Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Laptop kostet 300,00 €. Berechne 5 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 300,00 €
2. 1 % → 3,00 €
3. 5 % → 3,00 € · 5 = 15,00 €
Ergebnis:
15,00 €
●40
50 % einer Strecke sind 30 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 50 % → 30 km
2. 1 % → 0,6 km
3. 100 % → 0,6 · 100 = 60 km
Ergebnis:
60 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Welcher Faktor gehört zu „10 % weniger“, welcher zu „10 % mehr“? Schreibe beide auf.

Schritt für Schritt

10 % weniger: 100 % − 10 % = 90 %, Faktor 0,9
10 % mehr: 100 % + 10 % = 110 %, Faktor 1,1

10 % weniger: 100 % − 10 % = 90 %, Faktor 0,9
10 % mehr: 100 % + 10 % = 110 %, Faktor 1,1

Ergebnis:

0,9 und 1,1

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Wert wird mit dem Faktor 0,5 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
So fängst du an:
0,5 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
Lösung zeigen
1. 0,5 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
2. 0,5 entspricht 50 %, also 50 % weniger
Ergebnis:
sinkt um 50 %
●2
Die Zahl der Mitglieder im Sportverein steigt um 20 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Lösung zeigen
1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 20 %, also 120 %
2. 120 % als Dezimalzahl: 1,2
Ergebnis:
Faktor 1,2
★3
Die Miete sinkt um 65 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Lösung zeigen
1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 65 %, also 35 %
2. 35 % als Dezimalzahl: 0,35
Ergebnis:
Faktor 0,35

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Im Sale ist eine Jacke um 25 % günstiger und kostet jetzt 90,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?

Schritt für Schritt

Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
Alter Preis · 0,75 = 90,00 €
Alter Preis: 90,00 € : 0,75 = 120,00 €

Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
Alter Preis · 0,75 = 90,00 €
Alter Preis: 90,00 € : 0,75 = 120,00 €

Ergebnis:

120,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 25 % gewachsen und hat jetzt 5000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
So fängst du an:
Gewachsen um 25 %: jetzt 125 % des alten Werts.
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 25 %: jetzt 125 % des alten Werts.
2. Faktor 1,25, also alter Wert = 5000 : 1,25
3. 5000 : 1,25 = 4000
Ergebnis:
4000
●5
Im Sale ist ein Tablet um 50 % günstiger und kostet jetzt 200,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 50 %, Faktor 0,5.
2. Alter Preis · 0,5 = 200,00 €
3. Alter Preis: 200,00 € : 0,5 = 400,00 €
Ergebnis:
400,00 €
★6
Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 35 % gewachsen und hat jetzt 5400 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 35 %: jetzt 135 % des alten Werts.
2. Faktor 1,35, also alter Wert = 5400 : 1,35
3. 5400 : 1,35 = 4000
Ergebnis:
4000

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Ben noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Ben sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Faktoren: 0,8 und 0,9
Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %

Faktoren: 0,8 und 0,9
Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %

Ergebnis:

Nein, insgesamt 28 % Rabatt

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Paar Sportschuhe kostet 90,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
So fängst du an:
Faktoren: 1,1 und 0,8
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,1 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,8 = 0,88
3. Neuer Preis: 90,00 € · 0,88 = 79,20 €
4. Insgesamt billiger um 12 %
Ergebnis:
79,20 €; minus 12 %
●8
Eine Jacke kostet 90,00 €. Der Preis steigt erst um 50 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,5 und 0,75
2. Gesamtfaktor: 1,5 · 0,75 = 1,125
3. Neuer Preis: 90,00 € · 1,125 = 101,25 €
4. Insgesamt teurer um 12,5 %
Ergebnis:
101,25 €; plus 12,5 %
★9
Ein Verein hat 1000 Mitglieder. Im ersten Jahr kommen 20 % dazu, im zweiten Jahr 10 %, im dritten Jahr gehen 10 % verloren. Wie viele Mitglieder hat er danach?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,2, 1,1, 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,2 · 1,1 · 0,9 = 1,188
3. 1000 · 1,188 = 1188
Ergebnis:
1188 Mitglieder

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 1 % auf 2 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?

Schritt für Schritt

Unterschied der Prozentsätze: 2 − 1 = 1, also 1 Prozentpunkt
Bezogen auf den alten Satz: 1 : 1 = 1, also 100 %

Unterschied der Prozentsätze: 2 − 1 = 1, also 1 Prozentpunkt
Bezogen auf den alten Satz: 1 : 1 = 1, also 100 %

Ergebnis:

1 Prozentpunkt; das sind 100 % mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
An einer Schule kommen 10 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 50 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
So fängst du an:
50 % mehr: Faktor 1,5
Lösung zeigen
1. 50 % mehr: Faktor 1,5
2. 10 · 1,5 = 15, also 15 %
3. Anstieg: 15 − 10 = 5 Prozentpunkte
Ergebnis:
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
●11
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 4 % auf 5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 5 − 4 = 1, also 1 Prozentpunkt
2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 4 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr
★12
An einer Schule kommen 40 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 25 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
1. 25 % mehr: Faktor 1,25
2. 40 · 1,25 = 50, also 50 %
3. Anstieg: 50 − 40 = 10 Prozentpunkte
Ergebnis:
50 %; 10 Prozentpunkte mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Auf dem Kassenzettel steht 476,00 € für ein Fahrrad, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?

Schritt für Schritt

Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €

Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €

Ergebnis:

76,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht

80 € minus 25 % = 20 €

So richtig

80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

○13
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 21,40 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
So fängst du an:
Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
Lösung zeigen
1. Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
2. Steuer: 21,40 € − 20,00 € = 1,40 €
Ergebnis:
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €
●14
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 2,14 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 2,14 € : 1,07 = 2,00 €
2. Steuer: 2,14 € − 2,00 € = 0,14 €
Ergebnis:
netto 2,00 €, Steuer 0,14 €
★15
Ein Schreibtisch kostet im Laden 476,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
Ergebnis:
400,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Eine Tischlerei kauft Material für 2.500,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?

Schritt für Schritt

Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,9 = 2.250,00 €
Nach dem Skonto: 2.250,00 € · 0,98 = 2.205,00 €

Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,9 = 2.250,00 €
Nach dem Skonto: 2.250,00 € · 0,98 = 2.205,00 €

Ergebnis:

2.205,00 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Fahrradladen kauft Material für 1.000,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
So fängst du an:
Nach dem Rabatt: 1.000,00 € · 0,8 = 800,00 €
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 1.000,00 € · 0,8 = 800,00 €
2. Nach dem Skonto: 800,00 € · 0,97 = 776,00 €
Ergebnis:
776,00 €
●17
5 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 8 % Nachlass auf 2.000,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 2.000,00 € · 0,9215 = 1.843,00 €
2. 8 % auf einmal: 2.000,00 € · 0,92 = 1.840,00 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 1.843,00 € statt 1.840,00 €
★18
Ein Malerbetrieb kauft Material für 1.450,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 1.450,00 € · 0,9 = 1.305,00 €
2. Nach dem Skonto: 1.305,00 € · 0,97 = 1.265,85 €
Ergebnis:
1.265,85 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Von 398 Kindern einer Schule kommen 99 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.

Schritt für Schritt

398 ≈ 400 und 99 ≈ 100
100 von 400: 100 : 400 = 0,25
Also etwa 25 %

398 ≈ 400 und 99 ≈ 100
100 von 400: 100 : 400 = 0,25
Also etwa 25 %

Ergebnis:

etwa 25 %

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Überschlage im Kopf: 21 % von 799,00 €. Etwa wie viel ist das?
So fängst du an:
21 % ≈ 20 % und 799,00 € ≈ 800,00 €
Lösung zeigen
1. 21 % ≈ 20 % und 799,00 € ≈ 800,00 €
2. 10 % von 800,00 € sind 80,00 €
3. 20 % sind etwa 160,00 €
Ergebnis:
etwa 160,00 €
●20
Von 403 Kindern einer Schule kommen 98 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
1. 403 ≈ 400 und 98 ≈ 100
2. 100 von 400: 100 : 400 = 0,25
3. Also etwa 25 %
Ergebnis:
etwa 25 %
★21
Ein Fahrrad kostet 397,90 €. Der Preis steigt um 9 %, später gibt es 24 % Rabatt auf den neuen Preis. Überschlage den Endpreis im Kopf.
Lösung zeigen
1. Runden: 397,90 € ≈ 400,00 €, 9 % ≈ 10 %, 24 % ≈ 25 %
2. Nach dem Aufschlag: 400,00 € + 40,00 € = 440,00 €
3. 25 % von 440,00 € sind 110,00 €
4. 440,00 € − 110,00 € = 330,00 €
Ergebnis:
etwa 330,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Auf einem Schild steht: „Statt 120,00 € nur 90,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?

Schritt für Schritt

Ersparnis: 120,00 € − 90,00 € = 30,00 €
30 : 120 = 0,25, also 25 %

Ersparnis: 120,00 € − 90,00 € = 30,00 €
30 : 120 = 0,25, also 25 %

Ergebnis:

Ja, genau 25 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 3,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?
So fängst du an:
Normal: 4 · 3,00 € = 12,00 €. Bezahlt: 3 · 3,00 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. Normal: 4 · 3,00 € = 12,00 €. Bezahlt: 3 · 3,00 € = 9,00 €
2. Ersparnis: 3,00 € von 12,00 €
3. 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %
●23
Auf einem Schild steht: „Statt 100,00 € nur 85,00 € – 20 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
Lösung zeigen
1. Ersparnis: 100,00 € − 85,00 € = 15,00 €
2. 15 : 100 = 0,15, also 15 %
Ergebnis:
Nein, nur 15 %
★24
Auf einem Schild steht: „Statt 120,00 € nur 102,00 € – 20 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
Lösung zeigen
1. Ersparnis: 120,00 € − 102,00 € = 18,00 €
2. 18 : 120 = 0,15, also 15 %
Ergebnis:
Nein, nur 15 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welcher Faktor gehört zu „75 % weniger“, welcher zu „75 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 75 % weniger: 100 % − 75 % = 25 %, Faktor 0,25
2. 75 % mehr: 100 % + 75 % = 175 %, Faktor 1,75
Ergebnis:
0,25 und 1,75
●26
Ein großer Sportverein ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 3000 Mitglieder. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
2. Faktor 1,5, also alter Wert = 3000 : 1,5
3. 3000 : 1,5 = 2000
Ergebnis:
2000
●27
Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Zeynep noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Zeynep sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,7 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,9 = 0,63
3. Es bleiben 63 %, Rabatt also 37 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 37 % Rabatt
●28
Stimmt das? „Steigt ein Wert um 30 % und sinkt dann um 30 %, ist er kleiner als vorher.“ Begründe mit Faktoren.
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,3 und 0,7
2. Produkt: 1,3 · 0,7 = 0,91
3. 0,91 ist kleiner als 1: Der Wert ist gesunken.
Ergebnis:
Ja, er ist um 9 % kleiner
●29
Dein Handy-Akku lädt von 20 % auf 30 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 30 − 20 = 10
2. Prozent: 10 : 20 = 0,5, also 50 %
Ergebnis:
10 Prozentpunkte; 50 %
●30
Ein Handy kostet im Laden 1.190,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
Ergebnis:
1.000,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Welcher Faktor gehört zu „10 % weniger“, welcher zu „10 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,9 und 1,1
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Im Sale ist ein Fahrrad um 10 % günstiger und kostet jetzt 360,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
Ergebnis:
400,00 €
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Sara noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Sara sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, insgesamt 28 % Rabatt
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 3 % auf 4,5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Auf dem Kassenzettel steht 714,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
Lösung zeigen
Ergebnis:
114,00 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
10 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 13 % Nachlass auf 1.200,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein: 1.047,60 € statt 1.044,00 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Eine Jacke kostet 39,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 36,00 €
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Auf einem Schild steht: „Statt 100,00 € nur 70,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ja, genau 30 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

sinkt um 50 %
Faktor 1,2
Faktor 0,35
4000
400,00 €
4000
79,20 €; minus 12 %
101,25 €; plus 12,5 %
1188 Mitglieder
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr
50 %; 10 Prozentpunkte mehr
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €
netto 2,00 €, Steuer 0,14 €
400,00 €
776,00 €
Nein: 1.843,00 € statt 1.840,00 €
1.265,85 €
etwa 160,00 €
etwa 25 %
etwa 330,00 €
25 %
Nein, nur 15 %
Nein, nur 15 %
0,25 und 1,75
2000
Nein, insgesamt 37 % Rabatt
Ja, er ist um 9 % kleiner
10 Prozentpunkte; 50 %
1.000,00 €
0,9 und 1,1
400,00 €
Nein, insgesamt 28 % Rabatt
1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
114,00 €
Nein: 1.047,60 € statt 1.044,00 €
etwa 36,00 €
Ja, genau 30 %
15,00 €
60 km