Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Prozentuale Veränderungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit dem Dreisatz braucht jeder Preis drei Schritte: 1 % ausrechnen, 7 % ausrechnen, dazuzählen. Nach wenigen Preisen wird es mühsam, und beim Runden und Addieren schleichen sich Fehler ein. Der neue Preis ist 107 % des alten, und 107 % sind 1,07. Also reicht ein einziger Schritt je Preis: mal 1,07. Senken um 7 % heißt dann mal 0,93 – mit demselben Werkzeug.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
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Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Prozent ist ein Anteil vom Grundwert, und 100 % sind das Ganze.

●39
Ein Skateboard kostet 40,00 €. Berechne 20 % des Preises.
Lösung zeigen
1. 100 % → 40,00 €
2. 1 % → 0,40 €
3. 20 % → 0,40 € · 20 = 8,00 €
Ergebnis:
8,00 €
●40
50 % einer Strecke sind 30 km. Berechne, wie lang die ganze Strecke ist.
Lösung zeigen
1. 50 % → 30 km
2. 1 % → 0,6 km
3. 100 % → 0,6 · 100 = 60 km
Ergebnis:
60 km

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEine Änderung in Prozent ist ein Faktor

Eine prozentuale Änderung macht aus dem alten Wert ein Vielfaches: 20 % mehr heißt das 1,2-Fache, 20 % weniger das 0,8-Fache. Der Faktor zeigt, worauf sich die Prozente beziehen – immer auf den Wert davor.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Preis steigt um 10 % und sinkt danach um 10 %. Warum kann er am Ende nicht wieder genauso hoch sein wie am Anfang?

1Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.

EntdeckenFrage

Warum kostet das Brötchen nur 7 % Steuer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Umsatzsteuergesetz kennt einen allgemeinen Satz von 19 % und einen ermäßigten von 7 %, der unter anderem für die meisten Lebensmittel gilt. Ein Handy für 119 € enthält also 19 € Steuer, der Nettopreis ist 100 €.

MerkenDer Änderungsfaktor

Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.

Bei 15 % mehr rechnet man mal 1,15, bei 15 % weniger mal 0,85. Ist der Faktor größer als 1, wird es mehr.

BeispielErhöhen und Senken mit dem Änderungsfaktor

Ein Wert wird mit dem Faktor 1,3 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?

Schritt für Schritt

1,3 ist größer als 1: Der Wert steigt.
1,3 entspricht 130 %, also 30 % mehr

1,3 ist größer als 1: Der Wert steigt.
1,3 entspricht 130 %, also 30 % mehr

Ergebnis:

steigt um 30 %

AchtungMit dem Prozentsatz statt mit dem Faktor multipliziert

So nicht

80 € werden um 15 % teurer: 80 € · 0,15 = 12 €

So richtig

Faktor 1,15: 80 € · 1,15 = 92 €

15 % mehr heißt 115 %, also mal 1,15. Wer mal 0,15 rechnet, bekommt nur den Aufschlag, nicht den neuen Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Wert wird mit dem Faktor 1,25 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
So fängst du an:
1,25 ist größer als 1: Der Wert steigt.
Lösung zeigen
1. 1,25 ist größer als 1: Der Wert steigt.
2. 1,25 entspricht 125 %, also 25 % mehr
Ergebnis:
steigt um 25 %
●2
Welcher Faktor gehört zu „10 % weniger“, welcher zu „10 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 10 % weniger: 100 % − 10 % = 90 %, Faktor 0,9
2. 10 % mehr: 100 % + 10 % = 110 %, Faktor 1,1
Ergebnis:
0,9 und 1,1
★3
Welcher Faktor gehört zu „25 % weniger“, welcher zu „25 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
1. 25 % weniger: 100 % − 25 % = 75 %, Faktor 0,75
2. 25 % mehr: 100 % + 25 % = 125 %, Faktor 1,25
Ergebnis:
0,75 und 1,25

2Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.

EntdeckenFrage

Dein Akku zeigt 20 %, nach dem Laden 40 %. Ist er um 20 % voller geworden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er ist um 20 Prozentpunkte gestiegen. Bezogen auf die alten 20 % hat sich der Akkustand aber verdoppelt, also um 100 % erhöht. Prozentpunkte und Prozent sind zwei verschiedene Angaben.

MerkenZurück zum Grundwert

Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.

Nach 20 % Rabatt kostet eine Jacke 64 €, vorher also 64 € : 0,8 = 80 €.

BeispielVom neuen Wert zurück zum alten

Ein Dorf in Brandenburg ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 2200 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?

Schritt für Schritt

Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
Faktor 1,1, also alter Wert = 2200 : 1,1
2200 : 1,1 = 2000

Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
Faktor 1,1, also alter Wert = 2200 : 1,1
2200 : 1,1 = 2000

Ergebnis:

2000

AchtungProzente vom neuen Wert abgezogen

So nicht

Nach 20 % Rabatt kostet die Jacke 64 €. Alter Preis: 64 € + 20 % von 64 € = 76,80 €

So richtig

64 € sind 80 % des alten Preises: 64 € : 0,8 = 80 €

Die Prozente beziehen sich auf den alten Wert. Teile den neuen Wert durch den Faktor, statt noch einmal p % abzuziehen oder aufzuschlagen.

ÜbenJetzt du

○4
Nach einer Preiserhöhung um 25 % kostet eine Jacke 100,00 €. Wie viel kostete eine Jacke vorher?
So fängst du an:
Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,25
3. Alter Preis: 100,00 € : 1,25 = 80,00 €
Ergebnis:
80,00 €
●5
Im Sale ist ein Fahrrad um 25 % günstiger und kostet jetzt 450,00 €. Was stand vorher auf dem Preisschild?
Lösung zeigen
1. Nach der Senkung bleiben 75 %, Faktor 0,75.
2. Alter Preis · 0,75 = 450,00 €
3. Alter Preis: 450,00 € : 0,75 = 600,00 €
Ergebnis:
600,00 €
★6
Nach einer Preiserhöhung um 15 % kostet ein Fahrrad 575,00 €. Um wie viel Euro wurde der Preis erhöht?
Lösung zeigen
1. Die Prozente beziehen sich auf den alten Preis.
2. Neuer Preis = alter Preis · 1,15
3. Alter Preis: 575,00 € : 1,15 = 500,00 €
4. Erhöhung: 575,00 € − 500,00 € = 75,00 €
Ergebnis:
75,00 €

3Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.

EntdeckenFrage

Eine Aktie verliert 50 % und gewinnt danach 50 %. Warum ist sie trotzdem weniger wert als vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Faktoren werden multipliziert: 0,5 · 1,5 = 0,75. Die Aktie ist also 25 % weniger wert. Die zweiten 50 % beziehen sich auf den halbierten Wert. Um den alten Wert zu erreichen, müsste sie um 100 % steigen.

MerkenFaktoren multiplizieren

Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.

Plus 20 % und dann minus 20 % ergibt 1,2 · 0,8 = 0,96. Das sind 4 % weniger als vorher.

BeispielMehrere Änderungen nacheinander

Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Mira noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Mira sagt: „Das sind 50 % Rabatt.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Faktoren: 0,7 und 0,8
Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %

Faktoren: 0,7 und 0,8
Gesamtfaktor: 0,7 · 0,8 = 0,56
Es bleiben 56 %, Rabatt also 44 %

Ergebnis:

Nein, insgesamt 44 % Rabatt

AchtungProzentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○7
Im Sale gibt es 10 % Rabatt. An der Kasse bekommt Noah noch einmal 10 % auf den reduzierten Preis. Noah sagt: „Das sind 20 % Rabatt.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Faktoren: 0,9 und 0,9
Lösung zeigen
1. Faktoren: 0,9 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 0,9 · 0,9 = 0,81
3. Es bleiben 81 %, Rabatt also 19 %
Ergebnis:
Nein, insgesamt 19 % Rabatt
●8
Ein Paar Sportschuhe kostet 120,00 €. Der Preis steigt erst um 20 %, später sinkt er um 25 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,2 und 0,75
2. Gesamtfaktor: 1,2 · 0,75 = 0,9
3. Neuer Preis: 120,00 € · 0,9 = 108,00 €
4. Insgesamt billiger um 10 %
Ergebnis:
108,00 €; minus 10 %
★9
Eine Jacke kostet 150,00 €. Der Preis steigt erst um 25 %, später sinkt er um 10 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,25 und 0,9
2. Gesamtfaktor: 1,25 · 0,9 = 1,125
3. Neuer Preis: 150,00 € · 1,125 = 168,75 €
4. Insgesamt teurer um 12,5 %
Ergebnis:
168,75 €; plus 12,5 %

4Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.

EntdeckenFrage

Das Deutschlandticket kostete 2023 noch 49 € im Monat, 2025 dann 58 €. Um wie viel Prozent wurde es teurer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 9 € mehr. Bezogen auf den alten Preis gilt 9 : 49 ≈ 0,18, also etwa 18 %. Der Änderungsfaktor ist 58 : 49 ≈ 1,18. Wer 9 € auf 58 € bezieht, bekommt fälschlich nur etwa 16 %.

MerkenProzentpunkte

Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.

Von 2 % auf 3 % ist 1 Prozentpunkt mehr. Bezogen auf die alten 2 % sind das aber 50 % mehr.

BeispielProzentpunkte in Nachrichten und im Alltag

Dein Handy-Akku lädt von 60 % auf 90 %. Um wie viele Prozentpunkte ist der Akkustand gestiegen – und um wie viel Prozent?

Schritt für Schritt

Prozentpunkte: 90 − 60 = 30
Prozent: 30 : 60 = 0,5, also 50 %

Prozentpunkte: 90 − 60 = 30
Prozent: 30 : 60 = 0,5, also 50 %

Ergebnis:

30 Prozentpunkte; 50 %

AchtungProzentpunkte und Prozent verwechselt

So nicht

Zinssatz von 2 % auf 3 %: um 1 % gestiegen

So richtig

3 − 2 = 1 Prozentpunkt; 1 : 2 = 0,5 → 50 % mehr

Der Unterschied zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte. Die Änderung in Prozent bezieht sich auf den alten Prozentsatz.

ÜbenJetzt du

○10
An einer Schule kommen 50 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 20 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
So fängst du an:
20 % mehr: Faktor 1,2
Lösung zeigen
1. 20 % mehr: Faktor 1,2
2. 50 · 1,2 = 60, also 60 %
3. Anstieg: 60 − 50 = 10 Prozentpunkte
Ergebnis:
60 %; 10 Prozentpunkte mehr
●11
An einer Schule kommen 30 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 10 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
1. 10 % mehr: Faktor 1,1
2. 30 · 1,1 = 33, also 33 %
3. Anstieg: 33 − 30 = 3 Prozentpunkte
Ergebnis:
33 %; 3 Prozentpunkte mehr
★12
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 4 % auf 5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
1. Unterschied der Prozentsätze: 5 − 4 = 1, also 1 Prozentpunkt
2. Bezogen auf den alten Satz: 1 : 4 = 0,25, also 25 %
Ergebnis:
1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr

5Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.

EntdeckenFrage

Im Schlussverkauf steht: „50 % reduziert und an der Kasse noch einmal 20 %.“ Sind das 70 % Rabatt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Die 20 % gehen vom schon halbierten Preis ab: 0,5 · 0,8 = 0,4. Man zahlt 40 % des alten Preises und spart damit 60 %, nicht 70 %. Bei 100 € sind das 40 € statt 30 €.

MerkenNetto und brutto

Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.

Brutto ist netto mal 1,19, beim ermäßigten Satz mal 1,07. Aus 119 € brutto werden 119 € : 1,19 = 100 € netto.

BeispielNetto aus brutto: Mehrwertsteuer herausrechnen

Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 10,70 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?

Schritt für Schritt

Netto: 10,70 € : 1,07 = 10,00 €
Steuer: 10,70 € − 10,00 € = 0,70 €

Netto: 10,70 € : 1,07 = 10,00 €
Steuer: 10,70 € − 10,00 € = 0,70 €

Ergebnis:

netto 10,00 €, Steuer 0,70 €

AchtungRabatt statt neuem Preis

So nicht

80 € minus 25 % = 20 €

So richtig

80 € minus 25 % = 80 € − 20 € = 60 €

Lies die Frage noch einmal: Gefragt ist der neue Wert.

ÜbenJetzt du

○13
Ein Fahrrad kostet im Laden 357,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
So fängst du an:
Brutto = netto · 1,19
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 357,00 € : 1,19 = 300,00 €
Ergebnis:
300,00 €
●14
Ein Fahrrad kostet im Laden 1.190,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 1.190,00 € : 1,19 = 1.000,00 €
Ergebnis:
1.000,00 €
★15
Lebensmittel haben 7 % Mehrwertsteuer. Ein Einkauf kostet 5,35 €. Wie viel davon ist der Preis netto, wie viel die Steuer?
Lösung zeigen
1. Netto: 5,35 € : 1,07 = 5,00 €
2. Steuer: 5,35 € − 5,00 € = 0,35 €
Ergebnis:
netto 5,00 €, Steuer 0,35 €

6Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.

EntdeckenFrage

Auf einer Handwerkerrechnung steht „2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen“. Lohnt sich das schnelle Bezahlen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei einer Rechnung über 2.000 € spart man 40 €, nur weil man früher überweist. Das Skonto wird vom Rechnungsbetrag abgezogen, also nach einem möglichen Rabatt. Deshalb zahlen viele Betriebe ihre Rechnungen sofort.

MerkenSkonto

Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.

Es wird vom Betrag nach dem Rabatt abgezogen: 1.000 € · 0,9 · 0,98 = 882 € bei 10 % Rabatt und 2 % Skonto.

BeispielRechnung mit Rabatt und Skonto

Ein Fahrradladen kauft Material für 800,00 €. Es gibt 5 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?

Schritt für Schritt

Nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,95 = 760,00 €
Nach dem Skonto: 760,00 € · 0,97 = 737,20 €

Nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,95 = 760,00 €
Nach dem Skonto: 760,00 € · 0,97 = 737,20 €

Ergebnis:

737,20 €

AchtungNoch einmal: Prozentsätze addiert statt Faktoren multipliziert

So nicht

100 € plus 20 %, dann minus 20 %: 100 + 20 − 20 = 100 €

So richtig

100 € · 1,2 · 0,8 = 96 € → 4 % weniger als vorher

Die zweite Änderung bezieht sich auf den schon geänderten Wert. Schreibe jeden Faktor auf und multipliziere sie.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Tischlerei kauft Material für 1.200,00 €. Es gibt 10 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 3 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
So fängst du an:
Nach dem Rabatt: 1.200,00 € · 0,9 = 1.080,00 €
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 1.200,00 € · 0,9 = 1.080,00 €
2. Nach dem Skonto: 1.080,00 € · 0,97 = 1.047,60 €
Ergebnis:
1.047,60 €
●17
Ein Sportverein kauft Material für 800,00 €. Es gibt 20 % Rabatt und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Wie viel wird überwiesen?
Lösung zeigen
1. Nach dem Rabatt: 800,00 € · 0,8 = 640,00 €
2. Nach dem Skonto: 640,00 € · 0,98 = 627,20 €
Ergebnis:
627,20 €
★18
10 % Rabatt und danach 2 % Skonto: Ist das dasselbe wie 12 % Nachlass auf 850,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
1. Nacheinander: 850,00 € · 0,882 = 749,70 €
2. 12 % auf einmal: 850,00 € · 0,88 = 748,00 €
3. Das Skonto wird vom kleineren Betrag berechnet.
Ergebnis:
Nein: 749,70 € statt 748,00 €

7Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Wie viel sind 19 % von 49,90 € – schaffst du es ohne Taschenrechner in fünf Sekunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Runde auf 20 % von 50 €, das sind 10 €. Ein Prozent von 50 € sind 50 Cent, also sind 19 % etwa 9,50 €. Genau gerechnet sind es 9,48 €. Der Überschlag liegt nur 2 Cent daneben.

MerkenIm Kopf überschlagen

Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.

19 % von 398 € sind etwa 20 % von 400 €, also etwa 80 €. Liegt das Ergebnis weit weg, stimmt etwas nicht.

BeispielProzentrechnungen im Kopf überschlagen

Von 298 Kindern einer Schule kommen 58 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.

Schritt für Schritt

298 ≈ 300 und 58 ≈ 60
60 von 300: 60 : 300 = 0,2
Also etwa 20 %

298 ≈ 300 und 58 ≈ 60
60 von 300: 60 : 300 = 0,2
Also etwa 20 %

Ergebnis:

etwa 20 %

AchtungErgebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○19
Eine Jacke kostet 119,90 €. Es gibt 50 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
So fängst du an:
119,90 € ≈ 120,00 €
Lösung zeigen
1. 119,90 € ≈ 120,00 €
2. 50 % sind die Hälfte: 120 : 2 = 60
3. 120 − 60 = 60
Ergebnis:
etwa 60,00 €
●20
Von 503 Kindern einer Schule kommen 202 mit dem Bus. Etwa wie viel Prozent sind das? Überschlage ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
1. 503 ≈ 500 und 202 ≈ 200
2. 200 von 500: 200 : 500 = 0,4
3. Also etwa 40 %
Ergebnis:
etwa 40 %
★21
Ein Fahrrad kostet 498,90 €. Der Preis steigt um 9 %, später gibt es 19 % Rabatt auf den neuen Preis. Überschlage den Endpreis im Kopf.
Lösung zeigen
1. Runden: 498,90 € ≈ 500,00 €, 9 % ≈ 10 %, 19 % ≈ 20 %
2. Nach dem Aufschlag: 500,00 € + 50,00 € = 550,00 €
3. 20 % von 550,00 € sind 110,00 €
4. 550,00 € − 110,00 € = 440,00 €
Ergebnis:
etwa 440,00 €

8Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.

EntdeckenFrage

Warum darf ein Joghurt „30 % weniger Zucker“ draufschreiben und trotzdem ziemlich viel Zucker enthalten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die 30 % beziehen sich auf ein vergleichbares Produkt, das ist der Grundwert. Hatte das 15 g Zucker je 100 g, bleiben 15 · 0,7 = 10,5 g. Die Prozentangabe sagt nichts darüber, wie groß der Grundwert war.

MerkenWerbung und Schlagzeilen

Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Gerechnet wird mit dem, was man zahlt und bekommt. Bei „Nimm 3, zahl 2“ spart man 1 von 3 Stück, etwa 33 %.

BeispielProzentangaben in der Werbung prüfen

Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 8,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?

Schritt für Schritt

Normal: 2 · 8,00 € = 16,00 €
Bezahlt: 8,00 € + 4,00 € = 12,00 €
Ersparnis: 4,00 € von 16,00 €, also 1 : 4 = 0,25

Normal: 2 · 8,00 € = 16,00 €
Bezahlt: 8,00 € + 4,00 € = 12,00 €
Ersparnis: 4,00 € von 16,00 €, also 1 : 4 = 0,25

Ergebnis:

25 %

AchtungNoch einmal: Ergebnis nicht mit einem Überschlag geprüft

So nicht

12 % von 240 € sind 288 €

So richtig

Überschlag: 10 % von 240 € sind 24 € → 12 % sind etwa 29 €, genau 240 € · 0,12 = 28,80 €

Nimm 10 % als Stützpunkt und runde auf glatte Zahlen. Liegt das Ergebnis weit daneben, suche den Fehler.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Laden wirbt: „Nimm 3, zahl 2.“ Ein Stück kostet 12,00 €. Wie viel Prozent spart man, wenn man 3 Stück nimmt?
So fängst du an:
Normal: 3 · 12,00 € = 36,00 €. Bezahlt: 2 · 12,00 € = 24,00 €
Lösung zeigen
1. Normal: 3 · 12,00 € = 36,00 €. Bezahlt: 2 · 12,00 € = 24,00 €
2. Ersparnis: 12,00 € von 36,00 €
3. 1 : 3 ≈ 0,333
Ergebnis:
etwa 33,3 %
●23
Auf einem Schild steht: „Statt 100,00 € nur 80,00 € – 25 % billiger!“ Stimmt die Angabe?
Lösung zeigen
1. Ersparnis: 100,00 € − 80,00 € = 20,00 €
2. 20 : 100 = 0,2, also 20 %
Ergebnis:
Nein, nur 20 %
★24
Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 6,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
Lösung zeigen
1. Normal: 2 · 6,00 € = 12,00 €
2. Bezahlt: 6,00 € + 3,00 € = 9,00 €
3. Ersparnis: 3,00 € von 12,00 €, also 1 : 4 = 0,25
Ergebnis:
25 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Wert wird mit dem Faktor 1,5 multipliziert. Steigt oder sinkt er – und um wie viel Prozent?
Lösung zeigen
1. 1,5 ist größer als 1: Der Wert steigt.
2. 1,5 entspricht 150 %, also 50 % mehr
Ergebnis:
steigt um 50 %
●26
Eine Kleinstadt ist in fünf Jahren um 10 % gewachsen und hat jetzt 22.000 Einwohner. Wie viele waren es vor fünf Jahren?
Lösung zeigen
1. Gewachsen um 10 %: jetzt 110 % des alten Werts.
2. Faktor 1,1, also alter Wert = 22.000 : 1,1
3. 22.000 : 1,1 = 20.000
Ergebnis:
20.000
●27
Ein Paar Sportschuhe kostet 70,00 €. Der Preis steigt erst um 30 %, später sinkt er um 20 %. Wie teuer ist es danach? Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt geändert?
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,3 und 0,8
2. Gesamtfaktor: 1,3 · 0,8 = 1,04
3. Neuer Preis: 70,00 € · 1,04 = 72,80 €
4. Insgesamt teurer um 4 %
Ergebnis:
72,80 €; plus 4 %
●28
Stimmt das? „Steigt ein Wert um 50 % und sinkt dann um 50 %, ist er kleiner als vorher.“ Begründe mit Faktoren.
Lösung zeigen
1. Faktoren: 1,5 und 0,5
2. Produkt: 1,5 · 0,5 = 0,75
3. 0,75 ist kleiner als 1: Der Wert ist gesunken.
Ergebnis:
Ja, er ist um 25 % kleiner
●29
An einer Schule kommen 40 % der Kinder mit dem Rad. Dieser Anteil steigt um 25 %. Wie groß ist der Anteil danach? Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
Lösung zeigen
1. 25 % mehr: Faktor 1,25
2. 40 · 1,25 = 50, also 50 %
3. Anstieg: 50 − 40 = 10 Prozentpunkte
Ergebnis:
50 %; 10 Prozentpunkte mehr
●30
Ein Schreibtisch kostet im Laden 595,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
1. Brutto = netto · 1,19
2. Netto: 595,00 € : 1,19 = 500,00 €
Ergebnis:
500,00 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Der Änderungsfaktor: Erhöhen und Senken ist eine Multiplikation.
Zurück zum Grundwert: Den alten Wert findet man durch Teilen durch den Faktor.
Faktoren multiplizieren: Mehrere Änderungen werden multipliziert, nicht addiert.
Prozentpunkte: Prozentpunkte sind der Unterschied zweier Prozentsätze.
Netto und brutto: Die Mehrwertsteuer kommt auf den Nettopreis.
Skonto: Skonto gibt es für schnelles Bezahlen.
Im Kopf überschlagen: Ein Überschlag rundet auf glatte Zahlen.
Werbung und Schlagzeilen: Werbung versteckt Prozente oft in anderen Worten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich beschreibe Erhöhungen und Senkungen mit einem Änderungsfaktor.
31
Welcher Faktor gehört zu „50 % weniger“, welcher zu „50 % mehr“? Schreibe beide auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,5 und 1,5
Ich rechne vom neuen Wert auf den Grundwert zurück.
32
Nach einer Preiserhöhung um 10 % kostet ein Konzertticket 44,00 €. Wie viel kostete ein Konzertticket vorher?
Lösung zeigen
Ergebnis:
40,00 €
Ich rechne mehrere Änderungen nacheinander mit Faktoren.
33
Im Sale gibt es 30 % Rabatt. An der Kasse bekommt Ben noch einmal 20 % auf den reduzierten Preis. Ben sagt: „Das sind 50 % Rabatt.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, insgesamt 44 % Rabatt
Ich unterscheide Prozentpunkte und Prozent.
34
Der Zinssatz für ein Sparkonto steigt von 3 % auf 4,5 %. Eine Zeitung schreibt: „Die Zinsen steigen um 1,5 %.“ Was ist richtig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
Ich rechne mit Mehrwertsteuer: netto und brutto.
35
Eine Konsole kostet im Laden 1.190,00 €. Darin stecken 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Preis ohne Steuer (netto)?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1.000,00 €
Ich berechne Rabatt und Skonto auf einer Rechnung.
36
15 % Rabatt und danach 3 % Skonto: Ist das dasselbe wie 18 % Nachlass auf 1.200,00 €? Vergleiche die Beträge.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein: 989,40 € statt 984,00 €
Ich überschlage Prozentrechnungen im Kopf und prüfe Ergebnisse.
37
Eine Jacke kostet 199,90 €. Es gibt 20 % Rabatt. Etwa wie viel kostet sie danach? Rechne im Kopf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
etwa 160,00 €
Ich prüfe Prozentangaben in Werbung und Nachrichten.
38
Werbung: „Das zweite Teil zum halben Preis!“ Ein T-Shirt kostet 10,00 €. Wie viel Prozent Rabatt bekommt man auf beide zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
25 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Laden erhöht alle Preise auf seiner Liste um 7 %. Auf der Liste stehen 20 Preise zwischen 3,49 € und 89,90 €. Berechne die neuen Preise.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Änderungsfaktor: neuer Preis gleich alter Preis mal 1,07.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Sale, Mehrwertsteuer auf dem Kassenbon und Prozentangaben in Nachrichten. Beruf: Angebote und Rechnungen im Handwerk und Handel mit Rabatt, Skonto und Umsatzsteuer.

Wörter

Grundwert: das Ganze, von dem etwas genommen wird
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Prozentrechnung, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zinsrechnung, Exponentielles Wachstum

Lösungen

steigt um 25 %
0,9 und 1,1
0,75 und 1,25
80,00 €
600,00 €
75,00 €
Nein, insgesamt 19 % Rabatt
108,00 €; minus 10 %
168,75 €; plus 12,5 %
60 %; 10 Prozentpunkte mehr
33 %; 3 Prozentpunkte mehr
1 Prozentpunkt; das sind 25 % mehr
300,00 €
1.000,00 €
netto 5,00 €, Steuer 0,35 €
1.047,60 €
627,20 €
Nein: 749,70 € statt 748,00 €
etwa 60,00 €
etwa 40 %
etwa 440,00 €
etwa 33,3 %
Nein, nur 20 %
25 %
steigt um 50 %
20.000
72,80 €; plus 4 %
Ja, er ist um 25 % kleiner
50 %; 10 Prozentpunkte mehr
500,00 €
0,5 und 1,5
40,00 €
Nein, insgesamt 44 % Rabatt
1,5 Prozentpunkte; das sind 50 % mehr
1.000,00 €
Nein: 989,40 € statt 984,00 €
etwa 160,00 €
25 %
8,00 €
60 km