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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

  1. ●39
    Ein Skateboard kostet 120,00 €. Berechne 5 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 120,00 €
    2. 1 % → 1,20 €
    3. 5 % → 1,20 € · 5 = 6,00 €
    Ergebnis:
    6,00 €
  2. ●40
    50 % einer Strecke sind 30 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
    Lösung zeigen
    1. 50 % → 30 km
    2. 1 % → 0,6 km
    3. 100 % → 0,6 · 100 = 60 km
    Ergebnis:
    60 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

Drei Streifen: 100 Prozent, 120 Prozent ist das 1,2-Fache, 80 Prozent das 0,8-Fache100 % = alter Preis120 %· 1,280 %· 0,820 % mehr oder weniger: immer vom Wert davor

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Ein Kopfhörer kostet 50,00 €. Der Preis steigt um 50 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
gegebengesucht50,00 €50 %?
Schritt für Schritt
  1. Faktor: 100 % + 50 % = 150 %, also 1,5
  2. 50,00 € · 1,5 = 75,00 €
  1. Faktor: 100 % + 50 % = 150 %, also 1,5
  2. 50,00 € · 1,5 = 75,00 €
Ergebnis:
75,00 €

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht
80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €
So richtig
Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Miete sinkt um 30 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
    So fängst du an:
    Vorher 100 %, nachher 100 % − 30 %, also 70 %
    Lösung zeigen
    1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 30 %, also 70 %
    2. 70 % als Dezimalzahl: 0,7
    Ergebnis:
    Faktor 0,7
  2. ●2
    Welcher Faktor gehört zu „75 % weniger“, welcher zu „75 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor75 % weniger?75 % mehr?
    Lösung zeigen
    1. 75 % weniger: 100 % − 75 % = 25 %, Faktor 0,25
    2. 75 % mehr: 100 % + 75 % = 175 %, Faktor 1,75
    Ergebnis:
    0,25 und 1,75
  3. ★3
    Ein Fahrrad kostet 300,00 €. Der Preis steigt um 8 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
    gegebengesucht300,00 €8 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 100 % + 8 % = 108 %, also 1,08
    2. 300,00 € · 1,08 = 324,00 €
    Ergebnis:
    324,00 €

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Nach einer Preiserhöhung um 10 % kostet ein Kopfhörer 88,00 €. Wie viel kostete ein Kopfhörer vorher?
gegebengesucht10 %88,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
  2. Neuer Preis = alter Preis · 1,1
  3. Alter Preis: 88,00 € : 1,1 = 80,00 €
  1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
  2. Neuer Preis = alter Preis · 1,1
  3. Alter Preis: 88,00 € : 1,1 = 80,00 €
Ergebnis:
80,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht
Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €
So richtig
64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Im Sale ist eine Jacke um 25 % günstiger und kostet jetzt 112,50 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
    gegebengesucht25 %112,50 €?
    So fängst du an:
    Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
    Lösung zeigen
    1. Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
    2. Alter Preis · 0,75 = 112,50 €
    3. Alter Preis: 112,50 € : 0,75 = 150,00 €
    Ergebnis:
    150,00 €
  2. ●5
    Im Sale ist ein Kopfhörer um 20 % günstiger und kostet jetzt 64,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
    gegebengesucht20 %64,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
    2. Alter Preis · 0,8 = 64,00 €
    3. Alter Preis: 64,00 € : 0,8 = 80,00 €
    Ergebnis:
    80,00 €
  3. ★6
    Nach einer Preiserhöhung um 6 % kostet ein Kopfhörer 169,60 €. Um wie viel Euro wurde der Preis erhöht?
    gegebengesucht6 %169,60 €?
    Lösung zeigen
    1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
    2. Neuer Preis = alter Preis · 1,06
    3. Alter Preis: 169,60 € : 1,06 = 160,00 €
    4. Erhöhung: 169,60 € − 160,00 € = 9,60 €
    Ergebnis:
    9,60 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Ein Tablet kostet 450,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
gegebengesucht450,00 €10 %?
Schritt für Schritt
  1. Faktoren: 1,1 und 0,9
  2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,9 = 0,99
  3. Neuer Preis: 450,00 € · 0,99 = 445,50 €
  4. Insgesamt billiger um 1 %
  1. Faktoren: 1,1 und 0,9
  2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,9 = 0,99
  3. Neuer Preis: 450,00 € · 0,99 = 445,50 €
  4. Insgesamt billiger um 1 %
Ergebnis:
445,50 €; minus 1 %

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Sale gibt es 10 % Rabatt. An der Kasse bekommt Jonas noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Jonas sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht10 %20 %30 %?
    So fängst du an:
    Faktoren: 0,9 und 0,8
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,9 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 0,9 · 0,8 = 0,72
    3. Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  2. ●8
    Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Jonas noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Jonas sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht20 %10 %30 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,8 und 0,9
    2. Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
    3. Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  3. ★9
    Ein Verein hat 2000 Mitglieder. Im ersten Jahr kommen 10 % dazu, im zweiten Jahr 20 %, im dritten Jahr gehen 20 % verloren. Wie viele Mitglieder hat er danach?
    gegebengesucht2000 Mitglieder10 %20 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,1, 1,2, 0,8
    2. Gesamtfaktor: 1,1 · 1,2 · 0,8 = 1,056
    3. 2000 · 1,056 = 2112
    Ergebnis:
    2112 Mitglieder

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Dein Handy-Akku lädt von 80 % auf 100 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
gegebengesucht80 %100 %?
Schritt für Schritt
  1. Prozentpunkte: 100 − 80 = 20
  2. Prozent: 20 : 80 = 0,25, also 25 %
  1. Prozentpunkte: 100 − 80 = 20
  2. Prozent: 20 : 80 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
20 Prozentpunkte; 25 %

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht
Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen
So richtig
3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 3 % auf 4,5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
    gegebengesucht3 %4,5 %?
    So fängst du an:
    Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
    2. Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 3 = 0,5, also 50 %
    Ergebnis:
    1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
  2. ●11
    Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 2 % auf 4 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 2 %.“ Was ist richtig?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied der Prozentsätze: 4 − 2 = 2, also 2 Prozentpunkte
    2. Bezogen auf den alten Satz: 2 : 2 = 1, also 100 %
    Ergebnis:
    2 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
  3. ★12
    Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 4 % auf 5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
    gegebengesucht4 %5 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied der Prozentsätze: 5 − 4 = 1, also 1 Prozentpunkt
    2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 4 = 0,25, also 25 %
    Ergebnis:
    1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 5,35 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
gegebengesucht7 %5,35 €?
Schritt für Schritt
  1. Netto: 5,35 € : 1,07 = 5,00 €
  2. Steuer: 5,35 € − 5,00 € = 0,35 €
  1. Netto: 5,35 € : 1,07 = 5,00 €
  2. Steuer: 5,35 € − 5,00 € = 0,35 €
Ergebnis:
netto 5,00 €, Steuer 0,35 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht
80 € minus 25 % = 20 €
So richtig
80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf dem Kassenzettel steht 357,00 € für eine Konsole, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht357,00 €19 %?
    So fängst du an:
    Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
    Lösung zeigen
    1. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
    2. Steuer: 357,00 € − 300,00 € = 57,00 €
    Ergebnis:
    57,00 €
  2. ●14
    Auf dem Kassenzettel steht 357,00 € für einen Laptop, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht357,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    1. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
    2. Steuer: 357,00 € − 300,00 € = 57,00 €
    Ergebnis:
    57,00 €
  3. ★15
    Ein Handy kostet 476,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Tim rechnet die Steuer als 19 % von 476,00 € und bekommt 90,44 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
    gegebengesucht476,00 €19 %90,44 €?
    Lösung zeigen
    1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
    2. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
    3. Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €
    Ergebnis:
    76,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Eine Rechnung über 800,00 € enthält 10 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 3 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
gegebengesucht800,00 €10 %3 %?
Schritt für Schritt
  1. Betrag nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,9 = 720,00 €
  2. Skonto: 3 % von 720,00 €
  3. 720,00 € · 0,03 = 21,60 €
  1. Betrag nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,9 = 720,00 €
  2. Skonto: 3 % von 720,00 €
  3. 720,00 € · 0,03 = 21,60 €
Ergebnis:
21,60 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Tischlerei kauft Material für 1.000,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
    gegebengesucht1.000,00 €20 %14 Tagen2 %?
    So fängst du an:
    Nach dem Rabatt: 1.000,00 € · 0,8 = 800,00 €
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Rabatt: 1.000,00 € · 0,8 = 800,00 €
    2. Nach dem Skonto: 800,00 € · 0,98 = 784,00 €
    Ergebnis:
    784,00 €
  2. ●17
    Ein Fahrradladen kauft Material für 1.200,00 €. Es gibt 5 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
    gegebengesucht1.200,00 €5 %14 Tagen2 %?
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Rabatt: 1.200,00 € · 0,95 = 1.140,00 €
    2. Nach dem Skonto: 1.140,00 € · 0,98 = 1.117,20 €
    Ergebnis:
    1.117,20 €
  3. ★18
    20 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 22 % Nachlass auf 1.250,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht20 %2 %22 %1.250,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nacheinander: 1.250,00 € · 0,784 = 980,00 €
    2. 22 % auf einmal: 1.250,00 € · 0,78 = 975,00 €
    3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
    Ergebnis:
    Nein: 980,00 € statt 975,00 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Eine Jacke kostet 59,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
gegebengesucht59,90 €10 %?
Schritt für Schritt
  1. 59,90 € ≈ 60,00 €
  2. 10 % sind ein Zehntel: 60 : 10 = 6
  3. 60 − 6 = 54
  1. 59,90 € ≈ 60,00 €
  2. 10 % sind ein Zehntel: 60 : 10 = 6
  3. 60 − 6 = 54
Ergebnis:
etwa 54,00 €

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Überschlage im Kopf: 19 % von 199,00 €. Etwa wie viel ist das?
    gegebengesucht19 %199,00 €?
    So fängst du an:
    19 % ≈ 20 % und 199,00 € ≈ 200,00 €
    Lösung zeigen
    1. 19 % ≈ 20 % und 199,00 € ≈ 200,00 €
    2. 10 % von 200,00 € sind 20,00 €
    3. 20 % sind etwa 40,00 €
    Ergebnis:
    etwa 40,00 €
  2. ●20
    Von 202 Kindern einer Schule kommen 59 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 202 ≈ 200 und 59 ≈ 60
    2. 60 von 200: 60 : 200 = 0,3
    3. Also etwa 30 %
    Ergebnis:
    etwa 30 %
  3. ★21
    Ein Fahrrad kostet 198,90 €. Der Preis steigt um 9 %, später gibt es 26 % Rabatt auf den neuen Preis. Überschlage den Endpreis im Kopf.
    gegebengesucht198,90 €9 %26 %?
    Lösung zeigen
    1. Runden: 198,90 € ≈ 200,00 €, 9 % ≈ 10 %, 26 % ≈ 25 %
    2. Nach dem Aufschlag: 200,00 € + 20,00 € = 220,00 €
    3. 25 % von 220,00 € sind 55,00 €
    4. 220,00 € − 55,00 € = 165,00 €
    Ergebnis:
    etwa 165,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Auf einem Schild steht: „Statt 120,00 € nur 90,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
gegebengesucht120,00 €90,00 €30 %?
Schritt für Schritt
  1. Ersparnis: 120,00 € − 90,00 € = 30,00 €
  2. 30 : 120 = 0,25, also 25 %
  1. Ersparnis: 120,00 € − 90,00 € = 30,00 €
  2. 30 : 120 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
Nein, nur 25 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 2,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?
    gegebengesucht2,00 €4 Stück?
    So fängst du an:
    Normal: 4 · 2,00 € = 8,00 €. Bezahlt: 3 · 2,00 € = 6,00 €
    Lösung zeigen
    1. Normal: 4 · 2,00 € = 8,00 €. Bezahlt: 3 · 2,00 € = 6,00 €
    2. Ersparnis: 2,00 € von 8,00 €
    3. 1 : 4 = 0,25
    Ergebnis:
    25 %
  2. ●23
    Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 18,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
    Lösung zeigen
    1. Normal: 2 · 18,00 € = 36,00 €
    2. Bezahlt: 18,00 € + 9,00 € = 27,00 €
    3. Ersparnis: 9,00 € von 36,00 €, also 1 : 4 = 0,25
    Ergebnis:
    25 %
  3. ★24
    Auf einem Schild steht: „Statt 100,00 € nur 75,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht100,00 €75,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Ersparnis: 100,00 € − 75,00 € = 25,00 €
    2. 25 : 100 = 0,25, also 25 %
    Ergebnis:
    Ja, genau 25 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welcher Faktor gehört zu „50 % weniger“, welcher zu „50 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor50 % weniger?50 % mehr?
    Lösung zeigen
    1. 50 % weniger: 100 % − 50 % = 50 %, Faktor 0,5
    2. 50 % mehr: 100 % + 50 % = 150 %, Faktor 1,5
    Ergebnis:
    0,5 und 1,5
  2. ●26
    Im Sale ist ein Tablet um 25 % günstiger und kostet jetzt 337,50 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
    gegebengesucht25 %337,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
    2. Alter Preis · 0,75 = 337,50 €
    3. Alter Preis: 337,50 € : 0,75 = 450,00 €
    Ergebnis:
    450,00 €
  3. ●27
    Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Emre noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Emre sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht20 %10 %30 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,8 und 0,9
    2. Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
    3. Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  4. ●28
    Ein Preis von 100,00 € sinkt um 10 % und steigt danach wieder um 10 %. Noah sagt: „Dann ist er wieder bei 100,00 €.“ Prüfe.
    gegebengesucht100,00 €10 %?
    Lösung zeigen
    1. Erst: 100,00 € · 0,9 = 90,00 €
    2. Dann: 90,00 € · 1,1 = 99,00 €
    3. Die zweiten 10 % beziehen sich auf 90,00 €, nicht auf 100,00 €.
    Ergebnis:
    Nein, 99,00 € – 1 % weniger
  5. ●29
    Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 10,70 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
    gegebengesucht7 %10,70 €?
    Lösung zeigen
    1. Netto: 10,70 € : 1,07 = 10,00 €
    2. Steuer: 10,70 € − 10,00 € = 0,70 €
    Ergebnis:
    netto 10,00 €, Steuer 0,70 €
  6. ●30
    5 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 7 % Nachlass auf 1.200,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht5 %2 %7 %1.200,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nacheinander: 1.200,00 € · 0,931 = 1.117,20 €
    2. 7 % auf einmal: 1.200,00 € · 0,93 = 1.116,00 €
    3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
    Ergebnis:
    Nein: 1.117,20 € statt 1.116,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor
Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert
Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren
Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte
Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto
Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto
Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen
Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen
Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

    31
    Welcher Faktor gehört zu „75 % weniger“, welcher zu „75 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor75 % weniger?75 % mehr?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,25 und 1,75

  2. Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

    32
    Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 22.000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht10 %22.000 Einwohner?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20.000

  3. Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

    33
    Ein Konzertticket kostet 40,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht40,00 €10 %20 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35,20 €; minus 12 %

  4. Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

    34
    Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 2 % auf 3 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
    gegebengesucht2 %3 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Prozentpunkt; das sind 50 % mehr

  5. Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

    35
    Auf dem Kassenzettel steht 714,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht714,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114,00 €

  6. Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

    36
    10 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 13 % Nachlass auf 1.200,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht10 %3 %13 %1.200,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein: 1.047,60 € statt 1.044,00 €

  7. Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

    37
    Überschlage im Kopf: 24 % von 297,00 €. Etwa wie viel ist das?
    gegebengesucht24 %297,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 75,00 €

  8. Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

    38
    Ein Laden wirbt: „Nimm 5, zahl 4.“ Ein Stück kostet 2,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 5 Stück nimmt?
    gegebengesucht2,00 €5 Stück?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert
das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

  1. Faktor 0,7
  2. 0,25 und 1,75
  3. 324,00 €
  4. 150,00 €
  5. 80,00 €
  6. 9,60 €
  7. Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  8. Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  9. 2112 Mitglieder
  10. 1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
  11. 2 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
  12. 1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr
  13. 57,00 €
  14. 57,00 €
  15. 76,00 €
  16. 784,00 €
  17. 1.117,20 €
  18. Nein: 980,00 € statt 975,00 €
  19. etwa 40,00 €
  20. etwa 30 %
  21. etwa 165,00 €
  22. 25 %
  23. 25 %
  24. Ja, genau 25 %
  25. 0,5 und 1,5
  26. 450,00 €
  27. Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  28. Nein, 99,00 € – 1 % weniger
  29. netto 10,00 €, Steuer 0,70 €
  30. Nein: 1.117,20 € statt 1.116,00 €
  31. 0,25 und 1,75
  32. 20.000
  33. 35,20 €; minus 12 %
  34. 1 Prozentpunkt; das sind 50 % mehr
  35. 114,00 €
  36. Nein: 1.047,60 € statt 1.044,00 €
  37. etwa 75,00 €
  38. 20 %
  39. 6,00 €
  40. 60 km