Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

●39
Wie viele Teiler hat die Zahl 32? Zähle 1 und 32 mit.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 32, 2 · 16, 4 · 8
2. Teiler: 1, 2, 4, 8, 16, 32
3. Das sind 6 Teiler.
Ergebnis:
6
●40
Welcher Rest bleibt, wenn du 178 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
Lösung zeigen
1. Die Einerziffer ist 8.
2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 3. Der Rest ist 3.
Ergebnis:
3

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

●41
42 : 6 = ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
7
●42
2 · 2 = ___
Lösung zeigen
1. 2 Reihen mit je 2 Punkten
2. 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 6 teilbar: 57, 42, 63, 35? Begründe mit der Division.

Schritt für Schritt

Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
42 : 6 = 7; bei 57, 63, 35 bleibt ein Rest.
Ohne Rest: 42

Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
42 : 6 = 7; bei 57, 63, 35 bleibt ein Rest.
Ohne Rest: 42

Ergebnis:

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht

108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse

So richtig

108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

○1
Ist 188 durch 6 teilbar? Begründe mit der Division.
So fängst du an:
188 : 6 = 31 Rest 2
Lösung zeigen
1. 188 : 6 = 31 Rest 2
2. Rest 2: nicht teilbar.
Ergebnis:
Nein, Rest 2
●2
Ist 86 durch 7 teilbar? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. 86 : 7 = 12 Rest 2
2. Rest 2: nicht teilbar.
Ergebnis:
Nein, Rest 2
★3
Welche Zahl ist durch 11 teilbar: 99, 41, 30, 70? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. Jede Zahl durch 11 teilen und auf den Rest achten.
2. 99 : 11 = 9; bei 41, 30, 70 bleibt ein Rest.
3. Ohne Rest: 99
Ergebnis:
99

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Ist 79 ein Vielfaches von 3? Schreibe sie der Reihe nach auf.

Schritt für Schritt

79 : 3 = 26 Rest 1
Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.

79 : 3 = 26 Rest 1
Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.

Ergebnis:

Nein

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht

Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6

So richtig

Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

○4
Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 4 auf.
So fängst du an:
Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
Lösung zeigen
1. Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
2. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
Ergebnis:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
●5
Ist 45 ein Vielfaches von 3? Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
1. 45 : 3 = 15
2. 45 = 3 · 15: ein Vielfaches.
Ergebnis:
Ja
★6
Schreibe die ersten 6 Vielfachen von 7 auf.
Lösung zeigen
1. Vielfache sind 7 · 1, 7 · 2, 7 · 3 und so weiter.
2. 7, 14, 21, 28, 35, 42
Ergebnis:
7, 14, 21, 28, 35, 42

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Welche Zahl hat mehr Teiler: 32 oder 21? Schreibe die Teilerpaare auf.

Schritt für Schritt

32: 1, 2, 4, 8, 16, 32 (6 Teiler)
21: 1, 3, 7, 21 (4 Teiler)
32 hat mehr Teiler.

32: 1, 2, 4, 8, 16, 32 (6 Teiler)
21: 1, 3, 7, 21 (4 Teiler)
32 hat mehr Teiler.

Ergebnis:

AchtungTeiler vergessen

So nicht

Teiler von 24: 2, 3, 4, 6

So richtig

Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

○7
Finde alle Teiler von 24. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
So fängst du an:
Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
●8
Welche Zahl hat mehr Teiler: 28 oder 27? Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6 Teiler)
2. 27: 1, 3, 9, 27 (4 Teiler)
3. 28 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
28
★9
Finde alle Teiler von 40. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 40, 2 · 20, 4 · 10, 5 · 8
2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Ergebnis:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 749_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.

Schritt für Schritt

Nur die letzte Ziffer entscheidet.
Passend: 2, 4, 6, 8

Nur die letzte Ziffer entscheidet.
Passend: 2, 4, 6, 8

Ergebnis:

2, 4, 6, 8

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht

438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht

So richtig

438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

○10
Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 523_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.
So fängst du an:
Nur die letzte Ziffer entscheidet.
Lösung zeigen
1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
2. Passend: 2, 4, 6, 8
Ergebnis:
2, 4, 6, 8
●11
Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 4791 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer: 1. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
2. Durch keine der drei.
Ergebnis:
durch keine
★12
Wie viele Zahlen von 20 bis 79 sind durch 10 teilbar?
Lösung zeigen
1. Die erste: 20, die letzte: 70.
2. Immer 10 weiter: (70 − 20) : 10 + 1 = 6
Ergebnis:
6 Zahlen

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“

Schritt für Schritt

Mit der letzten Ziffer prüfen.
Die Endziffer 0 ist gerade.

Mit der letzten Ziffer prüfen.
Die Endziffer 0 ist gerade.

Ergebnis:

wahr

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht

7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar

So richtig

7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

○13
Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
So fängst du an:
Mit der letzten Ziffer prüfen.
Lösung zeigen
1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
Ergebnis:
falsch
●14
Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
Lösung zeigen
1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
Ergebnis:
falsch
★15
Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 8150 teilbar?
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 50.
2. Teilbar durch 2, 5, 10.
Ergebnis:
2, 5, 10

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum reicht bei 861 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?

Schritt für Schritt

Zerlegen: 861 = 860 + 1
860 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
Es kommt nur auf 1 an: nicht durch 5 teilbar.

Zerlegen: 861 = 860 + 1
860 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
Es kommt nur auf 1 an: nicht durch 5 teilbar.

Ergebnis:

nicht teilbar, weil 860 sicher teilbar ist und nur 1 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht

438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht

So richtig

438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

○16
Zerlege 627 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 627 durch 5 teilbar?
So fängst du an:
627 = 620 + 7
Lösung zeigen
1. 627 = 620 + 7
2. 620 ist durch 5 teilbar, 7 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein
●17
Zerlege 598 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 598 durch 10 teilbar?
Lösung zeigen
1. 598 = 590 + 8
2. 590 ist durch 10 teilbar, 8 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein
★18
Zerlege 88.063 in ein Vielfaches von 100 und den Rest. Entscheide damit: Ist 88.063 durch 100 teilbar?
Lösung zeigen
1. 88.063 = 88.000 + 63
2. 88.000 ist durch 100 teilbar, 63 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 7 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?

Schritt für Schritt

7 Reihen mit je 7 Plättchen.
7 · 7 = 49

7 Reihen mit je 7 Plättchen.
7 · 7 = 49

Ergebnis:

49 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht

Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12

So richtig

Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Quadrat aus Plättchen hat 2 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
So fängst du an:
2 Reihen mit je 2 Plättchen.
Lösung zeigen
1. 2 Reihen mit je 2 Plättchen.
2. 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Plättchen
●20
Aus dem Quadrat mit Seite 6 wird eines mit Seite 7. Wie viele Plättchen kommen dazu?
Lösung zeigen
1. Vorher: 6 · 6 = 36. Nachher: 7 · 7 = 49.
2. Dazu: 49 − 36 = 13
Ergebnis:
13 Plättchen
★21
Welche Quadratzahlen liegen zwischen 19 und 61?
Lösung zeigen
1. Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
2. Zwischen 19 und 61: 25, 36, 49
Ergebnis:
25, 36, 49

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 82 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?

Schritt für Schritt

82 : 6 = 13 Rest 4
Für den Rest braucht es noch eine Packung: 14 Packungen.

82 : 6 = 13 Rest 4
Für den Rest braucht es noch eine Packung: 14 Packungen.

Ergebnis:

14 Packungen

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:18 Uhr ein Bus?
So fängst du an:
Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
Lösung zeigen
1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
2. Ist 18 ein Vielfaches von 12? 18 : 12 = 1 Rest 6
3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein
●23
Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 87 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
Lösung zeigen
1. 87 : 12 = 7 Rest 3
2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 8 Packungen.
Ergebnis:
8 Packungen
★24
Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:25 Uhr ein Bus?
Lösung zeigen
1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
2. Ist 25 ein Vielfaches von 20? 25 : 20 = 1 Rest 5
3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 72, 22, 70, 82? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
2. 70 : 7 = 10; bei 72, 22, 82 bleibt ein Rest.
3. Ohne Rest: 70
Ergebnis:
70
●26
25 Kinder sollen Gruppen zu je 6 bilden. Wie viele volle Gruppen gibt es, und wie viele Kinder bleiben übrig?
Lösung zeigen
1. 25 : 6 = 4 Rest 1
2. 4 volle Gruppen, 1 bleiben übrig.
Ergebnis:
4 Gruppen, 1 übrig
●27
Nenne alle Vielfachen von 5, die zwischen 32 und 67 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
1. Das erste Vielfache über 32: 35.
2. Immer 5 weiter: 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65
Ergebnis:
35, 40, 45, 50, 55, 60, 65
●28
Finde alle Teiler von 16. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 16, 2 · 8, 4 · 4
2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 8, 16
Ergebnis:
1, 2, 4, 8, 16
●29
Das Bild zeigt 24 Plättchen als Rechteck mit 4 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
Lösung zeigen
1. Teilerpaare von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6.
2. Reihen mal Länge, außer 4 · 6: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8
Ergebnis:
1 · 24, 2 · 12, 3 · 8
●30
Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 351_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.
Lösung zeigen
1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
2. Passend: 2, 4, 6, 8
Ergebnis:
2, 4, 6, 8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest: Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache: Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren: Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern: Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden: In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert: Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen: Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag: Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.
31
Welcher Rest bleibt bei 175 : 9? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Rest 4
Ich finde Vielfache einer Zahl.
32
Ist 34 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein
Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.
33
Finde alle Teiler von 28. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 4, 7, 14, 28
Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.
34
Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 617_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0
Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.
35
Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
wahr
Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.
36
Zerlege 293 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 293 durch 10 teilbar?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein
Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.
37
Ein Quadrat aus Plättchen hat 8 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
64 Plättchen
Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.
38
Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:38 Uhr ein Bus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

Nein, Rest 2
Nein, Rest 2
99
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
Ja
7, 14, 21, 28, 35, 42
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
28
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
2, 4, 6, 8
durch keine
6 Zahlen
falsch
falsch
2, 5, 10
Nein
Nein
Nein
4 Plättchen
13 Plättchen
25, 36, 49
Nein
8 Packungen
Nein
70
4 Gruppen, 1 übrig
35, 40, 45, 50, 55, 60, 65
1, 2, 4, 8, 16
1 · 24, 2 · 12, 3 · 8
2, 4, 6, 8
Rest 4
Nein
1, 2, 4, 7, 14, 28
0
wahr
Nein
64 Plättchen
Nein
6
3
7
4