Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

  1. ●39
    Eine Jacke kostet 60,00 €. Berechne 30 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 60,00 €
    2. 1 % → 0,60 €
    3. 30 % → 0,60 € · 30 = 18,00 €
    Ergebnis:
    18,00 €
  2. ●40
    25 % einer Strecke sind 10 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
    Lösung zeigen
    1. 25 % → 10 km
    2. 1 % → 0,4 km
    3. 100 % → 0,4 · 100 = 40 km
    Ergebnis:
    40 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

Drei Streifen: 100 Prozent, 120 Prozent ist das 1,2-Fache, 80 Prozent das 0,8-Fache100 % = alter Preis120 %· 1,280 %· 0,820 % mehr oder weniger: immer vom Wert davor

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Ein Paar Sportschuhe kostet 70,00 €. Der Preis steigt um 30 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
gegebengesucht70,00 €30 %?
Schritt für Schritt
  1. Faktor: 100 % + 30 % = 130 %, also 1,3
  2. 70,00 € · 1,3 = 91,00 €
  1. Faktor: 100 % + 30 % = 130 %, also 1,3
  2. 70,00 € · 1,3 = 91,00 €
Ergebnis:
91,00 €

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht
80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €
So richtig
Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Faktor gehört zu „5 % weniger“, welcher zu „5 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor5 % weniger?5 % mehr?
    So fängst du an:
    5 % weniger: 100 % − 5 % = 95 %, Faktor 0,95
    Lösung zeigen
    1. 5 % weniger: 100 % − 5 % = 95 %, Faktor 0,95
    2. 5 % mehr: 100 % + 5 % = 105 %, Faktor 1,05
    Ergebnis:
    0,95 und 1,05
  2. ●2
    Der Fahrpreis sinkt um 15 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
    Lösung zeigen
    1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 15 %, also 85 %
    2. 85 % als Dezimalzahl: 0,85
    Ergebnis:
    Faktor 0,85
  3. ★3
    Die Zahl der Mitglieder im Sportverein sinkt um 35 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
    Lösung zeigen
    1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 35 %, also 65 %
    2. 65 % als Dezimalzahl: 0,65
    Ergebnis:
    Faktor 0,65

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Im Sale ist ein Tablet um 10 % günstiger und kostet jetzt 360,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
gegebengesucht10 %360,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Nach der Senkung bleiben 90 %, Faktor 0,9.
  2. Alter Preis · 0,9 = 360,00 €
  3. Alter Preis: 360,00 € : 0,9 = 400,00 €
  1. Nach der Senkung bleiben 90 %, Faktor 0,9.
  2. Alter Preis · 0,9 = 360,00 €
  3. Alter Preis: 360,00 € : 0,9 = 400,00 €
Ergebnis:
400,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht
Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €
So richtig
64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 12.000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht50 %12.000 Einwohner?
    So fängst du an:
    Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,5, also alter Wert = 12.000 : 1,5
    3. 12.000 : 1,5 = 8000
    Ergebnis:
    8000
  2. ●5
    Im Sale ist ein Paar Sportschuhe um 50 % günstiger und kostet jetzt 60,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
    gegebengesucht50 %60,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nach der Senkung bleiben 50 %, Faktor 0,5.
    2. Alter Preis · 0,5 = 60,00 €
    3. Alter Preis: 60,00 € : 0,5 = 120,00 €
    Ergebnis:
    120,00 €
  3. ★6
    Ein großer Sportverein ist in fünf Jahren um 6 % gewachsen und hat jetzt 12.720 Mitglieder. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht6 %12.720 Mitglieder?
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 6 %: jetzt 106 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,06, also alter Wert = 12.720 : 1,06
    3. 12.720 : 1,06 = 12.000
    Ergebnis:
    12.000

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Tim noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Tim sagt: „Das sind 50 % Rabatt.“ Stimmt das?
gegebengesucht30 %20 %50 %?
Schritt für Schritt
  1. Faktoren: 0,7 und 0,8
  2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
  3. Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %
  1. Faktoren: 0,7 und 0,8
  2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
  3. Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 44 % Rabatt

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Kopfhörer kostet 100,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht100,00 €30 %20 %?
    So fängst du an:
    Faktoren: 1,3 und 0,8
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,3 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 1,3 · 0,8 = 1,04
    3. Neuer Preis: 100,00 € · 1,04 = 104,00 €
    4. Insgesamt teurer um 4 %
    Ergebnis:
    104,00 €; plus 4 %
  2. ●8
    Ein Paar Sportschuhe kostet 70,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht70,00 €10 %20 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,1 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,8 = 0,88
    3. Neuer Preis: 70,00 € · 0,88 = 61,60 €
    4. Insgesamt billiger um 12 %
    Ergebnis:
    61,60 €; minus 12 %
  3. ★9
    Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lea noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Lea sagt: „Das sind 50 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht30 %20 %50 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,7 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
    3. Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 44 % Rabatt

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
gegebengesucht50 %20 %?
Schritt für Schritt
  1. 20 % mehr: Faktor 1,2
  2. 50 · 1,2 = 60, also 60 %
  3. Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte
  1. 20 % mehr: Faktor 1,2
  2. 50 · 1,2 = 60, also 60 %
  3. Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte
Ergebnis:
60 %; 10 Prozentpunkte mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht
Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen
So richtig
3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 1,5 % auf 3 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
    So fängst du an:
    Unterschied der Prozentsätze: 3 − 1,5 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied der Prozentsätze: 3 − 1,5 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
    2. Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 1,5 = 1, also 100 %
    Ergebnis:
    1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
  2. ●11
    An einer Schule kommen 60 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 5 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht60 %5 %?
    Lösung zeigen
    1. 5 % mehr: Faktor 1,05
    2. 60 · 1,05 = 63, also 63 %
    3. Anstieg: 63 − 60 = 3 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    63 %; 3 Prozentpunkte mehr
  3. ★12
    An einer Schule kommen 40 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 25 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht40 %25 %?
    Lösung zeigen
    1. 25 % mehr: Faktor 1,25
    2. 40 · 1,25 = 50, also 50 %
    3. Anstieg: 50 − 40 = 10 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    50 %; 10 Prozentpunkte mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Auf dem Kassenzettel steht 1.190,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
gegebengesucht1.190,00 €19 %?
Schritt für Schritt
  1. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
  2. Steuer: 1.190,00 € − 1.000,00 € = 190,00 €
  1. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
  2. Steuer: 1.190,00 € − 1.000,00 € = 190,00 €
Ergebnis:
190,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht
80 € minus 25 % = 20 €
So richtig
80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Schreibtisch kostet im Laden 1.190,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
    gegebengesucht1.190,00 €19 %?
    So fängst du an:
    Brutto = netto · 1,19
    Lösung zeigen
    1. Brutto = netto · 1,19
    2. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
    Ergebnis:
    1.000,00 €
  2. ●14
    Ein Laptop kostet im Laden 357,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
    gegebengesucht357,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    1. Brutto = netto · 1,19
    2. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
    Ergebnis:
    300,00 €
  3. ★15
    Ein Laptop kostet 595,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Aylin rechnet die Steuer als 19 % von 595,00 € und bekommt 113,05 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
    gegebengesucht595,00 €19 %113,05 €?
    Lösung zeigen
    1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
    2. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
    3. Steuer: 595,00 € − 500,00 € = 95,00 €
    Ergebnis:
    95,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

20 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 23 % Nachlass auf 1.200,00 €? Vergleiche die Beträge.
gegebengesucht20 %3 %23 %1.200,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Nacheinander: 1.200,00 € · 0,776 = 931,20 €
  2. 23 % auf einmal: 1.200,00 € · 0,77 = 924,00 €
  3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
  1. Nacheinander: 1.200,00 € · 0,776 = 931,20 €
  2. 23 % auf einmal: 1.200,00 € · 0,77 = 924,00 €
  3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 931,20 € statt 924,00 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Sportverein kauft Material für 2.500,00 €. Es gibt 5 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
    gegebengesucht2.500,00 €5 %14 Tagen3 %?
    So fängst du an:
    Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,95 = 2.375,00 €
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,95 = 2.375,00 €
    2. Nach dem Skonto: 2.375,00 € · 0,97 = 2.303,75 €
    Ergebnis:
    2.303,75 €
  2. ●17
    10 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 12 % Nachlass auf 2.000,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht10 %2 %12 %2.000,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nacheinander: 2.000,00 € · 0,882 = 1.764,00 €
    2. 12 % auf einmal: 2.000,00 € · 0,88 = 1.760,00 €
    3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
    Ergebnis:
    Nein: 1.764,00 € statt 1.760,00 €
  3. ★18
    Eine Rechnung über 1.450,00 € enthält 15 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
    gegebengesucht1.450,00 €15 %2 %?
    Lösung zeigen
    1. Betrag nach dem Rabatt: 1.450,00 € · 0,85 = 1.232,50 €
    2. Skonto: 2 % von 1.232,50 €
    3. 1.232,50 € · 0,02 = 24,65 €
    Ergebnis:
    24,65 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Von 203 Kindern einer Schule kommen 62 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Schritt für Schritt
  1. 203 ≈ 200 und 62 ≈ 60
  2. 60 von 200: 60 : 200 = 0,3
  3. Also etwa 30 %
  1. 203 ≈ 200 und 62 ≈ 60
  2. 60 von 200: 60 : 200 = 0,3
  3. Also etwa 30 %
Ergebnis:
etwa 30 %

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Überschlage im Kopf: 48 % von 401,00 €. Etwa wie viel ist das?
    gegebengesucht48 %401,00 €?
    So fängst du an:
    48 % ≈ 50 % und 401,00 € ≈ 400,00 €
    Lösung zeigen
    1. 48 % ≈ 50 % und 401,00 € ≈ 400,00 €
    2. 10 % von 400,00 € sind 40,00 €
    3. 50 % sind etwa 200,00 €
    Ergebnis:
    etwa 200,00 €
  2. ●20
    Von 302 Kindern einer Schule kommen 29 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 302 ≈ 300 und 29 ≈ 30
    2. 30 von 300: 30 : 300 = 0,1
    3. Also etwa 10 %
    Ergebnis:
    etwa 10 %
  3. ★21
    Von 296 Kindern einer Schule kommen 58 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 296 ≈ 300 und 58 ≈ 60
    2. 60 von 300: 60 : 300 = 0,2
    3. Also etwa 20 %
    Ergebnis:
    etwa 20 %

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 2,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?
gegebengesucht2,00 €4 Stück?
Schritt für Schritt
  1. Normal: 4 · 2,00 € = 8,00 €. Bezahlt: 3 · 2,00 € = 6,00 €
  2. Ersparnis: 2,00 € von 8,00 €
  3. 1 : 4 = 0,25
  1. Normal: 4 · 2,00 € = 8,00 €. Bezahlt: 3 · 2,00 € = 6,00 €
  2. Ersparnis: 2,00 € von 8,00 €
  3. 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf einem Schild steht: „Statt 80,00 € nur 68,00 € – 20 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht80,00 €68,00 €20 %?
    So fängst du an:
    Ersparnis: 80,00 € − 68,00 € = 12,00 €
    Lösung zeigen
    1. Ersparnis: 80,00 € − 68,00 € = 12,00 €
    2. 12 : 80 = 0,15, also 15 %
    Ergebnis:
    Nein, nur 15 %
  2. ●23
    Auf einem Schild steht: „Statt 120,00 € nur 84,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht120,00 €84,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Ersparnis: 120,00 € − 84,00 € = 36,00 €
    2. 36 : 120 = 0,3, also 30 %
    Ergebnis:
    Ja, genau 30 %
  3. ★24
    Eine Flasche Duschgel hat jetzt 30 % mehr Inhalt: 975 ml statt 750 ml, zum gleichen Preis. Um wie viel Prozent ist der Preis je Milliliter gesunken?
    gegebengesucht30 %975 ml750 ml?
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Preis für 1,3-mal so viel
    2. Preis je Milliliter: Faktor 1 : 1,3 ≈ 0,7692
    3. Gesunken um etwa 23,1 %, nicht um 30 %
    Ergebnis:
    etwa 23,1 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Paar Sportschuhe kostet 100,00 €. Der Preis steigt um 40 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
    gegebengesucht100,00 €40 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 100 % + 40 % = 140 %, also 1,4
    2. 100,00 € · 1,4 = 140,00 €
    Ergebnis:
    140,00 €
  2. ●26
    Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 12.000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht50 %12.000 Einwohner?
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,5, also alter Wert = 12.000 : 1,5
    3. 12.000 : 1,5 = 8000
    Ergebnis:
    8000
  3. ●27
    Im Sale gibt es 50 % Rabatt. An der Kasse bekommt Tim noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Tim sagt: „Das sind 60 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht50 %10 %60 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,5 und 0,9
    2. Gesamtfaktor: 0,5 · 0,9 = 0,45
    3. Es bleiben 45 %, Rabatt also 55 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 55 % Rabatt
  4. ●28
    Ein Preis von 400,00 € steigt um 30 % und sinkt danach wieder um 30 %. Aylin sagt: „Dann ist er wieder bei 400,00 €.“ Prüfe.
    gegebengesucht400,00 €30 %?
    Lösung zeigen
    1. Erst: 400,00 € · 1,3 = 520,00 €
    2. Dann: 520,00 € · 0,7 = 364,00 €
    3. Die zweiten 30 % beziehen sich auf 520,00 €, nicht auf 400,00 €.
    Ergebnis:
    Nein, 364,00 € – 9 % weniger
  5. ●29
    Dein Handy-Akku lädt von 80 % auf 100 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    gegebengesucht80 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. Prozentpunkte: 100 − 80 = 20
    2. Prozent: 20 : 80 = 0,25, also 25 %
    Ergebnis:
    20 Prozentpunkte; 25 %
  6. ●30
    20 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 23 % Nachlass auf 2.500,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht20 %3 %23 %2.500,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nacheinander: 2.500,00 € · 0,776 = 1.940,00 €
    2. 23 % auf einmal: 2.500,00 € · 0,77 = 1.925,00 €
    3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
    Ergebnis:
    Nein: 1.940,00 € statt 1.925,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor
Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert
Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren
Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte
Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto
Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto
Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen
Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen
Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

    31
    Welcher Faktor gehört zu „20 % weniger“, welcher zu „20 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor20 % weniger?20 % mehr?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,8 und 1,2

  2. Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

    32
    Ein großer Sportverein ist in fünf Jahren um 20 % gewachsen und hat jetzt 14.400 Mitglieder. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht20 %14.400 Mitglieder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12.000

  3. Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

    33
    Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Aylin noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Aylin sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht20 %40 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 36 % Rabatt

  4. Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

    34
    An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht50 %20 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 %; 10 Prozentpunkte mehr

  5. Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

    35
    Ein Fahrrad kostet im Laden 595,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
    gegebengesucht595,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    500,00 €

  6. Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

    36
    Eine Rechnung über 800,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
    gegebengesucht800,00 €5 %2 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15,20 €

  7. Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

    37
    Eine Jacke kostet 39,90 €. Es gibt 25 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
    gegebengesucht39,90 €25 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 30,00 €

  8. Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

    38
    Auf einem Schild steht: „Statt 50,00 € nur 37,50 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht50,00 €37,50 €30 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, nur 25 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert
das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

  1. 0,95 und 1,05
  2. Faktor 0,85
  3. Faktor 0,65
  4. 8000
  5. 120,00 €
  6. 12.000
  7. 104,00 €; plus 4 %
  8. 61,60 €; minus 12 %
  9. Nein, insgesamt 44 % Rabatt
  10. 1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
  11. 63 %; 3 Prozentpunkte mehr
  12. 50 %; 10 Prozentpunkte mehr
  13. 1.000,00 €
  14. 300,00 €
  15. 95,00 €
  16. 2.303,75 €
  17. Nein: 1.764,00 € statt 1.760,00 €
  18. 24,65 €
  19. etwa 200,00 €
  20. etwa 10 %
  21. etwa 20 %
  22. Nein, nur 15 %
  23. Ja, genau 30 %
  24. etwa 23,1 %
  25. 140,00 €
  26. 8000
  27. Nein, insgesamt 55 % Rabatt
  28. Nein, 364,00 € – 9 % weniger
  29. 20 Prozentpunkte; 25 %
  30. Nein: 1.940,00 € statt 1.925,00 €
  31. 0,8 und 1,2
  32. 12.000
  33. Nein, insgesamt 36 % Rabatt
  34. 60 %; 10 Prozentpunkte mehr
  35. 500,00 €
  36. 15,20 €
  37. etwa 30,00 €
  38. Nein, nur 25 %
  39. 18,00 €
  40. 40 km