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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 30 hat das Teilerpaar 3 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 3 · □ = 30
    2. 30 : 3 = 10
    3. Probe: 3 · 10 = 30
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 638 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    638
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 8.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 8.
    Ergebnis:
    8

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    20 : 5 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4
  2. ●42
    3 · 5 = ___
    5 in jeder Reihe3 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 3 Reihen mit je 5 Punkten
    2. 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Ist 161 durch 3 teilbar? Begründe mit der Division.
161: 3
Schritt für Schritt
  1. 161 : 3 = 53 Rest 2
  2. Rest 2: nicht teilbar.
  1. 161 : 3 = 53 Rest 2
  2. Rest 2: nicht teilbar.
Ergebnis:
Nein, Rest 2

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 190 : 8? Begründe mit der Division.
    190: 8
    So fängst du an:
    23 · 8 = 184
    Lösung zeigen
    1. 23 · 8 = 184
    2. 190 − 184 = 6
    3. 190 : 8 = 23 Rest 6
    Ergebnis:
    Rest 6
  2. ●2
    Welcher Rest bleibt bei 83 : 4? Begründe mit der Division.
    83: 4
    Lösung zeigen
    1. 20 · 4 = 80
    2. 83 − 80 = 3
    3. 83 : 4 = 20 Rest 3
    Ergebnis:
    Rest 3
  3. ★3
    Welcher Rest bleibt bei 896 : 3? Begründe mit der Division.
    896: 3
    Lösung zeigen
    1. 298 · 3 = 894
    2. 896 − 894 = 2
    3. 896 : 3 = 298 Rest 2
    Ergebnis:
    Rest 2

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Ist 103 ein Vielfaches von 4? Schreibe sie der Reihe nach auf.
859095100105110115120103
Schritt für Schritt
  1. 103 : 4 = 25 Rest 3
  2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
  1. 103 : 4 = 25 Rest 3
  2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
Ergebnis:
Nein

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 4 auf.
    05101520253035
    So fängst du an:
    Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
    2. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
    Ergebnis:
    4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
  2. ●5
    Ist 112 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    95100105110115120125130112
    Lösung zeigen
    1. 112 : 8 = 14
    2. 112 = 8 · 14: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★6
    Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 15 auf.
    020406080100120
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 15 · 1, 15 · 2, 15 · 3 und so weiter.
    2. 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105
    Ergebnis:
    15, 30, 45, 60, 75, 90, 105

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Welche Zahl hat mehr Teiler: 15 oder 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
1524
Schritt für Schritt
  1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
  2. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
  3. 24 hat mehr Teiler.
  1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
  2. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
  3. 24 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
24

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Finde alle Teiler von 30. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    30 = 1 · 3030 = ? · ?
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. ●8
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 15 oder 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1516
    Lösung zeigen
    1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    2. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
    3. 16 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    16
  3. ★9
    Wie viele Teiler hat 40? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 40, 2 · 20, 4 · 10, 5 · 8
    2. 8 Teiler: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
    Ergebnis:
    8 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 3359; 7885; 7874; 9410?
Schritt für Schritt
  1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
  2. Teilbar: 9410
  1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
  2. Teilbar: 9410
Ergebnis:
9410

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 916_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.
    T9H1Z6E?
    So fängst du an:
    Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 2, 4, 6, 8
    Ergebnis:
    2, 4, 6, 8
  2. ●11
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 82_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.
    H8Z2E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 2, 4, 6, 8
    Ergebnis:
    2, 4, 6, 8
  3. ★12
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 56.130 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 0. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10.
    Ergebnis:
    2, 5, 10

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 5805 teilbar?
T5H8Z0E5
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
  2. Teilbar durch 5.
  1. Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
  2. Teilbar durch 5.
Ergebnis:
5

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 4105 teilbar?
    T4H1Z0E5
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
    2. Teilbar durch 5.
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Ist 94.130 durch 100 teilbar?
    ZT9T4H1Z3E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 30.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★15
    Ist 3480 durch 100 teilbar?
    T3H4Z8E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 80.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 582 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 582 durch 2 teilbar?
H5Z8E2
Schritt für Schritt
  1. 582 = 580 + 2
  2. 580 ist durch 2 teilbar, 2 auch: Ja.
  1. 582 = 580 + 2
  2. 580 ist durch 2 teilbar, 2 auch: Ja.
Ergebnis:
Ja

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 181 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 181 durch 5 teilbar?
    H1Z8E1
    So fängst du an:
    181 = 180 + 1
    Lösung zeigen
    1. 181 = 180 + 1
    2. 180 ist durch 5 teilbar, 1 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Warum reicht bei 836 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 836 = 830 + 6
    2. 830 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 6 an: durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    teilbar, weil 830 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  3. ★18
    Warum reicht bei 52.061 der Blick auf die letzten beiden Ziffern, um die Teilbarkeit durch 100 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 52.061 = 52.000 + 61
    2. 52.000 ist ein Vielfaches von 100 und damit durch 100 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 61 an: nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 52.000 sicher teilbar ist und nur 61 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 69 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 8 = 64 ist zu klein, 9 · 9 = 81 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
  1. 8 · 8 = 64 ist zu klein, 9 · 9 = 81 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ist 50 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    So fängst du an:
    7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●20
    Aus dem Quadrat mit Seite 9 wird eines mit Seite 10. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 9 · 9 = 81. Nachher: 10 · 10 = 100.
    2. Dazu: 100 − 81 = 19
    Ergebnis:
    19 Plättchen
  3. ★21
    Aus dem Quadrat mit Seite 6 wird eines mit Seite 7. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 6 · 6 = 36. Nachher: 7 · 7 = 49.
    2. Dazu: 49 − 36 = 13
    Ergebnis:
    13 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 8 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 35 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
8 Stück35 Förmchen
Schritt für Schritt
  1. 35 : 8 = 4 Rest 3
  2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 5 Packungen.
  1. 35 : 8 = 4 Rest 3
  2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 5 Packungen.
Ergebnis:
5 Packungen

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 87 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück87 Förmchen
    So fängst du an:
    87 : 12 = 7 Rest 3
    Lösung zeigen
    1. 87 : 12 = 7 Rest 3
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 8 Packungen.
    Ergebnis:
    8 Packungen
  2. ●23
    32 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    32 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
    2. Zwischen 2 und 10: 4, 8
    Ergebnis:
    4, 8
  3. ★24
    27 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    27 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 27: 1, 3, 9, 27.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 9
    Ergebnis:
    3, 9

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welcher Rest bleibt bei 130 : 3? Begründe mit der Division.
    130: 3
    Lösung zeigen
    1. 43 · 3 = 129
    2. 130 − 129 = 1
    3. 130 : 3 = 43 Rest 1
    Ergebnis:
    Rest 1
  2. ●26
    124 Kinder fahren ins Stadion. Ein Bus hat 40 Plätze. Wie viele Busse braucht die Schule?
    124 Kinder40 Plätze
    Lösung zeigen
    1. 124 : 40 = 3 Rest 4
    2. Auch die 4 übrigen Kinder brauchen einen Platz: 3 + 1 = 4 Busse
    Ergebnis:
    4 Busse
  3. ●27
    Nenne alle Vielfachen von 9, die zwischen 48 und 80 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    505560657075804880
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 48: 54.
    2. Immer 9 weiter: 54, 63, 72
    Ergebnis:
    54, 63, 72
  4. ●28
    Aus 16 Plättchen legst du Rechtecke. Alle Reihen sind gleich lang. Wie viele verschiedene Rechtecke gibt es? Ein Beispiel siehst du im Bild.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Rechteck ist ein Teilerpaar: 1 · 16, 2 · 8, 4 · 4.
    2. Gedrehte Rechtecke zählen nicht doppelt.
    Ergebnis:
    3 Rechtecke
  5. ●29
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 156_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.
    T1H5Z6E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 2, 4, 6, 8
    Ergebnis:
    2, 4, 6, 8
  6. ●30
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welcher Rest bleibt bei 170 : 9? Begründe mit der Division.
    170: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rest 8

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Nenne alle Vielfachen von 6, die zwischen 33 und 71 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    35404550556065703371
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36, 42, 48, 54, 60, 66

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 28 oder 15? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2815
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 58_ soll durch 10 teilbar sein.
    H5Z8E?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 709 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 709 durch 2 teilbar?
    H7Z0E9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Aus dem Quadrat mit Seite 9 wird eines mit Seite 10. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 57 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    6 Stück57 Förmchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Packungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 6
  2. Rest 3
  3. Rest 2
  4. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
  5. Ja
  6. 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105
  7. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  8. 16
  9. 8 Teiler
  10. 2, 4, 6, 8
  11. 2, 4, 6, 8
  12. 2, 5, 10
  13. 5
  14. Nein
  15. Nein
  16. Nein
  17. teilbar, weil 830 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  18. nicht teilbar, weil 52.000 sicher teilbar ist und nur 61 zählt
  19. Nein
  20. 19 Plättchen
  21. 13 Plättchen
  22. 8 Packungen
  23. 4, 8
  24. 3, 9
  25. Rest 1
  26. 4 Busse
  27. 54, 63, 72
  28. 3 Rechtecke
  29. 2, 4, 6, 8
  30. falsch
  31. Rest 8
  32. 36, 42, 48, 54, 60, 66
  33. 28
  34. 0
  35. falsch
  36. Nein
  37. 19 Plättchen
  38. 10 Packungen
  39. 10
  40. 8
  41. 4
  42. 15