Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Roller kostet 200,00 €. Berechne 10 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 200,00 €
2. 1 % → 2,00 €
3. 10 % → 2,00 € · 10 = 20,00 €
Ergebnis:
20,00 €
●40
10 % einer Strecke sind 6 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 10 % → 6 km
2. 1 % → 0,6 km
3. 100 % → 0,6 · 100 = 60 km
Ergebnis:
60 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Die Miete steigt um 40 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?

Schritt für Schritt

Vorher 100 %, nachher 100 % + 40 %, also 140 %
140 % als Dezimalzahl: 1,4

Vorher 100 %, nachher 100 % + 40 %, also 140 %
140 % als Dezimalzahl: 1,4

Ergebnis:

Faktor 1,4

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Wert wird mit dem Faktor 1,1 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
So fängst du an:
1,1 ist größer als 1: Der Wert steigt.
Lösung zeigen
1. 1,1 ist größer als 1: Der Wert steigt.
2. 1,1 entspricht 110 %, also 10 % mehr
Ergebnis:
steigt um 10 %
●2
Welcher Faktor gehört zu „75 % weniger“, welcher zu „75 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 75 % weniger: 100 % − 75 % = 25 %, Faktor 0,25
2. 75 % mehr: 100 % + 75 % = 175 %, Faktor 1,75
Ergebnis:
0,25 und 1,75
★3
Die Miete steigt um 12 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Lösung zeigen
1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 12 %, also 112 %
2. 112 % als Dezimalzahl: 1,12
Ergebnis:
Faktor 1,12

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Nach einer Preiserhöhung um 10 % kostet eine Jacke 132,00 €. Wie viel kostete eine Jacke vorher?

Schritt für Schritt

Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
Neuer Preis = alter Preis · 1,1
Alter Preis: 132,00 € : 1,1 = 120,00 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
Neuer Preis = alter Preis · 1,1
Alter Preis: 132,00 € : 1,1 = 120,00 €

Ergebnis:

120,00 €

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Nach einer Preiserhöhung um 20 % kostet ein Konzertticket 48,00 €. Wie viel kostete ein Konzertticket vorher?
So fängst du an:
Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,2
3. Alter Preis: 48,00 € : 1,2 = 40,00 €
Ergebnis:
40,00 €
●5
Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 13.200 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
2. Faktor 1,1, also alter Wert = 13.200 : 1,1
3. 13.200 : 1,1 = 12.000
Ergebnis:
12.000
★6
Nach einer Preiserhöhung um 12 % kostet ein Tablet 336,00 €. Um wie viel Euro wurde der Preis erhöht?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,12
3. Alter Preis: 336,00 € : 1,12 = 300,00 €
4. Erhöhung: 336,00 € − 300,00 € = 36,00 €
Ergebnis:
36,00 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Eine Jacke kostet 150,00 €. Der Preis steigt erst um 50 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?

Schritt für Schritt

Faktoren: 1,5 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,5 · 0,75 = 1,125
Neuer Preis: 150,00 € · 1,125 = 168,75 €
Insgesamt teurer um 12,5 %

Faktoren: 1,5 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,5 · 0,75 = 1,125
Neuer Preis: 150,00 € · 1,125 = 168,75 €
Insgesamt teurer um 12,5 %

Ergebnis:

168,75 €; plus 12,5 %

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Kopfhörer kostet 120,00 €. Der Preis steigt erst um 50 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
So fängst du an:
Faktoren: 1,5 und 0,75
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,5 und 0,75
2. Gesamtfaktor: 1,5 · 0,75 = 1,125
3. Neuer Preis: 120,00 € · 1,125 = 135,00 €
4. Insgesamt teurer um 12,5 %
Ergebnis:
135,00 €; plus 12,5 %
●8
Im Sale gibt es 10 % Rabatt. An der Kasse bekommt Lukas noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Lukas sagt: „Das sind 20 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,9 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 0,9 · 0,9 = 0,81
3. Es bleiben 81 %, Rabatt also 19 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 19 % Rabatt
★9
Ein Konzertticket kostet 60,00 €. Der Preis steigt erst um 12 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,12 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,12 · 0,9 = 1,008
3. Neuer Preis: 60,00 € · 1,008 = 60,48 €
4. Insgesamt teurer um 0,8 %
Ergebnis:
60,48 €; plus 0,8 %

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 3 % auf 4,5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?

Schritt für Schritt

Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 3 = 0,5, also 50 %

Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 3 = 0,5, also 50 %

Ergebnis:

1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
Dein Handy-Akku lädt von 50 % auf 75 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
So fängst du an:
Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
2. Prozent: 25 : 50 = 0,5, also 50 %
Ergebnis:
25 Prozentpunkte; 50 %
●11
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 1 % auf 2 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 2 − 1 = 1, also 1 Prozentpunkt
2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 1 = 1, also 100 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 100 % mehr
★12
An einer Schule kommen 30 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
1. 10 % mehr: Faktor 1,1
2. 30 · 1,1 = 33, also 33 %
3. Anstieg: 33 − 30 = 3 Prozentpunkte
Ergebnis:
33 %; 3 Prozentpunkte mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Auf dem Kassenzettel steht 952,00 € für ein Handy, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?

Schritt für Schritt

Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €

Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €

Ergebnis:

152,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht

80 € minus 25 % = 20 €

So richtig

80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

○13
Auf dem Kassenzettel steht 1.190,00 € für eine Konsole, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
So fängst du an:
Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
Lösung zeigen
1. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
2. Steuer: 1.190,00 € − 1.000,00 € = 190,00 €
Ergebnis:
190,00 €
●14
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 5,35 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 5,35 € : 1,07 = 5,00 €
2. Steuer: 5,35 € − 5,00 € = 0,35 €
Ergebnis:
netto 5,00 €, Steuer 0,35 €
★15
Auf dem Kassenzettel steht 1.190,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
2. Steuer: 1.190,00 € − 1.000,00 € = 190,00 €
Ergebnis:
190,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Ein Malerbetrieb kauft Material für 2.000,00 €. Es gibt 15 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?

Schritt für Schritt

Nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,85 = 1.700,00 €
Nach dem Skonto: 1.700,00 € · 0,98 = 1.666,00 €

Nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,85 = 1.700,00 €
Nach dem Skonto: 1.700,00 € · 0,98 = 1.666,00 €

Ergebnis:

1.666,00 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○16
5 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 7 % Nachlass auf 2.500,00 €? Vergleiche die Beträge.
So fängst du an:
Nacheinander: 2.500,00 € · 0,931 = 2.327,50 €
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 2.500,00 € · 0,931 = 2.327,50 €
2. 7 % auf einmal: 2.500,00 € · 0,93 = 2.325,00 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 2.327,50 € statt 2.325,00 €
●17
20 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 23 % Nachlass auf 800,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 800,00 € · 0,776 = 620,80 €
2. 23 % auf einmal: 800,00 € · 0,77 = 616,00 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 620,80 € statt 616,00 €
★18
Eine Schule kauft Material für 2.350,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 2.350,00 € · 0,9 = 2.115,00 €
2. Nach dem Skonto: 2.115,00 € · 0,97 = 2.051,55 €
Ergebnis:
2.051,55 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Überschlage im Kopf: 9 % von 202,00 €. Etwa wie viel ist das?

Schritt für Schritt

9 % ≈ 10 % und 202,00 € ≈ 200,00 €
10 % von 200,00 € sind 20,00 €
10 % sind etwa 20,00 €

9 % ≈ 10 % und 202,00 € ≈ 200,00 €
10 % von 200,00 € sind 20,00 €
10 % sind etwa 20,00 €

Ergebnis:

etwa 20,00 €

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Überschlage im Kopf: 21 % von 398,00 €. Etwa wie viel ist das?
So fängst du an:
21 % ≈ 20 % und 398,00 € ≈ 400,00 €
Lösung zeigen
1. 21 % ≈ 20 % und 398,00 € ≈ 400,00 €
2. 10 % von 400,00 € sind 40,00 €
3. 20 % sind etwa 80,00 €
Ergebnis:
etwa 80,00 €
●20
Eine Jacke kostet 119,90 €. Es gibt 25 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
Lösung zeigen
1. 119,90 € ≈ 120,00 €
2. 25 % sind ein Viertel: 120 : 4 = 30
3. 120 − 30 = 90
Ergebnis:
etwa 90,00 €
★21
Von 296 Kindern einer Schule kommen 59 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
1. 296 ≈ 300 und 59 ≈ 60
2. 60 von 300: 60 : 300 = 0,2
3. Also etwa 20 %
Ergebnis:
etwa 20 %

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Ein Laden wirbt: „Nimm 5, zahl 4.“ Ein Stück kostet 9,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 5 Stück nimmt?

Schritt für Schritt

Normal: 5 · 9,00 € = 45,00 €. Bezahlt: 4 · 9,00 € = 36,00 €
Ersparnis: 9,00 € von 45,00 €
1 : 5 = 0,2

Normal: 5 · 9,00 € = 45,00 €. Bezahlt: 4 · 9,00 € = 36,00 €
Ersparnis: 9,00 € von 45,00 €
1 : 5 = 0,2

Ergebnis:

20 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 4,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?
So fängst du an:
Normal: 4 · 4,00 € = 16,00 €. Bezahlt: 3 · 4,00 € = 12,00 €
Lösung zeigen
1. Normal: 4 · 4,00 € = 16,00 €. Bezahlt: 3 · 4,00 € = 12,00 €
2. Ersparnis: 4,00 € von 16,00 €
3. 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %
●23
Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 9,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
Lösung zeigen
1. Normal: 3 · 9,00 € = 27,00 €. Bezahlt: 2 · 9,00 € = 18,00 €
2. Ersparnis: 9,00 € von 27,00 €
3. 1 : 3 ≈ 0,333
Ergebnis:
etwa 33,3 %
★24
Eine Flasche Duschgel hat jetzt 30 % mehr Inhalt: 1300 ml statt 1000 ml, zum gleichen Preis. Um wie viel Prozent ist der Preis je Milliliter gesunken?
Lösung zeigen
1. Gleicher Preis für 1,3-mal so viel
2. Preis je Milliliter: Faktor 1 : 1,3 ≈ 0,7692
3. Gesunken um etwa 23,1 %, nicht um 30 %
Ergebnis:
etwa 23,1 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Eine Jacke kostet 80,00 €. Der Preis sinkt um 30 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
Lösung zeigen
1. Faktor: 100 % − 30 % = 70 %, also 0,7
2. 80,00 € · 0,7 = 56,00 €
Ergebnis:
56,00 €
●26
Im Sale ist ein Paar Sportschuhe um 25 % günstiger und kostet jetzt 60,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
2. Alter Preis · 0,75 = 60,00 €
3. Alter Preis: 60,00 € : 0,75 = 80,00 €
Ergebnis:
80,00 €
●27
Ein Fahrrad kostet 800,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,2 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 1,2 · 0,8 = 0,96
3. Neuer Preis: 800,00 € · 0,96 = 768,00 €
4. Insgesamt billiger um 4 %
Ergebnis:
768,00 €; minus 4 %
●28
Stimmt das? „Steigt ein Wert um 10 % und sinkt dann um 10 %, ist er kleiner als vorher.“ Begründe mit Faktoren.
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,1 und 0,9
2. Produkt: 1,1 · 0,9 = 0,99
3. 0,99 ist kleiner als 1: Der Wert ist gesunken.
Ergebnis:
Ja, er ist um 1 % kleiner
●29
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 2 % auf 4 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 2 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 4 − 2 = 2, also 2 Prozentpunkte
2. Bezogen auf den alten Satz: 2 : 2 = 1, also 100 %
Ergebnis:
2 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
●30
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 21,40 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
2. Steuer: 21,40 € − 20,00 € = 1,40 €
Ergebnis:
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Welcher Faktor gehört zu „75 % weniger“, welcher zu „75 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,25 und 1,75
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Nach einer Preiserhöhung um 20 % kostet ein Fahrrad 960,00 €. Wie viel kostete ein Fahrrad vorher?
Lösung zeigen
Ergebnis:
800,00 €
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Ein Tablet kostet 250,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
Ergebnis:
292,50 €; plus 17 %
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
An einer Schule kommen 10 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 50 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Ein Laptop kostet im Laden 595,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
Ergebnis:
500,00 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
Eine Schule kauft Material für 1.000,00 €. Es gibt 5 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
921,50 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Von 598 Kindern einer Schule kommen 302 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 50 %
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Auf einem Schild steht: „Statt 40,00 € nur 32,00 € – 20 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ja, genau 20 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

steigt um 10 %
0,25 und 1,75
Faktor 1,12
40,00 €
12.000
36,00 €
135,00 €; plus 12,5 %
Nein, insgesamt 19 % Rabatt
60,48 €; plus 0,8 %
25 Prozentpunkte; 50 %
1 Prozentpunkt; das sind 100 % mehr
33 %; 3 Prozentpunkte mehr
190,00 €
netto 5,00 €, Steuer 0,35 €
190,00 €
Nein: 2.327,50 € statt 2.325,00 €
Nein: 620,80 € statt 616,00 €
2.051,55 €
etwa 80,00 €
etwa 90,00 €
etwa 20 %
25 %
etwa 33,3 %
etwa 23,1 %
56,00 €
80,00 €
768,00 €; minus 4 %
Ja, er ist um 1 % kleiner
2 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €
0,25 und 1,75
800,00 €
292,50 €; plus 17 %
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
500,00 €
921,50 €
etwa 50 %
Ja, genau 20 %
20,00 €
60 km