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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 33? Zähle 1 und 33 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 33, 3 · 11
    2. Teiler: 1, 3, 11, 33
    3. Das sind 4 Teiler.
    Ergebnis:
    4
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 628 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    628
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 8.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 8.
    Ergebnis:
    8

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    32 : 4 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8
  2. ●42
    3 · 2 = ___
    2 in jeder Reihe3 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 3 Reihen mit je 2 Punkten
    2. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Ist 68 durch 4 teilbar? Begründe mit der Division.
68: 4
Schritt für Schritt
  1. 68 : 4 = 17
  2. Kein Rest: teilbar.
  1. 68 : 4 = 17
  2. Kein Rest: teilbar.
Ergebnis:
Ja

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 159 : 7? Begründe mit der Division.
    159: 7
    So fängst du an:
    22 · 7 = 154
    Lösung zeigen
    1. 22 · 7 = 154
    2. 159 − 154 = 5
    3. 159 : 7 = 22 Rest 5
    Ergebnis:
    Rest 5
  2. ●2
    Welche Zahl ist durch 5 teilbar: 83, 39, 40, 72? Begründe mit der Division.
    83394072
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 5 teilen und auf den Rest achten.
    2. 40 : 5 = 8; bei 83, 39, 72 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 40
    Ergebnis:
    40
  3. ★3
    Welche Zahl ist durch 3 teilbar: 77, 56, 59, 24? Begründe mit der Division.
    77565924
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 3 teilen und auf den Rest achten.
    2. 24 : 3 = 8; bei 77, 56, 59 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 24
    Ergebnis:
    24

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 7 Vielfachen von 3 auf.
05101520
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 3 · 1, 3 · 2, 3 · 3 und so weiter.
  2. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
  1. Vielfache sind 3 · 1, 3 · 2, 3 · 3 und so weiter.
  2. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
Ergebnis:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nenne alle Vielfachen von 8, die zwischen 47 und 82 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    505560657075804782
    So fängst du an:
    Das erste Vielfache über 47: 48.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 47: 48.
    2. Immer 8 weiter: 48, 56, 64, 72, 80
    Ergebnis:
    48, 56, 64, 72, 80
  2. ●5
    Nenne alle Vielfachen von 7, die zwischen 27 und 52 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    30354045502752
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 27: 28.
    2. Immer 7 weiter: 28, 35, 42, 49
    Ergebnis:
    28, 35, 42, 49
  3. ★6
    Welches Vielfache von 7 liegt am nächsten an 500? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    470480490500510520530
    Lösung zeigen
    1. 500 : 7 = 71 Rest 3
    2. Darunter 497, darüber 504.
    3. Am nächsten: 497
    Ergebnis:
    497

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Welche Zahl hat mehr Teiler: 24 oder 20? Schreibe die Teilerpaare auf.
2420
Schritt für Schritt
  1. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
  2. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 Teiler)
  3. 24 hat mehr Teiler.
  1. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
  2. 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 Teiler)
  3. 24 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
24

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 15 oder 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1516
    So fängst du an:
    15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
    2. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
    3. 16 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    16
  2. ●8
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 16 oder 18? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1618
    Lösung zeigen
    1. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
    2. 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (6 Teiler)
    3. 18 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    18
  3. ★9
    Wie viele Teiler hat 84? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 84, 2 · 42, 3 · 28, 4 · 21, 6 · 14, 7 · 12
    2. 12 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
    Ergebnis:
    12 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 1860 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer: 0. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10.
  1. Letzte Ziffer: 0. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10.
Ergebnis:
2, 5, 10

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 4223 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine
  2. ●11
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 2266 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 6. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 2.
    Ergebnis:
    2
  3. ★12
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 16.142; 18.871; 54.715; 6267?
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 16.142
    Ergebnis:
    16.142

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 4600 teilbar?
T4H6Z0E0
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
Ergebnis:
2, 5, 10, 100

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 7400 teilbar?
    T7H4Z0E0
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
    Ergebnis:
    2, 5, 10, 100
  2. ●14
    Ist 29.690 durch 100 teilbar?
    ZT2T9H6Z9E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 90.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★15
    Ist 4320 durch 100 teilbar?
    T4H3Z2E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 20.
    2. Nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    Nein

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 426 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 426 durch 10 teilbar?
H4Z2E6
Schritt für Schritt
  1. 426 = 420 + 6
  2. 420 ist durch 10 teilbar, 6 nicht: Nein.
  1. 426 = 420 + 6
  2. 420 ist durch 10 teilbar, 6 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum reicht bei 843 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    So fängst du an:
    Zerlegen: 843 = 840 + 3
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 843 = 840 + 3
    2. 840 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 3 an: nicht durch 10 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 840 sicher teilbar ist und nur 3 zählt
  2. ●17
    Zerlege 453 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 453 durch 5 teilbar?
    H4Z5E3
    Lösung zeigen
    1. 453 = 450 + 3
    2. 450 ist durch 5 teilbar, 3 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Zerlege 7806 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 7806 durch 5 teilbar?
    T7H8Z0E6
    Lösung zeigen
    1. 7806 = 7800 + 6
    2. 7800 ist durch 5 teilbar, 6 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 39 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
  1. 6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ist 30 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    So fängst du an:
    5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●20
    Aus dem Quadrat mit Seite 6 wird eines mit Seite 7. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 6 · 6 = 36. Nachher: 7 · 7 = 49.
    2. Dazu: 49 − 36 = 13
    Ergebnis:
    13 Plättchen
  3. ★21
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 3 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 3 Reihen mit je 3 Plättchen.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Sticker gibt es nur in Bögen zu 2 Stück. Kann Ben genau 76 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
2 Stück76 Sticker
Schritt für Schritt
  1. Durch 2: letzte Ziffer gerade.
  2. 76 passt: 76 : 2 = 38 Bögen.
  1. Durch 2: letzte Ziffer gerade.
  2. 76 passt: 76 : 2 = 38 Bögen.
Ergebnis:
Ja, 38 Bögen

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 66 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück66 Förmchen
    So fängst du an:
    66 : 12 = 5 Rest 6
    Lösung zeigen
    1. 66 : 12 = 5 Rest 6
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 6 Packungen.
    Ergebnis:
    6 Packungen
  2. ●23
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 61 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    6 Stück61 Förmchen
    Lösung zeigen
    1. 61 : 6 = 10 Rest 1
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 11 Packungen.
    Ergebnis:
    11 Packungen
  3. ★24
    36 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    36 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 4, 6, 9
    Ergebnis:
    3, 4, 6, 9

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 44, 95, 56, 26? Begründe mit der Division.
    44955626
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
    2. 56 : 7 = 8; bei 44, 95, 26 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●26
    Ein Hof packt 21 Eier in Kartons zu 6 Stück. Wie viele Kartons werden voll? Wie viele Eier bleiben übrig?
    21 Eier6 Stück
    Lösung zeigen
    1. 21 : 6 = 3 Rest 3
    2. 3 volle Kartons, 3 Eier übrig.
    Ergebnis:
    3 Kartons, 3 Eier übrig
  3. ●27
    Ist 84 ein Vielfaches von 6? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    6570758085909510084
    Lösung zeigen
    1. 84 : 6 = 14
    2. 84 = 6 · 14: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 30 oder 26? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3026
    Lösung zeigen
    1. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
    2. 26: 1, 2, 13, 26 (4 Teiler)
    3. 30 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    30
  5. ●29
    Aus 13 Plättchen legst du Rechtecke. Alle Reihen sind gleich lang. Wie viele verschiedene Rechtecke gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Rechteck ist ein Teilerpaar: 1 · 13.
    2. 13 hat nur die Teiler 1 und 13: nur eine lange Reihe.
    Ergebnis:
    1 Rechteck
  6. ●30
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 3676; 5665; 1113; 7533?
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 3676
    Ergebnis:
    3676

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welche Zahl ist durch 6 teilbar: 97, 98, 61, 18? Begründe mit der Division.
    97986118
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 36 ein Vielfaches von 6? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    202530354045505536
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Finde alle Teiler von 18. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    18 = 1 · 1818 = ? · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 1388 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Ist 9070 durch 100 teilbar?
    T9H0Z7E0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 801 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 800 sicher teilbar ist und nur 1 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ist 56 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 53 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück53 Förmchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Packungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 5
  2. 40
  3. 24
  4. 48, 56, 64, 72, 80
  5. 28, 35, 42, 49
  6. 497
  7. 16
  8. 18
  9. 12 Teiler
  10. durch keine
  11. 2
  12. 16.142
  13. 2, 5, 10, 100
  14. Nein
  15. Nein
  16. nicht teilbar, weil 840 sicher teilbar ist und nur 3 zählt
  17. Nein
  18. Nein
  19. Nein
  20. 13 Plättchen
  21. 9 Plättchen
  22. 6 Packungen
  23. 11 Packungen
  24. 3, 4, 6, 9
  25. 56
  26. 3 Kartons, 3 Eier übrig
  27. Ja
  28. 30
  29. 1 Rechteck
  30. 3676
  31. 18
  32. Ja
  33. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  34. 2
  35. Nein
  36. nicht teilbar, weil 800 sicher teilbar ist und nur 1 zählt
  37. Nein
  38. 5 Packungen
  39. 4
  40. 8
  41. 8
  42. 6