Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

●39
Die Zahl 18 hat das Teilerpaar 3 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung zeigen
1. 3 · □ = 18
2. 18 : 3 = 6
3. Probe: 3 · 6 = 18
Ergebnis:
6
●40
Welcher Rest bleibt, wenn du 373 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
Lösung zeigen
1. Die Einerziffer ist 3.
2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 3. Der Rest ist 3.
Ergebnis:
3

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

●41
18 : 3 = ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
6
●42
10 · 9 = ___
Lösung zeigen
1. 10 Reihen mit je 9 Punkten
2. 10 · 9 = 90
Ergebnis:
90

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 5 teilbar: 97, 32, 45, 51? Begründe mit der Division.

Schritt für Schritt

Jede Zahl durch 5 teilen und auf den Rest achten.
45 : 5 = 9; bei 97, 32, 51 bleibt ein Rest.
Ohne Rest: 45

Jede Zahl durch 5 teilen und auf den Rest achten.
45 : 5 = 9; bei 97, 32, 51 bleibt ein Rest.
Ohne Rest: 45

Ergebnis:

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht

108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse

So richtig

108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

○1
Welcher Rest bleibt bei 130 : 7? Begründe mit der Division.
So fängst du an:
18 · 7 = 126
Lösung zeigen
1. 18 · 7 = 126
2. 130 − 126 = 4
3. 130 : 7 = 18 Rest 4
Ergebnis:
Rest 4
●2
Welcher Rest bleibt bei 170 : 6? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. 28 · 6 = 168
2. 170 − 168 = 2
3. 170 : 6 = 28 Rest 2
Ergebnis:
Rest 2
★3
Welche durch 8 teilbare Zahl liegt am nächsten an 435? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. 435 : 8 = 54 Rest 3
2. Nach unten: 435 − 3 = 432. Nach oben: 435 + 5 = 440.
3. Am nächsten: 432
Ergebnis:
432

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Nenne alle Vielfachen von 9, die zwischen 36 und 70 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.

Schritt für Schritt

Das erste Vielfache über 36: 45.
Immer 9 weiter: 45, 54, 63

Das erste Vielfache über 36: 45.
Immer 9 weiter: 45, 54, 63

Ergebnis:

45, 54, 63

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht

Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6

So richtig

Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

○4
Ist 85 ein Vielfaches von 3? Schreibe sie der Reihe nach auf.
So fängst du an:
85 : 3 = 28 Rest 1
Lösung zeigen
1. 85 : 3 = 28 Rest 1
2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
Ergebnis:
Nein
●5
Schreibe die ersten 5 Vielfachen von 8 auf.
Lösung zeigen
1. Vielfache sind 8 · 1, 8 · 2, 8 · 3 und so weiter.
2. 8, 16, 24, 32, 40
Ergebnis:
8, 16, 24, 32, 40
★6
Welches Vielfache von 10 liegt am nächsten an 100? Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
1. 100 : 10 = 10
2. Darunter 100, darüber 110.
3. Am nächsten: 100
Ergebnis:
100

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Wie viele Teiler hat 18? Schreibe die Teilerpaare auf.

Schritt für Schritt

Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
6 Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
6 Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Ergebnis:

6 Teiler

AchtungTeiler vergessen

So nicht

Teiler von 24: 2, 3, 4, 6

So richtig

Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

○7
Welche Zahl hat mehr Teiler: 36 oder 18? Schreibe die Teilerpaare auf.
So fängst du an:
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
Lösung zeigen
1. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
2. 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (6 Teiler)
3. 36 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
36
●8
Welche Zahl hat mehr Teiler: 36 oder 14? Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
2. 14: 1, 2, 7, 14 (4 Teiler)
3. 36 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
36
★9
Finde alle Teiler von 72. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 72, 2 · 36, 3 · 24, 4 · 18, 6 · 12, 8 · 9
2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 1895; 5772; 3833; 4513?

Schritt für Schritt

Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
Teilbar: 5772

Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
Teilbar: 5772

Ergebnis:

5772

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht

438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht

So richtig

438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

○10
Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 869_ soll durch 10 teilbar sein.
So fängst du an:
Nur die letzte Ziffer entscheidet.
Lösung zeigen
1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
2. Passend: 0
Ergebnis:
0
●11
Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 238_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.
Lösung zeigen
1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
2. Passend: 2, 4, 6, 8
Ergebnis:
2, 4, 6, 8
★12
Wie viele Zahlen von 50 bis 149 sind durch 2 teilbar?
Lösung zeigen
1. Die erste: 50, die letzte: 148.
2. Immer 2 weiter: (148 − 50) : 2 + 1 = 50
Ergebnis:
50 Zahlen

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 6120 teilbar?

Schritt für Schritt

Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
Teilbar durch 2, 5, 10.

Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
Teilbar durch 2, 5, 10.

Ergebnis:

2, 5, 10

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht

7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar

So richtig

7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

○13
Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“
So fängst du an:
Mit der letzten Ziffer prüfen.
Lösung zeigen
1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
2. Die Endziffer 0 ist gerade.
Ergebnis:
wahr
●14
Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 1120 teilbar?
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
2. Teilbar durch 2, 5, 10.
Ergebnis:
2, 5, 10
★15
Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 7810 teilbar?
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 10.
2. Teilbar durch 2, 5, 10.
Ergebnis:
2, 5, 10

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 965 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 965 durch 10 teilbar?

Schritt für Schritt

965 = 960 + 5
960 ist durch 10 teilbar, 5 nicht: Nein.

965 = 960 + 5
960 ist durch 10 teilbar, 5 nicht: Nein.

Ergebnis:

Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht

438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht

So richtig

438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

○16
Zerlege 901 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 901 durch 10 teilbar?
So fängst du an:
901 = 900 + 1
Lösung zeigen
1. 901 = 900 + 1
2. 900 ist durch 10 teilbar, 1 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein
●17
Warum reicht bei 897 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
Lösung zeigen
1. Zerlegen: 897 = 890 + 7
2. 890 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
3. Es kommt nur auf 7 an: nicht durch 10 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 890 sicher teilbar ist und nur 7 zählt
★18
Warum reicht bei 47.667 der Blick auf die letzten beiden Ziffern, um die Teilbarkeit durch 100 zu prüfen?
Lösung zeigen
1. Zerlegen: 47.667 = 47.600 + 67
2. 47.600 ist ein Vielfaches von 100 und damit durch 100 teilbar.
3. Es kommt nur auf 67 an: nicht durch 100 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 47.600 sicher teilbar ist und nur 67 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 7 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?

Schritt für Schritt

7 Reihen mit je 7 Plättchen.
7 · 7 = 49

7 Reihen mit je 7 Plättchen.
7 · 7 = 49

Ergebnis:

49 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht

Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12

So richtig

Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Quadrat aus Plättchen hat 4 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
So fängst du an:
4 Reihen mit je 4 Plättchen.
Lösung zeigen
1. 4 Reihen mit je 4 Plättchen.
2. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Plättchen
●20
Aus dem Quadrat mit Seite 5 wird eines mit Seite 6. Wie viele Plättchen kommen dazu?
Lösung zeigen
1. Vorher: 5 · 5 = 25. Nachher: 6 · 6 = 36.
2. Dazu: 36 − 25 = 11
Ergebnis:
11 Plättchen
★21
Aus dem Quadrat mit Seite 9 wird eines mit Seite 10. Wie viele Plättchen kommen dazu?
Lösung zeigen
1. Vorher: 9 · 9 = 81. Nachher: 10 · 10 = 100.
2. Dazu: 100 − 81 = 19
Ergebnis:
19 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:37 Uhr ein Bus?

Schritt für Schritt

Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
Ist 37 ein Vielfaches von 20? 37 : 20 = 1 Rest 17
Nein, dann fährt keiner.

Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
Ist 37 ein Vielfaches von 20? 37 : 20 = 1 Rest 17
Nein, dann fährt keiner.

Ergebnis:

Nein

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:27 Uhr ein Bus?
So fängst du an:
Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
Lösung zeigen
1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
2. Ist 27 ein Vielfaches von 15? 27 : 15 = 1 Rest 12
3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein
●23
30 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
Lösung zeigen
1. Gesucht sind Teiler von 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
2. Zwischen 2 und 10: 3, 5, 6
Ergebnis:
3, 5, 6
★24
24 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
Lösung zeigen
1. Gesucht sind Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2. Zwischen 2 und 10: 3, 4, 6, 8
Ergebnis:
3, 4, 6, 8

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahl ist durch 6 teilbar: 74, 23, 77, 36? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
2. 36 : 6 = 6; bei 74, 23, 77 bleibt ein Rest.
3. Ohne Rest: 36
Ergebnis:
36
●26
Auf eine Albumseite passen 7 Fotos. Mia hat 62 Fotos. Wie viele Seiten werden voll, wie viele Fotos bleiben?
Lösung zeigen
1. 62 : 7 = 8 Rest 6
2. 8 volle Seiten, 6 Fotos auf der letzten Seite.
Ergebnis:
8 volle Seiten, 6 Fotos
●27
Ist 135 ein Vielfaches von 9? Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
1. 135 : 9 = 15
2. 135 = 9 · 15: ein Vielfaches.
Ergebnis:
Ja
●28
Finde alle Teiler von 12. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4
2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12
●29
Das Bild zeigt 21 Plättchen als Rechteck mit 3 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
Lösung zeigen
1. Teilerpaare von 21: 1 · 21, 3 · 7.
2. Reihen mal Länge, außer 3 · 7: 1 · 21
Ergebnis:
1 · 21
●30
Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 436_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
Lösung zeigen
1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
2. Passend: 5
Ergebnis:
5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest: Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache: Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren: Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern: Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden: In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert: Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen: Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag: Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.
31
Welcher Rest bleibt bei 110 : 9? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Rest 2
Ich finde Vielfache einer Zahl.
32
Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 4 auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.
33
Finde alle Teiler von 32. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 4, 8, 16, 32
Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.
34
Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 5183; 2284; 9235; 1257?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2284
Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.
35
Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
wahr
Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.
36
Warum reicht bei 688 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 680 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.
37
Ist 14 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein
Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.
38
Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:26 Uhr ein Bus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

Rest 4
Rest 2
432
Nein
8, 16, 24, 32, 40
100
36
36
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
0
2, 4, 6, 8
50 Zahlen
wahr
2, 5, 10
2, 5, 10
Nein
nicht teilbar, weil 890 sicher teilbar ist und nur 7 zählt
nicht teilbar, weil 47.600 sicher teilbar ist und nur 67 zählt
16 Plättchen
11 Plättchen
19 Plättchen
Nein
3, 5, 6
3, 4, 6, 8
36
8 volle Seiten, 6 Fotos
Ja
1, 2, 3, 4, 6, 12
1 · 21
5
Rest 2
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
1, 2, 4, 8, 16, 32
2284
wahr
nicht teilbar, weil 680 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
Nein
Nein
6
3
6
90