Hier also bei 0,3 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.

Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
Am größten bei der Eigenfrequenz.
Hier also bei 0,3 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.

Ergebnis:

Bei 0,3 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.

AchtungResonanz als „schneller anregen heißt stärker“

So nicht

f₀ = 0,5 Hz, angestoßen mit 1 Hz: schwingt am höchsten

So richtig

f₀ = 0,5 Hz, angestoßen mit 0,5 Hz → Resonanz, schwingt am höchsten

Am stärksten schwingt ein Oszillator, wenn die Erregerfrequenz seine Eigenfrequenz trifft. Schneller anregen heißt nicht stärker.

ÜbenJetzt du

○13
Die Trommel einer Waschmaschine hat die Eigenfrequenz 5 Hz. Sie wird mit 2,5 Hz, 5 Hz oder 10 Hz durch die Drehung angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
So fängst du an:
Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
Lösung zeigen
1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
3. Hier also bei 5 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
Ergebnis:
Bei 5 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
●14
Ein Federpendel hat die Eigenfrequenz 2,5 Hz. Sie wird mit 1,25 Hz, 2,5 Hz oder 5 Hz von einem Motor angeregt. Wann schwingt sie am stärksten?
Lösung zeigen
1. Die Amplitude hängt von der Erregerfrequenz ab.
2. Am größten bei der Eigenfrequenz.
3. Hier also bei 2,5 Hz: Jeder Anstoß kommt im richtigen Takt.
Ergebnis:
Bei 2,5 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
★15
Die Resonanzkurve einer Brücke hat ihre Spitze bei 0,5 Hz. Die Dämpfung wird stärker eingestellt. Wie ändert sich die Resonanzkurve?
Lösung zeigen
1. Bei Resonanz wird im Takt der Eigenfrequenz Energie zugeführt.
2. Die Amplitude wächst, bis die Dämpfung so viel Energie abführt, wie dazukommt.
3. Stärkere Dämpfung: Die Amplitude bleibt kleiner, die Spitze flacher und breiter.
Ergebnis:
Die Spitze wird niedriger und breiter, sie bleibt fast bei derselben Frequenz.

6Ich kann elektromagnetische Schwingungen im Schwingkreis beschreiben und mit der Thomsonschen Gleichung berechnen.

MerkenElektromagnetischer Schwingkreis

Im Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischem Feld und Magnetfeld.

Das eine sitzt im Kondensator, das andere in der Spule, die Eigenfrequenz ist f = 1 : (2π · √(L · C)).

BeispielThomsonsche Schwingungsgleichung

Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 50 mH und einem Kondensator mit C = 1 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.

Schritt für Schritt

f = 1 : (2π · √L · C)
L · C = 0,05 H · 1 · 10⁻⁶ F, √L · C = 2,24 · 10⁻⁴ s
f = 1 : (2π · 2,24 · 10⁻⁴ s) = 712 Hz

f = 1 : (2π · √L · C)
L · C = 0,05 H · 1 · 10⁻⁶ F, √L · C = 2,24 · 10⁻⁴ s
f = 1 : (2π · 2,24 · 10⁻⁴ s) = 712 Hz

Ergebnis:

712 Hz

AchtungWurzelzusammenhang wie ein Verhältnis gerechnet

So nicht

Masse mal 4: T = 4 · 0,5 s = 2 s

So richtig

Masse mal 4: T = √4 · 0,5 s = 1 s

Die Größe steht unter der Wurzel. Viermal so groß heißt nur doppelt so lange, neunmal so groß dreimal so lange.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 20 mH und einem Kondensator mit C = 4,7 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
So fängst du an:
f = 1 : (2π · √L · C)
Lösung zeigen
1. f = 1 : (2π · √L · C)
2. L · C = 0,02 H · 4,7 · 10⁻⁶ F, √L · C = 3,07 · 10⁻⁴ s
3. f = 1 : (2π · 3,07 · 10⁻⁴ s) = 519 Hz
Ergebnis:
519 Hz
●17
Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 50 mH und einem Kondensator mit C = 0,47 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
Lösung zeigen
1. f = 1 : (2π · √L · C)
2. L · C = 0,05 H · 4,7 · 10⁻⁷ F, √L · C = 1,53 · 10⁻⁴ s
3. f = 1 : (2π · 1,53 · 10⁻⁴ s) = 1,04 kHz
Ergebnis:
1,04 kHz
★18
Ein Schwingkreis schwingt mit 200 Hz. Der Kondensator wird gegen einen mit 2-facher Kapazität getauscht, die Spule bleibt. Berechne die neue Frequenz.
Lösung zeigen
1. f = 1 : (2π · √L · C), also f wächst mit 1 : √C
2. C wird 2-mal so groß: f wird durch √2 = 1,41 geteilt
3. f = 200 Hz : 1,41 = 141 Hz
Ergebnis:
141 Hz

7Ich kann das lineare Kraftgesetz als Bedingung prüfen und Geschwindigkeit und Beschleunigung durch Ableiten bestimmen.

MerkenKraftgesetz und Ableitung

Harmonisch schwingt ein Körper genau dann, wenn F = −D · y gilt.

Aus y(t) = ŷ · sin(ω · t) folgt v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t) und a(t) = −ω² · y(t), also ω = √(D : m).

BeispielGeschwindigkeit und Beschleunigung durch Ableiten

Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 8 cm und f = 2,5 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.

Schritt für Schritt

Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
ω = 2π · 2,5 Hz = 15,7 1/s, ŷ = 0,08 m
v_max = 0,08 m · 15,7 1/s = 1,26 m/s

Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
ω = 2π · 2,5 Hz = 15,7 1/s, ŷ = 0,08 m
v_max = 0,08 m · 15,7 1/s = 1,26 m/s

Ergebnis:

1,26 m/s

AchtungFrequenz statt Kreisfrequenz

So nicht

f = 50 Hz: U₀ = N · B · A · 50 1/s

So richtig

f = 50 Hz: ω = 2π · 50 Hz = 314 1/s → U₀ = N · B · A · 314 1/s

Rechne zuerst ω = 2π · f aus. Setz erst dann in die Formel ein.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 4 cm und f = 2 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
So fängst du an:
Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
Lösung zeigen
1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
2. ω = 2π · 2 Hz = 12,6 1/s, ŷ = 0,04 m
3. v_max = 0,04 m · 12,6 1/s = 0,503 m/s
Ergebnis:
0,503 m/s
●20
Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 6 cm und f = 1,5 Hz. Berechne die größte Geschwindigkeit.
Lösung zeigen
1. Ableiten: v(t) = ŷ · ω · cos(ω · t), also v_max = ŷ · ω
2. ω = 2π · 1,5 Hz = 9,42 1/s, ŷ = 0,06 m
3. v_max = 0,06 m · 9,42 1/s = 0,565 m/s
Ergebnis:
0,565 m/s
★21
Ein Federpendel schwingt mit y(t) = ŷ · sin(ω · t), ŷ = 10 cm und f = 1,5 Hz. Berechne den Betrag der größten Beschleunigung.
Lösung zeigen
1. Zweimal ableiten: a(t) = −ŷ · ω² · sin(ω · t), also a_max = ŷ · ω²
2. ω = 2π · 1,5 Hz = 9,42 1/s, ŷ = 0,1 m
3. a_max = 0,1 m · (9,42 1/s)² = 8,88 m/s²
Ergebnis:
8,88 m/s²

8Ich kann erzwungene elektromagnetische Schwingungen, Phasenverschiebung und Rückkopplung erklären.

MerkenResonanz im Schwingkreis und Rückkopplung

Abgestimmt ist ein Schwingkreis, wenn seine Eigenfrequenz die Senderfrequenz trifft.

Die Rückkopplung führt im Takt Energie nach. Bei Resonanz hinkt der Oszillator dem Erreger um 90° nach.

BeispielSchwingkreis abstimmen

Ein Schwingkreis mit L = 330 µH soll auf einen Sender mit f = 800 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.

Schritt für Schritt

Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
f = 800.000 Hz, L = 3,3 · 10⁻⁴ H
C = 1 : (4π² · (800.000 Hz)² · 0,00033 H) = 120 pF

Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
f = 800.000 Hz, L = 3,3 · 10⁻⁴ H
C = 1 : (4π² · (800.000 Hz)² · 0,00033 H) = 120 pF

Ergebnis:

120 pF

AchtungDas Quadrat vergessen

So nicht

m = 2 kg, v = 3 m/s: E = ½ · 2 kg · 3 m/s = 3 J

So richtig

E = ½ · 2 kg · (3 m/s)² = ½ · 2 kg · 9 m²/s² = 9 J

Rechne zuerst v² = v · v aus und schreib die Zeile hin.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Schwingkreis mit L = 150 µH soll auf einen Sender mit f = 600 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
So fängst du an:
Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
Lösung zeigen
1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
2. f = 600.000 Hz, L = 1,5 · 10⁻⁴ H
3. C = 1 : (4π² · (600.000 Hz)² · 0,00015 H) = 469 pF
Ergebnis:
469 pF
●23
Ein Schwingkreis mit L = 250 µH soll auf einen Sender mit f = 500 kHz abgestimmt werden. Berechne die nötige Kapazität.
Lösung zeigen
1. Resonanz, wenn die Eigenfrequenz gleich der Senderfrequenz ist: C = 1 : (4π² · f² · L)
2. f = 500.000 Hz, L = 2,5 · 10⁻⁴ H
3. C = 1 : (4π² · (500.000 Hz)² · 0,00025 H) = 405 pF
Ergebnis:
405 pF
★24
Ein Radio hat eine Spule mit L = 250 µH und einen Drehkondensator von 50 pF bis 800 pF. Berechne die höchste Frequenz, auf die es sich abstimmen lässt.
Lösung zeigen
1. f = 1 : (2π · √L · C): die höchste Frequenz bei der kleinsten Kapazität
2. L · C = 2,5 · 10⁻⁴ H · 5 · 10⁻¹¹ F
3. f = 1 : (2π · √L · C) = 1420 kHz
Ergebnis:
1420 kHz

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Fadenpendel macht in 10 s genau 25 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
Lösung zeigen
1. f = Zahl der Schwingungen : Zeit
2. f = 25 : 10 s
3. f = 2,5 Hz
Ergebnis:
2,5 Hz
●26
Ein Federpendel (m = 400 g, D = 20 N/m) wird einmal 3 cm und einmal 6 cm weit ausgelenkt. Wie unterscheiden sich die Periodendauern? Begründe.
Lösung zeigen
1. T = 2π · √m : D enthält die Amplitude nicht.
2. Größerer Ausschlag: größere Kraft, schnellerer Körper.
3. Längerer Weg und größere Geschwindigkeit gleichen sich genau aus.
Ergebnis:
Gar nicht: T hängt nicht von der Amplitude ab.
●27
Ein Körper mit m = 100 g hängt an einer Feder mit D = 80 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
Lösung zeigen
1. T = 2π · √m : D
2. m = 0,1 kg, m : D = 0,00125 kg · m/N
3. T = 2π · √0,00125 s² = 0,222 s
Ergebnis:
0,222 s
●28
Bei einem Federpendel mit 500 g wird die Masse verneunfacht, sonst bleibt alles gleich. Wie ändert sich die Periodendauer? Begründe mit der Formel.
Lösung zeigen
1. Federpendel: T = 2π · √m : D.
2. Die Masse wird verneunfacht.
3. T wird 3-mal so groß: T wächst mit √m.
Ergebnis:
T wird 3-mal so groß: T wächst mit √m.
●29
Ein Federpendel schwingt nach y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ŷ = 10 cm und T = 2 s. Berechne die Auslenkung bei t = 0,6 s.
Lösung zeigen
1. y(t) = ŷ · sin(ω · t) mit ω = 2π : T, der Rechner im Bogenmaß
2. ω = 2π : 2 s = 3,14 1/s, ω · t = 1,88
3. y = 10 cm · sin(1,88) = 9,51 cm
Ergebnis:
9,51 cm
●30
Ein Pendel schwingt mit ŷ = 4 cm und T = 2 s und startet in der Ruhelage nach oben. Welche Gleichung beschreibt y(t)?
Lösung zeigen
1. Start in der Ruhelage nach oben heißt: y(t) = ŷ · sin(ω · t).
2. ω = 2π : T = 2π : 2 s = 3,14 1/s
3. Also y(t) = 4 cm · sin(3,14 1/s · t).
Ergebnis:
y(t) = 4 cm · sin(3,14 1/s · t)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Kenngrößen einer Schwingung: Die Amplitude ŷ ist der größte Ausschlag, die Periodendauer T die Zeit einer Schwingung.
Periodendauer des Federpendels: Für das Federpendel gilt T = 2π · √(m : D).
Zeitgesetz der Schwingung: Startet der Körper in der Ruhelage nach oben, gilt y(t) = ŷ · sin(ω · t).
Energie und Dämpfung: Ohne Reibung bleibt die Energie E = ½ · D · ŷ² gleich.
Erzwungene Schwingung und Resonanz: Ein Erreger zwingt dem Oszillator seine Frequenz auf.
Elektromagnetischer Schwingkreis: Im Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischem Feld und Magnetfeld.
Kraftgesetz und Ableitung: Harmonisch schwingt ein Körper genau dann, wenn F = −D · y gilt.
Resonanz im Schwingkreis und Rückkopplung: Abgestimmt ist ein Schwingkreis, wenn seine Eigenfrequenz die Senderfrequenz trifft.

AchtungPeriodendauer hängt von der Amplitude ab

So nicht

ŷ = 2 cm: T = 0,6 s; ŷ = 8 cm: T = 1,2 s

So richtig

ŷ = 2 cm: T = 0,6 s; ŷ = 8 cm: T = 0,6 s

Bei einer harmonischen Schwingung hängt die Periodendauer nicht von der Amplitude ab. Weiter ausgelenkt heißt auch schneller.

AchtungEnergie im Umkehrpunkt oder im leeren Kondensator verschwunden

So nicht

Umkehrpunkt: v = 0 m/s, also keine Energie

So richtig

Umkehrpunkt: E_Bewegung = 0 J, E_Spann = ½ · D · ŷ² → die ganze Energie

Die Energie wechselt nur die Form. Im Umkehrpunkt steckt sie ganz in der Spannenergie oder Lageenergie, in der Ruhelage ganz in der Bewegung.

AchtungSpitze bis Spitze als Amplitude

So nicht

von oben bis unten 8 cm: ŷ = 8 cm

So richtig

von oben bis unten 8 cm: ŷ = 8 cm : 2 = 4 cm

Die Amplitude misst man von der Mittellinie aus. Der Abstand von ganz oben nach ganz unten ist doppelt so groß.

AchtungJede Rückstellkraft gilt als harmonisch

So nicht

F wächst mit y: 2 cm und 1 N, 4 cm und 4 N, also harmonisch

So richtig

F : y = 0,5 N/cm und 1 N/cm → nicht proportional, nicht harmonisch

Harmonisch schwingt ein Körper nur, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist: F = −D · y.

AchtungSchweres Pendel schwingt schneller

So nicht

doppelt so schwere Kugel: T = 2 s : 2 = 1 s

So richtig

doppelt so schwere Kugel, gleiche Länge: T = 2 s wie vorher

Die Masse der Kugel ändert die Schwingungsdauer nicht. Beim Fadenpendel zählt nur die Länge des Fadens.

AchtungPendeldauer wie die Länge vervielfacht

So nicht

viermal so lang: T = 4 · 1 s = 4 s

So richtig

viermal so lang: T = 2 · 1 s = 2 s

Die Dauer wächst langsamer als die Länge. Viermal so lang heißt nur doppelt so lange, neunmal so lang heißt dreimal so lange.

AchtungHalbe Schwingung als ganze genommen

So nicht

Berg bis Tal = 20 cm, also λ = 20 cm

So richtig

Berg bis Tal ist eine halbe Welle: λ = 2 · 20 cm = 40 cm

Eine ganze Schwingung geht einmal hoch und einmal runter, bis alles wieder von vorn beginnt. Die Wellenlänge reicht von Berg zu Berg.

AchtungStrom wird verbraucht

So nicht

Vor der Lampe 0,3 A, hinter der Lampe 0,1 A – die Lampe hat Strom verbraucht.

So richtig

vor der Lampe 0,3 A → hinter der Lampe 0,3 A (die Lampe nimmt Energie, nicht Strom)

Der Strom wird nicht verbraucht. Was hineinfließt, fließt auch wieder heraus. Die Lampe nimmt Energie, nicht Strom.

AchtungEnergie wird erzeugt

So nicht

Generator: 500 J hinein, 600 J heraus

So richtig

500 J hinein = 400 J elektrisch + 100 J Wärme

Energie entsteht nicht und verschwindet nicht. Ein Wandler macht aus einer Energieart eine andere, ein Teil wird Wärme.

AchtungEinheiten nicht angeglichen

So nicht

p = 200 N : 50 cm² = 4 Pa

So richtig

50 cm² = 0,005 m², p = 200 N : 0,005 m² = 40 000 Pa

Die Angaben passen noch nicht zusammen. Rechne zuerst in die Einheiten der Formel um, dann setz ein.

AchtungEinheit vergessen

So nicht

ρ = 54 : 20 = 2,7

So richtig

ρ = 54 g : 20 cm³ = 2,7 g/cm³

Deine Zahl stimmt – aber eine Größe ist Zahl und Einheit. Schreib die Einheit dazu.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich kann eine Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz beschreiben.
31
Ein Wagen zwischen zwei Federn macht in 20 s genau 25 volle Schwingungen. Berechne die Frequenz.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,25 Hz
Ich kann die Periodendauer eines Federpendels berechnen und ihre Abhängigkeit von den Parametern begründen.
32
Ein Körper mit m = 250 g hängt an einer Feder mit D = 20 N/m und schwingt. Berechne die Periodendauer.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,702 s
Ich kann Energieumwandlungen und Dämpfung bei Schwingungen beschreiben und berechnen.
33
Ein Wagen schwingt reibungsfrei zwischen Federn mit D = 10 N/m. Seine Amplitude ist ŷ = 8 cm. Berechne die Energie der Schwingung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
32 mJ
Ich kann erzwungene Schwingungen und Resonanz erklären.
34
Eine Schaukel hat die Eigenfrequenz 0,4 Hz. Sie wird mit 0,2 Hz, 0,4 Hz oder 0,8 Hz angestoßen. Wann schwingt sie am stärksten?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Bei 0,4 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
Ich kann elektromagnetische Schwingungen im Schwingkreis beschreiben und mit der Thomsonschen Gleichung berechnen.
35
Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit L = 5 mH und einem Kondensator mit C = 0,1 µF. Berechne seine Eigenfrequenz.
Lösung zeigen
Ergebnis:
7,12 kHz

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Wörter

Ableitung: wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Trigonometrische Funktionen

Lösungen

0,6 Hz
1,67 Hz
3,14 1/s
0,628 s
0,157 s
11 N/m
1,18 cm
2,43 cm
0,0607 s
64 mJ
25 mJ
0,447 m/s
Bei 5 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
Bei 2,5 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
Die Spitze wird niedriger und breiter, sie bleibt fast bei derselben Frequenz.
519 Hz
1,04 kHz
141 Hz
0,503 m/s
0,565 m/s
8,88 m/s²
469 pF
405 pF
1420 kHz
2,5 Hz
Gar nicht: T hängt nicht von der Amplitude ab.
0,222 s
T wird 3-mal so groß: T wächst mit √m.
9,51 cm
y(t) = 4 cm · sin(3,14 1/s · t)
1,25 Hz
0,702 s
32 mJ
Bei 0,4 Hz: Die Erregerfrequenz ist gleich der Eigenfrequenz, es tritt Resonanz auf.
7,12 kHz