Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Skateboard kostet 120,00 €. Berechne 50 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 120,00 €
2. 1 % → 1,20 €
3. 50 % → 1,20 € · 50 = 60,00 €
Ergebnis:
60,00 €
●40
50 % einer Strecke sind 30 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 50 % → 30 km
2. 1 % → 0,6 km
3. 100 % → 0,6 · 100 = 60 km
Ergebnis:
60 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Ein Konzertticket kostet 80,00 €. Der Preis steigt um 20 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.

Schritt für Schritt

Faktor: 100 % + 20 % = 120 %, also 1,2
80,00 € · 1,2 = 96,00 €

Faktor: 100 % + 20 % = 120 %, also 1,2
80,00 € · 1,2 = 96,00 €

Ergebnis:

96,00 €

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Wert wird mit dem Faktor 0,9 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
So fängst du an:
0,9 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
Lösung zeigen
1. 0,9 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
2. 0,9 entspricht 90 %, also 10 % weniger
Ergebnis:
sinkt um 10 %
●2
Der Fahrpreis sinkt um 50 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Lösung zeigen
1. Vorher 100 %, nachher 100 % − 50 %, also 50 %
2. 50 % als Dezimalzahl: 0,5
Ergebnis:
Faktor 0,5
★3
Ein Wert wird mit dem Faktor 0,65 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. 0,65 ist kleiner als 1: Der Wert sinkt.
2. 0,65 entspricht 65 %, also 35 % weniger
Ergebnis:
sinkt um 35 %

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Ein großer Sportverein ist in fünf Jahren um 50 % gewachsen und hat jetzt 30.000 Mitglieder. Wie viele waren es vor fünf Jahren?

Schritt für Schritt

Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
Faktor 1,5, also alter Wert = 30.000 : 1,5
30.000 : 1,5 = 20.000

Gewachsen um 50 %: jetzt 150 % des alten Werts.
Faktor 1,5, also alter Wert = 30.000 : 1,5
30.000 : 1,5 = 20.000

Ergebnis:

20.000

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 2200 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
So fängst du an:
Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
2. Faktor 1,1, also alter Wert = 2200 : 1,1
3. 2200 : 1,1 = 2000
Ergebnis:
2000
●5
Im Sale ist ein Kopfhörer um 20 % günstiger und kostet jetzt 96,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 80 %, Faktor 0,8.
2. Alter Preis · 0,8 = 96,00 €
3. Alter Preis: 96,00 € : 0,8 = 120,00 €
Ergebnis:
120,00 €
★6
Nach einer Preiserhöhung um 12 % kostet ein Tablet 448,00 €. Wie viel kostete ein Tablet vorher?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,12
3. Alter Preis: 448,00 € : 1,12 = 400,00 €
Ergebnis:
400,00 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Ein Tablet kostet 250,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?

Schritt für Schritt

Faktoren: 1,3 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,3 · 0,75 = 0,975
Neuer Preis: 250,00 € · 0,975 = 243,75 €
Insgesamt billiger um 2,5 %

Faktoren: 1,3 und 0,75
Gesamtfaktor: 1,3 · 0,75 = 0,975
Neuer Preis: 250,00 € · 0,975 = 243,75 €
Insgesamt billiger um 2,5 %

Ergebnis:

243,75 €; minus 2,5 %

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Im Sale gibt es 50 % Rabatt. An der Kasse bekommt Aylin noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Aylin sagt: „Das sind 70 % Rabatt.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Faktoren: 0,5 und 0,8
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,5 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 0,5 · 0,8 = 0,4
3. Es bleiben 40 %, Rabatt also 60 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 60 % Rabatt
●8
Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Aylin noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Aylin sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,7 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 0,7 · 0,9 = 0,63
3. Es bleiben 63 %, Rabatt also 37 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 37 % Rabatt
★9
Im Sale gibt es 40 % Rabatt. An der Kasse bekommt Zeynep noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Zeynep sagt: „Das sind 60 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,6 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 0,6 · 0,8 = 0,48
3. Es bleiben 48 %, Rabatt also 52 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 52 % Rabatt

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

An einer Schule kommen 20 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?

Schritt für Schritt

10 % mehr: Faktor 1,1
20 · 1,1 = 22, also 22 %
Anstieg: 22 − 20 = 2 Prozentpunkte

10 % mehr: Faktor 1,1
20 · 1,1 = 22, also 22 %
Anstieg: 22 − 20 = 2 Prozentpunkte

Ergebnis:

22 %; 2 Prozentpunkte mehr

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
An einer Schule kommen 10 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 50 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
So fängst du an:
50 % mehr: Faktor 1,5
Lösung zeigen
1. 50 % mehr: Faktor 1,5
2. 10 · 1,5 = 15, also 15 %
3. Anstieg: 15 − 10 = 5 Prozentpunkte
Ergebnis:
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
●11
Dein Handy-Akku lädt von 20 % auf 30 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 30 − 20 = 10
2. Prozent: 10 : 20 = 0,5, also 50 %
Ergebnis:
10 Prozentpunkte; 50 %
★12
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 2 % auf 4 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 2 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 4 − 2 = 2, also 2 Prozentpunkte
2. Bezogen auf den alten Satz: 2 : 2 = 1, also 100 %
Ergebnis:
2 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Auf dem Kassenzettel steht 952,00 € für einen Laptop, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?

Schritt für Schritt

Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €

Netto: 952,00 € : 1,19 = 800,00 €
Steuer: 952,00 € − 800,00 € = 152,00 €

Ergebnis:

152,00 €

ÜbenJetzt du

○13
Auf dem Kassenzettel steht 714,00 € für einen Schreibtisch, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
So fängst du an:
Netto: 714,00 € : 1,19 = 600,00 €
Lösung zeigen
1. Netto: 714,00 € : 1,19 = 600,00 €
2. Steuer: 714,00 € − 600,00 € = 114,00 €
Ergebnis:
114,00 €
●14
Auf dem Kassenzettel steht 714,00 € für ein Fahrrad, mit 19 % Mehrwertsteuer. Wie viel Euro davon sind Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 714,00 € : 1,19 = 600,00 €
2. Steuer: 714,00 € − 600,00 € = 114,00 €
Ergebnis:
114,00 €
★15
Ein Fahrrad kostet 714,00 € mit 19 % Mehrwertsteuer. Aylin rechnet die Steuer als 19 % von 714,00 € und bekommt 135,66 €. Was ist falsch? Rechne richtig.
Lösung zeigen
1. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis.
2. Netto: 714,00 € : 1,19 = 600,00 €
3. Steuer: 714,00 € − 600,00 € = 114,00 €
Ergebnis:
114,00 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Eine Schule kauft Material für 1.200,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?

Schritt für Schritt

Nach dem Rabatt: 1.200,00 € · 0,9 = 1.080,00 €
Nach dem Skonto: 1.080,00 € · 0,97 = 1.047,60 €

Nach dem Rabatt: 1.200,00 € · 0,9 = 1.080,00 €
Nach dem Skonto: 1.080,00 € · 0,97 = 1.047,60 €

Ergebnis:

1.047,60 €

ÜbenJetzt du

○16
Eine Rechnung über 2.000,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 3 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
So fängst du an:
Betrag nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,95 = 1.900,00 €
Lösung zeigen
1. Betrag nach dem Rabatt: 2.000,00 € · 0,95 = 1.900,00 €
2. Skonto: 3 % von 1.900,00 €
3. 1.900,00 € · 0,03 = 57,00 €
Ergebnis:
57,00 €
●17
Eine Rechnung über 800,00 € enthält 5 % Rabatt. Wer schnell zahlt, darf zusätzlich 3 % Skonto abziehen. Wie viel Euro spart man durch das Skonto?
Lösung zeigen
1. Betrag nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,95 = 760,00 €
2. Skonto: 3 % von 760,00 €
3. 760,00 € · 0,03 = 22,80 €
Ergebnis:
22,80 €
★18
20 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 23 % Nachlass auf 1.250,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 1.250,00 € · 0,776 = 970,00 €
2. 23 % auf einmal: 1.250,00 € · 0,77 = 962,50 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 970,00 € statt 962,50 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Eine Jacke kostet 79,90 €. Es gibt 10 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.

Schritt für Schritt

79,90 € ≈ 80,00 €
10 % sind ein Zehntel: 80 : 10 = 8
80 − 8 = 72

79,90 € ≈ 80,00 €
10 % sind ein Zehntel: 80 : 10 = 8
80 − 8 = 72

Ergebnis:

etwa 72,00 €

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Überschlage im Kopf: 9 % von 299,00 €. Etwa wie viel ist das?
So fängst du an:
9 % ≈ 10 % und 299,00 € ≈ 300,00 €
Lösung zeigen
1. 9 % ≈ 10 % und 299,00 € ≈ 300,00 €
2. 10 % von 300,00 € sind 30,00 €
3. 10 % sind etwa 30,00 €
Ergebnis:
etwa 30,00 €
●20
Überschlage im Kopf: 48 % von 297,00 €. Etwa wie viel ist das?
Lösung zeigen
1. 48 % ≈ 50 % und 297,00 € ≈ 300,00 €
2. 10 % von 300,00 € sind 30,00 €
3. 50 % sind etwa 150,00 €
Ergebnis:
etwa 150,00 €
★21
Ein Fahrrad kostet 499,90 €. Der Preis steigt um 11 %, später gibt es 26 % Rabatt auf den neuen Preis. Überschlage den Endpreis im Kopf.
Lösung zeigen
1. Runden: 499,90 € ≈ 500,00 €, 11 % ≈ 10 %, 26 % ≈ 25 %
2. Nach dem Aufschlag: 500,00 € + 50,00 € = 550,00 €
3. 25 % von 550,00 € sind 137,50 €
4. 550,00 € − 137,50 € = 412,50 €
Ergebnis:
etwa 412,50 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Auf einem Schild steht: „Statt 60,00 € nur 48,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?

Schritt für Schritt

Ersparnis: 60,00 € − 48,00 € = 12,00 €
12 : 60 = 0,2, also 20 %

Ersparnis: 60,00 € − 48,00 € = 12,00 €
12 : 60 = 0,2, also 20 %

Ergebnis:

Nein, nur 20 %

ÜbenJetzt du

○22
Auf einem Schild steht: „Statt 40,00 € nur 32,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
So fängst du an:
Ersparnis: 40,00 € − 32,00 € = 8,00 €
Lösung zeigen
1. Ersparnis: 40,00 € − 32,00 € = 8,00 €
2. 8 : 40 = 0,2, also 20 %
Ergebnis:
Nein, nur 20 %
●23
Ein Laden wirbt: „Nimm 5, zahl 4.“ Ein Stück kostet 5,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 5 Stück nimmt?
Lösung zeigen
1. Normal: 5 · 5,00 € = 25,00 €. Bezahlt: 4 · 5,00 € = 20,00 €
2. Ersparnis: 5,00 € von 25,00 €
3. 1 : 5 = 0,2
Ergebnis:
20 %
★24
Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 3,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
Lösung zeigen
1. Normal: 3 · 3,00 € = 9,00 €. Bezahlt: 2 · 3,00 € = 6,00 €
2. Ersparnis: 3,00 € von 9,00 €
3. 1 : 3 ≈ 0,333
Ergebnis:
etwa 33,3 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Zahl der Mitglieder im Sportverein steigt um 20 %. Mit welchem Faktor multiplizierst du den alten Wert, um den neuen zu bekommen?
Lösung zeigen
1. Vorher 100 %, nachher 100 % + 20 %, also 120 %
2. 120 % als Dezimalzahl: 1,2
Ergebnis:
Faktor 1,2
●26
Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 20 % gewachsen und hat jetzt 6000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 20 %: jetzt 120 % des alten Werts.
2. Faktor 1,2, also alter Wert = 6000 : 1,2
3. 6000 : 1,2 = 5000
Ergebnis:
5000
●27
Im Sale gibt es 20 % Rabatt. An der Kasse bekommt Emre noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Emre sagt: „Das sind 40 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,8 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 0,8 · 0,8 = 0,64
3. Es bleiben 64 %, Rabatt also 36 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 36 % Rabatt
●28
Stimmt das? „Steigt ein Wert um 20 % und sinkt dann um 20 %, ist er kleiner als vorher.“ Begründe mit Faktoren.
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,2 und 0,8
2. Produkt: 1,2 · 0,8 = 0,96
3. 0,96 ist kleiner als 1: Der Wert ist gesunken.
Ergebnis:
Ja, er ist um 4 % kleiner
●29
Dein Handy-Akku lädt von 50 % auf 75 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. Prozentpunkte: 75 − 50 = 25
2. Prozent: 25 : 50 = 0,5, also 50 %
Ergebnis:
25 Prozentpunkte; 50 %
●30
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 2,14 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 2,14 € : 1,07 = 2,00 €
2. Steuer: 2,14 € − 2,00 € = 0,14 €
Ergebnis:
netto 2,00 €, Steuer 0,14 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Ein Konzertticket kostet 50,00 €. Der Preis steigt um 25 %. Berechne den neuen Preis mit einem einzigen Rechenschritt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
62,50 €
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Im Sale ist ein Tablet um 50 % günstiger und kostet jetzt 100,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
Ergebnis:
200,00 €
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Im Sale gibt es 50 % Rabatt. An der Kasse bekommt Jonas noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Jonas sagt: „Das sind 60 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
Dein Handy-Akku lädt von 80 % auf 100 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Prozentpunkte; 25 %
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Ein Fahrrad kostet im Laden 476,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
Ergebnis:
400,00 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
Eine Schule kauft Material für 1.000,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
873,00 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Eine Jacke kostet 39,90 €. Es gibt 25 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 30,00 €
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Auf einem Schild steht: „Statt 80,00 € nur 64,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, nur 20 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

sinkt um 10 %
Faktor 0,5
sinkt um 35 %
2000
120,00 €
400,00 €
Nein, insgesamt 60 % Rabatt
Nein, insgesamt 37 % Rabatt
Nein, insgesamt 52 % Rabatt
15 %; 5 Prozentpunkte mehr
10 Prozentpunkte; 50 %
2 Prozentpunkte; das sind 100 % mehr
114,00 €
114,00 €
114,00 €
57,00 €
22,80 €
Nein: 970,00 € statt 962,50 €
etwa 30,00 €
etwa 150,00 €
etwa 412,50 €
Nein, nur 20 %
20 %
etwa 33,3 %
Faktor 1,2
5000
Nein, insgesamt 36 % Rabatt
Ja, er ist um 4 % kleiner
25 Prozentpunkte; 50 %
netto 2,00 €, Steuer 0,14 €
62,50 €
200,00 €
Nein, insgesamt 55 % Rabatt
20 Prozentpunkte; 25 %
400,00 €
873,00 €
etwa 30,00 €
Nein, nur 20 %
60,00 €
60 km