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Mathematik · Klasse 9 · Kapitel

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Satz des Pythagoras

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Fernseher ist 122 cm breit und 69 cm hoch. Wie lang ist die Diagonale, mit der die Größe angegeben wird? Du hast kein Maßband, nur die zwei Zahlen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Addieren gibt 191 cm, das ist offensichtlich zu viel; maßstäblich zeichnen und messen ist ungenau. Die Klasse merkt, dass ein Zusammenhang fehlt. Die Quadrate über den Katheten ergeben zusammen das Quadrat über der Hypotenuse: 122² + 69² = c², also c ≈ 140 cm. Das sind 55 Zoll.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite.

  1. ●43
    Nenne ein Winkelmaß, das stumpf ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
    2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
    3. Alles zwischen 91° und 179° passt.
    Ergebnis:
    zum Beispiel 135° – jedes Maß von 91° bis 179° ist richtig
  2. ●44
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 8 cm, c = 6 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
    Lösung zeigen
    1. c zeichnen, Endpunkte A und B
    2. Kreis um A mit Radius b = 8 cm
    3. Kreis um B mit Radius a = 5 cm
    4. Schnittpunkt = C, verbinden
    5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
    Ergebnis:
    konstruierbar (SSS)

ÜbenWeißt du das noch?

Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig.

  1. ●45
    Berechne: 11²
    Lösung zeigen
    1. 11² = 11 · 11
    2. = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●46
    Berechne ohne Taschenrechner: √25
    Lösung zeigen
    1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 25?
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Satz über Flächen, nicht über Seiten

a² ist das Quadrat ÜBER der Kathete. Der Satz sagt: Die beiden kleinen Quadrate zusammen sind so groß wie das große. Und er gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

WeiterdenkenDenk nach

Gilt a² + b² = c² auch in einem stumpfwinkligen Dreieck? Woran erkennst du die Hypotenuse?

1Ich benenne Katheten und Hypotenuse.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher „55 Zoll“, obwohl er keine 55 Zoll breit ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Gemessen wird die Diagonale. Bei 16:9 ist ein 55-Zöller nur 121 cm breit – Pythagoras rechnet es aus. Und der 65-Zöller passt nicht mehr ins Regal, obwohl er „nur zehn Zoll mehr“ hat.

MerkenKatheten und Hypotenuse

Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber – sie ist die längste Seite.

Die anderen beiden sind die Katheten.

Eselsbrücke: a² + b² = c² – die Katheten liegen am rechten Winkel, die Hypotenuse gegenüber (und ist die längste)

BeispielHypotenuse und Katheten benennen

Das Dreieck PQR ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei R. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
PrQpRq
Schritt für Schritt
  1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei R, also r. Sie ist die längste Seite.
  2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also p und q.
  1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei R, also r. Sie ist die längste Seite.
  2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also p und q.
Ergebnis:
Hypotenuse r, Katheten p und q

AchtungKathete als Hypotenuse

So nicht
a = 3, b = 4, c gesucht: 3² = 4² + c²
So richtig
c ist die längste Seite: c² = 3² + 4² = 25, c = 5

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Das Dreieck KLM ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei M. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
    KmLkMl
    So fängst du an:
    Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei M, also m. Sie ist die längste Seite.
    Lösung zeigen
    1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei M, also m. Sie ist die längste Seite.
    2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also k und l.
    Ergebnis:
    Hypotenuse m, Katheten k und l
  2. ●2
    Das Dreieck DEF ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei E. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
    DfEdFe
    Lösung zeigen
    1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei E, also e. Sie ist die längste Seite.
    2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also d und f.
    Ergebnis:
    Hypotenuse e, Katheten d und f
  3. ★3
    Im Dreieck UVW sind die Winkel bei U 20°, bei V 70° und bei W 90°. Gib Hypotenuse und Katheten an.
    UwVuWv
    Lösung zeigen
    1. Der Winkel bei W hat 90°: Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei W.
    2. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei W, also w. Sie ist die längste Seite.
    3. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also u und v.
    Ergebnis:
    Hypotenuse w, Katheten u und v

2Ich entdecke den Satz des Pythagoras.

EntdeckenFrage

Wie weit kann man vom Strand aus aufs Meer sehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus 1,70 m Augenhöhe etwa 4,7 km – die Erde krümmt sich weg. Pythagoras mit dem Erdradius als Kathete. Vom Fernsehturm aus sind es 65 km.

MerkenSatz des Pythagoras

a² + b² = c² – die Kathetenquadrate zusammen sind so groß wie das Hypotenusenquadrat.

Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

BeispielPythagoras als Flächensatz: Quadrate über den Seiten

Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 100 cm² und 576 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
100 cm²576 cm²?
Schritt für Schritt
  1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
  2. 100 + 576 = 676, also 676 cm².
  3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 676? 26 · 26 = 676.
  4. Die Hypotenuse ist 26 cm lang.
  1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
  2. 100 + 576 = 676, also 676 cm².
  3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 676? 26 · 26 = 676.
  4. Die Hypotenuse ist 26 cm lang.
Ergebnis:
676 cm², Hypotenuse 26 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 81 cm² und 144 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
    81 cm²144 cm²?
    So fängst du an:
    Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
    Lösung zeigen
    1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
    2. 81 + 144 = 225, also 225 cm².
    3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 225? 15 · 15 = 225.
    4. Die Hypotenuse ist 15 cm lang.
    Ergebnis:
    225 cm², Hypotenuse 15 cm
  2. ●5
    Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 144 cm² und 25 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
    144 cm²25 cm²?
    Lösung zeigen
    1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
    2. 144 + 25 = 169, also 169 cm².
    3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 169? 13 · 13 = 169.
    4. Die Hypotenuse ist 13 cm lang.
    Ergebnis:
    169 cm², Hypotenuse 13 cm
  3. ★6
    Das Quadrat über der Hypotenuse ist 900 cm² groß, das über einer Kathete 324 cm². Wie groß ist das dritte Quadrat? Wie lang ist die zweite Kathete?
    324 cm²?900 cm²
    Lösung zeigen
    1. Die beiden Kathetenquadrate sind zusammen so groß wie das Hypotenusenquadrat.
    2. Das fehlende Quadrat ist der Rest: 900 − 324 = 576, also 576 cm².
    3. Seitenlänge: 24 · 24 = 576, also ist die Kathete 24 cm lang.
    4. Kontrolle: Die Kathete ist kürzer als die Hypotenuse (30 cm).
    Ergebnis:
    576 cm², Kathete 24 cm

3Ich berechne die Hypotenuse.

EntdeckenFrage

Wie viel spart man wirklich, wenn man quer über den Platz abkürzt statt ums Eck?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 30 und 40 Metern um die Ecke ist der direkte Weg 50 Meter lang – 20 Meter weniger. Der Querweg ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

MerkenHypotenuse berechnen

c = √(a² + b²). Beispiel: 3² + 4² = 25, c = 5.

BeispielSatz des Pythagoras

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 15 cm und b = 8 cm. Berechne die Hypotenuse c.
a = 15 cmb = 8 cmc = ?
Schritt für Schritt
  1. c² = a² + b² = 225 + 64 = 289
  2. c = √289 = 17 cm
  1. c² = a² + b² = 225 + 64 = 289
  2. c = √289 = 17 cm
Ergebnis:
17 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 6 dm und b = 8 dm. Berechne die Hypotenuse c.
    So fängst du an:
    c² = a² + b² = 36 + 64 = 100
    Lösung zeigen
    1. c² = a² + b² = 36 + 64 = 100
    2. c = √100 = 10 dm
    Ergebnis:
    10 dm
  2. ●8
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 15 cm und b = 20 cm. Berechne die Hypotenuse c.
    Lösung zeigen
    1. c² = a² + b² = 225 + 400 = 625
    2. c = √625 = 25 cm
    Ergebnis:
    25 cm
  3. ★9
    Eine Leiter (41 m) lehnt an einer Wand, ihr Fuß steht 9 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
    Lösung zeigen
    1. Kathete gesucht: b² = c² − a² = 1681 − 81 = 1600
    2. b = √1600 = 40 m
    Ergebnis:
    40 m

4Ich berechne eine Kathete.

EntdeckenFrage

Wie weit muss eine Leiter unten von der Wand wegstehen, damit sie sicher steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine 5 Meter lange Leiter, die 4,7 Meter hoch reichen soll, steht rund 1,7 Meter ab. Das ergibt einen Anstellwinkel von etwa 70 Grad – empfohlen sind 65 bis 75 Grad.

MerkenKathete berechnen

a = √(c² − b²). Das Quadrat der Hypotenuse minus das Quadrat der anderen Kathete.

BeispielPythagoras: Kathete berechnen

Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 10 cm, Kathete a = 8 cm. Berechne die Kathete b.
a = 8 cmb = ?c = 10 cm
Schritt für Schritt
  1. b² = c² − a² = 100 − 64 = 36
  2. b = √36 = 6 cm
  1. b² = c² − a² = 100 − 64 = 36
  2. b = √36 = 6 cm
Ergebnis:
6 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 15 cm, Kathete a = 9 cm. Berechne die Kathete b.
    So fängst du an:
    b² = c² − a² = 225 − 81 = 144
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 225 − 81 = 144
    2. b = √144 = 12 cm
    Ergebnis:
    12 cm
  2. ●11
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 13 cm, Kathete a = 12 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 169 − 144 = 25
    2. b = √25 = 5 cm
    Ergebnis:
    5 cm
  3. ★12
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 17 cm, Kathete a = 15 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 289 − 225 = 64
    2. b = √64 = 8 cm
    Ergebnis:
    8 cm

5Ich prüfe, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

EntdeckenFrage

Wie prüft man auf einer Baustelle ohne Winkelmesser, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit dem Maß 3, 4, 5: drei Meter an der einen Wand, vier an der anderen. Misst die Verbindung genau fünf Meter, stimmt der Winkel – sonst nicht.

MerkenRechtwinklig?

Umkehrung: Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig.

Sonst nicht.

BeispielIst das Dreieck rechtwinklig? (Umkehrung des Pythagoras)

Ein Dreieck hat die Seiten 35 cm, 36 cm, 12 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
36 cm12 cm35 cm
Schritt für Schritt
  1. Längste Seite 36 cm: 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369
  2. 36² = 1296, verschieden: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
  1. Längste Seite 36 cm: 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369
  2. 36² = 1296, verschieden: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Ergebnis:
nicht rechtwinklig

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Dreieck hat die Seiten 12 cm, 13 cm, 5 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
    13 cm5 cm12 cm
    So fängst du an:
    Längste Seite 13 cm: 5² + 12² = 25 + 144 = 169
    Lösung zeigen
    1. Längste Seite 13 cm: 5² + 12² = 25 + 144 = 169
    2. 13² = 169, gleich: Das Dreieck ist rechtwinklig.
    Ergebnis:
    rechtwinklig
  2. ●14
    Ein Dreieck hat die Seiten 9 cm, 12 cm, 16 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
    16 cm9 cm12 cm
    Lösung zeigen
    1. Längste Seite 16 cm: 9² + 12² = 81 + 144 = 225
    2. 16² = 256, verschieden: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
    Ergebnis:
    nicht rechtwinklig
  3. ★15
    Ein Gärtner legt ein Beet an. Die Seiten sind 0,8 m und 1,5 m lang, die Diagonale 1,8 m. Prüfe, ob die Ecke ein rechter Winkel ist.
    1,8 m0,8 m1,5 m
    Lösung zeigen
    1. Seiten: 0,8² + 1,5² = 0,64 + 2,25 = 2,89
    2. Diagonale: 1,8² = 3,24
    3. Die Werte sind verschieden. Kein rechter Winkel.
    4. Antwort: Nein, die Ecke ist nicht rechtwinklig.
    Ergebnis:
    Nein, kein rechter Winkel

6Ich wende den Satz in Figuren an (Diagonale, Höhe).

EntdeckenFrage

Wie weit ist es beim Basketball von einer Ecke des Spielfelds bis in die gegenüberliegende Ecke?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Feld ist 28 m lang und 15 m breit. Die Diagonale ist die Wurzel aus 28² + 15² = 1009. Das sind knapp 31,8 m, nur 3,8 m mehr als die Länge.

MerkenIn Figuren

Rechtwinkliges Dreieck suchen oder durch eine Höhe erzeugen.

Diagonale im Rechteck: d = √(a² + b²).

BeispielPythagoras in Figuren: Diagonale und Höhe

Ein Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Wie lang ist die Diagonale?
4 cm3 cm?
Schritt für Schritt
  1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
  2. d² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
  3. d = √25 = 5
  1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
  2. d² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
  3. d = √25 = 5
Ergebnis:
5 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Rechteck ist 5 cm lang und 2 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    5 cm2 cm?
    So fängst du an:
    Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    Lösung zeigen
    1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    2. d² = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
    3. d = √29 ≈ 5,39
    Ergebnis:
    ≈ 5,39 cm
  2. ●17
    Ein Rechteck ist 5 cm lang und 3 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    5 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    2. d² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
    3. d = √34 ≈ 5,83
    Ergebnis:
    ≈ 5,83 cm
  3. ★18
    Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 20 cm und zwei Schenkel mit je 15 cm. Berechne die Höhe auf die Basis. Runde auf zwei Stellen.
    20 cm15 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Höhe teilt die Basis in zwei Hälften: 20 : 2 = 10
    2. h² = 15² − 10² = 225 − 100 = 125
    3. h = √125 ≈ 11,18
    Ergebnis:
    ≈ 11,18 cm

7Ich wende den Satz in Körpern an (Raumdiagonale).

EntdeckenFrage

Wie lang darf ein Brett schräg in einer Aufzugkabine von 1,10 × 1,40 × 2,00 Metern sein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die längste Strecke ist die Raumdiagonale. Sie ist die Wurzel aus 1,1² + 1,4² + 2² = 7,17. Das sind knapp 2,68 m, deutlich mehr als die Höhe der Kabine.

MerkenIn Körpern

Raumdiagonale im Quader: d = √(a² + b² + c²) – zweimal Pythagoras hintereinander.

BeispielRaumdiagonale eines Quaders

Ein Quader ist 7 cm lang, 6 cm breit und 6 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
?7 cm6 cm6 cm
Schritt für Schritt
  1. Bodendiagonale: e² = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
  2. Raumdiagonale: d² = 85 + 6² = 85 + 36 = 121
  3. d = √121 = 11 cm
  4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
  1. Bodendiagonale: e² = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
  2. Raumdiagonale: d² = 85 + 6² = 85 + 36 = 121
  3. d = √121 = 11 cm
  4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
Ergebnis:
11 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quader ist 4 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
    ?4 cm2 cm4 cm
    So fängst du an:
    Bodendiagonale: e² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32
    Lösung zeigen
    1. Bodendiagonale: e² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32
    2. Raumdiagonale: d² = 32 + 2² = 32 + 4 = 36
    3. d = √36 = 6 cm
    4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
    Ergebnis:
    6 cm
  2. ●20
    Ein Quader ist 3 cm lang, 6 cm breit und 22 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
    ?3 cm22 cm6 cm
    Lösung zeigen
    1. Bodendiagonale: e² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
    2. Raumdiagonale: d² = 45 + 22² = 45 + 484 = 529
    3. d = √529 = 23 cm
    4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
    Ergebnis:
    23 cm
  3. ★21
    Eine Kiste ist 70 cm lang, 70 cm breit und 30 cm hoch. Prüfe, ob ein 90 cm langer Stab schräg hineinpasst.
    ?70 cm30 cm70 cm
    Lösung zeigen
    1. Bodendiagonale: e² = 70² + 70² = 4900 + 4900 = 9800
    2. Raumdiagonale: d² = 9800 + 30² = 9800 + 900 = 10.700
    3. d = √10.700 ≈ 103,4 cm
    4. Antwort: Ja, die Raumdiagonale ist etwa 103,4 cm lang.
    Ergebnis:
    Ja, Raumdiagonale ≈ 103,4 cm

8Ich löse Sachaufgaben (Leiter, Rampe, Bildschirm).

EntdeckenFrage

Ein Schrank ist 2,36 m hoch und 58 cm tief. Warum lässt er sich in einem 2,40 m hohen Zimmer nicht aufrichten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Aufrichten kippt der Schrank über eine Kante. Dabei ragt die Diagonale seiner Seitenwand nach oben. Sie ist die Wurzel aus 2,36² + 0,58², also etwa 2,43 m – 3 cm zu viel.

MerkenSachaufgaben

Skizze, rechten Winkel markieren, Hypotenuse erkennen, Formel, Einheit, Antwortsatz.

BeispielPythagoras im Alltag (Leiter, Diagonale)

Ein Bildschirm ist 30 cm hoch und 40 cm breit. Berechne, wie lang die Diagonale ist.
40 cm30 cmd
Schritt für Schritt
  1. d² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500
  2. d = 50 cm
  1. d² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500
  2. d = 50 cm
Ergebnis:
50 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine 10 m lange Leiter steht 6 m von der Wand entfernt. Berechne, wie hoch sie reicht.
    So fängst du an:
    Höhe² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
    Lösung zeigen
    1. Höhe² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
    2. Höhe = √64 = 8 m
    Ergebnis:
    8 m
  2. ●23
    Ein Bildschirm ist 90 cm hoch und 120 cm breit. Berechne, wie lang die Diagonale ist.
    Lösung zeigen
    1. d² = 90² + 120² = 8100 + 14.400 = 22.500
    2. d = 150 cm
    Ergebnis:
    150 cm
  3. ★24
    Ein Bildschirm ist 30 cm hoch und 40 cm breit. Berechne, wie lang die Diagonale ist – in cm und in Zoll (1 Zoll = 2,54 cm).
    Lösung zeigen
    1. d² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500
    2. d = 50 cm
    3. 50 : 2,54 ≈ 19,7 Zoll
    Ergebnis:
    50 cm ≈ 19,7 Zoll

9Ich berechne Abstände im Koordinatensystem.

EntdeckenFrage

Wie weit springt ein Springer beim Schach, gemessen von Feldmitte zu Feldmitte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Springer zieht zwei Felder in eine Richtung und eines quer dazu. Im Koordinatensystem ist das der Abstand der Punkte (0|0) und (2|1). Er beträgt die Wurzel aus 2² + 1² = 5, also etwa 2,24 Feldbreiten.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenAbstand im Koordinatensystem

Abstand zweier Punkte = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) – die Differenzen sind die Katheten.

BeispielAbstand zweier Punkte im Koordinatensystem

Die Punkte A(6 | 1) und B(0 | 9) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
xy11AB?
Schritt für Schritt
  1. Waagerecht 6 − 0 = 6, senkrecht 9 − 1 = 8
  2. d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also d = √100 = 10
  1. Waagerecht 6 − 0 = 6, senkrecht 9 − 1 = 8
  2. d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also d = √100 = 10
Ergebnis:
10 Einheiten

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Die Punkte A(3 | 1) und B(0 | 5) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    So fängst du an:
    Waagerecht 3 − 0 = 3, senkrecht 5 − 1 = 4
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht 3 − 0 = 3, senkrecht 5 − 1 = 4
    2. d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, also d = √25 = 5
    Ergebnis:
    5 Einheiten
  2. ●26
    Die Punkte A(0 | 2) und B(5 | 14) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht 5 − 0 = 5, senkrecht 14 − 2 = 12
    2. d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, also d = √169 = 13
    Ergebnis:
    13 Einheiten
  3. ★27
    Die Punkte A(−2 | −4) und B(5 | −2) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht 5 − (−2) = 7, senkrecht −2 − (−4) = 2
    2. d² = 7² + 2² = 49 + 4 = 53, also d = √53 ≈ 7,28
    Ergebnis:
    ≈ 7,28 Einheiten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●28
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 8 m und b = 15 m. Berechne die Hypotenuse c.
    Lösung zeigen
    1. c² = a² + b² = 64 + 225 = 289
    2. c = √289 = 17 m
    Ergebnis:
    17 m
  2. ●29
    Ein Rechteck ist 7 cm lang und 9 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · (7 + 9) = 32 cm
    2. A = 7 · 9 = 63 cm²
    Ergebnis:
    u = 32 cm; A = 63 cm²
  3. ●30
    Vereinfache und berechne: 53 · 53
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 56
    2. = 15.625
    Ergebnis:
    56 = 15.625
  4. ●31
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 26 cm, Kathete a = 10 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 676 − 100 = 576
    2. b = √576 = 24 cm
    Ergebnis:
    24 cm
  5. ●32
    Ein Rechteck ist 4 cm lang und 4 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    4 cm4 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    2. d² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32
    3. d = √32 ≈ 5,66
    Ergebnis:
    ≈ 5,66 cm
  6. ●33
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 24 cm und b = 32 cm. Berechne die Hypotenuse c.
    Lösung zeigen
    1. c² = a² + b² = 576 + 1024 = 1600
    2. c = √1600 = 40 cm
    Ergebnis:
    40 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Katheten und Hypotenuse
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber – sie ist die längste Seite.
Satz des Pythagoras
a² + b² = c² – die Kathetenquadrate zusammen sind so groß wie das Hypotenusenquadrat.
Hypotenuse berechnen
c = √(a² + b²). Beispiel: 3² + 4² = 25, c = 5.
Kathete berechnen
a = √(c² − b²). Das Quadrat der Hypotenuse minus das Quadrat der anderen Kathete.
Rechtwinklig?
Umkehrung: Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig.
In Figuren
Rechtwinkliges Dreieck suchen oder durch eine Höhe erzeugen.
In Körpern
Raumdiagonale im Quader: d = √(a² + b² + c²) – zweimal Pythagoras hintereinander.
Sachaufgaben
Skizze, rechten Winkel markieren, Hypotenuse erkennen, Formel, Einheit, Antwortsatz.
Abstand im Koordinatensystem
Abstand zweier Punkte = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) – die Differenzen sind die Katheten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich benenne Katheten und Hypotenuse.

    34
    Das Dreieck RST ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei T. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
    RtSrTs
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Hypotenuse t, Katheten r und s

  2. Ich entdecke den Satz des Pythagoras.

    35
    Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 144 cm² und 25 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
    144 cm²25 cm²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    169 cm², Hypotenuse 13 cm

  3. Ich berechne die Hypotenuse.

    36
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 21 m und b = 28 m. Berechne die Hypotenuse c.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35 m

  4. Ich berechne eine Kathete.

    37
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 10 cm, Kathete a = 6 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 cm

  5. Ich prüfe, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

    38
    Ein Dreieck hat die Seiten 37 cm, 12 cm, 35 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
    37 cm12 cm35 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    rechtwinklig

  6. Ich wende den Satz in Figuren an (Diagonale, Höhe).

    39
    Ein Rechteck ist 11 cm lang und 11 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    11 cm11 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 15,56 cm

  7. Ich wende den Satz in Körpern an (Raumdiagonale).

    40
    Ein Quader ist 2 cm lang, 6 cm breit und 9 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
    ?2 cm9 cm6 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 cm

  8. Ich löse Sachaufgaben (Leiter, Rampe, Bildschirm).

    41
    Ein Bildschirm ist 30 cm hoch und 40 cm breit. Berechne, wie lang die Diagonale ist.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50 cm

  9. Ich berechne Abstände im Koordinatensystem.

    42
    Die Punkte A(3 | 0) und B(11 | 6) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Einheiten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Fernseher ist 122 cm breit und 69 cm hoch. Wie lang ist die Diagonale, mit der die Größe angegeben wird? Du hast kein Maßband, nur die zwei Zahlen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Satz des Pythagoras: die dritte Seite aus zwei rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Passt der Fernseher? Wie lang die Leiter? Beruf: Bau (rechter Winkel mit 3-4-5), Vermessung, Navigation.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Hypotenuse
die längste Seite, gegenüber vom rechten Winkel
Kathete
eine der beiden kurzen Seiten am rechten Winkel

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Dreiecke und Vielecke, Flächeninhalt und Volumen, Zeichnen und Konstruieren, Potenzen und Wurzeln

Darauf baut auf: Trigonometrie, Vektoren im Raum

Lösungen

  1. Hypotenuse m, Katheten k und l
  2. Hypotenuse e, Katheten d und f
  3. Hypotenuse w, Katheten u und v
  4. 225 cm², Hypotenuse 15 cm
  5. 169 cm², Hypotenuse 13 cm
  6. 576 cm², Kathete 24 cm
  7. 10 dm
  8. 25 cm
  9. 40 m
  10. 12 cm
  11. 5 cm
  12. 8 cm
  13. rechtwinklig
  14. nicht rechtwinklig
  15. Nein, kein rechter Winkel
  16. ≈ 5,39 cm
  17. ≈ 5,83 cm
  18. ≈ 11,18 cm
  19. 6 cm
  20. 23 cm
  21. Ja, Raumdiagonale ≈ 103,4 cm
  22. 8 m
  23. 150 cm
  24. 50 cm ≈ 19,7 Zoll
  25. 5 Einheiten
  26. 13 Einheiten
  27. ≈ 7,28 Einheiten
  28. 17 m
  29. u = 32 cm; A = 63 cm²
  30. 56 = 15.625
  31. 24 cm
  32. ≈ 5,66 cm
  33. 40 cm
  34. Hypotenuse t, Katheten r und s
  35. 169 cm², Hypotenuse 13 cm
  36. 35 m
  37. 8 cm
  38. rechtwinklig
  39. ≈ 15,56 cm
  40. 11 cm
  41. 50 cm
  42. 10 Einheiten
  43. zum Beispiel 135° – jedes Maß von 91° bis 179° ist richtig
  44. konstruierbar (SSS)
  45. 121
  46. 5