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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 20? Zähle 1 und 20 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 20, 2 · 10, 4 · 5
    2. Teiler: 1, 2, 4, 5, 10, 20
    3. Das sind 6 Teiler.
    Ergebnis:
    6
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 312 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    312
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 2.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 2. Der Rest ist 2.
    Ergebnis:
    2

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    24 : 8 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3
  2. ●42
    2 · 7 = ___
    7 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 7 Punkten
    2. 2 · 7 = 14
    Ergebnis:
    14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Ist 37 durch 5 teilbar? Begründe mit der Division.
37: 5
Schritt für Schritt
  1. 37 : 5 = 7 Rest 2
  2. Rest 2: nicht teilbar.
  1. 37 : 5 = 7 Rest 2
  2. Rest 2: nicht teilbar.
Ergebnis:
Nein, Rest 2

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ist 15 durch 3 teilbar? Begründe mit der Division.
    15: 3
    So fängst du an:
    15 : 3 = 5
    Lösung zeigen
    1. 15 : 3 = 5
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●2
    Ist 24 durch 3 teilbar? Begründe mit der Division.
    24: 3
    Lösung zeigen
    1. 24 : 3 = 8
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★3
    Welche durch 9 teilbare Zahl liegt am nächsten an 186? Begründe mit der Division.
    170175180185190195200205
    Lösung zeigen
    1. 186 : 9 = 20 Rest 6
    2. Nach unten: 186 − 6 = 180. Nach oben: 186 + 3 = 189.
    3. Am nächsten: 189
    Ergebnis:
    189

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 9 auf.
01020304050607080
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
  2. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
  1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
  2. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
Ergebnis:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 56 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    404550556065707556
    So fängst du an:
    56 : 8 = 7
    Lösung zeigen
    1. 56 : 8 = 7
    2. 56 = 8 · 7: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●5
    Ist 36 ein Vielfaches von 6? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    202530354045505536
    Lösung zeigen
    1. 36 : 6 = 6
    2. 36 = 6 · 6: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★6
    Schreibe die ersten 6 Vielfachen von 7 auf.
    051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 7 · 1, 7 · 2, 7 · 3 und so weiter.
    2. 7, 14, 21, 28, 35, 42
    Ergebnis:
    7, 14, 21, 28, 35, 42

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Welche Zahl hat mehr Teiler: 12 oder 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
1216
Schritt für Schritt
  1. 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 Teiler)
  2. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
  3. 12 hat mehr Teiler.
  1. 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 Teiler)
  2. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
  3. 12 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
12

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Teiler hat 12? Schreibe die Teilerpaare auf.
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4
    2. 6 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    Ergebnis:
    6 Teiler
  2. ●8
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 18 oder 21? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1821
    Lösung zeigen
    1. 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (6 Teiler)
    2. 21: 1, 3, 7, 21 (4 Teiler)
    3. 18 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    18
  3. ★9
    Finde alle Teiler von 60. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    60 = 1 · 6060 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 60, 2 · 30, 3 · 20, 4 · 15, 5 · 12, 6 · 10
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 7333 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
  2. Durch keine der drei.
  1. Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
  2. Durch keine der drei.
Ergebnis:
durch keine

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 7703 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine
  2. ●11
    Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 1603; 2516; 2595; 4441?
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. Teilbar: 2595
    Ergebnis:
    2595
  3. ★12
    Wie viele Zahlen von 1 bis 60 sind durch 10 teilbar?
    102030405060
    Lösung zeigen
    1. Die erste: 10, die letzte: 60.
    2. Immer 10 weiter: (60 − 10) : 10 + 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Zahlen

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 5 teilbar.“
Schritt für Schritt
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Endet eine Zahl auf 0, ist sie durch 5 teilbar.
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Endet eine Zahl auf 0, ist sie durch 5 teilbar.
Ergebnis:
wahr

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
    Ergebnis:
    falsch
  2. ●14
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 350 teilbar?
    H3Z5E0
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 50.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10.
    Ergebnis:
    2, 5, 10
  3. ★15
    Ist 72.470 durch 100 teilbar?
    ZT7T2H4Z7E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 70.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum reicht bei 728 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
Schritt für Schritt
  1. Zerlegen: 728 = 720 + 8
  2. 720 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 8 an: durch 2 teilbar.
  1. Zerlegen: 728 = 720 + 8
  2. 720 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 8 an: durch 2 teilbar.
Ergebnis:
teilbar, weil 720 sicher teilbar ist und nur 8 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 539 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 539 durch 10 teilbar?
    H5Z3E9
    So fängst du an:
    539 = 530 + 9
    Lösung zeigen
    1. 539 = 530 + 9
    2. 530 ist durch 10 teilbar, 9 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Zerlege 377 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 377 durch 2 teilbar?
    H3Z7E7
    Lösung zeigen
    1. 377 = 370 + 7
    2. 370 ist durch 2 teilbar, 7 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Zerlege 16.001 in ein Vielfaches von 100 und den Rest. Entscheide damit: Ist 16.001 durch 100 teilbar?
    ZT1T6H0Z0E1
    Lösung zeigen
    1. 16.001 = 16.000 + 1
    2. 16.000 ist durch 100 teilbar, 1 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Aus dem Quadrat mit Seite 2 wird eines mit Seite 3. Wie viele Plättchen kommen dazu?
Schritt für Schritt
  1. Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
  2. Dazu: 9 − 4 = 5
  1. Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
  2. Dazu: 9 − 4 = 5
Ergebnis:
5 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ist 100 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    So fängst du an:
    10 · 10 = 100
    Lösung zeigen
    1. 10 · 10 = 100
    2. Ein Quadrat mit Seite 10: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●20
    Ist 9 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 3 = 9
    2. Ein Quadrat mit Seite 3: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★21
    Aus dem Quadrat mit Seite 3 wird eines mit Seite 4. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 3 · 3 = 9. Nachher: 4 · 4 = 16.
    2. Dazu: 16 − 9 = 7
    Ergebnis:
    7 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 8 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 75 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
8 Stück75 Förmchen
Schritt für Schritt
  1. 75 : 8 = 9 Rest 3
  2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 10 Packungen.
  1. 75 : 8 = 9 Rest 3
  2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 10 Packungen.
Ergebnis:
10 Packungen

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    28 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    28 Kinder210 Kinder
    So fängst du an:
    Gesucht sind Teiler von 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
    2. Zwischen 2 und 10: 4, 7
    Ergebnis:
    4, 7
  2. ●23
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:24 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
    2. Ist 24 ein Vielfaches von 20? 24 : 20 = 1 Rest 4
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★24
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:30 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
    2. Ist 30 ein Vielfaches von 20? 30 : 20 = 1 Rest 10
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welcher Rest bleibt bei 138 : 9? Begründe mit der Division.
    138: 9
    Lösung zeigen
    1. 15 · 9 = 135
    2. 138 − 135 = 3
    3. 138 : 9 = 15 Rest 3
    Ergebnis:
    Rest 3
  2. ●26
    Auf eine Albumseite passen 7 Fotos. Paul hat 44 Fotos. Wie viele Seiten werden voll, wie viele Fotos bleiben?
    7 Fotos44 Fotos
    Lösung zeigen
    1. 44 : 7 = 6 Rest 2
    2. 6 volle Seiten, 2 Fotos auf der letzten Seite.
    Ergebnis:
    6 volle Seiten, 2 Fotos
  3. ●27
    Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 46 und 71 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    50556065704671
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 46: 48.
    2. Immer 4 weiter: 48, 52, 56, 60, 64, 68
    Ergebnis:
    48, 52, 56, 60, 64, 68
  4. ●28
    Finde alle Teiler von 32. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    32 = 1 · 3232 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 32, 2 · 16, 4 · 8
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 8, 16, 32
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 8, 16, 32
  5. ●29
    Das Bild zeigt 30 Plättchen als Rechteck mit 5 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare von 30: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6.
    2. Reihen mal Länge, außer 5 · 6: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
    Ergebnis:
    1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
  6. ●30
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 6641; 6926; 6561; 9415?
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 6926
    Ergebnis:
    6926

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Ist 198 durch 9 teilbar? Begründe mit der Division.
    198: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Nenne alle Vielfachen von 7, die zwischen 34 und 64 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    3540455055603464
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35, 42, 49, 56, 63

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Finde alle Teiler von 30. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    30 = 1 · 3030 = ? · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 3554; 7765; 6371; 4619?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7765

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 949 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 940 sicher teilbar ist und nur 9 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ist 100 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:50 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Ja
  2. Ja
  3. 189
  4. Ja
  5. Ja
  6. 7, 14, 21, 28, 35, 42
  7. 6 Teiler
  8. 18
  9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
  10. durch keine
  11. 2595
  12. 6 Zahlen
  13. falsch
  14. 2, 5, 10
  15. Nein
  16. Nein
  17. Nein
  18. Nein
  19. Ja
  20. Ja
  21. 7 Plättchen
  22. 4, 7
  23. Nein
  24. Nein
  25. Rest 3
  26. 6 volle Seiten, 2 Fotos
  27. 48, 52, 56, 60, 64, 68
  28. 1, 2, 4, 8, 16, 32
  29. 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10
  30. 6926
  31. Ja
  32. 35, 42, 49, 56, 63
  33. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  34. 7765
  35. falsch
  36. nicht teilbar, weil 940 sicher teilbar ist und nur 9 zählt
  37. Ja
  38. Nein
  39. 6
  40. 2
  41. 3
  42. 14