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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 27 hat das Teilerpaar 3 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 3 · □ = 27
    2. 27 : 3 = 9
    3. Probe: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    9
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 754 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    754
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 4.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 4.
    Ergebnis:
    4

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    20 : 5 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4
  2. ●42
    10 · 2 = ___
    2 in jeder Reihe10 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 2 Punkten
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 8 teilbar: 40, 27, 92, 60? Begründe mit der Division.
40279260
Schritt für Schritt
  1. Jede Zahl durch 8 teilen und auf den Rest achten.
  2. 40 : 8 = 5; bei 27, 92, 60 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 40
  1. Jede Zahl durch 8 teilen und auf den Rest achten.
  2. 40 : 8 = 5; bei 27, 92, 60 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 40
Ergebnis:
40

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 66 : 4? Begründe mit der Division.
    66: 4
    So fängst du an:
    16 · 4 = 64
    Lösung zeigen
    1. 16 · 4 = 64
    2. 66 − 64 = 2
    3. 66 : 4 = 16 Rest 2
    Ergebnis:
    Rest 2
  2. ●2
    Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 64, 76, 21, 26? Begründe mit der Division.
    64762126
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
    2. 21 : 7 = 3; bei 64, 76, 26 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 21
    Ergebnis:
    21
  3. ★3
    Ist 509 durch 4 teilbar? Begründe mit der Division.
    509: 4
    Lösung zeigen
    1. 509 : 4 = 127 Rest 1
    2. Rest 1: nicht teilbar.
    Ergebnis:
    Nein, Rest 1

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 6 Vielfachen von 5 auf.
05101520253035
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 5 · 1, 5 · 2, 5 · 3 und so weiter.
  2. 5, 10, 15, 20, 25, 30
  1. Vielfache sind 5 · 1, 5 · 2, 5 · 3 und so weiter.
  2. 5, 10, 15, 20, 25, 30
Ergebnis:
5, 10, 15, 20, 25, 30

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 9 auf.
    010203040506070
    So fängst du an:
    Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    2. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63
    Ergebnis:
    9, 18, 27, 36, 45, 54, 63
  2. ●5
    Ist 85 ein Vielfaches von 9? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    6570758085909510010585
    Lösung zeigen
    1. 85 : 9 = 9 Rest 4
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★6
    Nenne alle Vielfachen von 12, die zwischen 39 und 66 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    4045505560653966
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 39: 48.
    2. Immer 12 weiter: 48, 60
    Ergebnis:
    48, 60

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Wie viele Teiler hat 18? Schreibe die Teilerpaare auf.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
  2. 6 Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
  2. 6 Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ergebnis:
6 Teiler

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 15 oder 20? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1520
    So fängst du an:
    15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    2. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 Teiler)
    3. 20 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    20
  2. ●8
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 20 oder 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2016
    Lösung zeigen
    1. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 Teiler)
    2. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
    3. 20 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    20
  3. ★9
    Wie viele Teiler hat 90? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 90, 2 · 45, 3 · 30, 5 · 18, 6 · 15, 9 · 10
    2. 12 Teiler: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
    Ergebnis:
    12 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 809_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
T8H0Z9E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
Ergebnis:
0

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 1074 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer: 4. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 4. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 2.
    Ergebnis:
    2
  2. ●11
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 3410; 3205; 2106; 667?
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 3410
    Ergebnis:
    3410
  3. ★12
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 98.408; 8465; 33.953; 56.603?
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 98.408
    Ergebnis:
    98.408

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 620 teilbar?
H6Z2E0
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10.
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10.
Ergebnis:
2, 5, 10

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 5 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Endet eine Zahl auf 0, ist sie durch 5 teilbar.
    Ergebnis:
    wahr
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★15
    Ist 391.130 durch 100 teilbar?
    HT3ZT9T1H1Z3E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 30.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 804 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 804 durch 2 teilbar?
H8Z0E4
Schritt für Schritt
  1. 804 = 800 + 4
  2. 800 ist durch 2 teilbar, 4 auch: Ja.
  1. 804 = 800 + 4
  2. 800 ist durch 2 teilbar, 4 auch: Ja.
Ergebnis:
Ja

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 831 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 831 durch 2 teilbar?
    H8Z3E1
    So fängst du an:
    831 = 830 + 1
    Lösung zeigen
    1. 831 = 830 + 1
    2. 830 ist durch 2 teilbar, 1 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Zerlege 386 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 386 durch 5 teilbar?
    H3Z8E6
    Lösung zeigen
    1. 386 = 380 + 6
    2. 380 ist durch 5 teilbar, 6 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Warum reicht bei 5456 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 5456 = 5450 + 6
    2. 5450 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 6 an: nicht durch 5 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 5450 sicher teilbar ist und nur 6 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 54 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
  1. 7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 2 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    So fängst du an:
    2 Reihen mit je 2 Plättchen.
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 2 Plättchen.
    2. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Plättchen
  2. ●20
    Ist 81 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 9 = 81
    2. Ein Quadrat mit Seite 9: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★21
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 10 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 10 Plättchen.
    2. 10 · 10 = 100
    Ergebnis:
    100 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 50 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
6 Stück50 Förmchen
Schritt für Schritt
  1. 50 : 6 = 8 Rest 2
  2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 9 Packungen.
  1. 50 : 6 = 8 Rest 2
  2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 9 Packungen.
Ergebnis:
9 Packungen

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 8 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 49 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    8 Stück49 Förmchen
    So fängst du an:
    49 : 8 = 6 Rest 1
    Lösung zeigen
    1. 49 : 8 = 6 Rest 1
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 7 Packungen.
    Ergebnis:
    7 Packungen
  2. ●23
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 53 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück53 Förmchen
    Lösung zeigen
    1. 53 : 12 = 4 Rest 5
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 5 Packungen.
    Ergebnis:
    5 Packungen
  3. ★24
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 86 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück86 Förmchen
    Lösung zeigen
    1. 86 : 12 = 7 Rest 2
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 8 Packungen.
    Ergebnis:
    8 Packungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 4 teilbar: 90, 73, 55, 40? Begründe mit der Division.
    90735540
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    2. 40 : 4 = 10; bei 90, 73, 55 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●26
    Auf eine Albumseite passen 4 Fotos. Jonas hat 50 Fotos. Wie viele Seiten werden voll, wie viele Fotos bleiben?
    4 Fotos50 Fotos
    Lösung zeigen
    1. 50 : 4 = 12 Rest 2
    2. 12 volle Seiten, 2 Fotos auf der letzten Seite.
    Ergebnis:
    12 volle Seiten, 2 Fotos
  3. ●27
    Nenne alle Vielfachen von 6, die zwischen 23 und 57 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    253035404550552357
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 23: 24.
    2. Immer 6 weiter: 24, 30, 36, 42, 48, 54
    Ergebnis:
    24, 30, 36, 42, 48, 54
  4. ●28
    Finde alle Teiler von 30. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    30 = 1 · 3030 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  5. ●29
    Das Bild zeigt 21 Plättchen als Rechteck mit 3 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare von 21: 1 · 21, 3 · 7.
    2. Reihen mal Länge, außer 3 · 7: 1 · 21
    Ergebnis:
    1 · 21
  6. ●30
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 113_ soll durch 10 teilbar sein.
    T1H1Z3E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welche Zahl ist durch 9 teilbar: 22, 27, 70, 56? Begründe mit der Division.
    22277056
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 94 ein Vielfaches von 9? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    758085909510010511094
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 32 oder 15? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3215
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 157; 5373; 8302; 4255?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8302

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 153 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 150 sicher teilbar ist und nur 3 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Aus dem Quadrat mit Seite 2 wird eines mit Seite 3. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 57 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    6 Stück57 Förmchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Packungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 2
  2. 21
  3. Nein, Rest 1
  4. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63
  5. Nein
  6. 48, 60
  7. 20
  8. 20
  9. 12 Teiler
  10. 2
  11. 3410
  12. 98.408
  13. wahr
  14. falsch
  15. Nein
  16. Nein
  17. Nein
  18. nicht teilbar, weil 5450 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  19. 4 Plättchen
  20. Ja
  21. 100 Plättchen
  22. 7 Packungen
  23. 5 Packungen
  24. 8 Packungen
  25. 40
  26. 12 volle Seiten, 2 Fotos
  27. 24, 30, 36, 42, 48, 54
  28. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  29. 1 · 21
  30. 0
  31. 27
  32. Nein
  33. 32
  34. 8302
  35. falsch
  36. nicht teilbar, weil 150 sicher teilbar ist und nur 3 zählt
  37. 5 Plättchen
  38. 10 Packungen
  39. 9
  40. 4
  41. 4
  42. 20