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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 24? Zähle 1 und 24 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
    2. Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    3. Das sind 8 Teiler.
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 543 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    543
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 3.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 3.
    Ergebnis:
    3

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    64 : 8 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8
  2. ●42
    10 · 3 = ___
    3 in jeder Reihe10 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 3 Punkten
    2. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welcher Rest bleibt bei 89 : 4? Begründe mit der Division.
89: 4
Schritt für Schritt
  1. 22 · 4 = 88
  2. 89 − 88 = 1
  3. 89 : 4 = 22 Rest 1
  1. 22 · 4 = 88
  2. 89 − 88 = 1
  3. 89 : 4 = 22 Rest 1
Ergebnis:
Rest 1

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahl ist durch 4 teilbar: 36, 99, 23, 23? Begründe mit der Division.
    36992323
    So fängst du an:
    Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    2. 36 : 4 = 9; bei 99, 23, 23 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●2
    Welche Zahl ist durch 8 teilbar: 71, 87, 68, 88? Begründe mit der Division.
    71876888
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 8 teilen und auf den Rest achten.
    2. 88 : 8 = 11; bei 71, 87, 68 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 88
    Ergebnis:
    88
  3. ★3
    Welche Zahl ist durch 6 teilbar: 63, 82, 60, 25? Begründe mit der Division.
    63826025
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
    2. 60 : 6 = 10; bei 63, 82, 25 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 60
    Ergebnis:
    60

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Ist 72 ein Vielfaches von 9? Schreibe sie der Reihe nach auf.
556065707580859072
Schritt für Schritt
  1. 72 : 9 = 8
  2. 72 = 9 · 8: ein Vielfaches.
  1. 72 : 9 = 8
  2. 72 = 9 · 8: ein Vielfaches.
Ergebnis:
Ja

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 4 auf.
    05101520253035
    So fängst du an:
    Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
    2. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
    Ergebnis:
    4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
  2. ●5
    Schreibe die ersten 5 Vielfachen von 9 auf.
    01020304050
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    2. 9, 18, 27, 36, 45
    Ergebnis:
    9, 18, 27, 36, 45
  3. ★6
    Ist 56 ein Vielfaches von 4? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    404550556065707556
    Lösung zeigen
    1. 56 : 4 = 14
    2. 56 = 4 · 14: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Wie viele Teiler hat 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
  2. 8 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
  2. 8 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ergebnis:
8 Teiler

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Teiler hat 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    2. 8 Teiler: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
    Ergebnis:
    8 Teiler
  2. ●8
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 18 oder 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1824
    Lösung zeigen
    1. 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (6 Teiler)
    2. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
    3. 24 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    24
  3. ★9
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 100 oder 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
    10030
    Lösung zeigen
    1. 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (9 Teiler)
    2. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
    3. 100 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    100

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 8553; 5052; 9495; 5550?
Schritt für Schritt
  1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
  2. Teilbar: 5550
  1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
  2. Teilbar: 5550
Ergebnis:
5550

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 7844; 4103; 5721; 1595?
    So fängst du an:
    Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 7844
    Ergebnis:
    7844
  2. ●11
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 4902; 4873; 3715; 1987?
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 4902
    Ergebnis:
    4902
  3. ★12
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 901_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
    T9H0Z1E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 5
    Ergebnis:
    5

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“
Schritt für Schritt
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Die Endziffer 0 ist gerade.
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Die Endziffer 0 ist gerade.
Ergebnis:
wahr

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Endet eine Zahl auf 00, endet sie auch auf 0.
    Ergebnis:
    wahr
  2. ●14
    Ist 64.180 durch 100 teilbar?
    ZT6T4H1Z8E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 80.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★15
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum reicht bei 318 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?
Schritt für Schritt
  1. Zerlegen: 318 = 310 + 8
  2. 310 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 8 an: nicht durch 5 teilbar.
  1. Zerlegen: 318 = 310 + 8
  2. 310 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 8 an: nicht durch 5 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 310 sicher teilbar ist und nur 8 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 173 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 173 durch 2 teilbar?
    H1Z7E3
    So fängst du an:
    173 = 170 + 3
    Lösung zeigen
    1. 173 = 170 + 3
    2. 170 ist durch 2 teilbar, 3 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Warum reicht bei 937 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 937 = 930 + 7
    2. 930 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 7 an: nicht durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 930 sicher teilbar ist und nur 7 zählt
  3. ★18
    Zerlege 36.958 in ein Vielfaches von 100 und den Rest. Entscheide damit: Ist 36.958 durch 100 teilbar?
    ZT3T6H9Z5E8
    Lösung zeigen
    1. 36.958 = 36.900 + 58
    2. 36.900 ist durch 100 teilbar, 58 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 10 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
Schritt für Schritt
  1. 10 Reihen mit je 10 Plättchen.
  2. 10 · 10 = 100
  1. 10 Reihen mit je 10 Plättchen.
  2. 10 · 10 = 100
Ergebnis:
100 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ist 23 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    So fängst du an:
    4 · 4 = 16 ist zu klein, 5 · 5 = 25 zu groß.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 4 = 16 ist zu klein, 5 · 5 = 25 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●20
    Ist 31 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★21
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 3 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 3 Reihen mit je 3 Plättchen.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

28 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
28 Kinder210 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Gesucht sind Teiler von 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 7
  1. Gesucht sind Teiler von 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 7
Ergebnis:
4, 7

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Mia genau 44 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    10 Stück44 Sticker
    So fängst du an:
    Durch 10: letzte Ziffer 0.
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. 44 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●23
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Jonas genau 75 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    5 Stück75 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. 75 passt: 75 : 5 = 15 Bögen.
    Ergebnis:
    Ja, 15 Bögen
  3. ★24
    30 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    30 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 5, 6
    Ergebnis:
    3, 5, 6

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welcher Rest bleibt bei 185 : 4? Begründe mit der Division.
    185: 4
    Lösung zeigen
    1. 46 · 4 = 184
    2. 185 − 184 = 1
    3. 185 : 4 = 46 Rest 1
    Ergebnis:
    Rest 1
  2. ●26
    116 Kinder fahren ins Stadion. Ein Bus hat 45 Plätze. Wie viele Busse braucht die Schule?
    116 Kinder45 Plätze
    Lösung zeigen
    1. 116 : 45 = 2 Rest 26
    2. Auch die 26 übrigen Kinder brauchen einen Platz: 2 + 1 = 3 Busse
    Ergebnis:
    3 Busse
  3. ●27
    Schreibe die ersten 6 Vielfachen von 9 auf.
    0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    2. 9, 18, 27, 36, 45, 54
    Ergebnis:
    9, 18, 27, 36, 45, 54
  4. ●28
    Finde alle Teiler von 36. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    36 = 1 · 3636 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  5. ●29
    Aus 11 Plättchen legst du Rechtecke. Alle Reihen sind gleich lang. Wie viele verschiedene Rechtecke gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Rechteck ist ein Teilerpaar: 1 · 11.
    2. 11 hat nur die Teiler 1 und 11: nur eine lange Reihe.
    Ergebnis:
    1 Rechteck
  6. ●30
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 8000 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 0. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10.
    Ergebnis:
    2, 5, 10

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welcher Rest bleibt bei 191 : 5? Begründe mit der Division.
    191: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rest 1

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 137 ein Vielfaches von 5? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    120125130135140145150155137
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Wie viele Teiler hat 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Teiler

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 2759 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    durch keine

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 363 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 363 durch 10 teilbar?
    H3Z6E3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Aus dem Quadrat mit Seite 6 wird eines mit Seite 7. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 74 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück74 Förmchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Packungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. 36
  2. 88
  3. 60
  4. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
  5. 9, 18, 27, 36, 45
  6. Ja
  7. 8 Teiler
  8. 24
  9. 100
  10. 7844
  11. 4902
  12. 5
  13. wahr
  14. Nein
  15. falsch
  16. Nein
  17. nicht teilbar, weil 930 sicher teilbar ist und nur 7 zählt
  18. Nein
  19. Nein
  20. Nein
  21. 9 Plättchen
  22. Nein
  23. Ja, 15 Bögen
  24. 3, 5, 6
  25. Rest 1
  26. 3 Busse
  27. 9, 18, 27, 36, 45, 54
  28. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  29. 1 Rechteck
  30. 2, 5, 10
  31. Rest 1
  32. Nein
  33. 8 Teiler
  34. durch keine
  35. falsch
  36. Nein
  37. 13 Plättchen
  38. 7 Packungen
  39. 8
  40. 3
  41. 8
  42. 30