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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

  1. ●39
    Ein Laptop kostet 300,00 €. Berechne 10 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 300,00 €
    2. 1 % → 3,00 €
    3. 10 % → 3,00 € · 10 = 30,00 €
    Ergebnis:
    30,00 €
  2. ●40
    10 % einer Strecke sind 6 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
    Lösung zeigen
    1. 10 % → 6 km
    2. 1 % → 0,6 km
    3. 100 % → 0,6 · 100 = 60 km
    Ergebnis:
    60 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

Drei Streifen: 100 Prozent, 120 Prozent ist das 1,2-Fache, 80 Prozent das 0,8-Fache100 % = alter Preis120 %· 1,280 %· 0,820 % mehr oder weniger: immer vom Wert davor

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Der Fahrpreis steigt um 5 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Schritt für Schritt
  1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 5 %, also 105 %
  2. 105 % als Dezimalzahl: 1,05
  1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 5 %, also 105 %
  2. 105 % als Dezimalzahl: 1,05
Ergebnis:
Faktor 1,05

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht
80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €
So richtig
Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Wert wird mit dem Faktor 0,7 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
    So fängst du an:
    0,7 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
    Lösung zeigen
    1. 0,7 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
    2. 0,7 entspricht 70 %, also 30 % weniger
    Ergebnis:
    sinkt um 30 %
  2. ●2
    Ein Wert wird mit dem Faktor 1,1 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
    Lösung zeigen
    1. 1,1 ist größer als 1: Der Wert steigt.
    2. 1,1 entspricht 110 %, also 10 % mehr
    Ergebnis:
    steigt um 10 %
  3. ★3
    Welcher Faktor gehört zu „5 % weniger“, welcher zu „5 % mehr“? Schreibe beide auf.
    Lösung zeigen
    1. 5 % weniger: 100 % − 5 % = 95 %, Faktor 0,95
    2. 5 % mehr: 100 % + 5 % = 105 %, Faktor 1,05
    Ergebnis:
    0,95 und 1,05

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 6000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
gegebengesucht50 %6000 Einwohner?
Schritt für Schritt
  1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
  2. Faktor 1,5, also alter Wert = 6000 : 1,5
  3. 6000 : 1,5 = 4000
  1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
  2. Faktor 1,5, also alter Wert = 6000 : 1,5
  3. 6000 : 1,5 = 4000
Ergebnis:
4000

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht
Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €
So richtig
64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 6000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht50 %6000 Einwohner?
    So fängst du an:
    Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,5, also alter Wert = 6000 : 1,5
    3. 6000 : 1,5 = 4000
    Ergebnis:
    4000
  2. ●5
    Im Sale ist ein Paar Sportschuhe um 50 % günstiger und kostet jetzt 45,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
    gegebengesucht50 %45,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nach der Senkung bleiben 50 %, Faktor 0,5.
    2. Alter Preis · 0,5 = 45,00 €
    3. Alter Preis: 45,00 € : 0,5 = 90,00 €
    Ergebnis:
    90,00 €
  3. ★6
    Nach einer Preiserhöhung um 4 % kostet ein Paar Sportschuhe 93,60 €. Um wie viel Euro wurde der Preis erhöht?
    gegebengesucht4 %93,60 €?
    Lösung zeigen
    1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
    2. Neuer Preis = alter Preis · 1,04
    3. Alter Preis: 93,60 € : 1,04 = 90,00 €
    4. Erhöhung: 93,60 € − 90,00 € = 3,60 €
    Ergebnis:
    3,60 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Im Sale gibt es 10 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lukas noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Lukas sagt: „Das sind 20 % Rabatt.“ Stimmt das?
gegebengesucht10 %20 %?
Schritt für Schritt
  1. Faktoren: 0,9 und 0,9
  2. Gesamtfaktor: 0,9 · 0,9 = 0,81
  3. Es bleiben 81 %, Rabatt also 19 %
  1. Faktoren: 0,9 und 0,9
  2. Gesamtfaktor: 0,9 · 0,9 = 0,81
  3. Es bleiben 81 %, Rabatt also 19 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 19 % Rabatt

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Konzertticket kostet 80,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht80,00 €20 %25 %?
    So fängst du an:
    Faktoren: 1,2 und 0,75
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,2 und 0,75
    2. Gesamtfaktor: 1,2 · 0,75 = 0,9
    3. Neuer Preis: 80,00 € · 0,9 = 72,00 €
    4. Insgesamt billiger um 10 %
    Ergebnis:
    72,00 €; minus 10 %
  2. ●8
    Im Sale gibt es 10 % Rabatt. An der Kasse bekommt Jonas noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Jonas sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht10 %20 %30 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,9 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 0,9 · 0,8 = 0,72
    3. Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  3. ★9
    Ein Konzertticket kostet 50,00 €. Der Preis steigt erst um 25 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht25 %20 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,25 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 1,25 · 0,8 = 1
    3. Neuer Preis: 50,00 € · 1 = 50,00 €
    4. Insgesamt: keine Änderung
    Ergebnis:
    50,00 €; gleich

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 4 % auf 5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
gegebengesucht4 %5 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied der Prozentsätze: 5 − 4 = 1, also 1 Prozentpunkt
  2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 4 = 0,25, also 25 %
  1. Unterschied der Prozentsätze: 5 − 4 = 1, also 1 Prozentpunkt
  2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 4 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht
Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen
So richtig
3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Dein Handy-Akku lädt von 50 % auf 75 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    So fängst du an:
    Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
    Lösung zeigen
    1. Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
    2. Prozent: 25 : 50 = 0,5, also 50 %
    Ergebnis:
    25 Prozentpunkte; 50 %
  2. ●11
    An einer Schule kommen 10 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 50 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht10 %50 %?
    Lösung zeigen
    1. 50 % mehr: Faktor 1,5
    2. 10 · 1,5 = 15, also 15 %
    3. Anstieg: 15 − 10 = 5 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    15 %; 5 Prozentpunkte mehr
  3. ★12
    An einer Schule kommen 40 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 25 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht40 %25 %?
    Lösung zeigen
    1. 25 % mehr: Faktor 1,25
    2. 40 · 1,25 = 50, also 50 %
    3. Anstieg: 50 − 40 = 10 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    50 %; 10 Prozentpunkte mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Auf dem Kassenzettel steht 952,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
gegebengesucht952,00 €19 %?
Schritt für Schritt
  1. Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
  2. Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €
  1. Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
  2. Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €
Ergebnis:
152,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht
80 € minus 25 % = 20 €
So richtig
80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf dem Kassenzettel steht 952,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht952,00 €19 %?
    So fängst du an:
    Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
    Lösung zeigen
    1. Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
    2. Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €
    Ergebnis:
    152,00 €
  2. ●14
    Auf dem Kassenzettel steht 1.190,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht1.190,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    1. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
    2. Steuer: 1.190,00 € − 1.000,00 € = 190,00 €
    Ergebnis:
    190,00 €
  3. ★15
    Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 21,40 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
    gegebengesucht7 %21,40 €?
    Lösung zeigen
    1. Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
    2. Steuer: 21,40 € − 20,00 € = 1,40 €
    Ergebnis:
    netto 20,00 €, Steuer 1,40 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Eine Rechnung über 1.200,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
gegebengesucht1.200,00 €5 %2 %?
Schritt für Schritt
  1. Betrag nach dem Rabatt: 1.200,00 € · 0,95 = 1.140,00 €
  2. Skonto: 2 % von 1.140,00 €
  3. 1.140,00 € · 0,02 = 22,80 €
  1. Betrag nach dem Rabatt: 1.200,00 € · 0,95 = 1.140,00 €
  2. Skonto: 2 % von 1.140,00 €
  3. 1.140,00 € · 0,02 = 22,80 €
Ergebnis:
22,80 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    15 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 17 % Nachlass auf 500,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht15 %2 %17 %500,00 €?
    So fängst du an:
    Nacheinander: 500,00 € · 0,833 = 416,50 €
    Lösung zeigen
    1. Nacheinander: 500,00 € · 0,833 = 416,50 €
    2. 17 % auf einmal: 500,00 € · 0,83 = 415,00 €
    3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
    Ergebnis:
    Nein: 416,50 € statt 415,00 €
  2. ●17
    5 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 7 % Nachlass auf 800,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht5 %2 %7 %800,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nacheinander: 800,00 € · 0,931 = 744,80 €
    2. 7 % auf einmal: 800,00 € · 0,93 = 744,00 €
    3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
    Ergebnis:
    Nein: 744,80 € statt 744,00 €
  3. ★18
    Ein Malerbetrieb kauft Material für 1.450,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
    gegebengesucht1.450,00 €10 %14 Tagen3 %?
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Rabatt: 1.450,00 € · 0,9 = 1.305,00 €
    2. Nach dem Skonto: 1.305,00 € · 0,97 = 1.265,85 €
    Ergebnis:
    1.265,85 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Eine Jacke kostet 39,90 €. Es gibt 50 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
gegebengesucht39,90 €50 %?
Schritt für Schritt
  1. 39,90 € ≈ 40,00 €
  2. 50 % sind die Hälfte: 40 : 2 = 20
  3. 40 − 20 = 20
  1. 39,90 € ≈ 40,00 €
  2. 50 % sind die Hälfte: 40 : 2 = 20
  3. 40 − 20 = 20
Ergebnis:
etwa 20,00 €

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Jacke kostet 99,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
    gegebengesucht99,90 €10 %?
    So fängst du an:
    99,90 € ≈ 100,00 €
    Lösung zeigen
    1. 99,90 € ≈ 100,00 €
    2. 10 % sind ein Zehntel: 100 : 10 = 10
    3. 100 − 10 = 90
    Ergebnis:
    etwa 90,00 €
  2. ●20
    Überschlage im Kopf: 24 % von 201,00 €. Etwa wie viel ist das?
    gegebengesucht24 %201,00 €?
    Lösung zeigen
    1. 24 % ≈ 25 % und 201,00 € ≈ 200,00 €
    2. 10 % von 200,00 € sind 20,00 €
    3. 25 % sind etwa 50,00 €
    Ergebnis:
    etwa 50,00 €
  3. ★21
    Von 402 Kindern einer Schule kommen 102 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 402 ≈ 400 und 102 ≈ 100
    2. 100 von 400: 100 : 400 = 0,25
    3. Also etwa 25 %
    Ergebnis:
    etwa 25 %

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 4,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
gegebengesucht4,00 €3 Stück?
Schritt für Schritt
  1. Normal: 3 · 4,00 € = 12,00 €. Bezahlt: 2 · 4,00 € = 8,00 €
  2. Ersparnis: 4,00 € von 12,00 €
  3. 1 : 3 ≈ 0,333
  1. Normal: 3 · 4,00 € = 12,00 €. Bezahlt: 2 · 4,00 € = 8,00 €
  2. Ersparnis: 4,00 € von 12,00 €
  3. 1 : 3 ≈ 0,333
Ergebnis:
etwa 33,3 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf einem Schild steht: „Statt 80,00 € nur 60,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht80,00 €60,00 €30 %?
    So fängst du an:
    Ersparnis: 80,00 € − 60,00 € = 20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Ersparnis: 80,00 € − 60,00 € = 20,00 €
    2. 20 : 80 = 0,25, also 25 %
    Ergebnis:
    Nein, nur 25 %
  2. ●23
    Auf einem Schild steht: „Statt 120,00 € nur 90,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht120,00 €90,00 €30 %?
    Lösung zeigen
    1. Ersparnis: 120,00 € − 90,00 € = 30,00 €
    2. 30 : 120 = 0,25, also 25 %
    Ergebnis:
    Nein, nur 25 %
  3. ★24
    Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 6,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
    gegebengesucht6,00 €3 Stück?
    Lösung zeigen
    1. Normal: 3 · 6,00 € = 18,00 €. Bezahlt: 2 · 6,00 € = 12,00 €
    2. Ersparnis: 6,00 € von 18,00 €
    3. 1 : 3 ≈ 0,333
    Ergebnis:
    etwa 33,3 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Paar Sportschuhe kostet 90,00 €. Der Preis steigt um 5 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
    gegebengesucht90,00 €5 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 100 % + 5 % = 105 %, also 1,05
    2. 90,00 € · 1,05 = 94,50 €
    Ergebnis:
    94,50 €
  2. ●26
    Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Mila noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Mila sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht20 %10 %30 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,8 und 0,9
    2. Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
    3. Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  3. ●27
    Stimmt das? „Steigt ein Wert um 40 % und sinkt dann um 40 %, ist er kleiner als vorher.“ Begründe mit Faktoren.
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,4 und 0,6
    2. Produkt: 1,4 · 0,6 = 0,84
    3. 0,84 ist kleiner als 1: Der Wert ist gesunken.
    Ergebnis:
    Ja, er ist um 16 % kleiner
  4. ●28
    Dein Handy-Akku lädt von 60 % auf 90 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    gegebengesucht60 %90 %?
    Lösung zeigen
    1. Prozentpunkte: 90 − 60 = 30
    2. Prozent: 30 : 60 = 0,5, also 50 %
    Ergebnis:
    30 Prozentpunkte; 50 %
  5. ●29
    Eine Rechnung über 2.000,00 € enthält 15 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 3 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
    gegebengesucht2.000,00 €15 %3 %?
    Lösung zeigen
    1. Betrag nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,85 = 1.700,00 €
    2. Skonto: 3 % von 1.700,00 €
    3. 1.700,00 € · 0,03 = 51,00 €
    Ergebnis:
    51,00 €
  6. ●30
    Eine Jacke kostet 199,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
    gegebengesucht199,90 €10 %?
    Lösung zeigen
    1. 199,90 € ≈ 200,00 €
    2. 10 % sind ein Zehntel: 200 : 10 = 20
    3. 200 − 20 = 180
    Ergebnis:
    etwa 180,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor
Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert
Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren
Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte
Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto
Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto
Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen
Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen
Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

    31
    Welcher Faktor gehört zu „5 % weniger“, welcher zu „5 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor5 % weniger?5 % mehr?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,95 und 1,05

  2. Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

    32
    Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 25 % gewachsen und hat jetzt 5000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht25 %5000 Einwohner?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4000

  3. Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

    33
    Ein Paar Sportschuhe kostet 120,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht120,00 €20 %10 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    129,60 €; plus 8 %

  4. Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

    34
    Dein Handy-Akku lädt von 50 % auf 75 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Prozentpunkte; 50 %

  5. Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

    35
    Auf dem Kassenzettel steht 952,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht952,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152,00 €

  6. Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

    36
    15 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 17 % Nachlass auf 1.000,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht15 %2 %17 %1.000,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein: 833,00 € statt 830,00 €

  7. Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

    37
    Überschlage im Kopf: 51 % von 801,00 €. Etwa wie viel ist das?
    gegebengesucht51 %801,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 400,00 €

  8. Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

    38
    Auf einem Schild steht: „Statt 40,00 € nur 28,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht40,00 €28,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja, genau 30 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert
das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

  1. sinkt um 30 %
  2. steigt um 10 %
  3. 0,95 und 1,05
  4. 4000
  5. 90,00 €
  6. 3,60 €
  7. 72,00 €; minus 10 %
  8. Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  9. 50,00 €; gleich
  10. 25 Prozentpunkte; 50 %
  11. 15 %; 5 Prozentpunkte mehr
  12. 50 %; 10 Prozentpunkte mehr
  13. 152,00 €
  14. 190,00 €
  15. netto 20,00 €, Steuer 1,40 €
  16. Nein: 416,50 € statt 415,00 €
  17. Nein: 744,80 € statt 744,00 €
  18. 1.265,85 €
  19. etwa 90,00 €
  20. etwa 50,00 €
  21. etwa 25 %
  22. Nein, nur 25 %
  23. Nein, nur 25 %
  24. etwa 33,3 %
  25. 94,50 €
  26. Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  27. Ja, er ist um 16 % kleiner
  28. 30 Prozentpunkte; 50 %
  29. 51,00 €
  30. etwa 180,00 €
  31. 0,95 und 1,05
  32. 4000
  33. 129,60 €; plus 8 %
  34. 25 Prozentpunkte; 50 %
  35. 152,00 €
  36. Nein: 833,00 € statt 830,00 €
  37. etwa 400,00 €
  38. Ja, genau 30 %
  39. 30,00 €
  40. 60 km