Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

Quadratische Funktionen und Gleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zeichne die Parabel y = x² − 6x + 5 mit einer Wertetabelle von −2 bis 8. Wo ist der tiefste Punkt?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Elf Werte rechnen, zeichnen, den Scheitel ablesen – zehn Minuten für eine Frage, die man mit der richtigen Form in fünf Sekunden beantwortet. y = (x − 3)² − 4 ist dieselbe Parabel. Der Scheitel steht drin: (3|−4). Die Form ist das Werkzeug, die Tabelle die Not.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu – der Graph zeigt alle diese Paare.

●61
Gegeben ist f(x) = −2x − 1. Berechne f(−3).
Lösung zeigen
1. −2 · −3 = 6
2. 6 − 1 = 5
Ergebnis:
f(−3) = 5
●62
Eine Gerade geht durch P(−1 | 6) und Q(1 | 4). Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung zeigen
1. m = (4 − 6) : (1 − (−1)) = −1
2. b: 6 = −1 · (−1) + b → b = 5
3. f(x) = −x + 5
Ergebnis:
f(x) = −x + 5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Scheitel ist der Umkehrpunkt

Eine Parabel steigt, kehrt um und fällt – oder umgekehrt. Der Scheitel ist die Stelle des Umkehrens: der höchste oder tiefste Punkt.

WeiterdenkenDenk nach

Woran siehst du an y = (x − 3)² + 2, wo der Scheitel liegt – ohne zu rechnen?

1Ich erkenne die Normalparabel und ihre Eigenschaften.

EntdeckenFrage

Warum bauen Brunnen und Brücken Parabeln – und keine Kreise?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein geworfener Wasserstrahl fliegt eine Parabel, weil die Schwerkraft gleichmäßig nach unten zieht. Eine Hängebrücke unter gleichmäßiger Last nimmt dieselbe Form – die Natur rechnet x².

Ausprobieren: Parabel in Scheitelform

a, d und e der Scheitelform verändern oder den Scheitel ziehen – mit Normalparabel und Nullstellen.

MerkenNormalparabel

f(x) = x². Scheitel (0 | 0), achsensymmetrisch zur y-Achse, nach oben geöffnet.

Wertetabelle: 1, 4, 9, 16 …

Eselsbrücke: Scheitelpunktform y = a(x − d)² + e: „x minus d – der Scheitel liegt bei plus d“

BeispielQuadratische Funktion: Scheitel und Nullstellen

Gegeben ist f(x) = (x + 2)² − 5. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.

Schritt für Schritt

Scheitelpunktform: S(d|e)
S(−2|−5); Normalparabel um 2 nach links und 5 nach unten

Scheitelpunktform: S(d|e)
S(−2|−5); Normalparabel um 2 nach links und 5 nach unten

Ergebnis:

S(−2|−5)

AchtungVorzeichen von d

So nicht

y = (x − 3)²: um 3 nach links

So richtig

y = (x − 3)²: um 3 nach rechts  (Scheitel bei x = 3)

(x − 3)² ist um 3 nach rechts verschoben.

ÜbenJetzt du

○1
Gegeben ist f(x) = (x − 3)² − 5. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
So fängst du an:
Scheitelpunktform: S(d|e)
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform: S(d|e)
2. S(3|−5); Normalparabel um 3 nach rechts und 5 nach unten
Ergebnis:
S(3|−5)
●2
Gegeben ist f(x) = (x − 1)² + 5. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform: S(d|e)
2. S(1|5); Normalparabel um 1 nach rechts und 5 nach oben
Ergebnis:
S(1|5)
★3
Bestimme die Nullstellen von f(x) = x² + 3x − 4.
Lösung zeigen
1. p-q-Formel: x = −p/2 ± √(p/2)² − q mit p = 3, q = −4
2. x = −1,5 ± √6,25
3. x₁ = −4, x₂ = 1
4. Probe (Vieta): x₁ + x₂ = −3 = −p ✓
Ergebnis:
x₁ = −4; x₂ = 1

2Ich verschiebe die Parabel und lese den Scheitel ab.

EntdeckenFrage

Wo muss ein Torwart beim Abschlag stehen, damit der Ball am weitesten fliegt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Egal wo – aber der Abschusswinkel zählt: 45 Grad ohne Luft, real etwa 35 bis 40. Die Flugbahn ist eine Parabel, und ihr Scheitel liegt genau in der Mitte.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVerschieben

f(x) = (x − d)² + e: Scheitel S(d | e).

Minus in der Klammer heißt nach rechts, plus dahinter heißt nach oben.

BeispielScheitelpunkt ablesen

Gib den Scheitelpunkt an: f(x) = (x + 1)² − 6

Schritt für Schritt

Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
S(−1 | −6)

Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
S(−1 | −6)

Ergebnis:

S(−1 | −6)

ÜbenJetzt du

○4
Gib den Scheitelpunkt an: f(x) = (x + 2)² − 6
So fängst du an:
Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
2. S(−2 | −6)
Ergebnis:
S(−2 | −6)
●5
Gib den Scheitelpunkt an: f(x) = (x + 1)² − 5
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
2. S(−1 | −5)
Ergebnis:
S(−1 | −5)
★6
Gib den Scheitelpunkt an und ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist: f(x) = −2(x − 2)² + 6
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
2. S(2 | 6)
3. a = −2 < 0 → nach unten, gestreckt
Ergebnis:
S(2 | 6), nach unten

3Ich strecke und spiegle die Parabel.

EntdeckenFrage

Warum ist die Schale einer Satellitenantenne enger geformt als der Spiegel einer Taschenlampe?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beide sind Parabeln, nur verschieden stark gestreckt. Die Zahl vor dem Quadrat entscheidet über die Enge – und darüber, wo der Brennpunkt sitzt, in dem sich alle Strahlen treffen.

MerkenStrecken und Spiegeln

f(x) = a · x²: |a| > 1 schmaler, |a| < 1 breiter, a < 0 nach unten geöffnet.

BeispielParabeln strecken, stauchen, spiegeln

Gegeben ist f(x) = 2x². Berechne f(5) und beschreibe, wie sich der Graph von der Normalparabel unterscheidet.

Schritt für Schritt

Erst quadrieren: (5)² = 25
Dann mal 2: 2 · 25 = 50
a = 2: gestreckt, nach oben geöffnet

Erst quadrieren: (5)² = 25
Dann mal 2: 2 · 25 = 50
a = 2: gestreckt, nach oben geöffnet

Ergebnis:

f(5) = 50

ÜbenJetzt du

○7
Gegeben ist f(x) = −0,5x². Berechne f(4) und beschreibe, wie sich der Graph von der Normalparabel unterscheidet.
So fängst du an:
Erst quadrieren: (4)² = 16
Lösung zeigen
1. Erst quadrieren: (4)² = 16
2. Dann mal −0,5: (−0,5) · 16 = −8
3. a = −0,5: gestaucht, nach unten geöffnet
Ergebnis:
f(4) = −8
●8
Gegeben ist f(x) = 0,5x². Berechne f(4) und beschreibe, wie sich der Graph von der Normalparabel unterscheidet.
Lösung zeigen
1. Erst quadrieren: (4)² = 16
2. Dann mal 0,5: 0,5 · 16 = 8
3. a = 0,5: gestaucht, nach oben geöffnet
Ergebnis:
f(4) = 8
★9
Die Parabel zu f(x) = a · x² geht durch den Punkt P(4 | −32). Bestimme a und beschreibe die Parabel.
Lösung zeigen
1. Punkt einsetzen: −32 = a · 4²
2. −32 = a · 16
3. a = −32 : 16 = −2
4. a = −2: gestreckt, nach unten geöffnet
Ergebnis:
a = −2

4Ich wandle Scheitelpunktform in Normalform um.

EntdeckenFrage

Warum trifft ein hoher Wurf im Basketball öfter als ein flacher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Ball von oben kommt und der Korb dann als größere Fläche vor ihm liegt. Als günstig gemessen wurde ein Abwurfwinkel um 52 Grad; die Flugbahn ist eine Parabel mit Scheitel über dem Korb.

MerkenScheitelpunktform

In f(x) = a(x − d)² + e steht der Scheitel S(d | e) direkt drin.

Vorsicht beim Vorzeichen: (x + 3)² bedeutet d = −3, der Scheitel liegt bei x = −3.

BeispielKlammer auflösen

Multipliziere aus: 4(6x + 11)

Schritt für Schritt

4 · 6x = 24x
4 · (11) = 44

4 · 6x = 24x
4 · (11) = 44

Ergebnis:

24x + 44

ÜbenJetzt du

○10
Multipliziere aus: 5(5x + 1)
So fängst du an:
5 · 5x = 25x
Lösung zeigen
1. 5 · 5x = 25x
2. 5 · (1) = 5
Ergebnis:
25x + 5
●11
Multipliziere aus: 6(4x + 1)
Lösung zeigen
1. 6 · 4x = 24x
2. 6 · (1) = 6
Ergebnis:
24x + 6
★12
Multipliziere aus: −2(4x − 7)
Lösung zeigen
1. −2 · 4x = −8x
2. −2 · (−7) = 14
Ergebnis:
−8x + 14

5Ich bestimme den Scheitel mit quadratischer Ergänzung.

EntdeckenFrage

Warum heißt die quadratische Ergänzung so – was wird da ergänzt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein fehlendes Eckstück. Legt man das Quadrat x² und zwei Rechtecke der Breite p/2 aneinander, fehlt in der Ecke genau (p/2)² zum vollen Quadrat. Al-Chwarizmi rechnete das um 820 mit Flächen.

MerkenQuadratische Ergänzung

x² + px + q → (x + p/2)² − (p/2)² + q. Damit von der Normalform zur Scheitelpunktform.

BeispielScheitelpunkt mit quadratischer Ergänzung

Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² − 10x − 1 mit quadratischer Ergänzung.

Schritt für Schritt

Halbe Zahl vor x: −10 : 2 = −5, ihr Quadrat: 25
Ergänzen: f(x) = x² − 10x + 25 − 25 − 1
Binom: f(x) = (x − 5)² − 26
Scheitel: S(5 | −26)

Halbe Zahl vor x: −10 : 2 = −5, ihr Quadrat: 25
Ergänzen: f(x) = x² − 10x + 25 − 25 − 1
Binom: f(x) = (x − 5)² − 26
Scheitel: S(5 | −26)

Ergebnis:

S(5 | −26)

ÜbenJetzt du

○13
Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² + 4x − 2 mit quadratischer Ergänzung.
So fängst du an:
Halbe Zahl vor x: 4 : 2 = 2, ihr Quadrat: 4
Lösung zeigen
1. Halbe Zahl vor x: 4 : 2 = 2, ihr Quadrat: 4
2. Ergänzen: f(x) = x² + 4x + 4 − 4 − 2
3. Binom: f(x) = (x + 2)² − 6
4. Scheitel: S(−2 | −6)
Ergebnis:
S(−2 | −6)
●14
Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² + 8x + 3 mit quadratischer Ergänzung.
Lösung zeigen
1. Halbe Zahl vor x: 8 : 2 = 4, ihr Quadrat: 16
2. Ergänzen: f(x) = x² + 8x + 16 − 16 + 3
3. Binom: f(x) = (x + 4)² − 13
4. Scheitel: S(−4 | −13)
Ergebnis:
S(−4 | −13)
★15
Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = −2x² + 8x − 4 mit quadratischer Ergänzung.
Lösung zeigen
1. Ausklammern: f(x) = (−2) · (x² − 4x) − 4
2. Ergänzen: (−2) · (x² − 4x + 4 − 4) − 4
3. Ausmultiplizieren: (−2) · (x − 2)² + 8 − 4
4. Scheitel: S(2 | 4)
Ergebnis:
S(2 | 4)

6Ich löse quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen.

EntdeckenFrage

Wie lange fiele ein Stein von der Aussichtsetage des Berliner Fernsehturms in 203 m Höhe – ohne Luftwiderstand?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Fallweg ist s = 4,905 · t² in Metern. Aus 4,905 · t² = 203 folgt t² ≈ 41,4. Die Wurzel daraus ergibt etwa 6,4 Sekunden. Die negative Lösung ergibt hier keinen Sinn.

MerkenWurzelziehen

x² = a hat zwei Lösungen ±√a (für a > 0). x² = 0 genau eine, x² < 0 keine.

BeispielQuadratische Gleichungen: Sonderfälle

Löse: x² + 7 = 56

Schritt für Schritt

| − 7 → x² = 49
Wurzel ziehen – zwei Lösungen: x = 7 oder x = −7

| − 7 → x² = 49
Wurzel ziehen – zwei Lösungen: x = 7 oder x = −7

Ergebnis:

x₁ = 7, x₂ = −7

ÜbenJetzt du

○16
Löse: x² = −9
So fängst du an:
Ein Quadrat ist nie negativ
Lösung zeigen
1. Ein Quadrat ist nie negativ
2. keine Lösung
Ergebnis:
keine Lösung
●17
Löse: x² + 3 = 84
Lösung zeigen
1. | − 3 → x² = 81
2. Wurzel ziehen – zwei Lösungen: x = 9 oder x = −9
Ergebnis:
x₁ = 9, x₂ = −9
★18
Löse: 5x² − 65x = 0
Lösung zeigen
1. Ausklammern: 5x · (x − 13) = 0
2. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist
3. x = 0 oder x = 13
Ergebnis:
x₁ = 0, x₂ = 13

7Ich löse mit der p-q-Formel.

EntdeckenFrage

Wie schnell darf ein Auto höchstens fahren, damit es laut Fahrschul-Faustformel nach 40 m steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Reaktionsweg (v/10) · 3 und Bremsweg (v/10)² ergeben mit x = v/10 die Gleichung x² + 3x − 40 = 0. Die p-q-Formel liefert x = −1,5 ± 6,5, also 5 oder −8. Also höchstens 50 km/h.

Merkenp-q-Formel

x² + px + q = 0 → x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Vorher durch den Faktor vor x² teilen.

BeispielQuadratische Gleichung (p-q-Formel)

Löse: x² − 7x + 10 = 0

Schritt für Schritt

p = −7, q = 10
−p/2 = 3,5
(p/2)² − q = 12,25 − 10 = 2,25
√2,25 = 1,5
x₁ = 3,5 + 1,5 = 5
x₂ = 3,5 − 1,5 = 2

p = −7, q = 10
−p/2 = 3,5
(p/2)² − q = 12,25 − 10 = 2,25
√2,25 = 1,5
x₁ = 3,5 + 1,5 = 5
x₂ = 3,5 − 1,5 = 2

Ergebnis:

x₁ = 2; x₂ = 5

AchtungDiskriminante falsch

So nicht

x² − 6x + 8: p/2 = 6, also 3² − 8

So richtig

p = −6, −p/2 = 3, √(3² − 8) = 1, x = 3 ± 1

(p/2)² − q: erst quadrieren, dann q abziehen.

ÜbenJetzt du

○19
Löse: x² + 7x + 6 = 0
So fängst du an:
p = 7, q = 6
Lösung zeigen
1. p = 7, q = 6
2. −p/2 = −3,5
3. (p/2)² − q = 12,25 − 6 = 6,25
4. √6,25 = 2,5
5. x₁ = −3,5 + 2,5 = −1
6. x₂ = −3,5 − 2,5 = −6
Ergebnis:
x₁ = −6; x₂ = −1
●20
Löse: x² − x − 20 = 0
Lösung zeigen
1. p = −1, q = −20
2. −p/2 = 0,5
3. (p/2)² − q = 0,25 + 20 = 20,25
4. √20,25 = 4,5
5. x₁ = 0,5 + 4,5 = 5
6. x₂ = 0,5 − 4,5 = −4
Ergebnis:
x₁ = −4; x₂ = 5
★21
Löse: x² − 10x + 21 = 0
Lösung zeigen
1. p = −10, q = 21
2. −p/2 = 5
3. (p/2)² − q = 25 − 21 = 4
4. √4 = 2
5. x₁ = 5 + 2 = 7
6. x₂ = 5 − 2 = 3
Ergebnis:
x₁ = 3; x₂ = 7

8Ich bestimme Nullstellen und deute sie.

EntdeckenFrage

Ein Ball fliegt mit 15 m/s senkrecht nach oben. Nach wie vielen Sekunden ist er wieder unten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit g ≈ 10 m/s² ist die Höhe h(t) = 15t − 5t². Die Nullstellen sind t = 0 und t = 3. Die erste ist der Abwurf, die zweite die Landung nach 3 Sekunden. Mit g = 9,81 m/s² sind es 3,06 Sekunden.

MerkenNullstellen

Nullstellen: f(x) = 0 lösen – die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Keine, eine (Scheitel auf der Achse) oder zwei.

BeispielNullstellen bestimmen und deuten

Wo schneidet f(x) = (x − 7) · (x + 3) die x-Achse? Gib die Nullstellen an.

Schritt für Schritt

Nullstelle heißt f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
x − 7 = 0, also x = 7
x + 3 = 0, also x = −3

Nullstelle heißt f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
x − 7 = 0, also x = 7
x + 3 = 0, also x = −3

Ergebnis:

x₁ = 7, x₂ = −3

ÜbenJetzt du

○22
Wo schneidet f(x) = (x + 5) · (x − 4) die x-Achse? Gib die Nullstellen an.
So fängst du an:
Nullstelle heißt f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
Lösung zeigen
1. Nullstelle heißt f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
2. x + 5 = 0, also x = −5
3. x − 4 = 0, also x = 4
Ergebnis:
x₁ = 4, x₂ = −5
●23
Wo schneidet f(x) = (x + 7) · (x − 6) die x-Achse? Gib die Nullstellen an.
Lösung zeigen
1. Nullstelle heißt f(x) = 0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
2. x + 7 = 0, also x = −7
3. x − 6 = 0, also x = 6
Ergebnis:
x₁ = 6, x₂ = −7
★24
Ein Ball fliegt auf der Bahn h(x) = −0,1x² + 0,8x + 2. Dabei ist x die Weite und h die Höhe in Metern. In welcher Weite trifft er auf den Boden?
Lösung zeigen
1. Boden heißt h(x) = 0. Durch −0,1 teilen: x² − 8x − 20 = 0
2. p-q-Formel: x = 4 ± √16 + 20 = 4 ± 6
3. x₁ = 10, x₂ = −2
4. Eine negative Weite liegt hinter dem Abwurf: Er landet nach 10 m.
Ergebnis:
10 m

9Ich nutze den Satz von Vieta zur Kontrolle.

EntdeckenFrage

Welche zwei Zahlen haben die Summe 10 und das Produkt 21? Und was hat das mit x² − 10x + 21 zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 3 und 7. Genau sie lösen x² − 10x + 21 = 0. Die Summe der Lösungen ist das Gegenteil der Zahl vor x, ihr Produkt die Zahl ohne x. So prüft man jede Lösung in Sekunden.

MerkenSatz von Vieta

x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Schnelle Kontrolle der Lösungen.

BeispielLösungen prüfen: Einsetzen und Vieta

Can hat x² − 3x + 2 = 0 gelöst und x₁ = 1, x₂ = 2 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.

Schritt für Schritt

x = 1 einsetzen: 1 − 3 + 2 = 0, stimmt.
x = 2 einsetzen: 4 − 6 + 2 = 0, stimmt.

x = 1 einsetzen: 1 − 3 + 2 = 0, stimmt.
x = 2 einsetzen: 4 − 6 + 2 = 0, stimmt.

Ergebnis:

Die Lösungen stimmen.

ÜbenJetzt du

○25
Aylin hat x² − 14x + 48 = 0 gelöst und x₁ = −8, x₂ = −6 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.
So fängst du an:
x = −8 einsetzen: 64 + 112 + 48 = 224, nicht 0.
Lösung zeigen
1. x = −8 einsetzen: 64 + 112 + 48 = 224, nicht 0.
2. x = −6 einsetzen: 36 + 84 + 48 = 168, nicht 0.
3. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
4. Richtig: x₁ = 6 und x₂ = 8.
Ergebnis:
Falsch. Richtig sind x₁ = 6 und x₂ = 8.
●26
Tim hat x² + 17x + 72 = 0 gelöst und x₁ = 8, x₂ = 9 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.
Lösung zeigen
1. x = 8 einsetzen: 64 + 136 + 72 = 272, nicht 0.
2. x = 9 einsetzen: 81 + 153 + 72 = 306, nicht 0.
3. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
4. Richtig: x₁ = −9 und x₂ = −8.
Ergebnis:
Falsch. Richtig sind x₁ = −9 und x₂ = −8.
★27
Mia hat x² + 6x + 8 = 0 gelöst und x₁ = 2, x₂ = 4 erhalten. Prüfe mit dem Satz von Vieta, ohne neu zu rechnen.
Lösung zeigen
1. Vieta: x₁ + x₂ muss −p = −6 ergeben, x₁ · x₂ muss q = 8 ergeben.
2. Summe: 2 + 4 = 6, nicht −6.
3. Produkt: 2 · 4 = 8, stimmt.
4. Die Vorzeichen sind vertauscht – typisch für einen Fehler bei −p/2.
5. Richtig: x₁ = −4 und x₂ = −2.
Ergebnis:
Falsch. Richtig sind x₁ = −4 und x₂ = −2.

10Ich modelliere Wurf- und Brückenbögen.

EntdeckenFrage

Ein Stein wird vom 10-m-Turm mit 3 m/s waagerecht weggeworfen. Wie weit vom Turm schlägt er aufs Wasser?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nach x Metern ist er x/3 Sekunden unterwegs und 4,905 · (x/3)² Meter gefallen. Die Bahn ist also die Parabel h(x) = 10 − 4,905 · (x/3)². Aus h(x) = 0 folgt x ≈ 4,28 m.

MerkenWurf und Bogen

h(x) = −a(x − d)² + e: Der Scheitel ist der höchste Punkt.

Nullstellen sind Abwurf und Landung.

BeispielWurf- und Brückenbögen modellieren

Ein Ball wird geworfen. Die Höhe in Metern beschreibt h(x) = −0,05(x − 6)² + 1,8, dabei ist x der waagerechte Abstand in Metern. Wie hoch fliegt der Ball höchstens, und an welcher Stelle?

Schritt für Schritt

Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel direkt: S(6 | 1,8)
Größte Höhe 1,8 m bei x = 6 m

Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel direkt: S(6 | 1,8)
Größte Höhe 1,8 m bei x = 6 m

Ergebnis:

1,8 m bei x = 6 m

ÜbenJetzt du

○28
Eine Brücke spannt sich als Bogen. Die Höhe in Metern beschreibt h(x) = −0,2(x − 4)² + 3,2, dabei ist x der waagerechte Abstand in Metern. Wie hoch ist der Bogen in der Mitte, und an welcher Stelle?
So fängst du an:
Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel direkt: S(4 | 3,2)
Lösung zeigen
1. Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel direkt: S(4 | 3,2)
2. Größte Höhe 3,2 m bei x = 4 m
Ergebnis:
3,2 m bei x = 4 m
●29
Ein Ball wird geworfen. Die Höhe in Metern beschreibt h(x) = −0,2(x − 10)² + 20, dabei ist x der waagerechte Abstand in Metern. Wie hoch fliegt der Ball höchstens, und an welcher Stelle?
Lösung zeigen
1. Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel direkt: S(10 | 20)
2. Größte Höhe 20 m bei x = 10 m
Ergebnis:
20 m bei x = 10 m
★30
Ein Ball wird geworfen. Die Höhe in Metern beschreibt h(x) = −0,2(x − 5)² + 5, dabei ist x der waagerechte Abstand in Metern. Wie weit fliegt er, bis er wieder auf dem Boden ist?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist die Stelle mit h(x) = 0
2. −0,2(x − 5)² + 5 = 0 → (x − 5)² = 5 : 0,2 = 25
3. x − 5 = ±5 → x = 0 oder x = 10
4. Der Start liegt bei x = 0, also ist die Weite 10 m.
Ergebnis:
10 m

11Ich löse Optimierungsaufgaben.

EntdeckenFrage

Mit 100 m Bauzaun wird an einer Hauswand ein Rechteck abgesperrt. Welche Maße geben die größte Fläche?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sind die zwei Seiten zur Wand x Meter lang, bleibt 100 − 2x für die dritte Seite. Die Fläche A(x) = x(100 − 2x) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitel liegt bei x = 25, also 25 m mal 50 m und 1250 m².

MerkenOptimieren

Größte Fläche, größter Gewinn: Term aufstellen, Scheitel bestimmen.

Der Scheitel ist das Maximum oder Minimum.

BeispielOptimieren mit dem Scheitelpunkt

Für ein rechteckiges Kaninchengehege gibt es 50 m Zaun, der ganz herum geht. Wie groß kann die Fläche höchstens werden?

Schritt für Schritt

Halber Umfang: 50 : 2 = 25, also Seiten x und 25 − x
A(x) = x · (25 − x) = −x² + 25x
Nullstellen 0 und 25, der Scheitel liegt dazwischen: x = 25 : 2 = 12,5
A = 12,5 · 12,5 = 156,25

Halber Umfang: 50 : 2 = 25, also Seiten x und 25 − x
A(x) = x · (25 − x) = −x² + 25x
Nullstellen 0 und 25, der Scheitel liegt dazwischen: x = 25 : 2 = 12,5
A = 12,5 · 12,5 = 156,25

Ergebnis:

156,25 m²

ÜbenJetzt du

○31
Für ein rechteckiges Gemüsebeet gibt es 42 m Zaun, der ganz herum geht. Wie groß kann die Fläche höchstens werden?
So fängst du an:
Halber Umfang: 42 : 2 = 21, also Seiten x und 21 − x
Lösung zeigen
1. Halber Umfang: 42 : 2 = 21, also Seiten x und 21 − x
2. A(x) = x · (21 − x) = −x² + 21x
3. Nullstellen 0 und 21, der Scheitel liegt dazwischen: x = 21 : 2 = 10,5
4. A = 10,5 · 10,5 = 110,25
Ergebnis:
110,25 m²
●32
Für ein rechteckiges Gemüsebeet gibt es 36 m Zaun, der ganz herum geht. Wie groß kann die Fläche höchstens werden?
Lösung zeigen
1. Halber Umfang: 36 : 2 = 18, also Seiten x und 18 − x
2. A(x) = x · (18 − x) = −x² + 18x
3. Nullstellen 0 und 18, der Scheitel liegt dazwischen: x = 18 : 2 = 9
4. A = 9 · 9 = 81
Ergebnis:
81 m²
★33
Ein rechteckiges Kaninchengehege liegt an einer Hauswand. Für die drei anderen Seiten gibt es 44 m Zaun. Wie groß kann die Fläche höchstens werden?
Lösung zeigen
1. Seiten: x, x und 44 − 2x (die Wand braucht keinen Zaun)
2. A(x) = x · (44 − 2x) = −2x² + 44x
3. Nullstellen 0 und 22, Scheitel in der Mitte: x = 11
4. A = 11 · 22 = 242
Ergebnis:
242 m²

12Ich erkenne Fehler in Umformungen.

EntdeckenFrage

Aus (x − 2)(x − 3) = 2 folgt x = 4 oder x = 5. Warum ist das falsch, obwohl x = 4 passt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nur bei 0 muss ein Faktor selbst 0 sein. Bei 2 gibt es viele Paare von Faktoren. Richtig ist x² − 5x + 4 = 0, also x = 1 oder x = 4. Die Lösung x = 5 ist falsch, denn 3 · 2 = 6.

MerkenFehler finden

Vorzeichen von d, p und q; Wurzel aus negativer Zahl; zweite Lösung vergessen.

BeispielFehler in quadratischen Umformungen finden

Can löst (x − 1)² = 49, zieht die Wurzel und rechnet nur mit x − 1 = 7 weiter. Was fehlt? Gib alle Lösungen an.

Schritt für Schritt

Fehler: Auch x − 1 = −7 erfüllt die Gleichung.
x − 1 = 7, also x = 8
x − 1 = −7, also x = −6

Fehler: Auch x − 1 = −7 erfüllt die Gleichung.
x − 1 = 7, also x = 8
x − 1 = −7, also x = −6

Ergebnis:

x₁ = 8, x₂ = −6

ÜbenJetzt du

○34
Mia löst x² = 36 und schreibt als einzige Lösung x = 6. Was fehlt? Gib alle Lösungen an.
So fängst du an:
Fehler: Beim Wurzelziehen gibt es zwei Zahlen, deren Quadrat gleich ist.
Lösung zeigen
1. Fehler: Beim Wurzelziehen gibt es zwei Zahlen, deren Quadrat gleich ist.
2. 6 · 6 = 36 und (−6) · (−6) = 36
3. x₁ = 6, x₂ = −6
Ergebnis:
x₁ = 6, x₂ = −6
●35
Noah löst x² = 16 und schreibt als einzige Lösung x = 4. Was fehlt? Gib alle Lösungen an.
Lösung zeigen
1. Fehler: Beim Wurzelziehen gibt es zwei Zahlen, deren Quadrat gleich ist.
2. 4 · 4 = 16 und (−4) · (−4) = 16
3. x₁ = 4, x₂ = −4
Ergebnis:
x₁ = 4, x₂ = −4
★36
Emre löst (x − 1)² = 49, zieht die Wurzel und rechnet nur mit x − 1 = 7 weiter. Was fehlt? Gib alle Lösungen an.
Lösung zeigen
1. Fehler: Auch x − 1 = −7 erfüllt die Gleichung.
2. x − 1 = 7, also x = 8
3. x − 1 = −7, also x = −6
Ergebnis:
x₁ = 8, x₂ = −6

13Ich verbinde lineare und quadratische Funktionen.

EntdeckenFrage

An der Ampel fährt ein Auto los, als ein Radfahrer mit 18 km/h vorbeirollt. Wann holt das Auto ihn ein?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beschleunigt das Auto gleichmäßig mit 2 m/s², ist sein Weg t² Meter. Der Radfahrer schafft 5 m je Sekunde, also 5t Meter. Aus t² = 5t folgt t = 0 oder t = 5: nach 5 Sekunden und 25 m.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielSchnittpunkte von Gerade und Parabel

Wo schneiden sich f(x) = x² und g(x) = 8x − 15? Gib die Schnittpunkte an.

Schritt für Schritt

Gleichsetzen: x² = 8x − 15
Alles nach links: x² − 8x + 15 = 0
Faktorisieren: (x − 5) · (x − 3) = 0, also x₁ = 5, x₂ = 3
y-Werte: g(5) = 25, g(3) = 9

Gleichsetzen: x² = 8x − 15
Alles nach links: x² − 8x + 15 = 0
Faktorisieren: (x − 5) · (x − 3) = 0, also x₁ = 5, x₂ = 3
y-Werte: g(5) = 25, g(3) = 9

Ergebnis:

S₁(5 | 25), S₂(3 | 9)

ÜbenJetzt du

○37
Wo schneiden sich f(x) = x² und g(x) = x + −0? Gib die Schnittpunkte an.
So fängst du an:
Gleichsetzen: x² = x + −0
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen: x² = x + −0
2. Alles nach links: x² − x + 0 = 0
3. Faktorisieren: (x − 1) · (x + −0) = 0, also x₁ = 1, x₂ = 0
4. y-Werte: g(1) = 1, g(0) = 0
Ergebnis:
S₁(1 | 1), S₂(0 | 0)
●38
Wo schneiden sich f(x) = x² und g(x) = −2x + 3? Gib die Schnittpunkte an.
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen: x² = −2x + 3
2. Alles nach links: x² + 2x − 3 = 0
3. Faktorisieren: (x − 1) · (x + 3) = 0, also x₁ = 1, x₂ = −3
4. y-Werte: g(1) = 1, g(−3) = 9
Ergebnis:
S₁(1 | 1), S₂(−3 | 9)
★39
Wo schneiden sich f(x) = x² − 3x − 3 und g(x) = −2x − 3? Gib die Schnittpunkte an.
Lösung zeigen
1. Gleichsetzen: f(x) = g(x) und alles nach links bringen
2. x² − x + 0 = 0
3. p-q-Formel oder Faktorisieren: x₁ = 1, x₂ = 0
4. y-Werte: f(1) = −5, f(0) = −3
Ergebnis:
S₁(1 | −5), S₂(0 | −3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●40
Gegeben ist f(x) = (x + 3)² − 1. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform: S(d|e)
2. S(−3|−1); Normalparabel um 3 nach links und 1 nach unten
Ergebnis:
S(−3|−1)
●41
Multipliziere aus: 4(9x + 7)
Lösung zeigen
1. 4 · 9x = 36x
2. 4 · (7) = 28
Ergebnis:
36x + 28
●42
Vereinfache und berechne: 3³ · 3³
Lösung zeigen
1. Gleiche Basis: Exponenten addieren → 3⁶
2. = 729
Ergebnis:
3⁶ = 729
●43
Gib den Scheitelpunkt an: f(x) = (x − 1)² + 4
Lösung zeigen
1. Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
2. S(1 | 4)
Ergebnis:
S(1 | 4)
●44
Löse: x² − 2x = 0
Lösung zeigen
1. p = −2, q = 0
2. −p/2 = 1
3. (p/2)² − q = 1 − 0 = 1
4. √1 = 1
5. x₁ = 1 + 1 = 2
6. x₂ = 1 − 1 = 0
Ergebnis:
x₁ = 0; x₂ = 2
●45
f(x) = −x² + 4. Berechne f(−2).
Lösung zeigen
Ergebnis:
0

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Normalparabel: f(x) = x². Scheitel (0 | 0), achsensymmetrisch zur y-Achse, nach oben geöffnet.
Verschieben: f(x) = (x − d)² + e: Scheitel S(d | e).
Strecken und Spiegeln: f(x) = a · x²: |a| > 1 schmaler, |a| < 1 breiter, a < 0 nach unten geöffnet.
Scheitelpunktform: In f(x) = a(x − d)² + e steht der Scheitel S(d | e) direkt drin.
Quadratische Ergänzung: x² + px + q → (x + p/2)² − (p/2)² + q. Damit von der Normalform zur Scheitelpunktform.
Wurzelziehen: x² = a hat zwei Lösungen ±√a (für a > 0). x² = 0 genau eine, x² < 0 keine.
p-q-Formel: x² + px + q = 0 → x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Vorher durch den Faktor vor x² teilen.
Nullstellen: Nullstellen: f(x) = 0 lösen – die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Schnelle Kontrolle der Lösungen.
Wurf und Bogen: h(x) = −a(x − d)² + e: Der Scheitel ist der höchste Punkt.
Optimieren: Größte Fläche, größter Gewinn: Term aufstellen, Scheitel bestimmen.
Fehler finden: Vorzeichen von d, p und q; Wurzel aus negativer Zahl; zweite Lösung vergessen.
Themen verbinden: In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkenne die Normalparabel und ihre Eigenschaften.
46
Gegeben ist f(x) = (x − 2)² + 3. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(2|3)
Ich verschiebe die Parabel und lese den Scheitel ab.
47
Gib den Scheitelpunkt an: f(x) = (x − 3)² − 4
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(3 | −4)
Ich strecke und spiegle die Parabel.
48
Gegeben ist f(x) = −2x². Berechne f(−5) und beschreibe, wie sich der Graph von der Normalparabel unterscheidet.
Lösung zeigen
Ergebnis:
f(−5) = −50
Ich wandle Scheitelpunktform in Normalform um.
49
Multipliziere aus: 6(7x + 8)
Lösung zeigen
Ergebnis:
42x + 48
Ich bestimme den Scheitel mit quadratischer Ergänzung.
50
Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² + 4x − 8 mit quadratischer Ergänzung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(−2 | −12)
Ich löse quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen.
51
Löse: x² = 49
Lösung zeigen
Ergebnis:
x₁ = 7, x₂ = −7
Ich löse mit der p-q-Formel.
52
Löse: x² + 10x + 24 = 0
Lösung zeigen
Ergebnis:
x₁ = −6; x₂ = −4
Ich bestimme Nullstellen und deute sie.
53
Wo schneidet f(x) = (x − 2) · (x − 6) die x-Achse? Gib die Nullstellen an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x₁ = 6, x₂ = 2
Ich nutze den Satz von Vieta zur Kontrolle.
54
Mia hat x² + 2x − 24 = 0 gelöst und x₁ = −4, x₂ = 6 erhalten. Prüfe durch Einsetzen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Falsch. Richtig sind x₁ = −6 und x₂ = 4.
Ich modelliere Wurf- und Brückenbögen.
55
Ein Ball wird geworfen. Die Höhe in Metern beschreibt h(x) = −0,1(x − 4)² + 1,6, dabei ist x der waagerechte Abstand in Metern. Wie hoch fliegt der Ball höchstens, und an welcher Stelle?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,6 m bei x = 4 m
Ich löse Optimierungsaufgaben.
56
Für ein rechteckiges Gemüsebeet gibt es 78 m Zaun, der ganz herum geht. Wie groß kann die Fläche höchstens werden?
Lösung zeigen
Ergebnis:
380,25 m²
Ich erkenne Fehler in Umformungen.
57
Lara löst x² = 225 und schreibt als einzige Lösung x = 15. Was fehlt? Gib alle Lösungen an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x₁ = 15, x₂ = −15
Ich wiederhole vertiefend.
58
Gegeben ist f(x) = (x − 3)² + 5. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(3|5)
Ich verbinde lineare und quadratische Funktionen.
59
Wo schneiden sich f(x) = x² und g(x) = x + 6? Gib die Schnittpunkte an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S₁(3 | 9), S₂(−2 | 4)
Ich bereite die Abschlussprüfung vor.
60
Gegeben ist f(x) = (x + 4)² − 3. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
Lösung zeigen
Ergebnis:
S(−4|−3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Zeichne die Parabel y = x² − 6x + 5 mit einer Wertetabelle von −2 bis 8. Wo ist der tiefste Punkt?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Scheitelpunktform: Verschieben und Strecken lesen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Flugbahn beim Basketball, Brückenbögen, Satellitenschüssel. Beruf: Ingenieurwesen, Physik, Wirtschaft (Gewinnmaximum).

Wörter

Achsensymmetrisch: links und rechts gleich, wie gespiegelt
Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Nullstelle: wo der Graph die x-Achse trifft
Scheitelpunkt: der höchste oder tiefste Punkt der Parabel
Term: eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Terme mit Klammern und binomische Formeln, Lineare Funktionen, Terme und Gleichungen

Darauf baut auf: Quadratische Gleichungen, Funktionen

Lösungen

S(3|−5)
S(1|5)
x₁ = −4; x₂ = 1
S(−2 | −6)
S(−1 | −5)
S(2 | 6), nach unten
f(4) = −8
f(4) = 8
a = −2
25x + 5
24x + 6
−8x + 14
S(−2 | −6)
S(−4 | −13)
S(2 | 4)
keine Lösung
x₁ = 9, x₂ = −9
x₁ = 0, x₂ = 13
x₁ = −6; x₂ = −1
x₁ = −4; x₂ = 5
x₁ = 3; x₂ = 7
x₁ = 4, x₂ = −5
x₁ = 6, x₂ = −7
10 m
Falsch. Richtig sind x₁ = 6 und x₂ = 8.
Falsch. Richtig sind x₁ = −9 und x₂ = −8.
Falsch. Richtig sind x₁ = −4 und x₂ = −2.
3,2 m bei x = 4 m
20 m bei x = 10 m
10 m
110,25 m²
81 m²
242 m²
x₁ = 6, x₂ = −6
x₁ = 4, x₂ = −4
x₁ = 8, x₂ = −6
S₁(1 | 1), S₂(0 | 0)
S₁(1 | 1), S₂(−3 | 9)
S₁(1 | −5), S₂(0 | −3)
S(−3|−1)
36x + 28
3⁶ = 729
S(1 | 4)
x₁ = 0; x₂ = 2
0
S(2|3)
S(3 | −4)
f(−5) = −50
42x + 48
S(−2 | −12)
x₁ = 7, x₂ = −7
x₁ = −6; x₂ = −4
x₁ = 6, x₂ = 2
Falsch. Richtig sind x₁ = −6 und x₂ = 4.
1,6 m bei x = 4 m
380,25 m²
x₁ = 15, x₂ = −15
S(3|5)
S₁(3 | 9), S₂(−2 | 4)
S(−4|−3)
f(−3) = 5
f(x) = −x + 5