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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 30 hat das Teilerpaar 2 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 2 · □ = 30
    2. 30 : 2 = 15
    3. Probe: 2 · 15 = 30
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 444 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    444
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 4.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 4.
    Ergebnis:
    4

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    49 : 7 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7
  2. ●42
    2 · 7 = ___
    7 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 7 Punkten
    2. 2 · 7 = 14
    Ergebnis:
    14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Ist 97 durch 6 teilbar? Begründe mit der Division.
97: 6
Schritt für Schritt
  1. 97 : 6 = 16 Rest 1
  2. Rest 1: nicht teilbar.
  1. 97 : 6 = 16 Rest 1
  2. Rest 1: nicht teilbar.
Ergebnis:
Nein, Rest 1

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 107 : 8? Begründe mit der Division.
    107: 8
    So fängst du an:
    13 · 8 = 104
    Lösung zeigen
    1. 13 · 8 = 104
    2. 107 − 104 = 3
    3. 107 : 8 = 13 Rest 3
    Ergebnis:
    Rest 3
  2. ●2
    Welcher Rest bleibt bei 122 : 4? Begründe mit der Division.
    122: 4
    Lösung zeigen
    1. 30 · 4 = 120
    2. 122 − 120 = 2
    3. 122 : 4 = 30 Rest 2
    Ergebnis:
    Rest 2
  3. ★3
    Welche durch 3 teilbare Zahl liegt am nächsten an 277? Begründe mit der Division.
    260265270275280285290295
    Lösung zeigen
    1. 277 : 3 = 92 Rest 1
    2. Nach unten: 277 − 1 = 276. Nach oben: 277 + 2 = 279.
    3. Am nächsten: 276
    Ergebnis:
    276

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 45 und 75 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
455055606570754575
Schritt für Schritt
  1. Das erste Vielfache über 45: 48.
  2. Immer 4 weiter: 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72
  1. Das erste Vielfache über 45: 48.
  2. Immer 4 weiter: 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72
Ergebnis:
48, 52, 56, 60, 64, 68, 72

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 72 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    556065707580859072
    So fängst du an:
    72 : 8 = 9
    Lösung zeigen
    1. 72 : 8 = 9
    2. 72 = 8 · 9: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●5
    Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 9 auf.
    010203040506070
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    2. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63
    Ergebnis:
    9, 18, 27, 36, 45, 54, 63
  3. ★6
    Nenne alle Vielfachen von 7, die zwischen 46 und 74 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    50556065704674
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 46: 49.
    2. Immer 7 weiter: 49, 56, 63, 70
    Ergebnis:
    49, 56, 63, 70

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Finde alle Teiler von 32. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
32 = 1 · 3232 = ? · ?
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 32, 2 · 16, 4 · 8
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 8, 16, 32
  1. Teilerpaare: 1 · 32, 2 · 16, 4 · 8
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Ergebnis:
1, 2, 4, 8, 16, 32

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Teiler hat 20? Schreibe die Teilerpaare auf.
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 20, 2 · 10, 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 20, 2 · 10, 4 · 5
    2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 5, 10, 20
    Ergebnis:
    6 Teiler
  2. ●8
    Finde alle Teiler von 12. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    12 = 1 · 1212 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 12
  3. ★9
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 84 oder 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
    8428
    Lösung zeigen
    1. 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 (12 Teiler)
    2. 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6 Teiler)
    3. 84 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    84

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 255_ soll durch 10 teilbar sein.
T2H5Z5E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
Ergebnis:
0

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 254_ soll durch 10 teilbar sein.
    T2H5Z4E?
    So fängst du an:
    Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0
  2. ●11
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 1835; 991; 2842; 9620?
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 9620
    Ergebnis:
    9620
  3. ★12
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 85.497; 86.685; 17.940; 47.354?
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 17.940
    Ergebnis:
    17.940

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
Schritt für Schritt
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
Ergebnis:
falsch

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 650 teilbar?
    H6Z5E0
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 50.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 50.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10.
    Ergebnis:
    2, 5, 10
  2. ●14
    Ist 117.500 durch 100 teilbar?
    HT1ZT1T7H5Z0E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★15
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 2600 teilbar?
    T2H6Z0E0
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
    Ergebnis:
    2, 5, 10, 100

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum reicht bei 579 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
Schritt für Schritt
  1. Zerlegen: 579 = 570 + 9
  2. 570 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 9 an: nicht durch 2 teilbar.
  1. Zerlegen: 579 = 570 + 9
  2. 570 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 9 an: nicht durch 2 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 570 sicher teilbar ist und nur 9 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum reicht bei 635 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    So fängst du an:
    Zerlegen: 635 = 630 + 5
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 635 = 630 + 5
    2. 630 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 5 an: nicht durch 10 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 630 sicher teilbar ist und nur 5 zählt
  2. ●17
    Warum reicht bei 158 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 158 = 150 + 8
    2. 150 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 8 an: nicht durch 5 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 150 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
  3. ★18
    Zerlege 8559 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 8559 durch 10 teilbar?
    T8H5Z5E9
    Lösung zeigen
    1. 8559 = 8550 + 9
    2. 8550 ist durch 10 teilbar, 9 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 9 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
Schritt für Schritt
  1. 9 Reihen mit je 9 Plättchen.
  2. 9 · 9 = 81
  1. 9 Reihen mit je 9 Plättchen.
  2. 9 · 9 = 81
Ergebnis:
81 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 5 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    So fängst du an:
    5 Reihen mit je 5 Plättchen.
    Lösung zeigen
    1. 5 Reihen mit je 5 Plättchen.
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Plättchen
  2. ●20
    Aus dem Quadrat mit Seite 2 wird eines mit Seite 3. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
    2. Dazu: 9 − 4 = 5
    Ergebnis:
    5 Plättchen
  3. ★21
    Ist 93 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 9 = 81 ist zu klein, 10 · 10 = 100 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

27 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
27 Kinder210 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Gesucht sind Teiler von 27: 1, 3, 9, 27.
  2. Zwischen 2 und 10: 3, 9
  1. Gesucht sind Teiler von 27: 1, 3, 9, 27.
  2. Zwischen 2 und 10: 3, 9
Ergebnis:
3, 9

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:51 Uhr ein Bus?
    So fängst du an:
    Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    2. Ist 51 ein Vielfaches von 12? 51 : 12 = 4 Rest 3
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●23
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:16 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
    2. Ist 16 ein Vielfaches von 15? 16 : 15 = 1 Rest 1
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★24
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:50 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    2. Ist 50 ein Vielfaches von 12? 50 : 12 = 4 Rest 2
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 8 teilbar: 43, 88, 85, 71? Begründe mit der Division.
    43888571
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 8 teilen und auf den Rest achten.
    2. 88 : 8 = 11; bei 43, 85, 71 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●26
    26 Kinder sollen Gruppen zu je 4 bilden. Wie viele volle Gruppen gibt es, und wie viele Kinder bleiben übrig?
    26 Kinder4
    Lösung zeigen
    1. 26 : 4 = 6 Rest 2
    2. 6 volle Gruppen, 2 bleiben übrig.
    Ergebnis:
    6 Gruppen, 2 übrig
  3. ●27
    Nenne alle Vielfachen von 8, die zwischen 44 und 72 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    4550556065704472
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 44: 48.
    2. Immer 8 weiter: 48, 56, 64
    Ergebnis:
    48, 56, 64
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 36 oder 27? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3627
    Lösung zeigen
    1. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
    2. 27: 1, 3, 9, 27 (4 Teiler)
    3. 36 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    36
  5. ●29
    Das Bild zeigt 28 Plättchen als Rechteck mit 4 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare von 28: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7.
    2. Reihen mal Länge, außer 4 · 7: 1 · 28, 2 · 14
    Ergebnis:
    1 · 28, 2 · 14
  6. ●30
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 921_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
    T9H2Z1E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welche Zahl ist durch 8 teilbar: 38, 68, 64, 66? Begründe mit der Division.
    38686466
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 112 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    95100105110115120125130112
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 16 oder 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1624
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 3974 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    wahr

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 342 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 340 sicher teilbar ist und nur 2 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ist 86 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 10 Minuten. Fährt um 7:38 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 3
  2. Rest 2
  3. 276
  4. Ja
  5. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63
  6. 49, 56, 63, 70
  7. 6 Teiler
  8. 1, 2, 3, 4, 6, 12
  9. 84
  10. 0
  11. 9620
  12. 17.940
  13. 2, 5, 10
  14. Ja
  15. 2, 5, 10, 100
  16. nicht teilbar, weil 630 sicher teilbar ist und nur 5 zählt
  17. nicht teilbar, weil 150 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
  18. Nein
  19. 25 Plättchen
  20. 5 Plättchen
  21. Nein
  22. Nein
  23. Nein
  24. Nein
  25. 88
  26. 6 Gruppen, 2 übrig
  27. 48, 56, 64
  28. 36
  29. 1 · 28, 2 · 14
  30. 0
  31. 64
  32. Ja
  33. 24
  34. 2
  35. wahr
  36. nicht teilbar, weil 340 sicher teilbar ist und nur 2 zählt
  37. Nein
  38. Nein
  39. 15
  40. 4
  41. 7
  42. 14