Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 11 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Trigonometrische Funktionen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zeichne den Sinus als Funktion des Winkels von 0 bis 720 Grad. Trag daneben y = x ein – in dasselbe Koordinatensystem.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Auf der x-Achse stehen Grad, auf der y-Achse Zahlen: Die Gerade y = x passt nicht ins Bild, die Einheiten beißen sich. Die Klasse merkt, dass der Winkel eine Zahl werden muss. Das Bogenmaß misst den Winkel als Länge auf dem Einheitskreis: 360 Grad sind 2π. Jetzt ist der Sinus eine Funktion von Zahlen wie jede andere.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Sinus ist ein Verhältnis im rechtwinkligen Dreieck – Gegenkathete zu Hypotenuse.

  1. ●39
    Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. Berechne α.
    Lösung zeigen
    1. cos(α) = 0,882
    2. α = cos⁻¹(0,882) ≈ 28,1°
    Ergebnis:
    ≈ 28,1°
  2. ●40
    Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. Berechne α.
    Lösung zeigen
    1. cos(α) = 0,8
    2. α = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,9°
    Ergebnis:
    ≈ 36,9°

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenSinus als Drehung

Ein Zeiger dreht sich am Einheitskreis, und der Sinus ist seine Höhe: Deshalb schwingt die Kurve, deshalb wiederholt sie sich nach einer vollen Drehung, deshalb liegt sie zwischen −1 und 1.

WeiterdenkenDenk nach

Warum kann sin(x) = 1,5 keine Lösung haben – ohne zu rechnen?

1Ich rechne Winkel zwischen Gradmaß und Bogenmaß um.

EntdeckenFrage

Warum brummt der Strom aus der Steckdose mit 50 Hertz – und was hat das mit einem Kreis zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Kraftwerk dreht sich eine Spule im Magnetfeld, fünfzigmal in der Sekunde. Die Spannung folgt der Höhe des Zeigers: eine Sinuskurve mit Periode 0,02 Sekunden. Jede Drehung ist ein Sinus – auch die Gezeiten, die Tageslänge und der Ton einer Stimmgabel.

Ausprobieren: Sinus am Einheitskreis

Einen Punkt um den Einheitskreis drehen – seine Höhe wird rechts zur Sinuskurve.

MerkenBogenmaß

360° entsprechen 2π – das Bogenmaß ist die Bogenlänge am Einheitskreis.

Bogenmaß = Grad · π : 180.

BeispielGradmaß und Bogenmaß

Wandle um: π/3 ins Gradmaß.
Schritt für Schritt
  1. Gradmaß = π/3 · 180 : π
  2. = 60°
  1. Gradmaß = π/3 · 180 : π
  2. = 60°
Ergebnis:
60°

AchtungGradmaß statt Bogenmaß

So nicht
sin(90) ≈ 0,894 (Rechner im Gradmaß, x als Bogenmaß gemeint)
So richtig
90° = π/2 → sin(π/2) = 1

Bei Funktionen rechnet man im Bogenmaß – den Taschenrechner auf RAD stellen; 90° sind π/2.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Wandle um: 270° ins Bogenmaß, als Vielfaches von π.
    So fängst du an:
    Bogenmaß = 270 · π : 180
    Lösung zeigen
    1. Bogenmaß = 270 · π : 180
    2. = 3π/2 ≈ 4,71
    Ergebnis:
    3π/2 ≈ 4,71
  2. ●2
    Wandle um: 300° ins Bogenmaß, als Vielfaches von π.
    Lösung zeigen
    1. Bogenmaß = 300 · π : 180
    2. = 5π/3 ≈ 5,24
    Ergebnis:
    5π/3 ≈ 5,24
  3. ★3
    Wandle um: 11π/6 ins Gradmaß.
    Lösung zeigen
    1. Gradmaß = 11π/6 · 180 : π
    2. = 330°
    Ergebnis:
    330°

2Ich lese Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab und kenne die Werte besonderer Winkel.

EntdeckenFrage

Warum taucht der Sinus überall dort auf, wo sich etwas im Kreis dreht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil er die Höhe eines Punktes auf dem Einheitskreis angibt. Dreht sich der Punkt gleichmäßig, schwingt seine Höhe auf und ab – aufgezeichnet ergibt das die Sinuskurve.

MerkenEinheitskreis

sin(α) ist die Höhe des Zeigerpunkts am Einheitskreis, cos(α) sein waagerechter Anteil.

BeispielSinus und Kosinus am Einheitskreis

Bestimme am Einheitskreis: cos(45°)
Schritt für Schritt
  1. Zeiger bei 45°: waagerechter Anteil des Punktes
  2. cos(45°) = 0,5 · √2 ≈ 0,71
  1. Zeiger bei 45°: waagerechter Anteil des Punktes
  2. cos(45°) = 0,5 · √2 ≈ 0,71
Ergebnis:
0,5 · √2 ≈ 0,71

AchtungNur eine Lösung gefunden

So nicht
sin(x) = 0,5 → x = π/6
So richtig
sin(x) = 0,5 → x = π/6 oder x = π − π/6 = 5π/6

sin(x) = k hat in [0; 2π] meist zwei Lösungen – die zweite ist π − x₁. Am Einheitskreis nachsehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Bestimme am Einheitskreis: cos(90°)
    So fängst du an:
    Zeiger bei 90°: waagerechter Anteil des Punktes
    Lösung zeigen
    1. Zeiger bei 90°: waagerechter Anteil des Punktes
    2. cos(90°) = 0
    Ergebnis:
    0
  2. ●5
    Bestimme am Einheitskreis: sin(0°)
    Lösung zeigen
    1. Zeiger bei 0°: Höhe des Punktes
    2. sin(0°) = 0
    Ergebnis:
    0
  3. ★6
    Für welche Winkel zwischen 0° und 360° gilt sin(α) = −1?
    Lösung zeigen
    1. Höhe −1 am Einheitskreis: der Zeiger trifft die Höhe einmal
    2. α = 270°
    Ergebnis:
    270°

3Ich zeichne die Sinusfunktion und beschreibe Periode, Amplitude und Nullstellen.

EntdeckenFrage

Warum klingt ein Ton höher, wenn seine Kurve enger liegt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil dann mehr Schwingungen in dieselbe Sekunde passen. Der Kammerton a hat 440 Schwingungen je Sekunde, eine Oktave höher sind es genau doppelt so viele.

MerkenSinusfunktion

Die Sinuskurve schwingt zwischen −1 und 1 und wiederholt sich nach 2π. Hochpunkt bei π/2.

BeispielNullstellen und Hochpunkte der Sinusfunktion

f(x) = 3 · sin(2x). Bestimme alle Nullstellen im Intervall [0; 2π].
246−4−2240
Schritt für Schritt
  1. sin(2x) = 0 → 2x = 0, π, 2π, 3π, 4π
  2. x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π
  1. sin(2x) = 0 → 2x = 0, π, 2π, 3π, 4π
  2. x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π
Ergebnis:
0; π/2; π; 3π/2; 2π

AchtungPeriode und b verwechselt

So nicht
f(x) = sin(2x): Periode = 2
So richtig
Periode = 2π : 2 = π

b ist nicht die Periode: Periode = 2π : b. Bei sin(2x) ist die Periode π, nicht 2.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    f(x) = 2 · sin(2x). Bestimme alle Nullstellen im Intervall [0; 2π].
    So fängst du an:
    sin(2x) = 0 → 2x = 0, π, 2π, 3π, 4π
    Lösung zeigen
    1. sin(2x) = 0 → 2x = 0, π, 2π, 3π, 4π
    2. x = 0; π/2; π; 3π/2; 2π
    Ergebnis:
    0; π/2; π; 3π/2; 2π
  2. ●8
    f(x) = 2 · sin(x). Bestimme alle Nullstellen im Intervall [0; 2π].
    Lösung zeigen
    1. sin(x) = 0 → x = 0, π, 2π
    2. x = 0; π; 2π
    Ergebnis:
    0; π; 2π
  3. ★9
    f(x) = 2 · sin(2x). Bestimme alle Hochpunkte im Intervall [0; 2π].
    Lösung zeigen
    1. Hochpunkt, wo sin(2x) = 1: 2x = π/2 und 5π/2
    2. H₁(π/4 | 2), H₂(5π/4 | 2)
    Ergebnis:
    H₁(π/4 | 2); H₂(5π/4 | 2)

4Ich bestimme Amplitude und Periode aus f(x) = a · sin(b · x).

EntdeckenFrage

Warum kann eine Welle flacher sein als eine andere und trotzdem gleich lang?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Höhe und Länge zwei verschiedene Kennwerte sind: die Amplitude und die Periode. Die eine dehnt die Kurve nach oben, die andere in die Breite.

MerkenAmplitude und Periode

Bei f(x) = a · sin(b · x) ist a die Amplitude und 2π : b die Periode.

BeispielAmplitude und Periode

f(x) = 0,5 · sin(x). Bestimme Amplitude und Periode.
246−220
Schritt für Schritt
  1. Amplitude = 0,5 (der Faktor vor dem Sinus)
  2. Periode = 2π : 1 = 2π
  1. Amplitude = 0,5 (der Faktor vor dem Sinus)
  2. Periode = 2π : 1 = 2π
Ergebnis:
Amplitude 0,5; Periode 2π

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    f(x) = 3 · sin(2 · x). Bestimme Amplitude und Periode.
    So fängst du an:
    Amplitude = 3 (der Faktor vor dem Sinus)
    Lösung zeigen
    1. Amplitude = 3 (der Faktor vor dem Sinus)
    2. Periode = 2π : 2 = π
    Ergebnis:
    Amplitude 3; Periode π
  2. ●11
    f(x) = 3 · sin(3 · x). Bestimme Amplitude und Periode.
    Lösung zeigen
    1. Amplitude = 3 (der Faktor vor dem Sinus)
    2. Periode = 2π : 3 = 2π/3
    Ergebnis:
    Amplitude 3; Periode 2π/3
  3. ★12
    f(x) = 3 · sin(4 · x). Bestimme Amplitude, Periode und Wertebereich.
    Lösung zeigen
    1. Amplitude 3, Periode 2π : 4 = π/2
    2. Wertebereich: von −3 bis 3
    Ergebnis:
    Amplitude 3; Periode π/2; Wertebereich [−3; 3]

5Ich verschiebe die Sinusfunktion und stelle f(x) = a · sin(b · (x − c)) + d aus Kennwerten auf.

EntdeckenFrage

Warum ist der längste Tag des Jahres nicht der wärmste?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Land und Wasser sich langsam aufheizen. Die Temperaturkurve läuft der Sonnenkurve rund einen Monat hinterher – in der Funktionsgleichung ist das eine Verschiebung nach rechts.

MerkenVerschieben

In a · sin(b · (x − c)) + d schiebt c nach rechts und d nach oben; Mittellinie y = d.

BeispielSinusfunktion aus Kennwerten aufstellen

Eine Sinusfunktion hat die Amplitude 0,5 und die Periode 4π. Bestimme den Funktionsterm.
246−220
Schritt für Schritt
  1. b = 2π : Periode = 2π : 4π = 0,5
  2. f(x) = 0,5 · sin(0,5x)
  1. b = 2π : Periode = 2π : 4π = 0,5
  2. f(x) = 0,5 · sin(0,5x)
Ergebnis:
f(x) = 0,5 · sin(0,5x)

AchtungVerschiebung mit falschem Vorzeichen

So nicht
um π/2 nach rechts: f(x) = sin(x + π/2)
So richtig
nach rechts: f(x) = sin(x − π/2)

(x − c) schiebt nach RECHTS. Wer nach rechts will, schreibt minus in die Klammer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Eine Sinusfunktion hat die Amplitude 2 und die Periode 2π. Bestimme den Funktionsterm.
    So fängst du an:
    b = 2π : Periode = 2π : 2π = 1
    Lösung zeigen
    1. b = 2π : Periode = 2π : 2π = 1
    2. f(x) = 2 · sin(x)
    Ergebnis:
    f(x) = 2 · sin(x)
  2. ●14
    Eine Sinusfunktion hat die Amplitude 3 und die Periode 4π. Bestimme den Funktionsterm.
    Lösung zeigen
    1. b = 2π : Periode = 2π : 4π = 0,5
    2. f(x) = 3 · sin(0,5x)
    Ergebnis:
    f(x) = 3 · sin(0,5x)
  3. ★15
    Eine Sinusfunktion hat die Amplitude 0,5, die Periode 4π, ist um π nach rechts und um 1 nach oben verschoben. Bestimme den Term.
    Lösung zeigen
    1. b = 2π : 4π = 0,5
    2. Verschiebung nach rechts: (x − π) in der Klammer; nach oben: + 1 dahinter
    3. f(x) = 0,5 · sin(0,5 · (x − π)) + 1
    Ergebnis:
    f(x) = 0,5 · sin(0,5 · (x − π)) + 1

6Ich beschreibe einen periodischen Vorgang mit einer Sinusfunktion (Tageslänge, Gezeiten).

EntdeckenFrage

Um 6 Uhr war an der Nordsee Hochwasser. Wann kommt das nächste – und wann das übernächste?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Gezeiten wiederholen sich an der Nordsee rund alle 12 Stunden und 25 Minuten. Das nächste Hochwasser kommt also gegen 18:25 Uhr, das übernächste gegen 6:50 Uhr am nächsten Morgen. Im Modell h(t) = a · sin(b · (t − c)) + d ist b = 2π : 12,42 ≈ 0,51 pro Stunde.

MerkenModellieren

Amplitude = halbe Spanne, Mittelwert = halbe Summe von Maximum und Minimum; Periode aus dem Vorgang.

BeispielSinusfunktion als Modell (Tageslänge)

Die Tageslänge in Stunden wird beschrieben durch T(t) = 4 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12, t in Tagen seit Jahresbeginn. Berechne T(80) – das ist der 20. März.
Schritt für Schritt
  1. 2π/365 · (80 − 80) = 0 → sin = 0
  2. T(80) = 4 · 0 + 12 = 12
  1. 2π/365 · (80 − 80) = 0 → sin = 0
  2. T(80) = 4 · 0 + 12 = 12
Ergebnis:
12 Stunden

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Tageslänge in Stunden wird beschrieben durch T(t) = 4 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12, t in Tagen seit Jahresbeginn. Berechne T(171) – das ist der 20. Juni.
    So fängst du an:
    2π/365 · (171 − 80) = π/2 → sin = 1
    Lösung zeigen
    1. 2π/365 · (171 − 80) = π/2 → sin = 1
    2. T(171) = 4 · 1 + 12 = 16
    Ergebnis:
    16 Stunden
  2. ●17
    Die Tageslänge in Stunden wird beschrieben durch T(t) = 4 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12, t in Tagen seit Jahresbeginn. Berechne T(355) – das ist der 21. Dezember.
    Lösung zeigen
    1. 2π/365 · (355 − 80) = 3π/2 → sin = −1
    2. T(355) = 4 · −1 + 12 = 8
    Ergebnis:
    8 Stunden
  3. ★18
    Der längste Tag hat 16,5 Stunden (20. Juni, Tag 171), der kürzeste 7,5 Stunden (21. Dezember, Tag 355); am 20. März (Tag 80) sind Tag und Nacht gleich lang. Bestimme eine Sinusfunktion für die Tageslänge T(t), t in Tagen seit Jahresbeginn.
    Lösung zeigen
    1. Amplitude a = (16,5 − 7,5) : 2 = 4,5; Mittelwert d = (16,5 + 7,5) : 2 = 12
    2. Periode 365 Tage → b = 2π/365; Nulldurchgang aufwärts bei t = 80 → c = 80
    3. T(t) = 4,5 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12
    Ergebnis:
    T(t) = 4,5 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12

7Ich löse Gleichungen mit Sinus im Bogenmaß und nenne alle Lösungen einer Periode.

EntdeckenFrage

An welchen Tagen des Jahres dauert der Tag in Berlin genau 14 Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Modell ist L(t) = 4,55 · sin(2π : 365 · (t − 80)) + 12,25 mit t als Tag des Jahres. Aus L(t) = 14 folgt sin(…) = 0,385. Das liefert 0,395 und π − 0,395 im Bogenmaß. Das sind die Tage 103 und 240, also etwa der 13. April und der 28. August.

MerkenGleichungen mit Sinus

sin(x) = k hat je Periode meist zwei Lösungen: x₁ vom Rechner, x₂ = π − x₁.

BeispielGleichungen mit Sinus lösen

Löse im Intervall [0; 2π]: sin(x) = 1
246−220
Schritt für Schritt
  1. Erste Lösung am Einheitskreis: x₁ = π/2
  2. Alle Lösungen in einer Periode: x = π/2
  1. Erste Lösung am Einheitskreis: x₁ = π/2
  2. Alle Lösungen in einer Periode: x = π/2
Ergebnis:
x = π/2

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Löse im Intervall [0; 2π]: sin(x) = −1
    So fängst du an:
    Erste Lösung am Einheitskreis: x₁ = 3π/2
    Lösung zeigen
    1. Erste Lösung am Einheitskreis: x₁ = 3π/2
    2. Alle Lösungen in einer Periode: x = 3π/2
    Ergebnis:
    x = 3π/2
  2. ●20
    Löse im Intervall [0; 2π]: sin(x) = 0,5 · √2
    Lösung zeigen
    1. Erste Lösung am Einheitskreis: x₁ = π/4
    2. Alle Lösungen in einer Periode: x = π/4; 3π/4
    Ergebnis:
    x = π/4; 3π/4
  3. ★21
    Löse im Intervall [0; 2π]: 2 · sin(x) − 1 = 0
    Lösung zeigen
    1. Nach dem Sinus auflösen
    2. x = π/6; 5π/6
    Ergebnis:
    x = π/6; 5π/6

8Ich leite Sinus und Kosinus ab und deute die Ableitung als Änderungsrate.

EntdeckenFrage

Warum werden die Tage im März jeden Tag um Minuten länger, im Juni aber kaum noch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Tageslänge ist etwa L(t) = 4,55 · sin(b · (t − 80)) + 12,25 mit b = 2π : 365. Dann ist L′(t) = 4,55 · b · cos(b · (t − 80)). Um den 21. März ist der Kosinus 1: knapp 5 Minuten mehr Tag pro Tag. Um den 21. Juni ist er fast 0, die Tageslänge ändert sich kaum.

MerkenAbleitung von Sinus und Kosinus

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x; mit innerer Funktion: (sin(bx))' = b · cos(bx).

BeispielSinus und Kosinus ableiten

Berechne die Ableitung: f(x) = 5 · cos(2x)
246−6−4−22460
Schritt für Schritt
  1. (cos(2x))' = −sin(2x) · 2 (innere Ableitung)
  2. f'(x) = −10 · sin(2x)
  1. (cos(2x))' = −sin(2x) · 2 (innere Ableitung)
  2. f'(x) = −10 · sin(2x)
Ergebnis:
f'(x) = −10 · sin(2x)

AchtungKosinus ohne Minus abgeleitet

So nicht
(cos x)' = sin x
So richtig
(cos x)' = −sin x; (sin x)' = cos x

(cos x)' = −sin x. Das Minus kommt, weil der Kosinus zwischen 0 und π fällt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Berechne die Ableitung: f(x) = 2 · cos(2x)
    So fängst du an:
    (cos(2x))' = −sin(2x) · 2 (innere Ableitung)
    Lösung zeigen
    1. (cos(2x))' = −sin(2x) · 2 (innere Ableitung)
    2. f'(x) = −4 · sin(2x)
    Ergebnis:
    f'(x) = −4 · sin(2x)
  2. ●23
    Berechne die Ableitung: f(x) = 3 · cos(x)
    Lösung zeigen
    1. (cos(x))' = −sin(x) · 1 (innere Ableitung)
    2. f'(x) = −3 · sin(x)
    Ergebnis:
    f'(x) = −3 · sin(x)
  3. ★24
    f(x) = 2 · cos(x). Bestimme die Steigung des Graphen an der Stelle x = 0.
    Lösung zeigen
    1. f'(x) = −2 · sin(x)
    2. f'(0) = −2 · sin(0) = 0
    Ergebnis:
    f'(0) = 0

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Wandle um: 150° ins Bogenmaß, als Vielfaches von π.
    Lösung zeigen
    1. Bogenmaß = 150 · π : 180
    2. = 5π/6 ≈ 2,62
    Ergebnis:
    5π/6 ≈ 2,62
  2. ●26
    Ist cos(250°) positiv oder negativ? Begründe am Einheitskreis.
    Lösung zeigen
    1. 250° liegt im 3. Quadranten
    2. waagerechter Anteil dort: negativ
    Ergebnis:
    negativ
  3. ●27
    f(x) = 3 · sin(x). Bestimme Amplitude und Periode.
    Lösung zeigen
    1. Amplitude = 3 (der Faktor vor dem Sinus)
    2. Periode = 2π : 1 = 2π
    Ergebnis:
    Amplitude 3; Periode 2π
  4. ●28
    Eine Sinusfunktion hat die Amplitude 3 und die Periode π. Bestimme den Funktionsterm.
    Lösung zeigen
    1. b = 2π : Periode = 2π : π = 2
    2. f(x) = 3 · sin(2x)
    Ergebnis:
    f(x) = 3 · sin(2x)
  5. ●29
    Die Tageslänge in Stunden wird beschrieben durch T(t) = 4,5 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12, t in Tagen seit Jahresbeginn. Berechne T(262) – das ist der 19. September.
    Lösung zeigen
    1. 2π/365 · (262 − 80) = π → sin = 0
    2. T(262) = 4,5 · 0 + 12 = 12
    Ergebnis:
    12 Stunden
  6. ●30
    Berechne die Ableitung: f(x) = 3 · cos(2x)
    Lösung zeigen
    1. (cos(2x))' = −sin(2x) · 2 (innere Ableitung)
    2. f'(x) = −6 · sin(2x)
    Ergebnis:
    f'(x) = −6 · sin(2x)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bogenmaß
360° entsprechen 2π – das Bogenmaß ist die Bogenlänge am Einheitskreis.
Einheitskreis
sin(α) ist die Höhe des Zeigerpunkts am Einheitskreis, cos(α) sein waagerechter Anteil.
Sinusfunktion
Die Sinuskurve schwingt zwischen −1 und 1 und wiederholt sich nach 2π. Hochpunkt bei π/2.
Amplitude und Periode
Bei f(x) = a · sin(b · x) ist a die Amplitude und 2π : b die Periode.
Verschieben
In a · sin(b · (x − c)) + d schiebt c nach rechts und d nach oben; Mittellinie y = d.
Modellieren
Amplitude = halbe Spanne, Mittelwert = halbe Summe von Maximum und Minimum; Periode aus dem Vorgang.
Gleichungen mit Sinus
sin(x) = k hat je Periode meist zwei Lösungen: x₁ vom Rechner, x₂ = π − x₁.
Ableitung von Sinus und Kosinus
(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x; mit innerer Funktion: (sin(bx))' = b · cos(bx).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Winkel zwischen Gradmaß und Bogenmaß um.

    31
    Wandle um: π/4 ins Gradmaß.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45°

  2. Ich lese Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab und kenne die Werte besonderer Winkel.

    32
    Bestimme am Einheitskreis: cos(120°)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    −0,5

  3. Ich zeichne die Sinusfunktion und beschreibe Periode, Amplitude und Nullstellen.

    33
    f(x) = sin(2x). Bestimme alle Nullstellen im Intervall [0; 2π].
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0; π/2; π; 3π/2; 2π

  4. Ich bestimme Amplitude und Periode aus f(x) = a · sin(b · x).

    34
    f(x) = 3 · sin(x). Bestimme Amplitude und Periode.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Amplitude 3; Periode 2π

  5. Ich verschiebe die Sinusfunktion und stelle f(x) = a · sin(b · (x − c)) + d aus Kennwerten auf.

    35
    Eine Sinusfunktion hat die Amplitude 3 und die Periode 4π. Bestimme den Funktionsterm.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    f(x) = 3 · sin(0,5x)

  6. Ich beschreibe einen periodischen Vorgang mit einer Sinusfunktion (Tageslänge, Gezeiten).

    36
    Die Tageslänge in Stunden wird beschrieben durch T(t) = 4 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12, t in Tagen seit Jahresbeginn. Berechne T(262) – das ist der 19. September.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Stunden

  7. Ich löse Gleichungen mit Sinus im Bogenmaß und nenne alle Lösungen einer Periode.

    37
    Löse im Intervall [0; 2π]: sin(x) = 1
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = π/2

  8. Ich leite Sinus und Kosinus ab und deute die Ableitung als Änderungsrate.

    38
    Berechne die Ableitung: f(x) = 2 · sin(x)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    f'(x) = 2 · cos(x)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Zeichne den Sinus als Funktion des Winkels von 0 bis 720 Grad. Trag daneben y = x ein – in dasselbe Koordinatensystem.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Das Bogenmaß und die Sinusfunktion als Funktion der reellen Zahlen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Ebbe und Flut, Tageslänge im Jahr, Töne und Lautstärke. Beruf: Tontechnik, Elektrotechnik, Meteorologie.

Wörter

Ableitung
wie schnell sich etwas an einer Stelle ändert
Anteil
wie viel von einem Ganzen
Funktion
eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Nullstelle
wo der Graph die x-Achse trifft
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Trigonometrie, Funktionen, Kreis und Zylinder

Lösungen

  1. 3π/2 ≈ 4,71
  2. 5π/3 ≈ 5,24
  3. 330°
  4. 0
  5. 0
  6. 270°
  7. 0; π/2; π; 3π/2; 2π
  8. 0; π; 2π
  9. H₁(π/4 | 2); H₂(5π/4 | 2)
  10. Amplitude 3; Periode π
  11. Amplitude 3; Periode 2π/3
  12. Amplitude 3; Periode π/2; Wertebereich [−3; 3]
  13. f(x) = 2 · sin(x)
  14. f(x) = 3 · sin(0,5x)
  15. f(x) = 0,5 · sin(0,5 · (x − π)) + 1
  16. 16 Stunden
  17. 8 Stunden
  18. T(t) = 4,5 · sin(2π/365 · (t − 80)) + 12
  19. x = 3π/2
  20. x = π/4; 3π/4
  21. x = π/6; 5π/6
  22. f'(x) = −4 · sin(2x)
  23. f'(x) = −3 · sin(x)
  24. f'(0) = 0
  25. 5π/6 ≈ 2,62
  26. negativ
  27. Amplitude 3; Periode 2π
  28. f(x) = 3 · sin(2x)
  29. 12 Stunden
  30. f'(x) = −6 · sin(2x)
  31. 45°
  32. −0,5
  33. 0; π/2; π; 3π/2; 2π
  34. Amplitude 3; Periode 2π
  35. f(x) = 3 · sin(0,5x)
  36. 12 Stunden
  37. x = π/2
  38. f'(x) = 2 · cos(x)
  39. ≈ 28,1°
  40. ≈ 36,9°