Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Paar Sneaker kostet 120,00 €. Berechne 30 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 120,00 €
2. 1 % → 1,20 €
3. 30 % → 1,20 € · 30 = 36,00 €
Ergebnis:
36,00 €
●40
25 % einer Strecke sind 50 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 25 % → 50 km
2. 1 % → 2 km
3. 100 % → 2 · 100 = 200 km
Ergebnis:
200 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Der Preis für ein Bahnticket steigt um 30 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?

Schritt für Schritt

Vorher 100 %, nachher 100 % + 30 %, also 130 %
130 % als Dezimalzahl: 1,3

Vorher 100 %, nachher 100 % + 30 %, also 130 %
130 % als Dezimalzahl: 1,3

Ergebnis:

Faktor 1,3

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Faktor gehört zu „75 % weniger“, welcher zu „75 % mehr“? Schreibe beide auf.
So fängst du an:
75 % weniger: 100 % − 75 % = 25 %, Faktor 0,25
Lösung zeigen
1. 75 % weniger: 100 % − 75 % = 25 %, Faktor 0,25
2. 75 % mehr: 100 % + 75 % = 175 %, Faktor 1,75
Ergebnis:
0,25 und 1,75
●2
Ein Tablet kostet 300,00 €. Der Preis sinkt um 50 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
Lösung zeigen
1. Faktor: 100 % − 50 % = 50 %, also 0,5
2. 300,00 € · 0,5 = 150,00 €
Ergebnis:
150,00 €
★3
Welcher Faktor gehört zu „10 % weniger“, welcher zu „10 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 10 % weniger: 100 % − 10 % = 90 %, Faktor 0,9
2. 10 % mehr: 100 % + 10 % = 110 %, Faktor 1,1
Ergebnis:
0,9 und 1,1

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Im Sale ist eine Jacke um 20 % günstiger und kostet jetzt 72,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?

Schritt für Schritt

Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
Alter Preis · 0,8 = 72,00 €
Alter Preis: 72,00 € : 0,8 = 90,00 €

Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
Alter Preis · 0,8 = 72,00 €
Alter Preis: 72,00 € : 0,8 = 90,00 €

Ergebnis:

90,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 20 % gewachsen und hat jetzt 24.000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
So fängst du an:
Gewachsen um 20 %: jetzt 120 % des alten Werts.
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 20 %: jetzt 120 % des alten Werts.
2. Faktor 1,2, also alter Wert = 24.000 : 1,2
3. 24.000 : 1,2 = 20.000
Ergebnis:
20.000
●5
Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 8800 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
2. Faktor 1,1, also alter Wert = 8800 : 1,1
3. 8800 : 1,1 = 8000
Ergebnis:
8000
★6
Nach einer Preiserhöhung um 8 % kostet ein Fahrrad 432,00 €. Um wie viel Euro wurde der Preis erhöht?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,08
3. Alter Preis: 432,00 € : 1,08 = 400,00 €
4. Erhöhung: 432,00 € − 400,00 € = 32,00 €
Ergebnis:
32,00 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Ein Kopfhörer kostet 120,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?

Schritt für Schritt

Faktoren: 1,3 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,3 · 0,75 = 0,975
Neuer Preis: 120,00 € · 0,975 = 117,00 €
Insgesamt billiger um 2,5 %

Faktoren: 1,3 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,3 · 0,75 = 0,975
Neuer Preis: 120,00 € · 0,975 = 117,00 €
Insgesamt billiger um 2,5 %

Ergebnis:

117,00 €; minus 2,5 %

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Kopfhörer kostet 120,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
So fängst du an:
Faktoren: 1,1 und 0,8
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,1 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,8 = 0,88
3. Neuer Preis: 120,00 € · 0,88 = 105,60 €
4. Insgesamt billiger um 12 %
Ergebnis:
105,60 €; minus 12 %
●8
Eine Jacke kostet 90,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,1 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,8 = 0,88
3. Neuer Preis: 90,00 € · 0,88 = 79,20 €
4. Insgesamt billiger um 12 %
Ergebnis:
79,20 €; minus 12 %
★9
Eine Jacke kostet 90,00 €. Der Preis steigt erst um 25 %, später sinkt er um 5 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,25 und 0,95
2. Gesamtfaktor: 1,25 · 0,95 = 1,1875
3. Neuer Preis: 90,00 € · 1,1875 = 106,88 €
4. Insgesamt teurer um 18,75 %
Ergebnis:
106,88 €; plus 18,75 %

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Dein Handy-Akku lädt von 60 % auf 90 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?

Schritt für Schritt

Prozentpunkte: 90 − 60 = 30
Prozent: 30 : 60 = 0,5, also 50 %

Prozentpunkte: 90 − 60 = 30
Prozent: 30 : 60 = 0,5, also 50 %

Ergebnis:

30 Prozentpunkte; 50 %

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 1 % auf 2 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
So fängst du an:
Unterschied der Prozentsätze: 2 − 1 = 1, also 1 Prozentpunkt
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 2 − 1 = 1, also 1 Prozentpunkt
2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 1 = 1, also 100 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 100 % mehr
●11
An einer Schule kommen 20 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
1. 10 % mehr: Faktor 1,1
2. 20 · 1,1 = 22, also 22 %
3. Anstieg: 22 − 20 = 2 Prozentpunkte
Ergebnis:
22 %; 2 Prozentpunkte mehr
★12
Die Wahlbeteiligung bei einer Schülervertretungswahl steigt um 15 Prozentpunkte auf 75 %. Um wie viel Prozent ist sie gestiegen?
Lösung zeigen
1. Vorher: 75 − 15 = 60 %
2. Anstieg in Prozent: 15 : 60 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
25 %

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Ein Schreibtisch kostet im Laden 595,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?

Schritt für Schritt

Brutto = netto · 1,19
Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €

Brutto = netto · 1,19
Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €

Ergebnis:

500,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht

80 € minus 25 % = 20 €

So richtig

80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

○13
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 21,40 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
So fängst du an:
Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
Lösung zeigen
1. Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
2. Steuer: 21,40 € − 20,00 € = 1,40 €
Ergebnis:
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €
●14
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 32,10 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 32,10 € : 1,07 = 30,00 €
2. Steuer: 32,10 € − 30,00 € = 2,10 €
Ergebnis:
netto 30,00 €, Steuer 2,10 €
★15
Eine Konsole kostet 357,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Lea rechnet die Steuer als 19 % von 357,00 € und bekommt 67,83 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
Lösung zeigen
1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
2. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
3. Steuer: 357,00 € − 300,00 € = 57,00 €
Ergebnis:
57,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Ein Malerbetrieb kauft Material für 500,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?

Schritt für Schritt

Nach dem Rabatt: 500,00 € · 0,9 = 450,00 €
Nach dem Skonto: 450,00 € · 0,98 = 441,00 €

Nach dem Rabatt: 500,00 € · 0,9 = 450,00 €
Nach dem Skonto: 450,00 € · 0,98 = 441,00 €

Ergebnis:

441,00 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○16
10 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 12 % Nachlass auf 800,00 €? Vergleiche die Beträge.
So fängst du an:
Nacheinander: 800,00 € · 0,882 = 705,60 €
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 800,00 € · 0,882 = 705,60 €
2. 12 % auf einmal: 800,00 € · 0,88 = 704,00 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 705,60 € statt 704,00 €
●17
Eine Rechnung über 2.500,00 € enthält 20 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
Lösung zeigen
1. Betrag nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,8 = 2.000,00 €
2. Skonto: 2 % von 2.000,00 €
3. 2.000,00 € · 0,02 = 40,00 €
Ergebnis:
40,00 €
★18
5 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 7 % Nachlass auf 1.450,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 1.450,00 € · 0,931 = 1.349,95 €
2. 7 % auf einmal: 1.450,00 € · 0,93 = 1.348,50 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 1.349,95 € statt 1.348,50 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Eine Jacke kostet 39,90 €. Es gibt 50 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.

Schritt für Schritt

39,90 € ≈ 40,00 €
50 % sind die Hälfte: 40 : 2 = 20
40 − 20 = 20

39,90 € ≈ 40,00 €
50 % sind die Hälfte: 40 : 2 = 20
40 − 20 = 20

Ergebnis:

etwa 20,00 €

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Überschlage im Kopf: 26 % von 1.225,00 €. Etwa wie viel ist das?
So fängst du an:
26 % ≈ 25 % und 1.225,00 € ≈ 1.200,00 €
Lösung zeigen
1. 26 % ≈ 25 % und 1.225,00 € ≈ 1.200,00 €
2. 10 % von 1.200,00 € sind 120,00 €
3. 25 % sind etwa 300,00 €
Ergebnis:
etwa 300,00 €
●20
Von 503 Kindern einer Schule kommen 198 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
1. 503 ≈ 500 und 198 ≈ 200
2. 200 von 500: 200 : 500 = 0,4
3. Also etwa 40 %
Ergebnis:
etwa 40 %
★21
Eine Jacke kostet 39,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
Lösung zeigen
1. 39,90 € ≈ 40,00 €
2. 10 % sind ein Zehntel: 40 : 10 = 4
3. 40 − 4 = 36
Ergebnis:
etwa 36,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 24,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?

Schritt für Schritt

Normal: 2 · 24,00 € = 48,00 €
Bezahlt: 24,00 € + 12,00 € = 36,00 €
Ersparnis: 12,00 € von 48,00 €, also 1 : 4 = 0,25

Normal: 2 · 24,00 € = 48,00 €
Bezahlt: 24,00 € + 12,00 € = 36,00 €
Ersparnis: 12,00 € von 48,00 €, also 1 : 4 = 0,25

Ergebnis:

25 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○22
Auf einem Schild steht: „Statt 120,00 € nur 102,00 € – 20 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
So fängst du an:
Ersparnis: 120,00 € − 102,00 € = 18,00 €
Lösung zeigen
1. Ersparnis: 120,00 € − 102,00 € = 18,00 €
2. 18 : 120 = 0,15, also 15 %
Ergebnis:
Nein, nur 15 %
●23
Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 10,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Normal: 2 · 10,00 € = 20,00 €
2. Bezahlt: 10,00 € + 5,00 € = 15,00 €
3. Ersparnis: 5,00 € von 20,00 €, also 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %
★24
Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 3,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?
Lösung zeigen
1. Normal: 4 · 3,00 € = 12,00 €. Bezahlt: 3 · 3,00 € = 9,00 €
2. Ersparnis: 3,00 € von 12,00 €
3. 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Nach einer Preiserhöhung um 50 % kostet ein Paar Sportschuhe 135,00 €. Wie viel kostete ein Paar Sportschuhe vorher?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,5
3. Alter Preis: 135,00 € : 1,5 = 90,00 €
Ergebnis:
90,00 €
●26
Ein Fahrrad kostet 400,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,1 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,9 = 0,99
3. Neuer Preis: 400,00 € · 0,99 = 396,00 €
4. Insgesamt billiger um 1 %
Ergebnis:
396,00 €; minus 1 %
●27
Ein Preis von 800,00 € sinkt um 25 % und steigt danach wieder um 25 %. Ben sagt: „Dann ist er wieder bei 800,00 €.“ Prüfe.
Lösung zeigen
1. Erst: 800,00 € · 0,75 = 600,00 €
2. Dann: 600,00 € · 1,25 = 750,00 €
3. Die zweiten 25 % beziehen sich auf 600,00 €, nicht auf 800,00 €.
Ergebnis:
Nein, 750,00 € – 6,25 % weniger
●28
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 2 % auf 3 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 3 − 2 = 1, also 1 Prozentpunkt
2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 2 = 0,5, also 50 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 50 % mehr
●29
Eine Konsole kostet im Laden 595,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
Ergebnis:
500,00 €
●30
Eine Rechnung über 800,00 € enthält 15 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 3 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
Lösung zeigen
1. Betrag nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,85 = 680,00 €
2. Skonto: 3 % von 680,00 €
3. 680,00 € · 0,03 = 20,40 €
Ergebnis:
20,40 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Ein Konzertticket kostet 50,00 €. Der Preis sinkt um 10 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
45,00 €
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 13.200 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
Ergebnis:
12.000
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Im Sale gibt es 50 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lea noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Lea sagt: „Das sind 60 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
An einer Schule kommen 30 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
33 %; 3 Prozentpunkte mehr
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 10,70 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
Ergebnis:
netto 10,00 €, Steuer 0,70 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
Ein Fahrradladen kauft Material für 800,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
627,20 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Überschlage im Kopf: 9 % von 1.195,00 €. Etwa wie viel ist das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 120,00 €
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 24,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

0,25 und 1,75
150,00 €
0,9 und 1,1
20.000
8000
32,00 €
105,60 €; minus 12 %
79,20 €; minus 12 %
106,88 €; plus 18,75 %
1 Prozentpunkt; das sind 100 % mehr
22 %; 2 Prozentpunkte mehr
25 %
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €
netto 30,00 €, Steuer 2,10 €
57,00 €
Nein: 705,60 € statt 704,00 €
40,00 €
Nein: 1.349,95 € statt 1.348,50 €
etwa 300,00 €
etwa 40 %
etwa 36,00 €
Nein, nur 15 %
25 %
25 %
90,00 €
396,00 €; minus 1 %
Nein, 750,00 € – 6,25 % weniger
1 Prozentpunkt; das sind 50 % mehr
500,00 €
20,40 €
45,00 €
12.000
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
33 %; 3 Prozentpunkte mehr
netto 10,00 €, Steuer 0,70 €
627,20 €
etwa 120,00 €
25 %
36,00 €
200 km