Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Skateboard kostet 120,00 €. Berechne 20 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 120,00 €
2. 1 % → 1,20 €
3. 20 % → 1,20 € · 20 = 24,00 €
Ergebnis:
24,00 €
●40
10 % einer Strecke sind 20 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 10 % → 20 km
2. 1 % → 2 km
3. 100 % → 2 · 100 = 200 km
Ergebnis:
200 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Ein Konzertticket kostet 60,00 €. Der Preis steigt um 25 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.

Schritt für Schritt

Faktor: 100 % + 25 % = 125 %, also 1,25
60,00 € · 1,25 = 75,00 €

Faktor: 100 % + 25 % = 125 %, also 1,25
60,00 € · 1,25 = 75,00 €

Ergebnis:

75,00 €

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Der Fahrpreis sinkt um 40 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
So fängst du an:
Vorher 100 %, nachher 100 % − 40 %, also 60 %
Lösung zeigen
1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 40 %, also 60 %
2. 60 % als Dezimalzahl: 0,6
Ergebnis:
Faktor 0,6
●2
Ein Wert wird mit dem Faktor 1,1 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. 1,1 ist größer als 1: Der Wert steigt.
2. 1,1 entspricht 110 %, also 10 % mehr
Ergebnis:
steigt um 10 %
★3
Welcher Faktor gehört zu „20 % weniger“, welcher zu „20 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 20 % weniger: 100 % − 20 % = 80 %, Faktor 0,8
2. 20 % mehr: 100 % + 20 % = 120 %, Faktor 1,2
Ergebnis:
0,8 und 1,2

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Im Sale ist ein Paar Sportschuhe um 20 % günstiger und kostet jetzt 96,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?

Schritt für Schritt

Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
Alter Preis · 0,8 = 96,00 €
Alter Preis: 96,00 € : 0,8 = 120,00 €

Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
Alter Preis · 0,8 = 96,00 €
Alter Preis: 96,00 € : 0,8 = 120,00 €

Ergebnis:

120,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Im Sale ist ein Tablet um 10 % günstiger und kostet jetzt 270,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
So fängst du an:
Nach der Senkung bleiben 90 %, Faktor 0,9.
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 90 %, Faktor 0,9.
2. Alter Preis · 0,9 = 270,00 €
3. Alter Preis: 270,00 € : 0,9 = 300,00 €
Ergebnis:
300,00 €
●5
Nach einer Preiserhöhung um 20 % kostet ein Kopfhörer 192,00 €. Wie viel kostete ein Kopfhörer vorher?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,2
3. Alter Preis: 192,00 € : 1,2 = 160,00 €
Ergebnis:
160,00 €
★6
Nach einer Preiserhöhung um 12 % kostet ein Konzertticket 67,20 €. Um wie viel Euro wurde der Preis erhöht?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,12
3. Alter Preis: 67,20 € : 1,12 = 60,00 €
4. Erhöhung: 67,20 € − 60,00 € = 7,20 €
Ergebnis:
7,20 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Ein Fahrrad kostet 500,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?

Schritt für Schritt

Faktoren: 1,3 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,3 · 0,75 = 0,975
Neuer Preis: 500,00 € · 0,975 = 487,50 €
Insgesamt billiger um 2,5 %

Faktoren: 1,3 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,3 · 0,75 = 0,975
Neuer Preis: 500,00 € · 0,975 = 487,50 €
Insgesamt billiger um 2,5 %

Ergebnis:

487,50 €; minus 2,5 %

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Tablet kostet 400,00 €. Der Preis steigt erst um 50 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
So fängst du an:
Faktoren: 1,5 und 0,9
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,5 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,5 · 0,9 = 1,35
3. Neuer Preis: 400,00 € · 1,35 = 540,00 €
4. Insgesamt teurer um 35 %
Ergebnis:
540,00 €; plus 35 %
●8
Ein Tablet kostet 250,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,2 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,2 · 0,9 = 1,08
3. Neuer Preis: 250,00 € · 1,08 = 270,00 €
4. Insgesamt teurer um 8 %
Ergebnis:
270,00 €; plus 8 %
★9
Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lukas noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Lukas sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,7 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,9 = 0,63
3. Es bleiben 63 %, Rabatt also 37 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 37 % Rabatt

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Dein Handy-Akku lädt von 50 % auf 75 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?

Schritt für Schritt

Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
Prozent: 25 : 50 = 0,5, also 50 %

Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
Prozent: 25 : 50 = 0,5, also 50 %

Ergebnis:

25 Prozentpunkte; 50 %

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
So fängst du an:
20 % mehr: Faktor 1,2
Lösung zeigen
1. 20 % mehr: Faktor 1,2
2. 50 · 1,2 = 60, also 60 %
3. Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte
Ergebnis:
60 %; 10 Prozentpunkte mehr
●11
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 1,5 % auf 3 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 3 − 1,5 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
2. Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 1,5 = 1, also 100 %
Ergebnis:
1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
★12
An einer Schule kommen 60 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 5 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
1. 5 % mehr: Faktor 1,05
2. 60 · 1,05 = 63, also 63 %
3. Anstieg: 63 − 60 = 3 Prozentpunkte
Ergebnis:
63 %; 3 Prozentpunkte mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 10,70 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?

Schritt für Schritt

Netto: 10,70 € : 1,07 = 10,00 €
Steuer: 10,70 € − 10,00 € = 0,70 €

Netto: 10,70 € : 1,07 = 10,00 €
Steuer: 10,70 € − 10,00 € = 0,70 €

Ergebnis:

netto 10,00 €, Steuer 0,70 €

ÜbenJetzt du

○13
Auf dem Kassenzettel steht 952,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
So fängst du an:
Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
Lösung zeigen
1. Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
2. Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €
Ergebnis:
152,00 €
●14
Ein Laptop kostet im Laden 714,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 714,00 € : 1,19 = 600,00 €
Ergebnis:
600,00 €
★15
Ein Handy kostet im Laden 595,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
Ergebnis:
500,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Eine Rechnung über 800,00 € enthält 10 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?

Schritt für Schritt

Betrag nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,9 = 720,00 €
Skonto: 2 % von 720,00 €
720,00 € · 0,02 = 14,40 €

Betrag nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,9 = 720,00 €
Skonto: 2 % von 720,00 €
720,00 € · 0,02 = 14,40 €

Ergebnis:

14,40 €

ÜbenJetzt du

○16
20 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 23 % Nachlass auf 500,00 €? Vergleiche die Beträge.
So fängst du an:
Nacheinander: 500,00 € · 0,776 = 388,00 €
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 500,00 € · 0,776 = 388,00 €
2. 23 % auf einmal: 500,00 € · 0,77 = 385,00 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 388,00 € statt 385,00 €
●17
Ein Malerbetrieb kauft Material für 800,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,9 = 720,00 €
2. Nach dem Skonto: 720,00 € · 0,98 = 705,60 €
Ergebnis:
705,60 €
★18
Eine Rechnung über 1.450,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
Lösung zeigen
1. Betrag nach dem Rabatt: 1.450,00 € · 0,95 = 1.377,50 €
2. Skonto: 2 % von 1.377,50 €
3. 1.377,50 € · 0,02 = 27,55 €
Ergebnis:
27,55 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Von 298 Kindern einer Schule kommen 31 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.

Schritt für Schritt

298 ≈ 300 und 31 ≈ 30
30 von 300: 30 : 300 = 0,1
Also etwa 10 %

298 ≈ 300 und 31 ≈ 30
30 von 300: 30 : 300 = 0,1
Also etwa 10 %

Ergebnis:

etwa 10 %

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Von 596 Kindern einer Schule kommen 298 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
So fängst du an:
596 ≈ 600 und 298 ≈ 300
Lösung zeigen
1. 596 ≈ 600 und 298 ≈ 300
2. 300 von 600: 300 : 600 = 0,5
3. Also etwa 50 %
Ergebnis:
etwa 50 %
●20
Überschlage im Kopf: 51 % von 399,00 €. Etwa wie viel ist das?
Lösung zeigen
1. 51 % ≈ 50 % und 399,00 € ≈ 400,00 €
2. 10 % von 400,00 € sind 40,00 €
3. 50 % sind etwa 200,00 €
Ergebnis:
etwa 200,00 €
★21
Ein Fahrrad kostet 199,90 €. Der Preis steigt um 9 %, später gibt es 19 % Rabatt auf den neuen Preis. Überschlage den Endpreis im Kopf.
Lösung zeigen
1. Runden: 199,90 € ≈ 200,00 €, 9 % ≈ 10 %, 19 % ≈ 20 %
2. Nach dem Aufschlag: 200,00 € + 20,00 € = 220,00 €
3. 20 % von 220,00 € sind 44,00 €
4. 220,00 € − 44,00 € = 176,00 €
Ergebnis:
etwa 176,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Auf einem Schild steht: „Statt 100,00 € nur 80,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?

Schritt für Schritt

Ersparnis: 100,00 € − 80,00 € = 20,00 €
20 : 100 = 0,2, also 20 %

Ersparnis: 100,00 € − 80,00 € = 20,00 €
20 : 100 = 0,2, also 20 %

Ergebnis:

Nein, nur 20 %

ÜbenJetzt du

○22
Auf einem Schild steht: „Statt 50,00 € nur 40,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
So fängst du an:
Ersparnis: 50,00 € − 40,00 € = 10,00 €
Lösung zeigen
1. Ersparnis: 50,00 € − 40,00 € = 10,00 €
2. 10 : 50 = 0,2, also 20 %
Ergebnis:
Nein, nur 20 %
●23
Ein Laden wirbt: „Nimm 5, zahl 4.“ Ein Stück kostet 5,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 5 Stück nimmt?
Lösung zeigen
1. Normal: 5 · 5,00 € = 25,00 €. Bezahlt: 4 · 5,00 € = 20,00 €
2. Ersparnis: 5,00 € von 25,00 €
3. 1 : 5 = 0,2
Ergebnis:
20 %
★24
Eine Flasche Duschgel hat jetzt 30 % mehr Inhalt: 520 ml statt 400 ml, zum gleichen Preis. Um wie viel Prozent ist der Preis je Milliliter gesunken?
Lösung zeigen
1. Gleicher Preis für 1,3-mal so viel
2. Preis je Milliliter: Faktor 1 : 1,3 ≈ 0,7692
3. Gesunken um etwa 23,1 %, nicht um 30 %
Ergebnis:
etwa 23,1 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Paar Sportschuhe kostet 120,00 €. Der Preis steigt um 5 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
Lösung zeigen
1. Faktor: 100 % + 5 % = 105 %, also 1,05
2. 120,00 € · 1,05 = 126,00 €
Ergebnis:
126,00 €
●26
Im Sale ist ein Kopfhörer um 20 % günstiger und kostet jetzt 64,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
2. Alter Preis · 0,8 = 64,00 €
3. Alter Preis: 64,00 € : 0,8 = 80,00 €
Ergebnis:
80,00 €
●27
Ein Konzertticket kostet 50,00 €. Der Preis steigt erst um 50 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,5 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 1,5 · 0,8 = 1,2
3. Neuer Preis: 50,00 € · 1,2 = 60,00 €
4. Insgesamt teurer um 20 %
Ergebnis:
60,00 €; plus 20 %
●28
Stimmt das? „Steigt ein Wert um 50 % und sinkt dann um 50 %, ist er kleiner als vorher.“ Begründe mit Faktoren.
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,5 und 0,5
2. Produkt: 1,5 · 0,5 = 0,75
3. 0,75 ist kleiner als 1: Der Wert ist gesunken.
Ergebnis:
Ja, er ist um 25 % kleiner
●29
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 3 % auf 4,5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
2. Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 3 = 0,5, also 50 %
Ergebnis:
1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
●30
Ein Handy kostet im Laden 357,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
Ergebnis:
300,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Der Preis für ein Bahnticket steigt um 30 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Faktor 1,3
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Im Sale ist eine Jacke um 50 % günstiger und kostet jetzt 40,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
Ergebnis:
80,00 €
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Im Sale gibt es 50 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lukas noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Lukas sagt: „Das sind 60 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
60 %; 10 Prozentpunkte mehr
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Ein Schreibtisch kostet im Laden 1.190,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1.000,00 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
5 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 8 % Nachlass auf 1.200,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein: 1.105,80 € statt 1.104,00 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Von 202 Kindern einer Schule kommen 61 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 30 %
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 12,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

Faktor 0,6
steigt um 10 %
0,8 und 1,2
300,00 €
160,00 €
7,20 €
540,00 €; plus 35 %
270,00 €; plus 8 %
Nein, insgesamt 37 % Rabatt
60 %; 10 Prozentpunkte mehr
1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
63 %; 3 Prozentpunkte mehr
152,00 €
600,00 €
500,00 €
Nein: 388,00 € statt 385,00 €
705,60 €
27,55 €
etwa 50 %
etwa 200,00 €
etwa 176,00 €
Nein, nur 20 %
20 %
etwa 23,1 %
126,00 €
80,00 €
60,00 €; plus 20 %
Ja, er ist um 25 % kleiner
1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
300,00 €
Faktor 1,3
80,00 €
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
60 %; 10 Prozentpunkte mehr
1.000,00 €
Nein: 1.105,80 € statt 1.104,00 €
etwa 30 %
25 %
24,00 €
200 km