Satz des Pythagoras
Das lernst du
- Ich benenne Katheten und Hypotenuse.
- Ich entdecke den Satz des Pythagoras.
- Ich berechne die Hypotenuse.
- Ich berechne eine Kathete.
- Ich prüfe, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
- Ich wende den Satz in Figuren an (Diagonale, Höhe).
- Ich wende den Satz in Körpern an (Raumdiagonale).
- Ich löse Sachaufgaben (Leiter, Rampe, Bildschirm).
- Ich berechne Abstände im Koordinatensystem.
Merksätze
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber – sie ist die längste Seite.
Die anderen beiden sind die Katheten.
a² + b² = c² – die Kathetenquadrate zusammen sind so groß wie das Hypotenusenquadrat.
Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
c = √(a² + b²). Beispiel: 3² + 4² = 25, c = 5.
a = √(c² − b²). Das Quadrat der Hypotenuse minus das Quadrat der anderen Kathete.
Umkehrung: Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig.
Sonst nicht.
Rechtwinkliges Dreieck suchen oder durch eine Höhe erzeugen.
Diagonale im Rechteck: d = √(a² + b²).
Raumdiagonale im Quader: d = √(a² + b² + c²) – zweimal Pythagoras hintereinander.
Skizze, rechten Winkel markieren, Hypotenuse erkennen, Formel, Einheit, Antwortsatz.
Abstand zweier Punkte = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) – die Differenzen sind die Katheten.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- a² + b² = c² – die Katheten liegen am rechten Winkel, die Hypotenuse gegenüber (und ist die längste) – Katheten: „Kathete – Kante am rechten Winkel“. Hypotenuse: „hy-po-te-nu-se, die Lange“.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei A. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
- Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei A, also a. Sie ist die längste Seite.
- Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also b und c.
Ergebnis: Hypotenuse a, Katheten b und c
Eine Leiter lehnt an einer Wand, der Boden ist waagerecht. Die Leiter ist 6,9 m lang. Im Bild heißen die Seiten u, v, w. Welche Seite ist die Hypotenuse, welche sind die Katheten?
- Den rechten Winkel suchen: zwischen Höhe an der Wand und Abstand am Boden.
- Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber: u (Leiter).
- Die Katheten bilden den rechten Winkel: w (Abstand am Boden) und v (Höhe an der Wand).
Ergebnis: Hypotenuse u (Leiter), Katheten w und v
Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 9 cm² und 16 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
- Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
- 9 + 16 = 25, also 25 cm².
- Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 25? 5 · 5 = 25.
- Die Hypotenuse ist 5 cm lang.
Ergebnis: 25 cm², Hypotenuse 5 cm
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Berechne die Hypotenuse c.
- c² = a² + b² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5 cm
Ergebnis: 5 cm
Wörter
- Hypotenuse
- die längste Seite, gegenüber vom rechten Winkel
- Kathete
- eine der beiden kurzen Seiten am rechten Winkel
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
a = 3, b = 4, c gesucht: 3² = 4² + c²
c ist die längste Seite: c² = 3² + 4² = 25, c = 5
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.
Wo brauchst du das?
Passt der Fernseher? Wie lang die Leiter? Beruf: Bau (rechter Winkel mit 3-4-5), Vermessung, Navigation.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Geometrie“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Konstruieren mit Zirkel und Lineal (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
Zum Ausdrucken: Drucken-Befehl des Browsers – die Seite ist dafür gebaut. Üben geht am Handy über den Code deiner Klasse, nicht hier.