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Mathematik · Klasse 9 · Kapitel

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Satz des Pythagoras

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Fernseher ist 122 cm breit und 69 cm hoch. Wie lang ist die Diagonale, mit der die Größe angegeben wird? Du hast kein Maßband, nur die zwei Zahlen.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Addieren gibt 191 cm, das ist offensichtlich zu viel; maßstäblich zeichnen und messen ist ungenau. Die Klasse merkt, dass ein Zusammenhang fehlt. Die Quadrate über den Katheten ergeben zusammen das Quadrat über der Hypotenuse: 122² + 69² = c², also c ≈ 140 cm. Das sind 55 Zoll.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite.

  1. ●43
    Welche Winkelart hat ein Winkel von 90°?
    Lösung zeigen
    1. Grenzen: spitz < 90° · recht = 90° · stumpf < 180°
    2. gestreckt = 180° · überstumpf < 360° · Vollwinkel = 360°
    Ergebnis:
    rechter Winkel
  2. ●44
    Konstruiere ein Dreieck mit a = 4 cm, b = 7 cm, c = 5 cm (SSS). Beschreibe die Schritte. Lässt es sich konstruieren? Begründe mit der Dreiecksungleichung.
    Lösung zeigen
    1. c zeichnen, Endpunkte A und B
    2. Kreis um A mit Radius b = 7 cm
    3. Kreis um B mit Radius a = 4 cm
    4. Schnittpunkt = C, verbinden
    5. Dreiecksungleichung erfüllt ✓
    Ergebnis:
    konstruierbar (SSS)

ÜbenWeißt du das noch?

Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig.

  1. ●45
    Berechne: 9²
    Lösung zeigen
    1. 9² = 9 · 9
    2. = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●46
    Berechne ohne Taschenrechner: √49
    Lösung zeigen
    1. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 49?
    2. 7 · 7 = 49
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Satz über Flächen, nicht über Seiten

a² ist das Quadrat ÜBER der Kathete. Der Satz sagt: Die beiden kleinen Quadrate zusammen sind so groß wie das große. Und er gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

WeiterdenkenDenk nach

Gilt a² + b² = c² auch in einem stumpfwinkligen Dreieck? Woran erkennst du die Hypotenuse?

1Ich benenne Katheten und Hypotenuse.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher „55 Zoll“, obwohl er keine 55 Zoll breit ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Gemessen wird die Diagonale. Bei 16:9 ist ein 55-Zöller nur 121 cm breit – Pythagoras rechnet es aus. Und der 65-Zöller passt nicht mehr ins Regal, obwohl er „nur zehn Zoll mehr“ hat.

MerkenKatheten und Hypotenuse

Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber – sie ist die längste Seite.

Die anderen beiden sind die Katheten.

Eselsbrücke: a² + b² = c² – die Katheten liegen am rechten Winkel, die Hypotenuse gegenüber (und ist die längste)

BeispielHypotenuse und Katheten benennen

Das Dreieck UVW ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei W. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
UwVuWv
Schritt für Schritt
  1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei W, also w. Sie ist die längste Seite.
  2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also u und v.
  1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei W, also w. Sie ist die längste Seite.
  2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also u und v.
Ergebnis:
Hypotenuse w, Katheten u und v

AchtungKathete als Hypotenuse

So nicht
a = 3, b = 4, c gesucht: 3² = 4² + c²
So richtig
c ist die längste Seite: c² = 3² + 4² = 25, c = 5

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Das Dreieck PQR ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei Q. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
    PrQpRq
    So fängst du an:
    Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei Q, also q. Sie ist die längste Seite.
    Lösung zeigen
    1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei Q, also q. Sie ist die längste Seite.
    2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also p und r.
    Ergebnis:
    Hypotenuse q, Katheten p und r
  2. ●2
    Das Dreieck KLM ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei K. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
    KmLkMl
    Lösung zeigen
    1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei K, also k. Sie ist die längste Seite.
    2. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also l und m.
    Ergebnis:
    Hypotenuse k, Katheten l und m
  3. ★3
    Im Dreieck KLM sind die Winkel bei K 90°, bei L 20° und bei M 70°. Gib Hypotenuse und Katheten an.
    KmLkMl
    Lösung zeigen
    1. Der Winkel bei K hat 90°: Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei K.
    2. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel bei K, also k. Sie ist die längste Seite.
    3. Katheten: die beiden Seiten am rechten Winkel, also l und m.
    Ergebnis:
    Hypotenuse k, Katheten l und m

2Ich entdecke den Satz des Pythagoras.

EntdeckenFrage

Wie weit kann man vom Strand aus aufs Meer sehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus 1,70 m Augenhöhe etwa 4,7 km – die Erde krümmt sich weg. Pythagoras mit dem Erdradius als Kathete. Vom Fernsehturm aus sind es 65 km.

MerkenSatz des Pythagoras

a² + b² = c² – die Kathetenquadrate zusammen sind so groß wie das Hypotenusenquadrat.

Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

BeispielPythagoras als Flächensatz: Quadrate über den Seiten

Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 9 cm² und 16 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
9 cm²16 cm²?
Schritt für Schritt
  1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
  2. 9 + 16 = 25, also 25 cm².
  3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 25? 5 · 5 = 25.
  4. Die Hypotenuse ist 5 cm lang.
  1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
  2. 9 + 16 = 25, also 25 cm².
  3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 25? 5 · 5 = 25.
  4. Die Hypotenuse ist 5 cm lang.
Ergebnis:
25 cm², Hypotenuse 5 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 36 cm² und 64 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
    36 cm²64 cm²?
    So fängst du an:
    Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
    Lösung zeigen
    1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
    2. 36 + 64 = 100, also 100 cm².
    3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 100? 10 · 10 = 100.
    4. Die Hypotenuse ist 10 cm lang.
    Ergebnis:
    100 cm², Hypotenuse 10 cm
  2. ●5
    Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 16 cm² und 9 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
    16 cm²9 cm²?
    Lösung zeigen
    1. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
    2. 16 + 9 = 25, also 25 cm².
    3. Seitenlänge des großen Quadrats: Welche Zahl mal sich selbst ergibt 25? 5 · 5 = 25.
    4. Die Hypotenuse ist 5 cm lang.
    Ergebnis:
    25 cm², Hypotenuse 5 cm
  3. ★6
    Das Quadrat über der Hypotenuse ist 25 cm² groß, das über einer Kathete 16 cm². Wie groß ist das dritte Quadrat? Wie lang ist die zweite Kathete?
    16 cm²?25 cm²
    Lösung zeigen
    1. Die beiden Kathetenquadrate sind zusammen so groß wie das Hypotenusenquadrat.
    2. Das fehlende Quadrat ist der Rest: 25 − 16 = 9, also 9 cm².
    3. Seitenlänge: 3 · 3 = 9, also ist die Kathete 3 cm lang.
    4. Kontrolle: Die Kathete ist kürzer als die Hypotenuse (5 cm).
    Ergebnis:
    9 cm², Kathete 3 cm

3Ich berechne die Hypotenuse.

EntdeckenFrage

Wie viel spart man wirklich, wenn man quer über den Platz abkürzt statt ums Eck?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 30 und 40 Metern um die Ecke ist der direkte Weg 50 Meter lang – 20 Meter weniger. Der Querweg ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

MerkenHypotenuse berechnen

c = √(a² + b²). Beispiel: 3² + 4² = 25, c = 5.

BeispielSatz des Pythagoras

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 12 mm und b = 16 mm. Berechne die Hypotenuse c.
Schritt für Schritt
  1. c² = a² + b² = 144 + 256 = 400
  2. c = √400 = 20 mm
  1. c² = a² + b² = 144 + 256 = 400
  2. c = √400 = 20 mm
Ergebnis:
20 mm

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 16 cm und b = 30 cm. Berechne die Hypotenuse c.
    So fängst du an:
    c² = a² + b² = 256 + 900 = 1156
    Lösung zeigen
    1. c² = a² + b² = 256 + 900 = 1156
    2. c = √1156 = 34 cm
    Ergebnis:
    34 cm
  2. ●8
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 24 mm und b = 7 mm. Berechne die Hypotenuse c.
    Lösung zeigen
    1. c² = a² + b² = 576 + 49 = 625
    2. c = √625 = 25 mm
    Ergebnis:
    25 mm
  3. ★9
    Eine Leiter (29 m) lehnt an einer Wand, ihr Fuß steht 20 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
    Lösung zeigen
    1. Kathete gesucht: b² = c² − a² = 841 − 400 = 441
    2. b = √441 = 21 m
    Ergebnis:
    21 m

4Ich berechne eine Kathete.

EntdeckenFrage

Wie weit muss eine Leiter unten von der Wand wegstehen, damit sie sicher steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine 5 Meter lange Leiter, die 4,7 Meter hoch reichen soll, steht rund 1,7 Meter ab. Das ergibt einen Anstellwinkel von etwa 70 Grad – empfohlen sind 65 bis 75 Grad.

MerkenKathete berechnen

a = √(c² − b²). Das Quadrat der Hypotenuse minus das Quadrat der anderen Kathete.

BeispielPythagoras: Kathete berechnen

Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 10 cm, Kathete a = 6 cm. Berechne die Kathete b.
a = 6 cmb = ?c = 10 cm
Schritt für Schritt
  1. b² = c² − a² = 100 − 36 = 64
  2. b = √64 = 8 cm
  1. b² = c² − a² = 100 − 36 = 64
  2. b = √64 = 8 cm
Ergebnis:
8 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 13 cm, Kathete a = 5 cm. Berechne die Kathete b.
    So fängst du an:
    b² = c² − a² = 169 − 25 = 144
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 169 − 25 = 144
    2. b = √144 = 12 cm
    Ergebnis:
    12 cm
  2. ●11
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 20 cm, Kathete a = 12 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 400 − 144 = 256
    2. b = √256 = 16 cm
    Ergebnis:
    16 cm
  3. ★12
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 17 cm, Kathete a = 8 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 289 − 64 = 225
    2. b = √225 = 15 cm
    Ergebnis:
    15 cm

5Ich prüfe, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

EntdeckenFrage

Wie prüft man auf einer Baustelle ohne Winkelmesser, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit dem Maß 3, 4, 5: drei Meter an der einen Wand, vier an der anderen. Misst die Verbindung genau fünf Meter, stimmt der Winkel – sonst nicht.

MerkenRechtwinklig?

Umkehrung: Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig.

Sonst nicht.

BeispielIst das Dreieck rechtwinklig? (Umkehrung des Pythagoras)

Ein Dreieck hat die Seiten 3 cm, 4 cm, 5 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
5 cm3 cm4 cm
Schritt für Schritt
  1. Längste Seite 5 cm: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
  2. 5² = 25, gleich: Das Dreieck ist rechtwinklig.
  1. Längste Seite 5 cm: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
  2. 5² = 25, gleich: Das Dreieck ist rechtwinklig.
Ergebnis:
rechtwinklig

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Dreieck hat die Seiten 7 cm, 24 cm, 26 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
    26 cm7 cm24 cm
    So fängst du an:
    Längste Seite 26 cm: 7² + 24² = 49 + 576 = 625
    Lösung zeigen
    1. Längste Seite 26 cm: 7² + 24² = 49 + 576 = 625
    2. 26² = 676, verschieden: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
    Ergebnis:
    nicht rechtwinklig
  2. ●14
    Ein Dreieck hat die Seiten 42 cm, 9 cm, 40 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
    42 cm9 cm40 cm
    Lösung zeigen
    1. Längste Seite 42 cm: 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681
    2. 42² = 1764, verschieden: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
    Ergebnis:
    nicht rechtwinklig
  3. ★15
    Ein Gärtner legt ein Beet an. Die Seiten sind 4,5 m und 20 m lang, die Diagonale 20,5 m. Prüfe, ob die Ecke ein rechter Winkel ist.
    20,5 m4,5 m20 m
    Lösung zeigen
    1. Seiten: 4,5² + 20² = 20,25 + 400 = 420,25
    2. Diagonale: 20,5² = 420,25
    3. Beide Werte sind gleich. Nach der Umkehrung des Satzes: rechter Winkel.
    4. Antwort: Ja, die Ecke ist rechtwinklig.
    Ergebnis:
    Ja, rechter Winkel

6Ich wende den Satz in Figuren an (Diagonale, Höhe).

EntdeckenFrage

Wie weit ist es beim Basketball von einer Ecke des Spielfelds bis in die gegenüberliegende Ecke?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Feld ist 28 m lang und 15 m breit. Die Diagonale ist die Wurzel aus 28² + 15² = 1009. Das sind knapp 31,8 m, nur 3,8 m mehr als die Länge.

MerkenIn Figuren

Rechtwinkliges Dreieck suchen oder durch eine Höhe erzeugen.

Diagonale im Rechteck: d = √(a² + b²).

BeispielPythagoras in Figuren: Diagonale und Höhe

Ein Rechteck ist 9 cm lang und 2 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
9 cm2 cm?
Schritt für Schritt
  1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
  2. d² = 9² + 2² = 81 + 4 = 85
  3. d = √85 ≈ 9,22
  1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
  2. d² = 9² + 2² = 81 + 4 = 85
  3. d = √85 ≈ 9,22
Ergebnis:
≈ 9,22 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Rechteck ist 13 cm lang und 8 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    13 cm8 cm?
    So fängst du an:
    Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    Lösung zeigen
    1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    2. d² = 13² + 8² = 169 + 64 = 233
    3. d = √233 ≈ 15,26
    Ergebnis:
    ≈ 15,26 cm
  2. ●17
    Ein Rechteck ist 17 cm lang und 2 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    17 cm2 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    2. d² = 17² + 2² = 289 + 4 = 293
    3. d = √293 ≈ 17,12
    Ergebnis:
    ≈ 17,12 cm
  3. ★18
    Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 11 cm. Berechne seine Höhe. Runde auf zwei Stellen.
    11 cm11 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Höhe teilt die Basis in zwei Hälften: 11 : 2 = 5.5
    2. h² = 11² − 5,5² = 121 − 30,25 = 90,75
    3. h = √90,75 ≈ 9,53
    Ergebnis:
    ≈ 9,53 cm

7Ich wende den Satz in Körpern an (Raumdiagonale).

EntdeckenFrage

Wie lang darf ein Brett schräg in einer Aufzugkabine von 1,10 × 1,40 × 2,00 Metern sein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die längste Strecke ist die Raumdiagonale. Sie ist die Wurzel aus 1,1² + 1,4² + 2² = 7,17. Das sind knapp 2,68 m, deutlich mehr als die Höhe der Kabine.

MerkenIn Körpern

Raumdiagonale im Quader: d = √(a² + b² + c²) – zweimal Pythagoras hintereinander.

BeispielRaumdiagonale eines Quaders

Ein Quader ist 1 cm lang, 4 cm breit und 8 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
?1 cm8 cm4 cm
Schritt für Schritt
  1. Bodendiagonale: e² = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
  2. Raumdiagonale: d² = 17 + 8² = 17 + 64 = 81
  3. d = √81 = 9 cm
  4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
  1. Bodendiagonale: e² = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
  2. Raumdiagonale: d² = 17 + 8² = 17 + 64 = 81
  3. d = √81 = 9 cm
  4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
Ergebnis:
9 cm

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quader ist 24 cm lang, 16 cm breit und 18 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
    ?24 cm18 cm16 cm
    So fängst du an:
    Bodendiagonale: e² = 24² + 16² = 576 + 256 = 832
    Lösung zeigen
    1. Bodendiagonale: e² = 24² + 16² = 576 + 256 = 832
    2. Raumdiagonale: d² = 832 + 18² = 832 + 324 = 1156
    3. d = √1156 = 34 cm
    4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
    Ergebnis:
    34 cm
  2. ●20
    Ein Quader ist 6 cm lang, 7 cm breit und 6 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
    ?6 cm6 cm7 cm
    Lösung zeigen
    1. Bodendiagonale: e² = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
    2. Raumdiagonale: d² = 85 + 6² = 85 + 36 = 121
    3. d = √121 = 11 cm
    4. Anderer Weg: erst die Diagonale der Vorderfläche, dann die Breite dazu.
    Ergebnis:
    11 cm
  3. ★21
    Eine Kiste ist 70 cm lang, 60 cm breit und 70 cm hoch. Prüfe, ob ein 110 cm langer Stab schräg hineinpasst.
    ?70 cm70 cm60 cm
    Lösung zeigen
    1. Bodendiagonale: e² = 70² + 60² = 4900 + 3600 = 8500
    2. Raumdiagonale: d² = 8500 + 70² = 8500 + 4900 = 13.400
    3. d = √13.400 ≈ 115,8 cm
    4. Antwort: Ja, die Raumdiagonale ist etwa 115,8 cm lang.
    Ergebnis:
    Ja, Raumdiagonale ≈ 115,8 cm

8Ich löse Sachaufgaben (Leiter, Rampe, Bildschirm).

EntdeckenFrage

Ein Schrank ist 2,36 m hoch und 58 cm tief. Warum lässt er sich in einem 2,40 m hohen Zimmer nicht aufrichten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Aufrichten kippt der Schrank über eine Kante. Dabei ragt die Diagonale seiner Seitenwand nach oben. Sie ist die Wurzel aus 2,36² + 0,58², also etwa 2,43 m – 3 cm zu viel.

MerkenSachaufgaben

Skizze, rechten Winkel markieren, Hypotenuse erkennen, Formel, Einheit, Antwortsatz.

BeispielPythagoras im Alltag (Leiter, Diagonale)

Eine 5 m lange Leiter steht 3 m von der Wand entfernt. Berechne, wie hoch sie reicht.
3 m4 m5 m
Schritt für Schritt
  1. Höhe² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
  2. Höhe = √16 = 4 m
  1. Höhe² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
  2. Höhe = √16 = 4 m
Ergebnis:
4 m

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine 13 m lange Leiter steht 5 m von der Wand entfernt. Berechne, wie hoch sie reicht.
    So fängst du an:
    Höhe² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
    Lösung zeigen
    1. Höhe² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
    2. Höhe = √144 = 12 m
    Ergebnis:
    12 m
  2. ●23
    Ein Bildschirm ist 15 cm hoch und 20 cm breit. Berechne, wie lang die Diagonale ist.
    Lösung zeigen
    1. d² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
    2. d = 25 cm
    Ergebnis:
    25 cm
  3. ★24
    Eine 10 m lange Leiter steht 6 m von der Wand entfernt. Berechne, wie hoch sie reicht.
    Lösung zeigen
    1. Höhe² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
    2. Höhe = √64 = 8 m
    Ergebnis:
    8 m

9Ich berechne Abstände im Koordinatensystem.

EntdeckenFrage

Wie weit springt ein Springer beim Schach, gemessen von Feldmitte zu Feldmitte?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Springer zieht zwei Felder in eine Richtung und eines quer dazu. Im Koordinatensystem ist das der Abstand der Punkte (0|0) und (2|1). Er beträgt die Wurzel aus 2² + 1² = 5, also etwa 2,24 Feldbreiten.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenAbstand im Koordinatensystem

Abstand zweier Punkte = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) – die Differenzen sind die Katheten.

BeispielAbstand zweier Punkte im Koordinatensystem

Die Punkte A(2 | 3) und B(8 | 11) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
xy11AB?
Schritt für Schritt
  1. Waagerecht 8 − 2 = 6, senkrecht 11 − 3 = 8
  2. d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also d = √100 = 10
  1. Waagerecht 8 − 2 = 6, senkrecht 11 − 3 = 8
  2. d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also d = √100 = 10
Ergebnis:
10 Einheiten

ÜbenJetzt du

  1. ○25
    Die Punkte A(2 | 0) und B(7 | 12) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    So fängst du an:
    Waagerecht 7 − 2 = 5, senkrecht 12 − 0 = 12
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht 7 − 2 = 5, senkrecht 12 − 0 = 12
    2. d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, also d = √169 = 13
    Ergebnis:
    13 Einheiten
  2. ●26
    Die Punkte A(3 | 1) und B(8 | 13) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht 8 − 3 = 5, senkrecht 13 − 1 = 12
    2. d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, also d = √169 = 13
    Ergebnis:
    13 Einheiten
  3. ★27
    Die Punkte A(−1 | 1) und B(−4 | 3) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht −1 − (−4) = 3, senkrecht 3 − 1 = 2
    2. d² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13, also d = √13 ≈ 3,61
    Ergebnis:
    ≈ 3,61 Einheiten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●28
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 9 cm und b = 40 cm. Berechne die Hypotenuse c.
    Lösung zeigen
    1. c² = a² + b² = 81 + 1600 = 1681
    2. c = √1681 = 41 cm
    Ergebnis:
    41 cm
  2. ●29
    Ein Rechteck ist 3 cm lang und 4 cm breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.
    Lösung zeigen
    1. u = 2 · (3 + 4) = 14 cm
    2. A = 3 · 4 = 12 cm²
    Ergebnis:
    u = 14 cm; A = 12 cm²
  3. ●30
    Vereinfache und berechne: 103 · 103
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 106
    2. = 1.000.000
    Ergebnis:
    106 = 1.000.000
  4. ●31
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 25 cm, Kathete a = 15 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    1. b² = c² − a² = 625 − 225 = 400
    2. b = √400 = 20 cm
    Ergebnis:
    20 cm
  5. ●32
    Ein Bildschirm ist 90 cm hoch und 120 cm breit. Berechne, wie lang die Diagonale ist.
    Lösung zeigen
    1. d² = 90² + 120² = 8100 + 14.400 = 22.500
    2. d = 150 cm
    Ergebnis:
    150 cm
  6. ●33
    Ein Rechteck ist 6 cm lang und 3 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    6 cm3 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse.
    2. d² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
    3. d = √45 ≈ 6,71
    Ergebnis:
    ≈ 6,71 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Katheten und Hypotenuse
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber – sie ist die längste Seite.
Satz des Pythagoras
a² + b² = c² – die Kathetenquadrate zusammen sind so groß wie das Hypotenusenquadrat.
Hypotenuse berechnen
c = √(a² + b²). Beispiel: 3² + 4² = 25, c = 5.
Kathete berechnen
a = √(c² − b²). Das Quadrat der Hypotenuse minus das Quadrat der anderen Kathete.
Rechtwinklig?
Umkehrung: Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig.
In Figuren
Rechtwinkliges Dreieck suchen oder durch eine Höhe erzeugen.
In Körpern
Raumdiagonale im Quader: d = √(a² + b² + c²) – zweimal Pythagoras hintereinander.
Sachaufgaben
Skizze, rechten Winkel markieren, Hypotenuse erkennen, Formel, Einheit, Antwortsatz.
Abstand im Koordinatensystem
Abstand zweier Punkte = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) – die Differenzen sind die Katheten.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich benenne Katheten und Hypotenuse.

    34
    Das Dreieck DEF ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei E. Gib an, welche Seite die Hypotenuse ist und welche die Katheten sind.
    DfEdFe
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Hypotenuse e, Katheten d und f

  2. Ich entdecke den Satz des Pythagoras.

    35
    Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 16 cm² und 9 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse? Wie lang ist die Hypotenuse?
    16 cm²9 cm²?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 cm², Hypotenuse 5 cm

  3. Ich berechne die Hypotenuse.

    36
    Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 8 m und b = 15 m. Berechne die Hypotenuse c.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 m

  4. Ich berechne eine Kathete.

    37
    Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 10 cm, Kathete a = 8 cm. Berechne die Kathete b.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 cm

  5. Ich prüfe, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

    38
    Ein Dreieck hat die Seiten 12 cm, 35 cm, 38 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe.
    38 cm12 cm35 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht rechtwinklig

  6. Ich wende den Satz in Figuren an (Diagonale, Höhe).

    39
    Ein Rechteck ist 10 cm lang und 9 cm breit. Wie lang ist die Diagonale? Runde auf zwei Stellen.
    10 cm9 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 13,45 cm

  7. Ich wende den Satz in Körpern an (Raumdiagonale).

    40
    Ein Quader ist 2 cm lang, 6 cm breit und 9 cm hoch. Berechne die Länge der Raumdiagonale.
    ?2 cm9 cm6 cm
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 cm

  8. Ich löse Sachaufgaben (Leiter, Rampe, Bildschirm).

    41
    Eine 2,5 m lange Leiter steht 1,5 m von der Wand entfernt. Berechne, wie hoch sie reicht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 m

  9. Ich berechne Abstände im Koordinatensystem.

    42
    Die Punkte A(4 | 3) und B(0 | 6) liegen im Koordinatensystem. Berechne ihren Abstand.
    xy11AB?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Einheiten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Fernseher ist 122 cm breit und 69 cm hoch. Wie lang ist die Diagonale, mit der die Größe angegeben wird? Du hast kein Maßband, nur die zwei Zahlen.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Satz des Pythagoras: die dritte Seite aus zwei rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Passt der Fernseher? Wie lang die Leiter? Beruf: Bau (rechter Winkel mit 3-4-5), Vermessung, Navigation.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Hypotenuse
die längste Seite, gegenüber vom rechten Winkel
Kathete
eine der beiden kurzen Seiten am rechten Winkel

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Dreiecke und Vielecke, Flächeninhalt und Volumen, Zeichnen und Konstruieren, Potenzen und Wurzeln

Darauf baut auf: Trigonometrie, Vektoren im Raum

Lösungen

  1. Hypotenuse q, Katheten p und r
  2. Hypotenuse k, Katheten l und m
  3. Hypotenuse k, Katheten l und m
  4. 100 cm², Hypotenuse 10 cm
  5. 25 cm², Hypotenuse 5 cm
  6. 9 cm², Kathete 3 cm
  7. 34 cm
  8. 25 mm
  9. 21 m
  10. 12 cm
  11. 16 cm
  12. 15 cm
  13. nicht rechtwinklig
  14. nicht rechtwinklig
  15. Ja, rechter Winkel
  16. ≈ 15,26 cm
  17. ≈ 17,12 cm
  18. ≈ 9,53 cm
  19. 34 cm
  20. 11 cm
  21. Ja, Raumdiagonale ≈ 115,8 cm
  22. 12 m
  23. 25 cm
  24. 8 m
  25. 13 Einheiten
  26. 13 Einheiten
  27. ≈ 3,61 Einheiten
  28. 41 cm
  29. u = 14 cm; A = 12 cm²
  30. 106 = 1.000.000
  31. 20 cm
  32. 150 cm
  33. ≈ 6,71 cm
  34. Hypotenuse e, Katheten d und f
  35. 25 cm², Hypotenuse 5 cm
  36. 17 m
  37. 6 cm
  38. nicht rechtwinklig
  39. ≈ 13,45 cm
  40. 11 cm
  41. 2 m
  42. 5 Einheiten
  43. rechter Winkel
  44. konstruierbar (SSS)
  45. 81
  46. 7