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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 42 hat das Teilerpaar 3 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 3 · □ = 42
    2. 42 : 3 = 14
    3. Probe: 3 · 14 = 42
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 559 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    559
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 9.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 9.
    Ergebnis:
    9

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    15 : 3 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5
  2. ●42
    5 · 5 = ___
    5 in jeder Reihe5 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 5 Reihen mit je 5 Punkten
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Ist 43 durch 7 teilbar? Begründe mit der Division.
43: 7
Schritt für Schritt
  1. 43 : 7 = 6 Rest 1
  2. Rest 1: nicht teilbar.
  1. 43 : 7 = 6 Rest 1
  2. Rest 1: nicht teilbar.
Ergebnis:
Nein, Rest 1

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 118 : 8? Begründe mit der Division.
    118: 8
    So fängst du an:
    14 · 8 = 112
    Lösung zeigen
    1. 14 · 8 = 112
    2. 118 − 112 = 6
    3. 118 : 8 = 14 Rest 6
    Ergebnis:
    Rest 6
  2. ●2
    Ist 88 durch 4 teilbar? Begründe mit der Division.
    88: 4
    Lösung zeigen
    1. 88 : 4 = 22
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★3
    Welcher Rest bleibt bei 217 : 9? Begründe mit der Division.
    217: 9
    Lösung zeigen
    1. 24 · 9 = 216
    2. 217 − 216 = 1
    3. 217 : 9 = 24 Rest 1
    Ergebnis:
    Rest 1

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 8 auf.
0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 8 · 1, 8 · 2, 8 · 3 und so weiter.
  2. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56
  1. Vielfache sind 8 · 1, 8 · 2, 8 · 3 und so weiter.
  2. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56
Ergebnis:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 40 ein Vielfaches von 4? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    20253035404550556040
    So fängst du an:
    40 : 4 = 10
    Lösung zeigen
    1. 40 : 4 = 10
    2. 40 = 4 · 10: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●5
    Nenne alle Vielfachen von 7, die zwischen 34 und 65 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    354045505560653465
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 34: 35.
    2. Immer 7 weiter: 35, 42, 49, 56, 63
    Ergebnis:
    35, 42, 49, 56, 63
  3. ★6
    Ist 32 ein Vielfaches von 5? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    152025303540455032
    Lösung zeigen
    1. 32 : 5 = 6 Rest 2
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Finde alle Teiler von 12. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
12 = 1 · 1212 = ? · ?
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  1. Teilerpaare: 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 30 oder 12? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3012
    So fängst du an:
    30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
    2. 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 Teiler)
    3. 30 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    30
  2. ●8
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 20 oder 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2024
    Lösung zeigen
    1. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 Teiler)
    2. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
    3. 24 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    24
  3. ★9
    Finde alle Teiler von 84. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 84, 2 · 42, 3 · 28, 4 · 21, 6 · 14, 7 · 12
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 7335; 746; 5293; 4491?
Schritt für Schritt
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. Teilbar: 7335
  1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
  2. Teilbar: 7335
Ergebnis:
7335

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 2923; 4252; 8653; 5065?
    So fängst du an:
    Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 4252
    Ergebnis:
    4252
  2. ●11
    Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 5191; 705; 3501; 4354?
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. Teilbar: 705
    Ergebnis:
    705
  3. ★12
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 724_ soll durch 10 teilbar sein.
    T7H2Z4E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 0
    Ergebnis:
    0

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 7500 teilbar?
T7H5Z0E0
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
Ergebnis:
2, 5, 10, 100

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ist 372.800 durch 100 teilbar?
    HT3ZT7T2H8Z0E0
    So fängst du an:
    Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★15
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 und durch 5 teilbar ist, ist durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gerade und Endziffer 0 oder 5: Es bleibt nur die 0.
    Ergebnis:
    wahr

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 944 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 944 durch 10 teilbar?
H9Z4E4
Schritt für Schritt
  1. 944 = 940 + 4
  2. 940 ist durch 10 teilbar, 4 nicht: Nein.
  1. 944 = 940 + 4
  2. 940 ist durch 10 teilbar, 4 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 917 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 917 durch 10 teilbar?
    H9Z1E7
    So fängst du an:
    917 = 910 + 7
    Lösung zeigen
    1. 917 = 910 + 7
    2. 910 ist durch 10 teilbar, 7 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Zerlege 336 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 336 durch 5 teilbar?
    H3Z3E6
    Lösung zeigen
    1. 336 = 330 + 6
    2. 330 ist durch 5 teilbar, 6 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Warum reicht bei 25.271 der Blick auf die letzten beiden Ziffern, um die Teilbarkeit durch 100 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 25.271 = 25.200 + 71
    2. 25.200 ist ein Vielfaches von 100 und damit durch 100 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 71 an: nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 25.200 sicher teilbar ist und nur 71 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Aus dem Quadrat mit Seite 2 wird eines mit Seite 3. Wie viele Plättchen kommen dazu?
Schritt für Schritt
  1. Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
  2. Dazu: 9 − 4 = 5
  1. Vorher: 2 · 2 = 4. Nachher: 3 · 3 = 9.
  2. Dazu: 9 − 4 = 5
Ergebnis:
5 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Aus dem Quadrat mit Seite 7 wird eines mit Seite 8. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    So fängst du an:
    Vorher: 7 · 7 = 49. Nachher: 8 · 8 = 64.
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 7 · 7 = 49. Nachher: 8 · 8 = 64.
    2. Dazu: 64 − 49 = 15
    Ergebnis:
    15 Plättchen
  2. ●20
    Ist 71 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 8 = 64 ist zu klein, 9 · 9 = 81 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★21
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 4 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 4 Reihen mit je 4 Plättchen.
    2. 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    16 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Sticker gibt es nur in Bögen zu 2 Stück. Kann Emma genau 107 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
2 Stück107 Sticker
Schritt für Schritt
  1. Durch 2: letzte Ziffer gerade.
  2. 107 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
  1. Durch 2: letzte Ziffer gerade.
  2. 107 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Teiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    27 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    27 Kinder210 Kinder
    So fängst du an:
    Gesucht sind Teiler von 27: 1, 3, 9, 27.
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 27: 1, 3, 9, 27.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 9
    Ergebnis:
    3, 9
  2. ●23
    32 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    32 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
    2. Zwischen 2 und 10: 4, 8
    Ergebnis:
    4, 8
  3. ★24
    24 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    24 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 4, 6, 8
    Ergebnis:
    3, 4, 6, 8

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 50, 74, 52, 84? Begründe mit der Division.
    50745284
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
    2. 84 : 7 = 12; bei 50, 74, 52 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●26
    Ein Hof packt 63 Eier in Kartons zu 6 Stück. Wie viele Kartons werden voll? Wie viele Eier bleiben übrig?
    63 Eier6 Stück
    Lösung zeigen
    1. 63 : 6 = 10 Rest 3
    2. 10 volle Kartons, 3 Eier übrig.
    Ergebnis:
    10 Kartons, 3 Eier übrig
  3. ●27
    Ist 48 ein Vielfaches von 4? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    303540455055606548
    Lösung zeigen
    1. 48 : 4 = 12
    2. 48 = 4 · 12: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 28 oder 15? Schreibe die Teilerpaare auf.
    2815
    Lösung zeigen
    1. 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 (6 Teiler)
    2. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    3. 28 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    28
  5. ●29
    Kann Milan aus 24 Plättchen ein Rechteck mit genau 3 gleich langen Reihen legen?
    Lösung zeigen
    1. 24 : 3 = 8
    2. Ja: 3 Reihen mit je 8 Plättchen.
    Ergebnis:
    Ja, je 8 Plättchen
  6. ●30
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 152_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.
    T1H5Z2E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 2, 4, 6, 8
    Ergebnis:
    2, 4, 6, 8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welcher Rest bleibt bei 107 : 3? Begründe mit der Division.
    107: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rest 2

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 3 auf.
    05101520
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Teiler

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 8112 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 5 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    wahr

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 405 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 405 durch 2 teilbar?
    H4Z0E5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 6 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:50 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 6
  2. Ja
  3. Rest 1
  4. Ja
  5. 35, 42, 49, 56, 63
  6. Nein
  7. 30
  8. 24
  9. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
  10. 4252
  11. 705
  12. 0
  13. Ja
  14. falsch
  15. wahr
  16. Nein
  17. Nein
  18. nicht teilbar, weil 25.200 sicher teilbar ist und nur 71 zählt
  19. 15 Plättchen
  20. Nein
  21. 16 Plättchen
  22. 3, 9
  23. 4, 8
  24. 3, 4, 6, 8
  25. 84
  26. 10 Kartons, 3 Eier übrig
  27. Ja
  28. 28
  29. Ja, je 8 Plättchen
  30. 2, 4, 6, 8
  31. Rest 2
  32. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
  33. 6 Teiler
  34. 2
  35. wahr
  36. Nein
  37. 36 Plättchen
  38. Nein
  39. 14
  40. 9
  41. 5
  42. 25