Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Skateboard kostet 120,00 €. Berechne 25 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 120,00 €
2. 1 % → 1,20 €
3. 25 % → 1,20 € · 25 = 30,00 €
Ergebnis:
30,00 €
●40
50 % einer Strecke sind 40 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 50 % → 40 km
2. 1 % → 0,8 km
3. 100 % → 0,8 · 100 = 80 km
Ergebnis:
80 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Der Fahrpreis sinkt um 30 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?

Schritt für Schritt

Vorher 100 %, nachher 100 % − 30 %, also 70 %
70 % als Dezimalzahl: 0,7

Vorher 100 %, nachher 100 % − 30 %, also 70 %
70 % als Dezimalzahl: 0,7

Ergebnis:

Faktor 0,7

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Faktor gehört zu „10 % weniger“, welcher zu „10 % mehr“? Schreibe beide auf.
So fängst du an:
10 % weniger: 100 % − 10 % = 90 %, Faktor 0,9
Lösung zeigen
1. 10 % weniger: 100 % − 10 % = 90 %, Faktor 0,9
2. 10 % mehr: 100 % + 10 % = 110 %, Faktor 1,1
Ergebnis:
0,9 und 1,1
●2
Ein Wert wird mit dem Faktor 0,95 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. 0,95 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
2. 0,95 entspricht 95 %, also 5 % weniger
Ergebnis:
sinkt um 5 %
★3
Ein Kopfhörer kostet 80,00 €. Der Preis steigt um 4 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
Lösung zeigen
1. Faktor: 100 % + 4 % = 104 %, also 1,04
2. 80,00 € · 1,04 = 83,20 €
Ergebnis:
83,20 €

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 20 % gewachsen und hat jetzt 9600 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?

Schritt für Schritt

Gewachsen um 20 %: jetzt 120 % des alten Werts.
Faktor 1,2, also alter Wert = 9600 : 1,2
9600 : 1,2 = 8000

Gewachsen um 20 %: jetzt 120 % des alten Werts.
Faktor 1,2, also alter Wert = 9600 : 1,2
9600 : 1,2 = 8000

Ergebnis:

8000

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Im Sale ist ein Konzertticket um 10 % günstiger und kostet jetzt 45,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
So fängst du an:
Nach der Senkung bleiben 90 %, Faktor 0,9.
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 90 %, Faktor 0,9.
2. Alter Preis · 0,9 = 45,00 €
3. Alter Preis: 45,00 € : 0,9 = 50,00 €
Ergebnis:
50,00 €
●5
Ein großer Sportverein ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 3000 Mitglieder. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
2. Faktor 1,5, also alter Wert = 3000 : 1,5
3. 3000 : 1,5 = 2000
Ergebnis:
2000
★6
Im Sale ist eine Jacke um 12 % günstiger und kostet jetzt 52,80 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 88 %, Faktor 0,88.
2. Alter Preis · 0,88 = 52,80 €
3. Alter Preis: 52,80 € : 0,88 = 60,00 €
Ergebnis:
60,00 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Eine Jacke kostet 60,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?

Schritt für Schritt

Faktoren: 1,2 und 0,8
Gesamtfaktor: 1,2 · 0,8 = 0,96
Neuer Preis: 60,00 € · 0,96 = 57,60 €
Insgesamt billiger um 4 %

Faktoren: 1,2 und 0,8
Gesamtfaktor: 1,2 · 0,8 = 0,96
Neuer Preis: 60,00 € · 0,96 = 57,60 €
Insgesamt billiger um 4 %

Ergebnis:

57,60 €; minus 4 %

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Mila noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Mila sagt: „Das sind 50 % Rabatt.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Faktoren: 0,7 und 0,8
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,7 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
3. Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 44 % Rabatt
●8
Eine Jacke kostet 90,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,3 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,3 · 0,9 = 1,17
3. Neuer Preis: 90,00 € · 1,17 = 105,30 €
4. Insgesamt teurer um 17 %
Ergebnis:
105,30 €; plus 17 %
★9
Ein Verein hat 3000 Mitglieder. Im ersten Jahr kommen 20 % dazu, im zweiten Jahr 10 %, im dritten Jahr gehen 10 % verloren. Wie viele Mitglieder hat er danach?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,2, 1,1, 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,2 · 1,1 · 0,9 = 1,188
3. 3000 · 1,188 = 3564
Ergebnis:
3564 Mitglieder

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 3 % auf 4,5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?

Schritt für Schritt

Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 3 = 0,5, also 50 %

Unterschied der Prozentsätze: 4,5 − 3 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 3 = 0,5, also 50 %

Ergebnis:

1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
An einer Schule kommen 30 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
So fängst du an:
10 % mehr: Faktor 1,1
Lösung zeigen
1. 10 % mehr: Faktor 1,1
2. 30 · 1,1 = 33, also 33 %
3. Anstieg: 33 − 30 = 3 Prozentpunkte
Ergebnis:
33 %; 3 Prozentpunkte mehr
●11
Dein Handy-Akku lädt von 25 % auf 50 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 50 − 25 = 25
2. Prozent: 25 : 25 = 1, also 100 %
Ergebnis:
25 Prozentpunkte; 100 %
★12
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 1,5 % auf 3 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 3 − 1,5 = 1,5, also 1,5 Prozentpunkte
2. Bezogen auf den alten Satz: 1,5 : 1,5 = 1, also 100 %
Ergebnis:
1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Ein Schreibtisch kostet im Laden 595,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?

Schritt für Schritt

Brutto = netto · 1,19
Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €

Brutto = netto · 1,19
Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €

Ergebnis:

500,00 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht

80 € minus 25 % = 20 €

So richtig

80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Fahrrad kostet im Laden 476,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
So fängst du an:
Brutto = netto · 1,19
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 476,00 € : 1,19 = 400,00 €
Ergebnis:
400,00 €
●14
Auf dem Kassenzettel steht 595,00 € für ein Fahrrad, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
2. Steuer: 595,00 € − 500,00 € = 95,00 €
Ergebnis:
95,00 €
★15
Eine Konsole kostet 595,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Sara rechnet die Steuer als 19 % von 595,00 € und bekommt 113,05 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
Lösung zeigen
1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
2. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
3. Steuer: 595,00 € − 500,00 € = 95,00 €
Ergebnis:
95,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Ein Malerbetrieb kauft Material für 2.500,00 €. Es gibt 5 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?

Schritt für Schritt

Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,95 = 2.375,00 €
Nach dem Skonto: 2.375,00 € · 0,98 = 2.327,50 €

Nach dem Rabatt: 2.500,00 € · 0,95 = 2.375,00 €
Nach dem Skonto: 2.375,00 € · 0,98 = 2.327,50 €

Ergebnis:

2.327,50 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Fahrradladen kauft Material für 800,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
So fängst du an:
Nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,8 = 640,00 €
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,8 = 640,00 €
2. Nach dem Skonto: 640,00 € · 0,97 = 620,80 €
Ergebnis:
620,80 €
●17
Ein Sportverein kauft Material für 800,00 €. Es gibt 5 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,95 = 760,00 €
2. Nach dem Skonto: 760,00 € · 0,98 = 744,80 €
Ergebnis:
744,80 €
★18
Eine Rechnung über 2.350,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 2 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
Lösung zeigen
1. Betrag nach dem Rabatt: 2.350,00 € · 0,95 = 2.232,50 €
2. Skonto: 2 % von 2.232,50 €
3. 2.232,50 € · 0,02 = 44,65 €
Ergebnis:
44,65 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Eine Jacke kostet 79,90 €. Es gibt 50 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.

Schritt für Schritt

79,90 € ≈ 80,00 €
50 % sind die Hälfte: 80 : 2 = 40
80 − 40 = 40

79,90 € ≈ 80,00 €
50 % sind die Hälfte: 80 : 2 = 40
80 − 40 = 40

Ergebnis:

etwa 40,00 €

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Von 596 Kindern einer Schule kommen 302 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
So fängst du an:
596 ≈ 600 und 302 ≈ 300
Lösung zeigen
1. 596 ≈ 600 und 302 ≈ 300
2. 300 von 600: 300 : 600 = 0,5
3. Also etwa 50 %
Ergebnis:
etwa 50 %
●20
Eine Jacke kostet 199,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
Lösung zeigen
1. 199,90 € ≈ 200,00 €
2. 10 % sind ein Zehntel: 200 : 10 = 20
3. 200 − 20 = 180
Ergebnis:
etwa 180,00 €
★21
Ein Fahrrad kostet 198,90 €. Der Preis steigt um 9 %, später gibt es 21 % Rabatt auf den neuen Preis. Überschlage den Endpreis im Kopf.
Lösung zeigen
1. Runden: 198,90 € ≈ 200,00 €, 9 % ≈ 10 %, 21 % ≈ 20 %
2. Nach dem Aufschlag: 200,00 € + 20,00 € = 220,00 €
3. 20 % von 220,00 € sind 44,00 €
4. 220,00 € − 44,00 € = 176,00 €
Ergebnis:
etwa 176,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Ein Laden wirbt: „Nimm 5, zahl 4.“ Ein Stück kostet 12,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 5 Stück nimmt?

Schritt für Schritt

Normal: 5 · 12,00 € = 60,00 €. Bezahlt: 4 · 12,00 € = 48,00 €
Ersparnis: 12,00 € von 60,00 €
1 : 5 = 0,2

Normal: 5 · 12,00 € = 60,00 €. Bezahlt: 4 · 12,00 € = 48,00 €
Ersparnis: 12,00 € von 60,00 €
1 : 5 = 0,2

Ergebnis:

20 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 2,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
So fängst du an:
Normal: 3 · 2,00 € = 6,00 €. Bezahlt: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Lösung zeigen
1. Normal: 3 · 2,00 € = 6,00 €. Bezahlt: 2 · 2,00 € = 4,00 €
2. Ersparnis: 2,00 € von 6,00 €
3. 1 : 3 ≈ 0,333
Ergebnis:
etwa 33,3 %
●23
Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 5,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
Lösung zeigen
1. Normal: 3 · 5,00 € = 15,00 €. Bezahlt: 2 · 5,00 € = 10,00 €
2. Ersparnis: 5,00 € von 15,00 €
3. 1 : 3 ≈ 0,333
Ergebnis:
etwa 33,3 %
★24
Auf einem Schild steht: „Statt 120,00 € nur 90,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
Lösung zeigen
1. Ersparnis: 120,00 € − 90,00 € = 30,00 €
2. 30 : 120 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
Ja, genau 25 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Zahl der Besucher im Freibad steigt um 50 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Lösung zeigen
1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 50 %, also 150 %
2. 150 % als Dezimalzahl: 1,5
Ergebnis:
Faktor 1,5
●26
Nach einer Preiserhöhung um 50 % kostet eine Jacke 120,00 €. Wie viel kostete eine Jacke vorher?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,5
3. Alter Preis: 120,00 € : 1,5 = 80,00 €
Ergebnis:
80,00 €
●27
Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Aylin noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Aylin sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,8 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 0,8 · 0,8 = 0,64
3. Es bleiben 64 %, Rabatt also 36 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 36 % Rabatt
●28
Stimmt das? „Steigt ein Wert um 40 % und sinkt dann um 40 %, ist er kleiner als vorher.“ Begründe mit Faktoren.
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1. Faktoren: 1,4 und 0,6
2. Produkt: 1,4 · 0,6 = 0,84
3. 0,84 ist kleiner als 1: Der Wert ist gesunken.
Ergebnis:
Ja, er ist um 16 % kleiner
●29
An einer Schule kommen 10 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 50 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
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1. 50 % mehr: Faktor 1,5
2. 10 · 1,5 = 15, also 15 %
3. Anstieg: 15 − 10 = 5 Prozentpunkte
Ergebnis:
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
●30
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 21,40 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
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1. Netto: 21,40 € : 1,07 = 20,00 €
2. Steuer: 21,40 € − 20,00 € = 1,40 €
Ergebnis:
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Ein Wert wird mit dem Faktor 1,5 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
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Ergebnis:
steigt um 50 %
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 8800 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
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Ergebnis:
8000
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Im Sale gibt es 50 % Rabatt. An der Kasse bekommt Jonas noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Jonas sagt: „Das sind 60 % Rabatt.“ Stimmt das?
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Ergebnis:
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 1,5 % auf 3 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
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Ergebnis:
1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 32,10 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
Ergebnis:
netto 30,00 €, Steuer 2,10 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
15 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 17 % Nachlass auf 2.000,00 €? Vergleiche die Beträge.
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Ergebnis:
Nein: 1.666,00 € statt 1.660,00 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Eine Jacke kostet 39,90 €. Es gibt 50 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
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Ergebnis:
etwa 20,00 €
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Ein Laden wirbt: „Nimm 4, zahl 3.“ Ein Stück kostet 9,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 4 Stück nimmt?
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Ergebnis:
25 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

0,9 und 1,1
sinkt um 5 %
83,20 €
50,00 €
2000
60,00 €
Nein, insgesamt 44 % Rabatt
105,30 €; plus 17 %
3564 Mitglieder
33 %; 3 Prozentpunkte mehr
25 Prozentpunkte; 100 %
1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
400,00 €
95,00 €
95,00 €
620,80 €
744,80 €
44,65 €
etwa 50 %
etwa 180,00 €
etwa 176,00 €
etwa 33,3 %
etwa 33,3 %
Ja, genau 25 %
Faktor 1,5
80,00 €
Nein, insgesamt 36 % Rabatt
Ja, er ist um 16 % kleiner
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
netto 20,00 €, Steuer 1,40 €
steigt um 50 %
8000
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
1,5 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
netto 30,00 €, Steuer 2,10 €
Nein: 1.666,00 € statt 1.660,00 €
etwa 20,00 €
25 %
30,00 €
80 km