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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 30 hat das Teilerpaar 2 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 2 · □ = 30
    2. 30 : 2 = 15
    3. Probe: 2 · 15 = 30
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 357 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    357
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 7.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 7.
    Ergebnis:
    7

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    35 : 7 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5
  2. ●42
    10 · 7 = ___
    7 in jeder Reihe10 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 7 Punkten
    2. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welcher Rest bleibt bei 25 : 7? Begründe mit der Division.
25: 7
Schritt für Schritt
  1. 3 · 7 = 21
  2. 25 − 21 = 4
  3. 25 : 7 = 3 Rest 4
  1. 3 · 7 = 21
  2. 25 − 21 = 4
  3. 25 : 7 = 3 Rest 4
Ergebnis:
Rest 4

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 51 : 8? Begründe mit der Division.
    51: 8
    So fängst du an:
    6 · 8 = 48
    Lösung zeigen
    1. 6 · 8 = 48
    2. 51 − 48 = 3
    3. 51 : 8 = 6 Rest 3
    Ergebnis:
    Rest 3
  2. ●2
    Ist 56 durch 8 teilbar? Begründe mit der Division.
    56: 8
    Lösung zeigen
    1. 56 : 8 = 7
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★3
    Ist 684 durch 9 teilbar? Begründe mit der Division.
    684: 9
    Lösung zeigen
    1. 684 : 9 = 76
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 8 auf.
010203040506070
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 8 · 1, 8 · 2, 8 · 3 und so weiter.
  2. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64
  1. Vielfache sind 8 · 1, 8 · 2, 8 · 3 und so weiter.
  2. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64
Ergebnis:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 150 ein Vielfaches von 9? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    130135140145150155160165170150
    So fängst du an:
    150 : 9 = 16 Rest 6
    Lösung zeigen
    1. 150 : 9 = 16 Rest 6
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●5
    Schreibe die ersten 5 Vielfachen von 4 auf.
    05101520
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
    2. 4, 8, 12, 16, 20
    Ergebnis:
    4, 8, 12, 16, 20
  3. ★6
    Ist 107 ein Vielfaches von 3? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    9095100105110115120125107
    Lösung zeigen
    1. 107 : 3 = 35 Rest 2
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Wie viele Teiler hat 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 16, 2 · 8, 4 · 4
  2. 5 Teiler: 1, 2, 4, 8, 16
  1. Teilerpaare: 1 · 16, 2 · 8, 4 · 4
  2. 5 Teiler: 1, 2, 4, 8, 16
Ergebnis:
5 Teiler

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 36 oder 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3616
    So fängst du an:
    36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
    2. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
    3. 36 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    36
  2. ●8
    Finde alle Teiler von 15. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    15 = 1 · 1515 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 15, 3 · 5
    2. Teiler der Größe nach: 1, 3, 5, 15
    Ergebnis:
    1, 3, 5, 15
  3. ★9
    Wie viele Teiler hat 100? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 100, 2 · 50, 4 · 25, 5 · 20, 10 · 10
    2. 9 Teiler: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
    Ergebnis:
    9 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 9064; 9089; 7685; 3571?
Schritt für Schritt
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. Teilbar: 7685
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. Teilbar: 7685
Ergebnis:
7685

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 265_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
    T2H6Z5E?
    So fängst du an:
    Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●11
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 490_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
    T4H9Z0E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0
  3. ★12
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 247_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
    T2H4Z7E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Ist 439.310 durch 100 teilbar?
HT4ZT3T9H3Z1E0
Schritt für Schritt
  1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 10.
  2. Nicht durch 100 teilbar.
  1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 10.
  2. Nicht durch 100 teilbar.
Ergebnis:
Nein

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Endet eine Zahl auf 00, endet sie auch auf 0.
    Ergebnis:
    wahr
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★15
    Ist 12.060 durch 100 teilbar?
    ZT1T2H0Z6E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 60.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 893 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 893 durch 10 teilbar?
H8Z9E3
Schritt für Schritt
  1. 893 = 890 + 3
  2. 890 ist durch 10 teilbar, 3 nicht: Nein.
  1. 893 = 890 + 3
  2. 890 ist durch 10 teilbar, 3 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum reicht bei 803 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    So fängst du an:
    Zerlegen: 803 = 800 + 3
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 803 = 800 + 3
    2. 800 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 3 an: nicht durch 10 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 800 sicher teilbar ist und nur 3 zählt
  2. ●17
    Warum reicht bei 976 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 976 = 970 + 6
    2. 970 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 6 an: durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    teilbar, weil 970 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  3. ★18
    Warum reicht bei 5484 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 5484 = 5480 + 4
    2. 5480 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 4 an: durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    teilbar, weil 5480 sicher teilbar ist und nur 4 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 27 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
  1. 5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 10 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    So fängst du an:
    10 Reihen mit je 10 Plättchen.
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 10 Plättchen.
    2. 10 · 10 = 100
    Ergebnis:
    100 Plättchen
  2. ●20
    Ist 48 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★21
    Ist 36 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 6 = 36
    2. Ein Quadrat mit Seite 6: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:21 Uhr ein Bus?
Schritt für Schritt
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
  2. Ist 21 ein Vielfaches von 20? 21 : 20 = 1 Rest 1
  3. Nein, dann fährt keiner.
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
  2. Ist 21 ein Vielfaches von 20? 21 : 20 = 1 Rest 1
  3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:16 Uhr ein Bus?
    So fängst du an:
    Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    2. Ist 16 ein Vielfaches von 12? 16 : 12 = 1 Rest 4
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●23
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 10 Minuten. Fährt um 7:29 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 10 Minuten.
    2. Ist 29 ein Vielfaches von 10? 29 : 10 = 2 Rest 9
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★24
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:19 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
    2. Ist 19 ein Vielfaches von 15? 19 : 15 = 1 Rest 4
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welcher Rest bleibt bei 143 : 7? Begründe mit der Division.
    143: 7
    Lösung zeigen
    1. 20 · 7 = 140
    2. 143 − 140 = 3
    3. 143 : 7 = 20 Rest 3
    Ergebnis:
    Rest 3
  2. ●26
    Ein Hof packt 63 Eier in Kartons zu 6 Stück. Wie viele Kartons werden voll? Wie viele Eier bleiben übrig?
    63 Eier6 Stück
    Lösung zeigen
    1. 63 : 6 = 10 Rest 3
    2. 10 volle Kartons, 3 Eier übrig.
    Ergebnis:
    10 Kartons, 3 Eier übrig
  3. ●27
    Ist 87 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    70758085909510010587
    Lösung zeigen
    1. 87 : 8 = 10 Rest 7
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 15 oder 12? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1512
    Lösung zeigen
    1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    2. 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 Teiler)
    3. 12 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    12
  5. ●29
    Aus 13 Plättchen legst du Rechtecke. Alle Reihen sind gleich lang. Wie viele verschiedene Rechtecke gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Rechteck ist ein Teilerpaar: 1 · 13.
    2. 13 hat nur die Teiler 1 und 13: nur eine lange Reihe.
    Ergebnis:
    1 Rechteck
  6. ●30
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 910_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
    T9H1Z0E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Ist 56 durch 8 teilbar? Begründe mit der Division.
    56: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Nenne alle Vielfachen von 3, die zwischen 30 und 67 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    30354045505560653067
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Finde alle Teiler von 15. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    15 = 1 · 1515 = ? · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 3, 5, 15

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 7748; 8993; 4055; 5637?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7748

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Ist 72.210 durch 100 teilbar?
    ZT7T2H2Z1E0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 892 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    teilbar, weil 890 sicher teilbar ist und nur 2 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Aus dem Quadrat mit Seite 7 wird eines mit Seite 8. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Jonas genau 87 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    5 Stück87 Sticker
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 3
  2. Ja
  3. Ja
  4. Nein
  5. 4, 8, 12, 16, 20
  6. Nein
  7. 36
  8. 1, 3, 5, 15
  9. 9 Teiler
  10. 5
  11. 0
  12. 0
  13. wahr
  14. falsch
  15. Nein
  16. nicht teilbar, weil 800 sicher teilbar ist und nur 3 zählt
  17. teilbar, weil 970 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  18. teilbar, weil 5480 sicher teilbar ist und nur 4 zählt
  19. 100 Plättchen
  20. Nein
  21. Ja
  22. Nein
  23. Nein
  24. Nein
  25. Rest 3
  26. 10 Kartons, 3 Eier übrig
  27. Nein
  28. 12
  29. 1 Rechteck
  30. 0
  31. Ja
  32. 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66
  33. 1, 3, 5, 15
  34. 7748
  35. Nein
  36. teilbar, weil 890 sicher teilbar ist und nur 2 zählt
  37. 15 Plättchen
  38. Nein
  39. 15
  40. 7
  41. 5
  42. 70