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Mathematik · Klasse 9 und 10 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Ähnlichkeit und Strahlensätze

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zeichne diese Figur doppelt so groß – frei Hand, ohne Raster. Leg beide übereinander.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die freie Zeichnung ist verzerrt: eine Seite doppelt, die andere anderthalbfach, die Winkel verschoben. Die Klasse merkt, dass „doppelt so groß“ eine genaue Regel braucht. Von einem Punkt aus jede Strecke verdoppeln – dann stimmen alle Seiten und alle Winkel. Das ist die zentrische Streckung, und die Strahlensätze rechnen damit.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form: Alle Seiten sind mit demselben Faktor gestreckt.

  1. ●32
    Die Zuordnung ist proportional.
    x3612
    y61224
    Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
    Lösung zeigen
    1. x36129
      y61224? 18
      y : x2222

      y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 2.

    2. y(9) = 2 · 9 = 18
    Ergebnis:
    k = 2; y = 18
  2. ●33
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis1,50 €3,00 €7,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
    2. Lücke: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis1,50 €3,00 €7,50 €? 15,00 €
      y : x1,501,501,501,50

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,50 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 10 · 1,50 €.

    Ergebnis:
    15,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenGleiche Form, andere Größe

Ähnlich heißt: dieselbe Form, alle Längen mit demselben Faktor gestreckt. Die Winkel bleiben gleich, die Verhältnisse der Seiten auch.

Strahlensatzfigur: Zwei parallele Strecken, die zweite doppelt so weit vom Scheitel und doppelt so lang3 cm+ 3 cm2 cm4 cmDoppelt so weit: doppelt so hoch

WeiterdenkenDenk nach

Ein Foto wird auf 150 % vergrößert. Was passiert mit den Winkeln?

1Ich erkenne ähnliche Figuren und bestimme den Vergrößerungsfaktor.

EntdeckenFrage

Wie hat Thales die Höhe der Cheops-Pyramide mit einem Stock gemessen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er wartete, bis sein eigener Schatten so lang war wie er selbst – dann war der Schatten der Pyramide so lang wie ihre Höhe. Gleiche Winkel, gleiche Verhältnisse: der Strahlensatz.

MerkenÄhnlich

Ähnliche Figuren haben gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse.

Der Vergrößerungsfaktor k = neue Länge : alte Länge.

Eselsbrücke: Strahlensatz: „Kurz zu kurz wie lang zu lang“ – Verhältnisse auf beiden Strahlen gleich

BeispielÄhnliche Figuren: Vergrößerungsfaktor

Zwei Dreiecke sind ähnlich. Die Seite 4 cm entspricht 8 cm. Wie lang ist die Seite, die 7 cm entspricht?
ZAA'BB'447?
Schritt für Schritt
  1. Faktor k = 8 : 4 = 2
  2. 7 · 2 = 14
  1. Faktor k = 8 : 4 = 2
  2. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14 cm

AchtungVerhältnis falsch aufgestellt

So nicht
ZA : AB = ZC : CD
So richtig
ZA : ZB = ZC : ZD  (immer von Z aus messen)

Immer vom Zentrum Z aus messen: kurz zu lang auf beiden Strahlen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zwei Dreiecke sind ähnlich. Die Seite 2 cm entspricht 10 cm. Wie lang ist die Seite, die 9 cm entspricht?
    So fängst du an:
    Faktor k = 10 : 2 = 5
    Lösung zeigen
    1. Faktor k = 10 : 2 = 5
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45 cm
  2. ●2
    Zwei Dreiecke sind ähnlich. Die Seite 8 cm entspricht 24 cm. Wie lang ist die Seite, die 3 cm entspricht?
    Lösung zeigen
    1. Faktor k = 24 : 8 = 3
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 cm
  3. ★3
    Ein Foto 6 cm × 7 cm wird mit dem Faktor 1,5 vergrößert. Wie groß ist das neue Bild – und um welchen Faktor wächst die Fläche? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Seiten: 6 · 1,5 = 9 cm und 7 · 1,5 = 10,5 cm
    2. Fläche: 9 · 10,5 = 94,5 cm² gegen 42 cm²
    3. Flächenfaktor = k · k = 2,25
    Ergebnis:
    9 cm × 10,5 cm; Fläche mal 2,25

2Ich wende den ersten Strahlensatz an.

EntdeckenFrage

Warum wird dein Schatten abends länger, obwohl du gleich groß bleibst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Sonne flacher steht. Deine Größe und dein Schatten stehen dabei im selben Verhältnis wie bei jedem Gegenstand daneben – auf dieser Gleichheit beruhen die Strahlensätze.

MerkenErster Strahlensatz

Zwei Strahlen, zwei Parallelen: ZA : ZA' = ZB : ZB'.

Die Abschnitte auf den Strahlen verhalten sich gleich.

BeispielStrahlensatz

Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 3 cm, ZA' = 9 cm. Auf dem zweiten: ZB = 8 cm. Berechne die Länge von ZB'.
ZAA'BB'368?
Schritt für Schritt
  1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
  2. Faktor: 9 : 3 = 3
  3. ZB' = 8 · 3 = 24 cm
  1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
  2. Faktor: 9 : 3 = 3
  3. ZB' = 8 · 3 = 24 cm
Ergebnis:
24 cm

AchtungNoch einmal: Verhältnis falsch aufgestellt

So nicht
ZA : AB = ZC : CD
So richtig
ZA : ZB = ZC : ZD  (immer von Z aus messen)

Immer vom Zentrum Z aus messen: kurz zu lang auf beiden Strahlen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 5 cm, ZA' = 15 cm. Auf dem zweiten: ZB = 8 cm. Berechne die Länge von ZB'.
    So fängst du an:
    Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
    Lösung zeigen
    1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
    2. Faktor: 15 : 5 = 3
    3. ZB' = 8 · 3 = 24 cm
    Ergebnis:
    24 cm
  2. ●5
    Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 4 cm, ZA' = 12 cm. Auf dem zweiten: ZB = 6 cm. Berechne die Länge von ZB'.
    Lösung zeigen
    1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
    2. Faktor: 12 : 4 = 3
    3. ZB' = 6 · 3 = 18 cm
    Ergebnis:
    18 cm
  3. ★6
    Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 2 cm, ZA' = 3 cm. Auf dem zweiten: ZB = 5 cm. Berechne die Länge von ZB'.
    Lösung zeigen
    1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
    2. Faktor: 3 : 2 = 1,5
    3. ZB' = 5 · 1,5 = 7,5 cm
    Ergebnis:
    7,5 cm

3Ich wende den zweiten Strahlensatz an.

EntdeckenFrage

Warum wird das Bild größer, wenn der Beamer weiter weg steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil Licht sich geradlinig ausbreitet. Doppelter Abstand heißt doppelt so breites Bild und vierfache Fläche – deshalb wird ein weit entferntes Bild auch deutlich dunkler.

MerkenZweiter Strahlensatz

Die Parallelstrecken verhalten sich wie die Abschnitte vom Zentrum: AB : A'B' = ZA : ZA'.

BeispielZweiter Strahlensatz

Zwei Strahlen mit dem Scheitel Z werden von den parallelen Geraden AB und A'B' geschnitten. ZA = 3 cm, ZA' = 4,5 cm, AB = 3 cm. Berechne A'B'.
ZAA'BB'33?ZA' = 4,5
Schritt für Schritt
  1. Zweiter Strahlensatz: A'B' : AB = ZA' : ZA
  2. Faktor: 4,5 : 3 = 1,5
  3. A'B' = 3 · 1,5 = 4,5
  1. Zweiter Strahlensatz: A'B' : AB = ZA' : ZA
  2. Faktor: 4,5 : 3 = 1,5
  3. A'B' = 3 · 1,5 = 4,5
Ergebnis:
4,5 cm

AchtungVerhältnis im Strahlensatz umgedreht

So nicht
ZA = 2, ZA' = 4, AB = 3 → A'B' = 1,5
So richtig
ZA = 2, ZA' = 4, AB = 3 → A'B' = 3 · 4 : 2 = 6

Schreib die längeren Strecken oben, die kürzeren unten – auf beiden Seiten gleich.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zwei Strahlen mit dem Scheitel Z werden von den parallelen Geraden AB und A'B' geschnitten. ZA = 6 cm, ZA' = 15 cm, AB = 2 cm. Berechne A'B'.
    ZAA'BB'62?ZA' = 15
    So fängst du an:
    Zweiter Strahlensatz: A'B' : AB = ZA' : ZA
    Lösung zeigen
    1. Zweiter Strahlensatz: A'B' : AB = ZA' : ZA
    2. Faktor: 15 : 6 = 2,5
    3. A'B' = 2 · 2,5 = 5
    Ergebnis:
    5 cm
  2. ●8
    Zwei Strahlen mit dem Scheitel Z werden von den parallelen Geraden AB und A'B' geschnitten. ZA = 9 cm, ZA' = 27 cm, AB = 5 cm. Berechne A'B'.
    ZAA'BB'95?ZA' = 27
    Lösung zeigen
    1. Zweiter Strahlensatz: A'B' : AB = ZA' : ZA
    2. Faktor: 27 : 9 = 3
    3. A'B' = 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 cm
  3. ★9
    Zwei Strahlen mit dem Scheitel Z werden von den parallelen Geraden AB und A'B' geschnitten. ZA = 2 cm, AA' = 1 cm, A'B' = 10,5 cm. Berechne AB.
    ZAA'BB'21?10,5
    Lösung zeigen
    1. Erst die ganze Strecke vom Scheitel: ZA' = 2 + 1 = 3
    2. Zweiter Strahlensatz: AB : A'B' = ZA : ZA'
    3. AB = 10,5 · 2 : 3 = 7
    Ergebnis:
    7 cm

4Ich bestimme Höhen über Schatten und Peilung.

EntdeckenFrage

Wie misst man die Breite eines Flusses, ohne ihn zu überqueren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man peilt einen Punkt am anderen Ufer über zwei Punkte am eigenen an. So entstehen zwei ähnliche Dreiecke, und aus drei messbaren Strecken folgt die vierte.

MerkenHöhen bestimmen

Schatten: Stab und Baum bilden ähnliche Dreiecke. Höhe : Schatten ist bei beiden gleich.

BeispielHöhe über Schatten bestimmen

Ein 1,5 m langer Stab wirft einen 0,75 m langen Schatten. Ein Baum wirft zur selben Zeit 12 m Schatten. Berechne, wie hoch der Baum ist.
1,5 m0,75 m12 m?
Schritt für Schritt
  1. Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist gleich
  2. 1,5 : 0,75 = 2
  3. Baum: 2 · 12 = 24 m
  1. Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist gleich
  2. 1,5 : 0,75 = 2
  3. Baum: 2 · 12 = 24 m
Ergebnis:
24 m

AchtungVerhältnis beim Strahlensatz falsch herum

So nicht
Stab 2 m, Schatten 1 m, Baumschatten 9 m → 4,5 m
So richtig
Stab 2 m, Schatten 1 m, Baumschatten 9 m → 18 m

Schreibe die Werte in eine Tabelle: oben die Höhen, unten die Schatten. Dann rechne in jeder Spalte gleich.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ein 2 m langer Stab wirft einen 0,75 m langen Schatten. Ein Baum wirft zur selben Zeit 12 m Schatten. Berechne, wie hoch der Baum ist.
    So fängst du an:
    Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist gleich
    Lösung zeigen
    1. Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist gleich
    2. 2 : 0,75 = 2,667
    3. Baum: 2,667 · 12 = 32 m
    Ergebnis:
    32 m
  2. ●11
    Ein 2 m langer Stab wirft einen 0,75 m langen Schatten. Ein Baum wirft zur selben Zeit 6 m Schatten. Berechne, wie hoch der Baum ist.
    Lösung zeigen
    1. Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist gleich
    2. 2 : 0,75 = 2,667
    3. Baum: 2,667 · 6 = 16 m
    Ergebnis:
    16 m
  3. ★12
    Ein 1,5 m langer Stab wirft einen 1,2 m langen Schatten. Ein Baum wirft zur selben Zeit 15 m Schatten. Berechne, wie hoch der Baum ist.
    Lösung zeigen
    1. Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist gleich
    2. 1,5 : 1,2 = 1,25
    3. Baum: 1,25 · 15 = 18,75 m
    Ergebnis:
    18,75 m

5Ich rechne mit Maßstäben.

EntdeckenFrage

Was bedeutet „1 zu 25.000“ auf einer Wanderkarte für einen Zentimeter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

250 Meter. Jede Strecke auf der Karte ist 25.000-mal kleiner als in Wirklichkeit; ein Zentimeter steht für 25.000 Zentimeter.

MerkenMaßstab

1 : 25 000 heißt: 1 cm auf der Karte sind 25 000 cm = 250 m in Wirklichkeit.

BeispielMaßstab

Auf einer Karte im Maßstab 1 : 1000 sind zwei Orte 4 cm entfernt. Berechne, wie weit sie in Wirklichkeit entfernt sind.
Karte: 4 cmMaßstab 1 : 1000Wirklichkeit: ?
Schritt für Schritt
  1. 4 cm · 1000 = 4000 cm
  2. umrechnen: 4000 cm : 100 = 40 m
  1. 4 cm · 1000 = 4000 cm
  2. umrechnen: 4000 cm : 100 = 40 m
Ergebnis:
40 m

AchtungMaßstab-Einheit

So nicht
Maßstab 1 : 25 000, 4 cm → 100 000 cm = 1000 km
So richtig
100 000 cm = 1000 m = 1 km

Erst in cm rechnen, dann in m oder km umwandeln.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einer Karte im Maßstab 1 : 100 sind zwei Orte 4 cm entfernt. Berechne, wie weit sie in Wirklichkeit entfernt sind.
    So fängst du an:
    4 cm · 100 = 400 cm
    Lösung zeigen
    1. 4 cm · 100 = 400 cm
    2. umrechnen: 400 cm : 100 = 4 m
    Ergebnis:
    4 m
  2. ●14
    Auf einer Karte im Maßstab 1 : 50.000 sind zwei Orte 3,5 cm entfernt. Berechne, wie weit sie in Wirklichkeit entfernt sind.
    Lösung zeigen
    1. 3,5 cm · 50.000 = 175.000 cm
    2. umrechnen: 175.000 cm : 100.000 = 1,75 km
    Ergebnis:
    1,75 km
  3. ★15
    Auf einer Karte im Maßstab 1 : 200 sind zwei Orte 3,5 cm entfernt. Berechne, wie weit sie in Wirklichkeit entfernt sind.
    Lösung zeigen
    1. 3,5 cm · 200 = 700 cm
    2. umrechnen: 700 cm : 100 = 7 m
    Ergebnis:
    7 m

6Ich löse gemischte Sachaufgaben.

EntdeckenFrage

Wie schätzt man mit dem ausgestreckten Daumen, wie weit ein Turm entfernt ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man schaut abwechselnd mit dem linken und dem rechten Auge, dann springt der Daumen. Der Arm ist etwa zehnmal so lang wie der Augenabstand. Springt der Daumen am Ziel 50 m weit, ist das Ziel nach dem Strahlensatz etwa 500 m entfernt.

MerkenSachaufgaben

Skizze mit Zentrum Z und markierten Parallelen.

Verhältnis vom Zentrum aus aufstellen, lösen, Einheit.

BeispielSachaufgaben mit Strahlensätzen

Nachts steht Jana (1,5 m groß) 6 m von einer Laterne entfernt. Ihr Schatten ist 3 m lang. Wie hoch ist die Laterne? Runde auf zwei Stellen.
3 m6 m1,5 m?
Schritt für Schritt
  1. Scheitel ist die Spitze des Schattens: Jana und Laterne sind die beiden Parallelen.
  2. Ganze Strecke vom Scheitel bis zur Laterne: 3 + 6 = 9
  3. Höhe = 1,5 · 9 : 3 ≈ 4,5
  1. Scheitel ist die Spitze des Schattens: Jana und Laterne sind die beiden Parallelen.
  2. Ganze Strecke vom Scheitel bis zur Laterne: 3 + 6 = 9
  3. Höhe = 1,5 · 9 : 3 ≈ 4,5
Ergebnis:
≈ 4,5 m

AchtungTeilstrecke statt Strecke vom Scheitel

So nicht
ZA = 4, AA' = 2 → Faktor 2 : 4
So richtig
ZA = 4, ZA' = 6 → Faktor 6 : 4

Fahr jede Strecke vom Scheitel Z aus ab. Nimm die Strecken, die bei Z beginnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Nachts steht Jana (1,5 m groß) 6 m von einer Laterne entfernt. Ihr Schatten ist 3,5 m lang. Wie hoch ist die Laterne? Runde auf zwei Stellen.
    3,5 m6 m1,5 m?
    So fängst du an:
    Scheitel ist die Spitze des Schattens: Jana und Laterne sind die beiden Parallelen.
    Lösung zeigen
    1. Scheitel ist die Spitze des Schattens: Jana und Laterne sind die beiden Parallelen.
    2. Ganze Strecke vom Scheitel bis zur Laterne: 3,5 + 6 = 9,5
    3. Höhe = 1,5 · 9,5 : 3,5 ≈ 4,07
    Ergebnis:
    ≈ 4,07 m
  2. ●17
    Nachts steht Jana (1,5 m groß) 8 m von einer Laterne entfernt. Ihr Schatten ist 3,5 m lang. Wie hoch ist die Laterne? Runde auf zwei Stellen.
    3,5 m8 m1,5 m?
    Lösung zeigen
    1. Scheitel ist die Spitze des Schattens: Jana und Laterne sind die beiden Parallelen.
    2. Ganze Strecke vom Scheitel bis zur Laterne: 3,5 + 8 = 11,5
    3. Höhe = 1,5 · 11,5 : 3,5 ≈ 4,93
    Ergebnis:
    ≈ 4,93 m
  3. ★18
    Ein Dachboden ist im Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck: an der Wand 2 m hoch, am Boden 3 m breit bis zur Dachkante. Wie hoch ist die Schräge 1,5 m von der Wand entfernt? Runde auf zwei Stellen.
    2 m3 m?
    Lösung zeigen
    1. Scheitel ist die Dachkante. Entfernung von dort: 3 − 1,5 = 1,5
    2. Die Schräge schrumpft gleichmäßig zur Dachkante hin (Strahlensatz).
    3. h = 2 · 1,5 : 3 ≈ 1
    Ergebnis:
    ≈ 1 m

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 6 cm, ZA' = 24 cm. Auf dem zweiten: ZB = 4 cm. Berechne die Länge von ZB'.
    Lösung zeigen
    1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
    2. Faktor: 24 : 6 = 4
    3. ZB' = 4 · 4 = 16 cm
    Ergebnis:
    16 cm
  2. ●20
    Ein 1 m langer Stab wirft einen 2 m langen Schatten. Ein Baum wirft zur selben Zeit 6 m Schatten. Berechne, wie hoch der Baum ist.
    Lösung zeigen
    1. Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist gleich
    2. 1 : 2 = 0,5
    3. Baum: 0,5 · 6 = 3 m
    Ergebnis:
    3 m
  3. ●21
    Zwei Dreiecke sind ähnlich. Die Seite 7 cm entspricht 21 cm. Wie lang ist die Seite, die 6 cm entspricht?
    Lösung zeigen
    1. Faktor k = 21 : 7 = 3
    2. 6 · 3 = 18
    Ergebnis:
    18 cm
  4. ●22
    Zwei Strahlen mit dem Scheitel Z werden von den parallelen Geraden AB und A'B' geschnitten. ZA = 7 cm, ZA' = 14 cm, AB = 3 cm. Berechne A'B'.
    ZAA'BB'73?ZA' = 14
    Lösung zeigen
    1. Zweiter Strahlensatz: A'B' : AB = ZA' : ZA
    2. Faktor: 14 : 7 = 2
    3. A'B' = 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 cm
  5. ●23
    Nachts steht Jana (1,7 m groß) 3 m von einer Laterne entfernt. Ihr Schatten ist 2 m lang. Wie hoch ist die Laterne? Runde auf zwei Stellen.
    2 m3 m1,7 m?
    Lösung zeigen
    1. Scheitel ist die Spitze des Schattens: Jana und Laterne sind die beiden Parallelen.
    2. Ganze Strecke vom Scheitel bis zur Laterne: 2 + 3 = 5
    3. Höhe = 1,7 · 5 : 2 ≈ 4,25
    Ergebnis:
    ≈ 4,25 m
  6. ●24
    Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 6 cm, ZA' = 24 cm. Auf dem zweiten: ZB = 5 cm. Berechne die Länge von ZB'.
    Lösung zeigen
    1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
    2. Faktor: 24 : 6 = 4
    3. ZB' = 5 · 4 = 20 cm
    Ergebnis:
    20 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Ähnlich
Ähnliche Figuren haben gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse.
Erster Strahlensatz
Zwei Strahlen, zwei Parallelen: ZA : ZA' = ZB : ZB'.
Zweiter Strahlensatz
Die Parallelstrecken verhalten sich wie die Abschnitte vom Zentrum: AB : A'B' = ZA : ZA'.
Höhen bestimmen
Schatten: Stab und Baum bilden ähnliche Dreiecke. Höhe : Schatten ist bei beiden gleich.
Maßstab
1 : 25 000 heißt: 1 cm auf der Karte sind 25 000 cm = 250 m in Wirklichkeit.
Sachaufgaben
Skizze mit Zentrum Z und markierten Parallelen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne ähnliche Figuren und bestimme den Vergrößerungsfaktor.

    25
    Zwei Dreiecke sind ähnlich. Die Seite 2 cm entspricht 10 cm. Wie lang ist die Seite, die 4 cm entspricht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 cm

  2. Ich wende den ersten Strahlensatz an.

    26
    Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 2 cm, ZA' = 4 cm. Auf dem zweiten: ZB = 5 cm. Berechne die Länge von ZB'.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 cm

  3. Ich wende den zweiten Strahlensatz an.

    27
    Zwei Strahlen mit dem Scheitel Z werden von den parallelen Geraden AB und A'B' geschnitten. ZA = 9 cm, ZA' = 27 cm, AB = 5 cm. Berechne A'B'.
    ZAA'BB'95?ZA' = 27
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 cm

  4. Ich bestimme Höhen über Schatten und Peilung.

    28
    Ein 1 m langer Stab wirft einen 1,2 m langen Schatten. Ein Baum wirft zur selben Zeit 9 m Schatten. Berechne, wie hoch der Baum ist.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7,5 m

  5. Ich rechne mit Maßstäben.

    29
    Auf einer Karte im Maßstab 1 : 1000 sind zwei Orte 7,5 cm entfernt. Berechne, wie weit sie in Wirklichkeit entfernt sind.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75 m

  6. Ich löse gemischte Sachaufgaben.

    30
    Nachts steht Jana (1,6 m groß) 6 m von einer Laterne entfernt. Ihr Schatten ist 3,5 m lang. Wie hoch ist die Laterne? Runde auf zwei Stellen.
    3,5 m6 m1,6 m?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 4,34 m

  7. Ich wiederhole.

    31
    Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 2 cm, ZA' = 6 cm. Auf dem zweiten: ZB = 2 cm. Berechne die Länge von ZB'.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 cm

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

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Zeichne diese Figur doppelt so groß – frei Hand, ohne Raster. Leg beide übereinander.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Ähnlichkeit und Strahlensätze: Maßstäbliches Vergrößern.

Wo brauchst du das?

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Höhe eines Baums mit dem Schatten messen. Beruf: Vermessung, Fotografie, Modellbau, Architektur.

Wörter

Ähnlich
gleiche Form, andere Größe
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Dreiecke und Vielecke, Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem, Zuordnungen, Maßstab

Darauf baut auf: Trigonometrie

Lösungen

  1. 45 cm
  2. 9 cm
  3. 9 cm × 10,5 cm; Fläche mal 2,25
  4. 24 cm
  5. 18 cm
  6. 7,5 cm
  7. 5 cm
  8. 15 cm
  9. 7 cm
  10. 32 m
  11. 16 m
  12. 18,75 m
  13. 4 m
  14. 1,75 km
  15. 7 m
  16. ≈ 4,07 m
  17. ≈ 4,93 m
  18. ≈ 1 m
  19. 16 cm
  20. 3 m
  21. 18 cm
  22. 6 cm
  23. ≈ 4,25 m
  24. 20 cm
  25. 20 cm
  26. 10 cm
  27. 15 cm
  28. 7,5 m
  29. 75 m
  30. ≈ 4,34 m
  31. 6 cm
  32. k = 2; y = 18
  33. 15,00 €