Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Kopfhörer kostet 200,00 €. Berechne 25 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 200,00 €
2. 1 % → 2,00 €
3. 25 % → 2,00 € · 25 = 50,00 €
Ergebnis:
50,00 €
●40
20 % einer Strecke sind 24 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 20 % → 24 km
2. 1 % → 1,2 km
3. 100 % → 1,2 · 100 = 120 km
Ergebnis:
120 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Die Zahl der Mitglieder im Sportverein sinkt um 25 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?

Schritt für Schritt

Vorher 100 %, nachher 100 % − 25 %, also 75 %
75 % als Dezimalzahl: 0,75

Vorher 100 %, nachher 100 % − 25 %, also 75 %
75 % als Dezimalzahl: 0,75

Ergebnis:

Faktor 0,75

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Faktor gehört zu „20 % weniger“, welcher zu „20 % mehr“? Schreibe beide auf.
So fängst du an:
20 % weniger: 100 % − 20 % = 80 %, Faktor 0,8
Lösung zeigen
1. 20 % weniger: 100 % − 20 % = 80 %, Faktor 0,8
2. 20 % mehr: 100 % + 20 % = 120 %, Faktor 1,2
Ergebnis:
0,8 und 1,2
●2
Welcher Faktor gehört zu „5 % weniger“, welcher zu „5 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 5 % weniger: 100 % − 5 % = 95 %, Faktor 0,95
2. 5 % mehr: 100 % + 5 % = 105 %, Faktor 1,05
Ergebnis:
0,95 und 1,05
★3
Welcher Faktor gehört zu „50 % weniger“, welcher zu „50 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 50 % weniger: 100 % − 50 % = 50 %, Faktor 0,5
2. 50 % mehr: 100 % + 50 % = 150 %, Faktor 1,5
Ergebnis:
0,5 und 1,5

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 13.200 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?

Schritt für Schritt

Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
Faktor 1,1, also alter Wert = 13.200 : 1,1
13.200 : 1,1 = 12.000

Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
Faktor 1,1, also alter Wert = 13.200 : 1,1
13.200 : 1,1 = 12.000

Ergebnis:

12.000

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Im Sale ist eine Jacke um 25 % günstiger und kostet jetzt 60,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
So fängst du an:
Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
2. Alter Preis · 0,75 = 60,00 €
3. Alter Preis: 60,00 € : 0,75 = 80,00 €
Ergebnis:
80,00 €
●5
Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 20 % gewachsen und hat jetzt 2400 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 20 %: jetzt 120 % des alten Werts.
2. Faktor 1,2, also alter Wert = 2400 : 1,2
3. 2400 : 1,2 = 2000
Ergebnis:
2000
★6
Nach einer Preiserhöhung um 6 % kostet ein Kopfhörer 169,60 €. Um wie viel Euro wurde der Preis erhöht?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,06
3. Alter Preis: 169,60 € : 1,06 = 160,00 €
4. Erhöhung: 169,60 € − 160,00 € = 9,60 €
Ergebnis:
9,60 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Mira noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Mira sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Faktoren: 0,8 und 0,9
Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %

Faktoren: 0,8 und 0,9
Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %

Ergebnis:

Nein, insgesamt 28 % Rabatt

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lea noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Lea sagt: „Das sind 50 % Rabatt.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Faktoren: 0,7 und 0,8
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,7 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
3. Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 44 % Rabatt
●8
Im Sale gibt es 50 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lukas noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Lukas sagt: „Das sind 70 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,5 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 0,5 · 0,8 = 0,4
3. Es bleiben 40 %, Rabatt also 60 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 60 % Rabatt
★9
Ein Kopfhörer kostet 120,00 €. Der Preis steigt erst um 15 %, später sinkt er um 5 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,15 und 0,95
2. Gesamtfaktor: 1,15 · 0,95 = 1,0925
3. Neuer Preis: 120,00 € · 1,0925 = 131,10 €
4. Insgesamt teurer um 9,25 %
Ergebnis:
131,10 €; plus 9,25 %

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?

Schritt für Schritt

20 % mehr: Faktor 1,2
50 · 1,2 = 60, also 60 %
Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte

20 % mehr: Faktor 1,2
50 · 1,2 = 60, also 60 %
Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte

Ergebnis:

60 %; 10 Prozentpunkte mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
An einer Schule kommen 20 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
So fängst du an:
10 % mehr: Faktor 1,1
Lösung zeigen
1. 10 % mehr: Faktor 1,1
2. 20 · 1,1 = 22, also 22 %
3. Anstieg: 22 − 20 = 2 Prozentpunkte
Ergebnis:
22 %; 2 Prozentpunkte mehr
●11
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 2 % auf 3 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 3 − 2 = 1, also 1 Prozentpunkt
2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 2 = 0,5, also 50 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 50 % mehr
★12
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 4 % auf 5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 5 − 4 = 1, also 1 Prozentpunkt
2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 4 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 21,40 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?

Schritt für Schritt

Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
Steuer: 21,40 € − 20,00 € = 1,40 €

Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
Steuer: 21,40 € − 20,00 € = 1,40 €

Ergebnis:

netto 20,00 €, Steuer 1,40 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht

80 € minus 25 % = 20 €

So richtig

80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

○13
Auf dem Kassenzettel steht 476,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
So fängst du an:
Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
Lösung zeigen
1. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
2. Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €
Ergebnis:
76,00 €
●14
Auf dem Kassenzettel steht 595,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
2. Steuer: 595,00 € − 500,00 € = 95,00 €
Ergebnis:
95,00 €
★15
Eine Konsole kostet 595,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Aylin rechnet die Steuer als 19 % von 595,00 € und bekommt 113,05 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
Lösung zeigen
1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
2. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
3. Steuer: 595,00 € − 500,00 € = 95,00 €
Ergebnis:
95,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Ein Sportverein kauft Material für 2.500,00 €. Es gibt 15 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?

Schritt für Schritt

Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,85 = 2.125,00 €
Nach dem Skonto: 2.125,00 € · 0,97 = 2.061,25 €

Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,85 = 2.125,00 €
Nach dem Skonto: 2.125,00 € · 0,97 = 2.061,25 €

Ergebnis:

2.061,25 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Rechnung über 2.000,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 3 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
So fängst du an:
Betrag nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,95 = 1.900,00 €
Lösung zeigen
1. Betrag nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,95 = 1.900,00 €
2. Skonto: 3 % von 1.900,00 €
3. 1.900,00 € · 0,03 = 57,00 €
Ergebnis:
57,00 €
●17
Ein Sportverein kauft Material für 1.000,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 1.000,00 € · 0,8 = 800,00 €
2. Nach dem Skonto: 800,00 € · 0,97 = 776,00 €
Ergebnis:
776,00 €
★18
Eine Tischlerei kauft Material für 3.150,00 €. Es gibt 15 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 3.150,00 € · 0,85 = 2.677,50 €
2. Nach dem Skonto: 2.677,50 € · 0,98 = 2.623,95 €
Ergebnis:
2.623,95 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Von 296 Kindern einer Schule kommen 32 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.

Schritt für Schritt

296 ≈ 300 und 32 ≈ 30
30 von 300: 30 : 300 = 0,1
Also etwa 10 %

296 ≈ 300 und 32 ≈ 30
30 von 300: 30 : 300 = 0,1
Also etwa 10 %

Ergebnis:

etwa 10 %

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Überschlage im Kopf: 26 % von 401,00 €. Etwa wie viel ist das?
So fängst du an:
26 % ≈ 25 % und 401,00 € ≈ 400,00 €
Lösung zeigen
1. 26 % ≈ 25 % und 401,00 € ≈ 400,00 €
2. 10 % von 400,00 € sind 40,00 €
3. 25 % sind etwa 100,00 €
Ergebnis:
etwa 100,00 €
●20
Überschlage im Kopf: 51 % von 601,00 €. Etwa wie viel ist das?
Lösung zeigen
1. 51 % ≈ 50 % und 601,00 € ≈ 600,00 €
2. 10 % von 600,00 € sind 60,00 €
3. 50 % sind etwa 300,00 €
Ergebnis:
etwa 300,00 €
★21
Eine Jacke kostet 99,90 €. Es gibt 25 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
Lösung zeigen
1. 99,90 € ≈ 100,00 €
2. 25 % sind ein Viertel: 100 : 4 = 25
3. 100 − 25 = 75
Ergebnis:
etwa 75,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 2,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?

Schritt für Schritt

Normal: 4 · 2,00 € = 8,00 €. Bezahlt: 3 · 2,00 € = 6,00 €
Ersparnis: 2,00 € von 8,00 €
1 : 4 = 0,25

Normal: 4 · 2,00 € = 8,00 €. Bezahlt: 3 · 2,00 € = 6,00 €
Ersparnis: 2,00 € von 8,00 €
1 : 4 = 0,25

Ergebnis:

25 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○22
Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 24,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
So fängst du an:
Normal: 2 · 24,00 € = 48,00 €
Lösung zeigen
1. Normal: 2 · 24,00 € = 48,00 €
2. Bezahlt: 24,00 € + 12,00 € = 36,00 €
3. Ersparnis: 12,00 € von 48,00 €, also 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %
●23
Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 4,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
Lösung zeigen
1. Normal: 3 · 4,00 € = 12,00 €. Bezahlt: 2 · 4,00 € = 8,00 €
2. Ersparnis: 4,00 € von 12,00 €
3. 1 : 3 ≈ 0,333
Ergebnis:
etwa 33,3 %
★24
Eine Flasche Duschgel hat jetzt 50 % mehr Inhalt: 600 ml statt 400 ml, zum gleichen Preis. Um wie viel Prozent ist der Preis je Milliliter gesunken?
Lösung zeigen
1. Gleicher Preis für 1,5-mal so viel
2. Preis je Milliliter: Faktor 1 : 1,5 ≈ 0,6667
3. Gesunken um etwa 33,3 %, nicht um 50 %
Ergebnis:
etwa 33,3 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein großer Sportverein ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 12.000 Mitglieder. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
2. Faktor 1,5, also alter Wert = 12.000 : 1,5
3. 12.000 : 1,5 = 8000
Ergebnis:
8000
●26
Eine Jacke kostet 90,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,2 und 0,75
2. Gesamtfaktor: 1,2 · 0,75 = 0,9
3. Neuer Preis: 90,00 € · 0,9 = 81,00 €
4. Insgesamt billiger um 10 %
Ergebnis:
81,00 €; minus 10 %
●27
Ein Preis von 500,00 € steigt um 30 % und sinkt danach wieder um 30 %. Sara sagt: „Dann ist er wieder bei 500,00 €.“ Prüfe.
Lösung zeigen
1. Erst: 500,00 € · 1,3 = 650,00 €
2. Dann: 650,00 € · 0,7 = 455,00 €
3. Die zweiten 30 % beziehen sich auf 650,00 €, nicht auf 500,00 €.
Ergebnis:
Nein, 455,00 € – 9 % weniger
●28
Dein Handy-Akku lädt von 80 % auf 100 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 100 − 80 = 20
2. Prozent: 20 : 80 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
20 Prozentpunkte; 25 %
●29
Auf dem Kassenzettel steht 476,00 € für einen Laptop, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
2. Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €
Ergebnis:
76,00 €
●30
15 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 17 % Nachlass auf 800,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 800,00 € · 0,833 = 666,40 €
2. 17 % auf einmal: 800,00 € · 0,83 = 664,00 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 666,40 € statt 664,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Ein Wert wird mit dem Faktor 1,15 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
Ergebnis:
steigt um 15 %
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Im Sale ist eine Jacke um 50 % günstiger und kostet jetzt 60,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
Ergebnis:
120,00 €
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Ein Tablet kostet 250,00 €. Der Preis steigt erst um 50 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
Ergebnis:
300,00 €; plus 20 %
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
Dein Handy-Akku lädt von 40 % auf 60 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Prozentpunkte; 50 %
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Auf dem Kassenzettel steht 595,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
Lösung zeigen
Ergebnis:
95,00 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
10 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 12 % Nachlass auf 500,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein: 441,00 € statt 440,00 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Überschlage im Kopf: 24 % von 801,00 €. Etwa wie viel ist das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 200,00 €
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 9,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 33,3 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

0,8 und 1,2
0,95 und 1,05
0,5 und 1,5
80,00 €
2000
9,60 €
Nein, insgesamt 44 % Rabatt
Nein, insgesamt 60 % Rabatt
131,10 €; plus 9,25 %
22 %; 2 Prozentpunkte mehr
1 Prozentpunkt; das sind 50 % mehr
1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr
76,00 €
95,00 €
95,00 €
57,00 €
776,00 €
2.623,95 €
etwa 100,00 €
etwa 300,00 €
etwa 75,00 €
25 %
etwa 33,3 %
etwa 33,3 %
8000
81,00 €; minus 10 %
Nein, 455,00 € – 9 % weniger
20 Prozentpunkte; 25 %
76,00 €
Nein: 666,40 € statt 664,00 €
steigt um 15 %
120,00 €
300,00 €; plus 20 %
20 Prozentpunkte; 50 %
95,00 €
Nein: 441,00 € statt 440,00 €
etwa 200,00 €
etwa 33,3 %
50,00 €
120 km