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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

  1. ●39
    Ein Kopfhörer kostet 200,00 €. Berechne 30 % des Preises.
    Lösung zeigen
    1. 100 % → 200,00 €
    2. 1 % → 2,00 €
    3. 30 % → 2,00 € · 30 = 60,00 €
    Ergebnis:
    60,00 €
  2. ●40
    50 % einer Strecke sind 40 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
    Lösung zeigen
    1. 50 % → 40 km
    2. 1 % → 0,8 km
    3. 100 % → 0,8 · 100 = 80 km
    Ergebnis:
    80 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

Drei Streifen: 100 Prozent, 120 Prozent ist das 1,2-Fache, 80 Prozent das 0,8-Fache100 % = alter Preis120 %· 1,280 %· 0,820 % mehr oder weniger: immer vom Wert davor

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Die Miete sinkt um 5 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Schritt für Schritt
  1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 5 %, also 95 %
  2. 95 % als Dezimalzahl: 0,95
  1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 5 %, also 95 %
  2. 95 % als Dezimalzahl: 0,95
Ergebnis:
Faktor 0,95

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht
80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €
So richtig
Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Paar Sportschuhe kostet 70,00 €. Der Preis steigt um 5 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
    gegebengesucht70,00 €5 %?
    So fängst du an:
    Faktor: 100 % + 5 % = 105 %, also 1,05
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 100 % + 5 % = 105 %, also 1,05
    2. 70,00 € · 1,05 = 73,50 €
    Ergebnis:
    73,50 €
  2. ●2
    Welcher Faktor gehört zu „75 % weniger“, welcher zu „75 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor75 % weniger?75 % mehr?
    Lösung zeigen
    1. 75 % weniger: 100 % − 75 % = 25 %, Faktor 0,25
    2. 75 % mehr: 100 % + 75 % = 175 %, Faktor 1,75
    Ergebnis:
    0,25 und 1,75
  3. ★3
    Welcher Faktor gehört zu „50 % weniger“, welcher zu „50 % mehr“? Schreibe beide auf.
    Lösung zeigen
    1. 50 % weniger: 100 % − 50 % = 50 %, Faktor 0,5
    2. 50 % mehr: 100 % + 50 % = 150 %, Faktor 1,5
    Ergebnis:
    0,5 und 1,5

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Nach einer Preiserhöhung um 50 % kostet ein Konzertticket 60,00 €. Wie viel kostete ein Konzertticket vorher?
gegebengesucht50 %60,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
  2. Neuer Preis = alter Preis · 1,5
  3. Alter Preis: 60,00 € : 1,5 = 40,00 €
  1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
  2. Neuer Preis = alter Preis · 1,5
  3. Alter Preis: 60,00 € : 1,5 = 40,00 €
Ergebnis:
40,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht
Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €
So richtig
64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 13.200 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht10 %13.200 Einwohner?
    So fängst du an:
    Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,1, also alter Wert = 13.200 : 1,1
    3. 13.200 : 1,1 = 12.000
    Ergebnis:
    12.000
  2. ●5
    Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 13.200 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht10 %13.200 Einwohner?
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,1, also alter Wert = 13.200 : 1,1
    3. 13.200 : 1,1 = 12.000
    Ergebnis:
    12.000
  3. ★6
    Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 35 % gewachsen und hat jetzt 6750 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
    gegebengesucht35 %6750 Einwohner?
    Lösung zeigen
    1. Gewachsen um 35 %: jetzt 135 % des alten Werts.
    2. Faktor 1,35, also alter Wert = 6750 : 1,35
    3. 6750 : 1,35 = 5000
    Ergebnis:
    5000

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Ein Kopfhörer kostet 100,00 €. Der Preis steigt erst um 50 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
gegebengesucht100,00 €50 %25 %?
Schritt für Schritt
  1. Faktoren: 1,5 und 0,75
  2. Gesamtfaktor: 1,5 · 0,75 = 1,125
  3. Neuer Preis: 100,00 € · 1,125 = 112,50 €
  4. Insgesamt teurer um 12,5 %
  1. Faktoren: 1,5 und 0,75
  2. Gesamtfaktor: 1,5 · 0,75 = 1,125
  3. Neuer Preis: 100,00 € · 1,125 = 112,50 €
  4. Insgesamt teurer um 12,5 %
Ergebnis:
112,50 €; plus 12,5 %

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Mila noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Mila sagt: „Das sind 50 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht30 %20 %50 %?
    So fängst du an:
    Faktoren: 0,7 und 0,8
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 0,7 und 0,8
    2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
    3. Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 44 % Rabatt
  2. ●8
    Ein Tablet kostet 300,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht300,00 €30 %25 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,3 und 0,75
    2. Gesamtfaktor: 1,3 · 0,75 = 0,975
    3. Neuer Preis: 300,00 € · 0,975 = 292,50 €
    4. Insgesamt billiger um 2,5 %
    Ergebnis:
    292,50 €; minus 2,5 %
  3. ★9
    Ein Konzertticket kostet 50,00 €. Der Preis steigt erst um 25 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht50,00 €25 %10 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,25 und 0,9
    2. Gesamtfaktor: 1,25 · 0,9 = 1,125
    3. Neuer Preis: 50,00 € · 1,125 = 56,25 €
    4. Insgesamt teurer um 12,5 %
    Ergebnis:
    56,25 €; plus 12,5 %

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

An einer Schule kommen 60 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 5 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
gegebengesucht60 %5 %?
Schritt für Schritt
  1. 5 % mehr: Faktor 1,05
  2. 60 · 1,05 = 63, also 63 %
  3. Anstieg: 63 − 60 = 3 Prozentpunkte
  1. 5 % mehr: Faktor 1,05
  2. 60 · 1,05 = 63, also 63 %
  3. Anstieg: 63 − 60 = 3 Prozentpunkte
Ergebnis:
63 %; 3 Prozentpunkte mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht
Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen
So richtig
3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An einer Schule kommen 30 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht30 %10 %?
    So fängst du an:
    10 % mehr: Faktor 1,1
    Lösung zeigen
    1. 10 % mehr: Faktor 1,1
    2. 30 · 1,1 = 33, also 33 %
    3. Anstieg: 33 − 30 = 3 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    33 %; 3 Prozentpunkte mehr
  2. ●11
    An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
    gegebengesucht50 %20 %?
    Lösung zeigen
    1. 20 % mehr: Faktor 1,2
    2. 50 · 1,2 = 60, also 60 %
    3. Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte
    Ergebnis:
    60 %; 10 Prozentpunkte mehr
  3. ★12
    Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 3 % auf 4,5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
    gegebengesucht3 %4,5 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
    2. Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 3 = 0,5, also 50 %
    Ergebnis:
    1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Auf dem Kassenzettel steht 357,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
gegebengesucht357,00 €19 %?
Schritt für Schritt
  1. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
  2. Steuer: 357,00 € − 300,00 € = 57,00 €
  1. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
  2. Steuer: 357,00 € − 300,00 € = 57,00 €
Ergebnis:
57,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht
80 € minus 25 % = 20 €
So richtig
80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 2,14 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
    gegebengesucht7 %2,14 €?
    So fängst du an:
    Netto: 2,14 € : 1,07 = 2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Netto: 2,14 € : 1,07 = 2,00 €
    2. Steuer: 2,14 € − 2,00 € = 0,14 €
    Ergebnis:
    netto 2,00 €, Steuer 0,14 €
  2. ●14
    Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 3,21 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
    gegebengesucht7 %3,21 €?
    Lösung zeigen
    1. Netto: 3,21 € : 1,07 = 3,00 €
    2. Steuer: 3,21 € − 3,00 € = 0,21 €
    Ergebnis:
    netto 3,00 €, Steuer 0,21 €
  3. ★15
    Eine Konsole kostet 952,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Zeynep rechnet die Steuer als 19 % von 952,00 € und bekommt 180,88 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
    gegebengesucht952,00 €19 %180,88 €?
    Lösung zeigen
    1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
    2. Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
    3. Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €
    Ergebnis:
    152,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

5 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 7 % Nachlass auf 2.000,00 €? Vergleiche die Beträge.
gegebengesucht5 %2 %7 %2.000,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Nacheinander: 2.000,00 € · 0,931 = 1.862,00 €
  2. 7 % auf einmal: 2.000,00 € · 0,93 = 1.860,00 €
  3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
  1. Nacheinander: 2.000,00 € · 0,931 = 1.862,00 €
  2. 7 % auf einmal: 2.000,00 € · 0,93 = 1.860,00 €
  3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 1.862,00 € statt 1.860,00 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht
100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €
So richtig
100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Malerbetrieb kauft Material für 1.000,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
    gegebengesucht1.000,00 €20 %14 Tagen2 %?
    So fängst du an:
    Nach dem Rabatt: 1.000,00 € · 0,8 = 800,00 €
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Rabatt: 1.000,00 € · 0,8 = 800,00 €
    2. Nach dem Skonto: 800,00 € · 0,98 = 784,00 €
    Ergebnis:
    784,00 €
  2. ●17
    Eine Tischlerei kauft Material für 500,00 €. Es gibt 15 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
    gegebengesucht500,00 €15 %14 Tagen3 %?
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Rabatt: 500,00 € · 0,85 = 425,00 €
    2. Nach dem Skonto: 425,00 € · 0,97 = 412,25 €
    Ergebnis:
    412,25 €
  3. ★18
    Ein Malerbetrieb kauft Material für 1.450,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
    gegebengesucht1.450,00 €20 %14 Tagen2 %?
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Rabatt: 1.450,00 € · 0,8 = 1.160,00 €
    2. Nach dem Skonto: 1.160,00 € · 0,98 = 1.136,80 €
    Ergebnis:
    1.136,80 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Eine Jacke kostet 99,90 €. Es gibt 20 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
gegebengesucht99,90 €20 %?
Schritt für Schritt
  1. 99,90 € ≈ 100,00 €
  2. 20 % sind ein Fünftel: 100 : 5 = 20
  3. 100 − 20 = 80
  1. 99,90 € ≈ 100,00 €
  2. 20 % sind ein Fünftel: 100 : 5 = 20
  3. 100 − 20 = 80
Ergebnis:
etwa 80,00 €

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht
12 % von 240 € sind 288 €
So richtig
Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Von 498 Kindern einer Schule kommen 199 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
    So fängst du an:
    498 ≈ 500 und 199 ≈ 200
    Lösung zeigen
    1. 498 ≈ 500 und 199 ≈ 200
    2. 200 von 500: 200 : 500 = 0,4
    3. Also etwa 40 %
    Ergebnis:
    etwa 40 %
  2. ●20
    Eine Jacke kostet 59,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
    gegebengesucht59,90 €10 %?
    Lösung zeigen
    1. 59,90 € ≈ 60,00 €
    2. 10 % sind ein Zehntel: 60 : 10 = 6
    3. 60 − 6 = 54
    Ergebnis:
    etwa 54,00 €
  3. ★21
    Ein Fahrrad kostet 398,90 €. Der Preis steigt um 9 %, später gibt es 19 % Rabatt auf den neuen Preis. Überschlage den Endpreis im Kopf.
    gegebengesucht398,90 €9 %19 %?
    Lösung zeigen
    1. Runden: 398,90 € ≈ 400,00 €, 9 % ≈ 10 %, 19 % ≈ 20 %
    2. Nach dem Aufschlag: 400,00 € + 40,00 € = 440,00 €
    3. 20 % von 440,00 € sind 88,00 €
    4. 440,00 € − 88,00 € = 352,00 €
    Ergebnis:
    etwa 352,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Auf einem Schild steht: „Statt 100,00 € nur 80,00 € – 20 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
gegebengesucht100,00 €80,00 €?
Schritt für Schritt
  1. Ersparnis: 100,00 € − 80,00 € = 20,00 €
  2. 20 : 100 = 0,2, also 20 %
  1. Ersparnis: 100,00 € − 80,00 € = 20,00 €
  2. 20 : 100 = 0,2, also 20 %
Ergebnis:
Ja, genau 20 %

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Auf einem Schild steht: „Statt 80,00 € nur 60,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht80,00 €60,00 €?
    So fängst du an:
    Ersparnis: 80,00 € − 60,00 € = 20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Ersparnis: 80,00 € − 60,00 € = 20,00 €
    2. 20 : 80 = 0,25, also 25 %
    Ergebnis:
    Ja, genau 25 %
  2. ●23
    Ein Laden wirbt: „Nimm 5, zahl 4.“ Ein Stück kostet 5,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 5 Stück nimmt?
    gegebengesucht5,00 €5 Stück?
    Lösung zeigen
    1. Normal: 5 · 5,00 € = 25,00 €. Bezahlt: 4 · 5,00 € = 20,00 €
    2. Ersparnis: 5,00 € von 25,00 €
    3. 1 : 5 = 0,2
    Ergebnis:
    20 %
  3. ★24
    Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 4,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
    gegebengesucht4,00 €3 Stück?
    Lösung zeigen
    1. Normal: 3 · 4,00 € = 12,00 €. Bezahlt: 2 · 4,00 € = 8,00 €
    2. Ersparnis: 4,00 € von 12,00 €
    3. 1 : 3 ≈ 0,333
    Ergebnis:
    etwa 33,3 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Konzertticket kostet 50,00 €. Der Preis steigt um 30 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
    gegebengesucht50,00 €30 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 100 % + 30 % = 130 %, also 1,3
    2. 50,00 € · 1,3 = 65,00 €
    Ergebnis:
    65,00 €
  2. ●26
    Im Sale ist ein Konzertticket um 50 % günstiger und kostet jetzt 20,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
    gegebengesucht50 %20,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Nach der Senkung bleiben 50 %, Faktor 0,5.
    2. Alter Preis · 0,5 = 20,00 €
    3. Alter Preis: 20,00 € : 0,5 = 40,00 €
    Ergebnis:
    40,00 €
  3. ●27
    Ein Tablet kostet 200,00 €. Der Preis steigt erst um 10 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
    gegebengesucht200,00 €10 %25 %?
    Lösung zeigen
    1. Faktoren: 1,1 und 0,75
    2. Gesamtfaktor: 1,1 · 0,75 = 0,825
    3. Neuer Preis: 200,00 € · 0,825 = 165,00 €
    4. Insgesamt billiger um 17,5 %
    Ergebnis:
    165,00 €; minus 17,5 %
  4. ●28
    Ein Preis von 500,00 € sinkt um 20 % und steigt danach wieder um 20 %. Ben sagt: „Dann ist er wieder bei 500,00 €.“ Prüfe.
    gegebengesucht500,00 €20 %?
    Lösung zeigen
    1. Erst: 500,00 € · 0,8 = 400,00 €
    2. Dann: 400,00 € · 1,2 = 480,00 €
    3. Die zweiten 20 % beziehen sich auf 400,00 €, nicht auf 500,00 €.
    Ergebnis:
    Nein, 480,00 € – 4 % weniger
  5. ●29
    Dein Handy-Akku lädt von 80 % auf 100 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    gegebengesucht80 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. Prozentpunkte: 100 − 80 = 20
    2. Prozent: 20 : 80 = 0,25, also 25 %
    Ergebnis:
    20 Prozentpunkte; 25 %
  6. ●30
    Auf dem Kassenzettel steht 714,00 € für ein Fahrrad, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht714,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    1. Netto: 714,00 € : 1,19 = 600,00 €
    2. Steuer: 714,00 € − 600,00 € = 114,00 €
    Ergebnis:
    114,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor
Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert
Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren
Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte
Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto
Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto
Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen
Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen
Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

    31
    Welcher Faktor gehört zu „5 % weniger“, welcher zu „5 % mehr“? Schreibe beide auf.
    ÄnderungFaktor5 % weniger?5 % mehr?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,95 und 1,05

  2. Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

    32
    Nach einer Preiserhöhung um 25 % kostet ein Fahrrad 500,00 €. Wie viel kostete ein Fahrrad vorher?
    gegebengesucht25 %500,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400,00 €

  3. Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

    33
    Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Tim noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Tim sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
    gegebengesucht30 %10 %40 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, insgesamt 37 % Rabatt

  4. Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

    34
    Dein Handy-Akku lädt von 60 % auf 90 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
    gegebengesucht60 %90 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 Prozentpunkte; 50 %

  5. Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

    35
    Auf dem Kassenzettel steht 1.190,00 € für ein Fahrrad, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
    gegebengesucht1.190,00 €19 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    190,00 €

  6. Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

    36
    5 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 8 % Nachlass auf 2.000,00 €? Vergleiche die Beträge.
    gegebengesucht5 %3 %8 %2.000,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein: 1.843,00 € statt 1.840,00 €

  7. Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

    37
    Überschlage im Kopf: 48 % von 401,00 €. Etwa wie viel ist das?
    gegebengesucht48 %401,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    etwa 200,00 €

  8. Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

    38
    Auf einem Schild steht: „Statt 100,00 € nur 70,00 € – 30 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
    gegebengesucht100,00 €70,00 €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja, genau 30 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert
das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

  1. 73,50 €
  2. 0,25 und 1,75
  3. 0,5 und 1,5
  4. 12.000
  5. 12.000
  6. 5000
  7. Nein, insgesamt 44 % Rabatt
  8. 292,50 €; minus 2,5 %
  9. 56,25 €; plus 12,5 %
  10. 33 %; 3 Prozentpunkte mehr
  11. 60 %; 10 Prozentpunkte mehr
  12. 1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
  13. netto 2,00 €, Steuer 0,14 €
  14. netto 3,00 €, Steuer 0,21 €
  15. 152,00 €
  16. 784,00 €
  17. 412,25 €
  18. 1.136,80 €
  19. etwa 40 %
  20. etwa 54,00 €
  21. etwa 352,00 €
  22. Ja, genau 25 %
  23. 20 %
  24. etwa 33,3 %
  25. 65,00 €
  26. 40,00 €
  27. 165,00 €; minus 17,5 %
  28. Nein, 480,00 € – 4 % weniger
  29. 20 Prozentpunkte; 25 %
  30. 114,00 €
  31. 0,95 und 1,05
  32. 400,00 €
  33. Nein, insgesamt 37 % Rabatt
  34. 30 Prozentpunkte; 50 %
  35. 190,00 €
  36. Nein: 1.843,00 € statt 1.840,00 €
  37. etwa 200,00 €
  38. Ja, genau 30 %
  39. 60,00 €
  40. 80 km