Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 45? Zähle 1 und 45 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 45, 3 · 15, 5 · 9
    2. Teiler: 1, 3, 5, 9, 15, 45
    3. Das sind 6 Teiler.
    Ergebnis:
    6
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 812 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    812
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 2.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 2. Der Rest ist 2.
    Ergebnis:
    2

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    12 : 4 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3
  2. ●42
    2 · 9 = ___
    9 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 9 Punkten
    2. 2 · 9 = 18
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welcher Rest bleibt bei 53 : 4? Begründe mit der Division.
53: 4
Schritt für Schritt
  1. 13 · 4 = 52
  2. 53 − 52 = 1
  3. 53 : 4 = 13 Rest 1
  1. 13 · 4 = 52
  2. 53 − 52 = 1
  3. 53 : 4 = 13 Rest 1
Ergebnis:
Rest 1

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 139 : 3? Begründe mit der Division.
    139: 3
    So fängst du an:
    46 · 3 = 138
    Lösung zeigen
    1. 46 · 3 = 138
    2. 139 − 138 = 1
    3. 139 : 3 = 46 Rest 1
    Ergebnis:
    Rest 1
  2. ●2
    Ist 199 durch 9 teilbar? Begründe mit der Division.
    199: 9
    Lösung zeigen
    1. 199 : 9 = 22 Rest 1
    2. Rest 1: nicht teilbar.
    Ergebnis:
    Nein, Rest 1
  3. ★3
    Welche durch 10 teilbare Zahl liegt am nächsten an 854? Begründe mit der Division.
    835840845850855860865870
    Lösung zeigen
    1. 854 : 10 = 85 Rest 4
    2. Nach unten: 854 − 4 = 850. Nach oben: 854 + 6 = 860.
    3. Am nächsten: 850
    Ergebnis:
    850

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Nenne alle Vielfachen von 3, die zwischen 36 und 66 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
4045505560653666
Schritt für Schritt
  1. Das erste Vielfache über 36: 39.
  2. Immer 3 weiter: 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63
  1. Das erste Vielfache über 36: 39.
  2. Immer 3 weiter: 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63
Ergebnis:
39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nenne alle Vielfachen von 6, die zwischen 31 und 67 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    354045505560653167
    So fängst du an:
    Das erste Vielfache über 31: 36.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 31: 36.
    2. Immer 6 weiter: 36, 42, 48, 54, 60, 66
    Ergebnis:
    36, 42, 48, 54, 60, 66
  2. ●5
    Ist 70 ein Vielfaches von 7? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    50556065707580859070
    Lösung zeigen
    1. 70 : 7 = 10
    2. 70 = 7 · 10: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★6
    Welches Vielfache von 7 liegt am nächsten an 500? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    470480490500510520530
    Lösung zeigen
    1. 500 : 7 = 71 Rest 3
    2. Darunter 497, darüber 504.
    3. Am nächsten: 497
    Ergebnis:
    497

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Welche Zahl hat mehr Teiler: 30 oder 15? Schreibe die Teilerpaare auf.
3015
Schritt für Schritt
  1. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
  2. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
  3. 30 hat mehr Teiler.
  1. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
  2. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
  3. 30 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
30

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 15 oder 12? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1512
    So fängst du an:
    15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    2. 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 Teiler)
    3. 12 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    12
  2. ●8
    Wie viele Teiler hat 36? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
    2. 9 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    Ergebnis:
    9 Teiler
  3. ★9
    Finde alle Teiler von 45. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    45 = 1 · 4545 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 45, 3 · 15, 5 · 9
    2. Teiler der Größe nach: 1, 3, 5, 9, 15, 45
    Ergebnis:
    1, 3, 5, 9, 15, 45

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 301_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
T3H0Z1E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 5
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 5
Ergebnis:
5

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 87_ soll durch 10 teilbar sein.
    H8Z7E?
    So fängst du an:
    Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0
  2. ●11
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 105_ soll durch 10 teilbar sein.
    T1H0Z5E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0
  3. ★12
    Wie viele Zahlen von 1 bis 50 sind durch 2 teilbar?
    5101520253035404550
    Lösung zeigen
    1. Die erste: 2, die letzte: 50.
    2. Immer 2 weiter: (50 − 2) : 2 + 1 = 25
    Ergebnis:
    25 Zahlen

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Ist 744.330 durch 100 teilbar?
HT7ZT4T4H3Z3E0
Schritt für Schritt
  1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 30.
  2. Nicht durch 100 teilbar.
  1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 30.
  2. Nicht durch 100 teilbar.
Ergebnis:
Nein

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 15: durch 5 teilbar, durch 10 nicht.
    Ergebnis:
    falsch
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★15
    Ist 39.260 durch 100 teilbar?
    ZT3T9H2Z6E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 60.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum reicht bei 525 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
Schritt für Schritt
  1. Zerlegen: 525 = 520 + 5
  2. 520 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 5 an: nicht durch 10 teilbar.
  1. Zerlegen: 525 = 520 + 5
  2. 520 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 5 an: nicht durch 10 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 520 sicher teilbar ist und nur 5 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 869 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 869 durch 10 teilbar?
    H8Z6E9
    So fängst du an:
    869 = 860 + 9
    Lösung zeigen
    1. 869 = 860 + 9
    2. 860 ist durch 10 teilbar, 9 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Zerlege 857 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 857 durch 5 teilbar?
    H8Z5E7
    Lösung zeigen
    1. 857 = 850 + 7
    2. 850 ist durch 5 teilbar, 7 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Zerlege 2429 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 2429 durch 10 teilbar?
    T2H4Z2E9
    Lösung zeigen
    1. 2429 = 2420 + 9
    2. 2420 ist durch 10 teilbar, 9 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 100 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 10 · 10 = 100
  2. Ein Quadrat mit Seite 10: Quadratzahl.
  1. 10 · 10 = 100
  2. Ein Quadrat mit Seite 10: Quadratzahl.
Ergebnis:
Ja

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ist 27 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    So fängst du an:
    5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●20
    Ist 64 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 8 = 64
    2. Ein Quadrat mit Seite 8: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★21
    Welche Quadratzahlen liegen zwischen 25 und 62?
    Lösung zeigen
    1. Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
    2. Zwischen 25 und 62: 36, 49
    Ergebnis:
    36, 49

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

24 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
24 Kinder210 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Gesucht sind Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
  2. Zwischen 2 und 10: 3, 4, 6, 8
  1. Gesucht sind Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
  2. Zwischen 2 und 10: 3, 4, 6, 8
Ergebnis:
3, 4, 6, 8

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Sofia genau 115 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    5 Stück115 Sticker
    So fängst du an:
    Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. 115 passt: 115 : 5 = 23 Bögen.
    Ergebnis:
    Ja, 23 Bögen
  2. ●23
    30 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    30 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 5, 6
    Ergebnis:
    3, 5, 6
  3. ★24
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Zeynep genau 305 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    10 Stück305 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. 305 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
    Ergebnis:
    Nein

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welcher Rest bleibt bei 59 : 3? Begründe mit der Division.
    59: 3
    Lösung zeigen
    1. 19 · 3 = 57
    2. 59 − 57 = 2
    3. 59 : 3 = 19 Rest 2
    Ergebnis:
    Rest 2
  2. ●26
    144 Kinder fahren ins Stadion. Ein Bus hat 55 Plätze. Wie viele Busse braucht die Schule?
    144 Kinder55 Plätze
    Lösung zeigen
    1. 144 : 55 = 2 Rest 34
    2. Auch die 34 übrigen Kinder brauchen einen Platz: 2 + 1 = 3 Busse
    Ergebnis:
    3 Busse
  3. ●27
    Schreibe die ersten 5 Vielfachen von 8 auf.
    051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 8 · 1, 8 · 2, 8 · 3 und so weiter.
    2. 8, 16, 24, 32, 40
    Ergebnis:
    8, 16, 24, 32, 40
  4. ●28
    Finde alle Teiler von 30. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    30 = 1 · 3030 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  5. ●29
    Das Bild zeigt 30 Plättchen als Rechteck mit 5 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare von 30: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6.
    2. Reihen mal Länge, außer 5 · 6: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
    Ergebnis:
    1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
  6. ●30
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 3016 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 6. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 2.
    Ergebnis:
    2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welcher Rest bleibt bei 184 : 3? Begründe mit der Division.
    184: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rest 1

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 49 ein Vielfaches von 7? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    303540455055606549
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Wie viele Teiler hat 18? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Teiler

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 8265; 7241; 3479; 676?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    676

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 8220 teilbar?
    T8H2Z2E0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2, 5, 10

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 922 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 920 sicher teilbar ist und nur 2 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ist 52 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 2 Stück. Kann Mia genau 68 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    2 Stück68 Sticker
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja, 34 Bögen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 1
  2. Nein, Rest 1
  3. 850
  4. 36, 42, 48, 54, 60, 66
  5. Ja
  6. 497
  7. 12
  8. 9 Teiler
  9. 1, 3, 5, 9, 15, 45
  10. 0
  11. 0
  12. 25 Zahlen
  13. falsch
  14. falsch
  15. Nein
  16. Nein
  17. Nein
  18. Nein
  19. Nein
  20. Ja
  21. 36, 49
  22. Ja, 23 Bögen
  23. 3, 5, 6
  24. Nein
  25. Rest 2
  26. 3 Busse
  27. 8, 16, 24, 32, 40
  28. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  29. 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
  30. 2
  31. Rest 1
  32. Ja
  33. 6 Teiler
  34. 676
  35. 2, 5, 10
  36. nicht teilbar, weil 920 sicher teilbar ist und nur 2 zählt
  37. Nein
  38. Ja, 34 Bögen
  39. 6
  40. 2
  41. 3
  42. 18