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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

  1. ●39
    Ein Game kostet 60,00 €. Berechne 20 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 60,00 €
    2. 1 % → 0,60 €
    3. 20 % → 0,60 € · 20 = 12,00 €
    Ergebnis:
    12,00 €
  2. ●40
    10 % einer Strecke sind 8 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
    Lösung zeigen
    1. 10 % → 8 km
    2. 1 % → 0,8 km
    3. 100 % → 0,8 · 100 = 80 km
    Ergebnis:
    80 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

Drei Streifen: 100 Prozent, 120 Prozent ist das 1,2-Fache, 80 Prozent das 0,8-Fache100 % = alter Preis120 %· 1,280 %· 0,820 % mehr oder weniger: immer vom Wert davor

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Der Preis für ein Bahnticket steigt um 15 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Schritt für Schritt
  1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 15 %, also 115 %
  2. 115 % als Dezimalzahl: 1,15
  1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 15 %, also 115 %
  2. 115 % als Dezimalzahl: 1,15
Ergebnis:
Faktor 1,15

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht
80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €
So richtig
Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Tablet kostet 300,00 €. Der Preis steigt um 30 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
    gegebengesucht300,00 €30 %?
    So fängst du an:
    Faktor: 100 % + 30 % = 130 %, also 1,3
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 100 % + 30 % = 130 %, also 1,3
    2. 300,00 € · 1,3 = 390,00 €
    Ergebnis:
    390,00 €
  2. ●2
    Die Zahl der Besucher im Freibad sinkt um 40 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
    Lösung zeigen
    1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 40 %, also 60 %
    2. 60 % als Dezimalzahl: 0,6
    Ergebnis:
    Faktor 0,6
  3. ★3
    Welcher Faktor gehört zu „50 % weniger“, welcher zu „50 % mehr“? Schreibe beide auf.
    Lösung zeigen
    1. 50 % weniger: 100 % − 50 % = 50 %, Faktor 0,5
    2. 50 % mehr: 100 % + 50 % = 150 %, Faktor 1,5
    Ergebnis:
    0,5 und 1,5

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Im Sale ist eine Jacke um 20 % günstiger und kostet jetzt 64,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
gegebengesucht20 %64,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
  2. Alter Preis · 0,8 = 64,00 €
  3. Alter Preis: 64,00 € : 0,8 = 80,00 €
  1. Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
  2. Alter Preis · 0,8 = 64,00 €
  3. Alter Preis: 64,00 € : 0,8 = 80,00 €
Ergebnis:
80,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht
Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €
So richtig
64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nach einer Preiserhöhung um 25 % kostet ein Paar Sportschuhe 87,50 €. Wie viel kostete ein Paar Sportschuhe vorher?
    gegebengesucht25 %87,50 €?
    So fängst du an:
    Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
    Lösung zeigen
    1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
    2. Neuer Preis = alter Preis · 1,25
    3. Alter Preis: 87,50 € : 1,25 = 70,00 €
    Ergebnis:
    70,00 €
  2. ●5
    Ein großer Sportverein ist in fünf Jahren um 20 % gewachsen und hat jetzt 14.400 Mitglieder. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht20 %14.400 Mitglieder?
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 20 %: jetzt 120 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,2, also alter Wert = 14.400 : 1,2
    3. 14.400 : 1,2 = 12.000
    Ergebnis:
    12.000
  3. ★6
    Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 6 % gewachsen und hat jetzt 4240 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht6 %4240 Einwohner?
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 6 %: jetzt 106 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,06, also alter Wert = 4240 : 1,06
    3. 4240 : 1,06 = 4000
    Ergebnis:
    4000

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Mira noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Mira sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
gegebengesucht30 %10 %40 %?
Schritt für Schritt
  1. Faktoren: 0,7 und 0,9
  2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,9 = 0,63
  3. Es bleiben 63 %, Rabatt also 37 %
  1. Faktoren: 0,7 und 0,9
  2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,9 = 0,63
  3. Es bleiben 63 %, Rabatt also 37 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 37 % Rabatt

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Jacke kostet 90,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht90,00 €20 %10 %?
    So fängst du an:
    Faktoren: 1,2 und 0,9
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,2 und 0,9
    2. Gesamtfaktor: 1,2 · 0,9 = 1,08
    3. Neuer Preis: 90,00 € · 1,08 = 97,20 €
    4. Insgesamt teurer um 8 %
    Ergebnis:
    97,20 €; plus 8 %
  2. ●8
    Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Tim noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Tim sagt: „Das sind 30 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht20 %10 %30 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,8 und 0,9
    2. Gesamtfaktor: 0,8 · 0,9 = 0,72
    3. Es bleiben 72 %, Rabatt also 28 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  3. ★9
    Ein Verein hat 3000 Mitglieder. Im ersten Jahr kommen 20 % dazu, im zweiten Jahr 10 %, im dritten Jahr gehen 10 % verloren. Wie viele Mitglieder hat er danach?
    gegebengesucht3000 Mitglieder20 %10 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,2, 1,1, 0,9
    2. Gesamtfaktor: 1,2 · 1,1 · 0,9 = 1,188
    3. 3000 · 1,188 = 3564
    Ergebnis:
    3564 Mitglieder

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Dein Handy-Akku lädt von 25 % auf 50 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Schritt für Schritt
  1. Prozentpunkte: 50 − 25 = 25
  2. Prozent: 25 : 25 = 1, also 100 %
  1. Prozentpunkte: 50 − 25 = 25
  2. Prozent: 25 : 25 = 1, also 100 %
Ergebnis:
25 Prozentpunkte; 100 %

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht
Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen
So richtig
3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Dein Handy-Akku lädt von 20 % auf 30 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    gegebengesucht20 %30 %?
    So fängst du an:
    Prozentpunkte: 30 − 20 = 10
    Lösung zeigen
    1. Prozentpunkte: 30 − 20 = 10
    2. Prozent: 10 : 20 = 0,5, also 50 %
    Ergebnis:
    10 Prozentpunkte; 50 %
  2. ●11
    An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht50 %20 %?
    Lösung zeigen
    1. 20 % mehr: Faktor 1,2
    2. 50 · 1,2 = 60, also 60 %
    3. Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    60 %; 10 Prozentpunkte mehr
  3. ★12
    An einer Schule kommen 30 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht30 %10 %?
    Lösung zeigen
    1. 10 % mehr: Faktor 1,1
    2. 30 · 1,1 = 33, also 33 %
    3. Anstieg: 33 − 30 = 3 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    33 %; 3 Prozentpunkte mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Auf dem Kassenzettel steht 476,00 € für einen Laptop, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
gegebengesucht476,00 €19 %?
Schritt für Schritt
  1. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
  2. Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €
  1. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
  2. Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €
Ergebnis:
76,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht
80 € minus 25 % = 20 €
So richtig
80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf dem Kassenzettel steht 357,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht357,00 €19 %?
    So fängst du an:
    Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
    Lösung zeigen
    1. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
    2. Steuer: 357,00 € − 300,00 € = 57,00 €
    Ergebnis:
    57,00 €
  2. ●14
    Ein Schreibtisch kostet im Laden 1.190,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
    gegebengesucht1.190,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    1. Brutto = netto · 1,19
    2. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
    Ergebnis:
    1.000,00 €
  3. ★15
    Eine Konsole kostet 476,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Tim rechnet die Steuer als 19 % von 476,00 € und bekommt 90,44 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
    gegebengesucht476,00 €19 %90,44 €?
    Lösung zeigen
    1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
    2. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
    3. Steuer: 476,00 € − 400,00 € = 76,00 €
    Ergebnis:
    76,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

10 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 13 % Nachlass auf 800,00 €? Vergleiche die Beträge.
gegebengesucht10 %3 %13 %800,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Nacheinander: 800,00 € · 0,873 = 698,40 €
  2. 13 % auf einmal: 800,00 € · 0,87 = 696,00 €
  3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
  1. Nacheinander: 800,00 € · 0,873 = 698,40 €
  2. 13 % auf einmal: 800,00 € · 0,87 = 696,00 €
  3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 698,40 € statt 696,00 €

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht
30 % → 40 %: 10 % mehr
So richtig
30 % → 40 %: 10 Prozentpunkte, etwa 33 % mehr

Unterscheide: Differenz in Prozentpunkten, Zuwachs im Verhältnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Rechnung über 2.000,00 € enthält 15 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 3 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
    gegebengesucht2.000,00 €15 %3 %?
    So fängst du an:
    Betrag nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,85 = 1.700,00 €
    Lösung zeigen
    1. Betrag nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,85 = 1.700,00 €
    2. Skonto: 3 % von 1.700,00 €
    3. 1.700,00 € · 0,03 = 51,00 €
    Ergebnis:
    51,00 €
  2. ●17
    15 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 18 % Nachlass auf 2.000,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht15 %3 %18 %2.000,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nacheinander: 2.000,00 € · 0,8245 = 1.649,00 €
    2. 18 % auf einmal: 2.000,00 € · 0,82 = 1.640,00 €
    3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
    Ergebnis:
    Nein: 1.649,00 € statt 1.640,00 €
  3. ★18
    Eine Rechnung über 3.150,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
    gegebengesucht3.150,00 €5 %2 %?
    Lösung zeigen
    1. Betrag nach dem Rabatt: 3.150,00 € · 0,95 = 2.992,50 €
    2. Skonto: 2 % von 2.992,50 €
    3. 2.992,50 € · 0,02 = 59,85 €
    Ergebnis:
    59,85 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Von 296 Kindern einer Schule kommen 59 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Schritt für Schritt
  1. 296 ≈ 300 und 59 ≈ 60
  2. 60 von 300: 60 : 300 = 0,2
  3. Also etwa 20 %
  1. 296 ≈ 300 und 59 ≈ 60
  2. 60 von 300: 60 : 300 = 0,2
  3. Also etwa 20 %
Ergebnis:
etwa 20 %

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Jacke kostet 119,90 €. Es gibt 25 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
    gegebengesucht119,90 €25 %?
    So fängst du an:
    119,90 € ≈ 120,00 €
    Lösung zeigen
    1. 119,90 € ≈ 120,00 €
    2. 25 % sind ein Viertel: 120 : 4 = 30
    3. 120 − 30 = 90
    Ergebnis:
    etwa 90,00 €
  2. ●20
    Von 203 Kindern einer Schule kommen 59 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 203 ≈ 200 und 59 ≈ 60
    2. 60 von 200: 60 : 200 = 0,3
    3. Also etwa 30 %
    Ergebnis:
    etwa 30 %
  3. ★21
    Von 402 Kindern einer Schule kommen 101 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    1. 402 ≈ 400 und 101 ≈ 100
    2. 100 von 400: 100 : 400 = 0,25
    3. Also etwa 25 %
    Ergebnis:
    etwa 25 %

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 4,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
Schritt für Schritt
  1. Normal: 2 · 4,00 € = 8,00 €
  2. Bezahlt: 4,00 € + 2,00 € = 6,00 €
  3. Ersparnis: 2,00 € von 8,00 €, also 1 : 4 = 0,25
  1. Normal: 2 · 4,00 € = 8,00 €
  2. Bezahlt: 4,00 € + 2,00 € = 6,00 €
  3. Ersparnis: 2,00 € von 8,00 €, also 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 3,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
    gegebengesucht3,00 €3 Stück?
    So fängst du an:
    Normal: 3 · 3,00 € = 9,00 €. Bezahlt: 2 · 3,00 € = 6,00 €
    Lösung zeigen
    1. Normal: 3 · 3,00 € = 9,00 €. Bezahlt: 2 · 3,00 € = 6,00 €
    2. Ersparnis: 3,00 € von 9,00 €
    3. 1 : 3 ≈ 0,333
    Ergebnis:
    etwa 33,3 %
  2. ●23
    Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 12,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
    Lösung zeigen
    1. Normal: 2 · 12,00 € = 24,00 €
    2. Bezahlt: 12,00 € + 6,00 € = 18,00 €
    3. Ersparnis: 6,00 € von 24,00 €, also 1 : 4 = 0,25
    Ergebnis:
    25 %
  3. ★24
    Auf einem Schild steht: „Statt 40,00 € nur 28,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht40,00 €28,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Ersparnis: 40,00 € − 28,00 € = 12,00 €
    2. 12 : 40 = 0,3, also 30 %
    Ergebnis:
    Ja, genau 30 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Miete sinkt um 10 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
    Lösung zeigen
    1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 10 %, also 90 %
    2. 90 % als Dezimalzahl: 0,9
    Ergebnis:
    Faktor 0,9
  2. ●26
    Nach einer Preiserhöhung um 25 % kostet ein Tablet 250,00 €. Wie viel kostete ein Tablet vorher?
    gegebengesucht25 %250,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
    2. Neuer Preis = alter Preis · 1,25
    3. Alter Preis: 250,00 € : 1,25 = 200,00 €
    Ergebnis:
    200,00 €
  3. ●27
    Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Tim noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Tim sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht20 %40 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,8 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 0,8 · 0,8 = 0,64
    3. Es bleiben 64 %, Rabatt also 36 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 36 % Rabatt
  4. ●28
    Ein Preis von 400,00 € sinkt um 30 % und steigt danach wieder um 30 %. Mira sagt: „Dann ist er wieder bei 400,00 €.“ Prüfe.
    gegebengesucht400,00 €30 %?
    Lösung zeigen
    1. Erst: 400,00 € · 0,7 = 280,00 €
    2. Dann: 280,00 € · 1,3 = 364,00 €
    3. Die zweiten 30 % beziehen sich auf 280,00 €, nicht auf 400,00 €.
    Ergebnis:
    Nein, 364,00 € – 9 % weniger
  5. ●29
    Dein Handy-Akku lädt von 50 % auf 75 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    Lösung zeigen
    1. Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
    2. Prozent: 25 : 50 = 0,5, also 50 %
    Ergebnis:
    25 Prozentpunkte; 50 %
  6. ●30
    Auf dem Kassenzettel steht 357,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht357,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    1. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
    2. Steuer: 357,00 € − 300,00 € = 57,00 €
    Ergebnis:
    57,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor
Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert
Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren
Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte
Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto
Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto
Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen
Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen
Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

    31
    Der Fahrpreis sinkt um 10 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Faktor 0,9

  2. Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

    32
    Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 25 % gewachsen und hat jetzt 5000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht25 %5000 Einwohner?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4000

  3. Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

    33
    Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Noah noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Noah sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht30 %10 %40 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 37 % Rabatt

  4. Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

    34
    Dein Handy-Akku lädt von 40 % auf 60 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    gegebengesucht40 %60 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Prozentpunkte; 50 %

  5. Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

    35
    Auf dem Kassenzettel steht 595,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht595,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95,00 €

  6. Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

    36
    Eine Rechnung über 800,00 € enthält 15 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
    gegebengesucht800,00 €15 %2 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13,60 €

  7. Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

    37
    Von 498 Kindern einer Schule kommen 201 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 40 %

  8. Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

    38
    Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 12,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?
    gegebengesucht12,00 €4 Stück?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert
das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

  1. 390,00 €
  2. Faktor 0,6
  3. 0,5 und 1,5
  4. 70,00 €
  5. 12.000
  6. 4000
  7. 97,20 €; plus 8 %
  8. Nein, insgesamt 28 % Rabatt
  9. 3564 Mitglieder
  10. 10 Prozentpunkte; 50 %
  11. 60 %; 10 Prozentpunkte mehr
  12. 33 %; 3 Prozentpunkte mehr
  13. 57,00 €
  14. 1.000,00 €
  15. 76,00 €
  16. 51,00 €
  17. Nein: 1.649,00 € statt 1.640,00 €
  18. 59,85 €
  19. etwa 90,00 €
  20. etwa 30 %
  21. etwa 25 %
  22. etwa 33,3 %
  23. 25 %
  24. Ja, genau 30 %
  25. Faktor 0,9
  26. 200,00 €
  27. Nein, insgesamt 36 % Rabatt
  28. Nein, 364,00 € – 9 % weniger
  29. 25 Prozentpunkte; 50 %
  30. 57,00 €
  31. Faktor 0,9
  32. 4000
  33. Nein, insgesamt 37 % Rabatt
  34. 20 Prozentpunkte; 50 %
  35. 95,00 €
  36. 13,60 €
  37. etwa 40 %
  38. 25 %
  39. 12,00 €
  40. 80 km