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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 12 hat das Teilerpaar 2 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 2 · □ = 12
    2. 12 : 2 = 6
    3. Probe: 2 · 6 = 12
    Ergebnis:
    6
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 353 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    353
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 3.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 3. Der Rest ist 3.
    Ergebnis:
    3

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    64 : 8 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8
  2. ●42
    5 · 9 = ___
    9 in jeder Reihe5 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 5 Reihen mit je 9 Punkten
    2. 5 · 9 = 45
    Ergebnis:
    45

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welcher Rest bleibt bei 136 : 7? Begründe mit der Division.
136: 7
Schritt für Schritt
  1. 19 · 7 = 133
  2. 136 − 133 = 3
  3. 136 : 7 = 19 Rest 3
  1. 19 · 7 = 133
  2. 136 − 133 = 3
  3. 136 : 7 = 19 Rest 3
Ergebnis:
Rest 3

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 179 : 9? Begründe mit der Division.
    179: 9
    So fängst du an:
    19 · 9 = 171
    Lösung zeigen
    1. 19 · 9 = 171
    2. 179 − 171 = 8
    3. 179 : 9 = 19 Rest 8
    Ergebnis:
    Rest 8
  2. ●2
    Welche Zahl ist durch 4 teilbar: 48, 67, 90, 58? Begründe mit der Division.
    48679058
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    2. 48 : 4 = 12; bei 67, 90, 58 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★3
    Ist 504 durch 9 teilbar? Begründe mit der Division.
    504: 9
    Lösung zeigen
    1. 504 : 9 = 56
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 3 auf.
0510152025
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 3 · 1, 3 · 2, 3 · 3 und so weiter.
  2. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
  1. Vielfache sind 3 · 1, 3 · 2, 3 · 3 und so weiter.
  2. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
Ergebnis:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 21 und 57 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    253035404550552157
    So fängst du an:
    Das erste Vielfache über 21: 24.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 21: 24.
    2. Immer 4 weiter: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56
    Ergebnis:
    24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56
  2. ●5
    Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 7 auf.
    01020304050
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 7 · 1, 7 · 2, 7 · 3 und so weiter.
    2. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49
    Ergebnis:
    7, 14, 21, 28, 35, 42, 49
  3. ★6
    Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 13 auf.
    020406080100
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 13 · 1, 13 · 2, 13 · 3 und so weiter.
    2. 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104
    Ergebnis:
    13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Finde alle Teiler von 18. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
18 = 1 · 1818 = ? · ?
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ergebnis:
1, 2, 3, 6, 9, 18

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 28 oder 21? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2821
    So fängst du an:
    28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6 Teiler)
    2. 21: 1, 3, 7, 21 (4 Teiler)
    3. 28 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    28
  2. ●8
    Wie viele Teiler hat 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 16, 2 · 8, 4 · 4
    2. 5 Teiler: 1, 2, 4, 8, 16
    Ergebnis:
    5 Teiler
  3. ★9
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 80 oder 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
    8024
    Lösung zeigen
    1. 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 (10 Teiler)
    2. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
    3. 80 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    80

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 1369; 7906; 8183; 8195?
Schritt für Schritt
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. Teilbar: 8195
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. Teilbar: 8195
Ergebnis:
8195

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 3661; 9052; 7085; 9190?
    So fängst du an:
    Durch 10: letzte Ziffer 0.
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 9190
    Ergebnis:
    9190
  2. ●11
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 987_ soll durch 10 teilbar sein.
    T9H8Z7E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0
  3. ★12
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 149_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
    T1H4Z9E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“
Schritt für Schritt
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Die Endziffer 0 ist gerade.
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Die Endziffer 0 ist gerade.
Ergebnis:
wahr

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ist 155.400 durch 100 teilbar?
    HT1ZT5T5H4Z0E0
    So fängst du an:
    Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 15: durch 5 teilbar, durch 10 nicht.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★15
    Ist 810.100 durch 100 teilbar?
    HT8ZT1T0H1Z0E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 358 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 358 durch 10 teilbar?
H3Z5E8
Schritt für Schritt
  1. 358 = 350 + 8
  2. 350 ist durch 10 teilbar, 8 nicht: Nein.
  1. 358 = 350 + 8
  2. 350 ist durch 10 teilbar, 8 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum reicht bei 319 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    So fängst du an:
    Zerlegen: 319 = 310 + 9
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 319 = 310 + 9
    2. 310 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 9 an: nicht durch 10 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 310 sicher teilbar ist und nur 9 zählt
  2. ●17
    Zerlege 189 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 189 durch 2 teilbar?
    H1Z8E9
    Lösung zeigen
    1. 189 = 180 + 9
    2. 180 ist durch 2 teilbar, 9 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Warum reicht bei 387 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 387 = 380 + 7
    2. 380 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 7 an: nicht durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 380 sicher teilbar ist und nur 7 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 5 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
Schritt für Schritt
  1. 5 Reihen mit je 5 Plättchen.
  2. 5 · 5 = 25
  1. 5 Reihen mit je 5 Plättchen.
  2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Aus dem Quadrat mit Seite 2 wird eines mit Seite 3. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    So fängst du an:
    Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
    2. Dazu: 9 − 4 = 5
    Ergebnis:
    5 Plättchen
  2. ●20
    Ist 9 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 3 = 9
    2. Ein Quadrat mit Seite 3: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★21
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 7 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 7 Reihen mit je 7 Plättchen.
    2. 7 · 7 = 49
    Ergebnis:
    49 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Sofia genau 65 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
5 Stück65 Sticker
Schritt für Schritt
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. 65 passt: 65 : 5 = 13 Bögen.
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. 65 passt: 65 : 5 = 13 Bögen.
Ergebnis:
Ja, 13 Bögen

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Elias genau 85 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    5 Stück85 Sticker
    So fängst du an:
    Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. 85 passt: 85 : 5 = 17 Bögen.
    Ergebnis:
    Ja, 17 Bögen
  2. ●23
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Emma genau 69 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    5 Stück69 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. 69 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★24
    28 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    28 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
    2. Zwischen 2 und 10: 4, 7
    Ergebnis:
    4, 7

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 61, 95, 42, 57? Begründe mit der Division.
    61954257
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
    2. 42 : 7 = 6; bei 61, 95, 57 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●26
    Ein Hof packt 68 Eier in Kartons zu 6 Stück. Wie viele Kartons werden voll? Wie viele Eier bleiben übrig?
    68 Eier6 Stück
    Lösung zeigen
    1. 68 : 6 = 11 Rest 2
    2. 11 volle Kartons, 2 Eier übrig.
    Ergebnis:
    11 Kartons, 2 Eier übrig
  3. ●27
    Ist 112 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    95100105110115120125130112
    Lösung zeigen
    1. 112 : 8 = 14
    2. 112 = 8 · 14: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 20 oder 22? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2022
    Lösung zeigen
    1. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 Teiler)
    2. 22: 1, 2, 11, 22 (4 Teiler)
    3. 20 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    20
  5. ●29
    Kann Lina aus 13 Plättchen ein Rechteck mit genau 7 gleich langen Reihen legen?
    Lösung zeigen
    1. 13 : 7 = 1 Rest 6
    2. Es bleibt ein Rest: Das geht nicht.
    Ergebnis:
    Nein
  6. ●30
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 2289 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 9. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welcher Rest bleibt bei 101 : 9? Begründe mit der Division.
    101: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rest 2

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 8 auf.
    0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8, 16, 24, 32, 40, 48, 56

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Finde alle Teiler von 15. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    15 = 1 · 1515 = ? · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 3, 5, 15

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 816_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
    T8H1Z6E?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Ist 87.420 durch 100 teilbar?
    ZT8T7H4Z2E0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 858 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 858 durch 2 teilbar?
    H8Z5E8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ist 25 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Hanna genau 102 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    10 Stück102 Sticker
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 8
  2. 48
  3. Ja
  4. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56
  5. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49
  6. 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104
  7. 28
  8. 5 Teiler
  9. 80
  10. 9190
  11. 0
  12. 0
  13. Ja
  14. falsch
  15. Ja
  16. nicht teilbar, weil 310 sicher teilbar ist und nur 9 zählt
  17. Nein
  18. nicht teilbar, weil 380 sicher teilbar ist und nur 7 zählt
  19. 5 Plättchen
  20. Ja
  21. 49 Plättchen
  22. Ja, 17 Bögen
  23. Nein
  24. 4, 7
  25. 42
  26. 11 Kartons, 2 Eier übrig
  27. Ja
  28. 20
  29. Nein
  30. durch keine
  31. Rest 2
  32. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56
  33. 1, 3, 5, 15
  34. 5
  35. Nein
  36. Ja
  37. Ja
  38. Nein
  39. 6
  40. 3
  41. 8
  42. 45