Quadratische Funktionen und Gleichungen
Das lernst du
- Ich erkenne die Normalparabel und ihre Eigenschaften.
- Ich verschiebe die Parabel und lese den Scheitel ab.
- Ich strecke und spiegle die Parabel.
- Ich wandle Scheitelpunktform in Normalform um.
- Ich bestimme den Scheitel mit quadratischer Ergänzung.
- Ich löse quadratische Gleichungen durch Wurzelziehen.
- Ich löse mit der p-q-Formel.
- Ich bestimme Nullstellen und deute sie.
- Ich nutze den Satz von Vieta zur Kontrolle.
- Ich modelliere Wurf- und Brückenbögen.
- Ich löse Optimierungsaufgaben.
- Ich erkenne Fehler in Umformungen.
- Ich wiederhole vertiefend.
- Ich verbinde lineare und quadratische Funktionen.
- Ich bereite die Abschlussprüfung vor.
Merksätze
f(x) = x². Scheitel (0 | 0), achsensymmetrisch zur y-Achse, nach oben geöffnet.
Wertetabelle: 1, 4, 9, 16 …
f(x) = (x − d)² + e: Scheitel S(d | e).
Minus in der Klammer heißt nach rechts, plus dahinter heißt nach oben.
f(x) = a · x²: |a| > 1 schmaler, |a| < 1 breiter, a < 0 nach unten geöffnet.
In f(x) = a(x − d)² + e steht der Scheitel S(d | e) direkt drin.
Vorsicht beim Vorzeichen: (x + 3)² bedeutet d = −3, der Scheitel liegt bei x = −3.
x² + px + q → (x + p/2)² − (p/2)² + q. Damit von der Normalform zur Scheitelpunktform.
x² = a hat zwei Lösungen ±√a (für a > 0). x² = 0 genau eine, x² < 0 keine.
x² + px + q = 0 → x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Vorher durch den Faktor vor x² teilen.
Nullstellen: f(x) = 0 lösen – die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Keine, eine (Scheitel auf der Achse) oder zwei.
x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Schnelle Kontrolle der Lösungen.
h(x) = −a(x − d)² + e: Der Scheitel ist der höchste Punkt.
Nullstellen sind Abwurf und Landung.
Größte Fläche, größter Gewinn: Term aufstellen, Scheitel bestimmen.
Der Scheitel ist das Maximum oder Minimum.
Vorzeichen von d, p und q; Wurzel aus negativer Zahl; zweite Lösung vergessen.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
Eselsbrücken
- Scheitelpunktform y = a(x − d)² + e: „x minus d – der Scheitel liegt bei plus d“ – Das Minus in der Klammer täuscht: S(d | e). a > 0 lacht (Öffnung oben), a < 0 weint.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Gegeben ist f(x) = (x + 4)² − 5. Gib den Scheitelpunkt an und beschreibe die Verschiebung.
- Scheitelpunktform: S(d|e)
- S(−4|−5); Normalparabel um 4 nach links und 5 nach unten
Ergebnis: S(−4|−5)
f(x) = x² − 5. Berechne f(4).
- f(4) = 1 · 16 − 5 = 11
Ergebnis: 11
Gib den Scheitelpunkt an: f(x) = (x + 5)² − 6
- Scheitelpunktform a(x − d)² + e → S(d | e)
- S(−5 | −6)
Ergebnis: S(−5 | −6)
Der Graph zeigt eine verschobene Normalparabel. Lies den Scheitelpunkt ab und gib die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform an.
- Der Scheitel ist der tiefste Punkt: S(−3 | −4).
- Verschoben: 3 nach links, 4 nach unten.
- In der Klammer steht das umgekehrte Vorzeichen: x + 3.
- f(x) = (x + 3)² − 4
Ergebnis: S(−3 | −4), f(x) = (x + 3)² − 4
Wörter
- Achsensymmetrisch
- links und rechts gleich, wie gespiegelt
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
y = (x − 3)²: um 3 nach links
y = (x − 3)²: um 3 nach rechts (Scheitel bei x = 3)
(x − 3)² ist um 3 nach rechts verschoben.
x² − 6x + 8: p/2 = 6, also 3² − 8
p = −6, −p/2 = 3, √(3² − 8) = 1, x = 3 ± 1
(p/2)² − q: erst quadrieren, dann q abziehen.
Wo brauchst du das?
Flugbahn beim Basketball, Brückenbögen, Satellitenschüssel. Beruf: Ingenieurwesen, Physik, Wirtschaft (Gewinnmaximum).
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Funktionen“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- GeoGebra: Graph mit Reglern zeichnen (GeoGebra-Lizenz (Fassung November 2025), kommerziell nur mit Sonderlizenz – nur verlinkt)
- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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