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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 34? Zähle 1 und 34 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 34, 2 · 17
    2. Teiler: 1, 2, 17, 34
    3. Das sind 4 Teiler.
    Ergebnis:
    4
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 772 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    772
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 2.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 2. Der Rest ist 2.
    Ergebnis:
    2

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    72 : 9 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8
  2. ●42
    2 · 4 = ___
    4 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 4 Punkten
    2. 2 · 4 = 8
    Ergebnis:
    8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 6 teilbar: 28, 73, 42, 45? Begründe mit der Division.
28734245
Schritt für Schritt
  1. Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
  2. 42 : 6 = 7; bei 28, 73, 45 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 42
  1. Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
  2. 42 : 6 = 7; bei 28, 73, 45 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 42
Ergebnis:
42

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahl ist durch 3 teilbar: 21, 65, 86, 98? Begründe mit der Division.
    21658698
    So fängst du an:
    Jede Zahl durch 3 teilen und auf den Rest achten.
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 3 teilen und auf den Rest achten.
    2. 21 : 3 = 7; bei 65, 86, 98 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●2
    Ist 97 durch 3 teilbar? Begründe mit der Division.
    97: 3
    Lösung zeigen
    1. 97 : 3 = 32 Rest 1
    2. Rest 1: nicht teilbar.
    Ergebnis:
    Nein, Rest 1
  3. ★3
    Ist 446 durch 5 teilbar? Begründe mit der Division.
    446: 5
    Lösung zeigen
    1. 446 : 5 = 89 Rest 1
    2. Rest 1: nicht teilbar.
    Ergebnis:
    Nein, Rest 1

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 22 und 54 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
2530354045502254
Schritt für Schritt
  1. Das erste Vielfache über 22: 24.
  2. Immer 4 weiter: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52
  1. Das erste Vielfache über 22: 24.
  2. Immer 4 weiter: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52
Ergebnis:
24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 6 auf.
    01020304050
    So fängst du an:
    Vielfache sind 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3 und so weiter.
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3 und so weiter.
    2. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48
    Ergebnis:
    6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48
  2. ●5
    Ist 45 ein Vielfaches von 3? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    25303540455055606545
    Lösung zeigen
    1. 45 : 3 = 15
    2. 45 = 3 · 15: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★6
    Nenne alle Vielfachen von 14, die zwischen 50 und 81 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    505560657075805081
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 50: 56.
    2. Immer 14 weiter: 56, 70
    Ergebnis:
    56, 70

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Welche Zahl hat mehr Teiler: 30 oder 14? Schreibe die Teilerpaare auf.
3014
Schritt für Schritt
  1. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
  2. 14: 1, 2, 7, 14 (4 Teiler)
  3. 30 hat mehr Teiler.
  1. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
  2. 14: 1, 2, 7, 14 (4 Teiler)
  3. 30 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
30

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 28 oder 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2830
    So fängst du an:
    28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6 Teiler)
    2. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
    3. 30 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    30
  2. ●8
    Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
    2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
    Ergebnis:
    6 Teiler
  3. ★9
    Finde alle Teiler von 100. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 100, 2 · 50, 4 · 25, 5 · 20, 10 · 10
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 683_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
T6H8Z3E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
Ergebnis:
0

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 1399 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer: 9. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 9. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine
  2. ●11
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 6301 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 1. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine
  3. ★12
    Wie viele Zahlen von 1 bis 60 sind durch 10 teilbar?
    102030405060
    Lösung zeigen
    1. Die erste: 10, die letzte: 60.
    2. Immer 10 weiter: (60 − 10) : 10 + 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Zahlen

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 7600 teilbar?
T7H6Z0E0
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
Ergebnis:
2, 5, 10, 100

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ist 537.000 durch 100 teilbar?
    HT5ZT3T7H0Z0E0
    So fängst du an:
    Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Die Endziffer 0 ist gerade.
    Ergebnis:
    wahr
  3. ★15
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die auf 5 endet, ist ungerade.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. 5 ist ungerade, und nur die letzte Ziffer entscheidet.
    Ergebnis:
    wahr

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 368 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 368 durch 5 teilbar?
H3Z6E8
Schritt für Schritt
  1. 368 = 360 + 8
  2. 360 ist durch 5 teilbar, 8 nicht: Nein.
  1. 368 = 360 + 8
  2. 360 ist durch 5 teilbar, 8 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 322 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 322 durch 5 teilbar?
    H3Z2E2
    So fängst du an:
    322 = 320 + 2
    Lösung zeigen
    1. 322 = 320 + 2
    2. 320 ist durch 5 teilbar, 2 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Warum reicht bei 258 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 258 = 250 + 8
    2. 250 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 8 an: durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    teilbar, weil 250 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
  3. ★18
    Warum reicht bei 3738 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 3738 = 3730 + 8
    2. 3730 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 8 an: durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    teilbar, weil 3730 sicher teilbar ist und nur 8 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 81 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 9 = 81
  2. Ein Quadrat mit Seite 9: Quadratzahl.
  1. 9 · 9 = 81
  2. Ein Quadrat mit Seite 9: Quadratzahl.
Ergebnis:
Ja

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Aus dem Quadrat mit Seite 2 wird eines mit Seite 3. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    So fängst du an:
    Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
    2. Dazu: 9 − 4 = 5
    Ergebnis:
    5 Plättchen
  2. ●20
    Aus dem Quadrat mit Seite 6 wird eines mit Seite 7. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 6 · 6 = 36. Nachher: 7 · 7 = 49.
    2. Dazu: 49 − 36 = 13
    Ergebnis:
    13 Plättchen
  3. ★21
    Ist 76 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 8 = 64 ist zu klein, 9 · 9 = 81 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 10 Minuten. Fährt um 7:19 Uhr ein Bus?
Schritt für Schritt
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 10 Minuten.
  2. Ist 19 ein Vielfaches von 10? 19 : 10 = 1 Rest 9
  3. Nein, dann fährt keiner.
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 10 Minuten.
  2. Ist 19 ein Vielfaches von 10? 19 : 10 = 1 Rest 9
  3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Sofia genau 63 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    10 Stück63 Sticker
    So fängst du an:
    Durch 10: letzte Ziffer 0.
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. 63 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●23
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:24 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    2. Ist 24 ein Vielfaches von 12? 24 : 12 = 2
    3. Ja, dann fährt ein Bus.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★24
    36 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    36 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 4, 6, 9
    Ergebnis:
    3, 4, 6, 9

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 9 teilbar: 37, 55, 35, 90? Begründe mit der Division.
    37553590
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 9 teilen und auf den Rest achten.
    2. 90 : 9 = 10; bei 37, 55, 35 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●26
    26 Kinder sollen Gruppen zu je 6 bilden. Wie viele volle Gruppen gibt es, und wie viele Kinder bleiben übrig?
    26 Kinder6
    Lösung zeigen
    1. 26 : 6 = 4 Rest 2
    2. 4 volle Gruppen, 2 bleiben übrig.
    Ergebnis:
    4 Gruppen, 2 übrig
  3. ●27
    Ist 52 ein Vielfaches von 4? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    354045505560657052
    Lösung zeigen
    1. 52 : 4 = 13
    2. 52 = 4 · 13: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 20 oder 25? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2025
    Lösung zeigen
    1. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 Teiler)
    2. 25: 1, 5, 25 (3 Teiler)
    3. 20 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    20
  5. ●29
    Das Bild zeigt 30 Plättchen als Rechteck mit 5 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare von 30: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6.
    2. Reihen mal Länge, außer 5 · 6: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
    Ergebnis:
    1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
  6. ●30
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 4985; 5142; 1190; 3911?
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 1190
    Ergebnis:
    1190

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welcher Rest bleibt bei 139 : 6? Begründe mit der Division.
    139: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rest 1

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 38 ein Vielfaches von 7? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    202530354045505538
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 16 oder 26? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1626
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 8727 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    durch keine

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    wahr

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 978 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 970 sicher teilbar ist und nur 8 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Aus dem Quadrat mit Seite 9 wird eines mit Seite 10. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    27 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    27 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3, 9

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. 21
  2. Nein, Rest 1
  3. Nein, Rest 1
  4. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48
  5. Ja
  6. 56, 70
  7. 30
  8. 6 Teiler
  9. 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
  10. durch keine
  11. durch keine
  12. 6 Zahlen
  13. Ja
  14. wahr
  15. wahr
  16. Nein
  17. teilbar, weil 250 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
  18. teilbar, weil 3730 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
  19. 5 Plättchen
  20. 13 Plättchen
  21. Nein
  22. Nein
  23. Ja
  24. 3, 4, 6, 9
  25. 90
  26. 4 Gruppen, 2 übrig
  27. Ja
  28. 20
  29. 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
  30. 1190
  31. Rest 1
  32. Nein
  33. 16
  34. durch keine
  35. wahr
  36. nicht teilbar, weil 970 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
  37. 19 Plättchen
  38. 3, 9
  39. 4
  40. 2
  41. 8
  42. 8