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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 35 hat das Teilerpaar 7 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 7 · □ = 35
    2. 35 : 7 = 5
    3. Probe: 7 · 5 = 35
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 106 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    106
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 6.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 1. Der Rest ist 1.
    Ergebnis:
    1

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    18 : 3 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6
  2. ●42
    2 · 2 = ___
    2 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 2 Punkten
    2. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 3 teilbar: 23, 62, 30, 95? Begründe mit der Division.
23623095
Schritt für Schritt
  1. Jede Zahl durch 3 teilen und auf den Rest achten.
  2. 30 : 3 = 10; bei 23, 62, 95 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 30
  1. Jede Zahl durch 3 teilen und auf den Rest achten.
  2. 30 : 3 = 10; bei 23, 62, 95 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 30
Ergebnis:
30

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahl ist durch 4 teilbar: 65, 36, 27, 75? Begründe mit der Division.
    65362775
    So fängst du an:
    Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    2. 36 : 4 = 9; bei 65, 27, 75 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●2
    Welcher Rest bleibt bei 164 : 3? Begründe mit der Division.
    164: 3
    Lösung zeigen
    1. 54 · 3 = 162
    2. 164 − 162 = 2
    3. 164 : 3 = 54 Rest 2
    Ergebnis:
    Rest 2
  3. ★3
    Welche durch 5 teilbare Zahl liegt am nächsten an 962? Begründe mit der Division.
    945950955960965970975980
    Lösung zeigen
    1. 962 : 5 = 192 Rest 2
    2. Nach unten: 962 − 2 = 960. Nach oben: 962 + 3 = 965.
    3. Am nächsten: 960
    Ergebnis:
    960

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Ist 80 ein Vielfaches von 7? Schreibe sie der Reihe nach auf.
606570758085909510080
Schritt für Schritt
  1. 80 : 7 = 11 Rest 3
  2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
  1. 80 : 7 = 11 Rest 3
  2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
Ergebnis:
Nein

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 83 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    6570758085909510083
    So fängst du an:
    83 : 8 = 10 Rest 3
    Lösung zeigen
    1. 83 : 8 = 10 Rest 3
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●5
    Nenne alle Vielfachen von 8, die zwischen 36 und 66 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    4045505560653666
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 36: 40.
    2. Immer 8 weiter: 40, 48, 56, 64
    Ergebnis:
    40, 48, 56, 64
  3. ★6
    Nenne alle Vielfachen von 3, die zwischen 31 und 57 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    35404550553157
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 31: 33.
    2. Immer 3 weiter: 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54
    Ergebnis:
    33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Wie viele Teiler hat 18? Schreibe die Teilerpaare auf.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
  2. 6 Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
  2. 6 Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ergebnis:
6 Teiler

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 36 oder 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3624
    So fängst du an:
    36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
    Lösung zeigen
    1. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
    2. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
    3. 36 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    36
  2. ●8
    Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
    2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
    Ergebnis:
    6 Teiler
  3. ★9
    Wie viele Teiler hat 72? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 72, 2 · 36, 3 · 24, 4 · 18, 6 · 12, 8 · 9
    2. 12 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
    Ergebnis:
    12 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 8451; 3255; 2761; 4074?
Schritt für Schritt
  1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
  2. Teilbar: 4074
  1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
  2. Teilbar: 4074
Ergebnis:
4074

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 2595 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer: 5. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 5. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 5.
    Ergebnis:
    5
  2. ●11
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 9617 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 7. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine
  3. ★12
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 63.638 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 8. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 2.
    Ergebnis:
    2

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
Schritt für Schritt
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
Ergebnis:
falsch

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 450 teilbar?
    H4Z5E0
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 50.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 50.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10.
    Ergebnis:
    2, 5, 10
  2. ●14
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 4100 teilbar?
    T4H1Z0E0
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
    Ergebnis:
    2, 5, 10, 100
  3. ★15
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 9820 teilbar?
    T9H8Z2E0
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10.
    Ergebnis:
    2, 5, 10

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 894 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 894 durch 10 teilbar?
H8Z9E4
Schritt für Schritt
  1. 894 = 890 + 4
  2. 890 ist durch 10 teilbar, 4 nicht: Nein.
  1. 894 = 890 + 4
  2. 890 ist durch 10 teilbar, 4 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 177 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 177 durch 2 teilbar?
    H1Z7E7
    So fängst du an:
    177 = 170 + 7
    Lösung zeigen
    1. 177 = 170 + 7
    2. 170 ist durch 2 teilbar, 7 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Warum reicht bei 421 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 421 = 420 + 1
    2. 420 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 1 an: nicht durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 420 sicher teilbar ist und nur 1 zählt
  3. ★18
    Warum reicht bei 8688 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 8688 = 8680 + 8
    2. 8680 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 8 an: durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    teilbar, weil 8680 sicher teilbar ist und nur 8 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 9 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
Schritt für Schritt
  1. 9 Reihen mit je 9 Plättchen.
  2. 9 · 9 = 81
  1. 9 Reihen mit je 9 Plättchen.
  2. 9 · 9 = 81
Ergebnis:
81 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 4 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    So fängst du an:
    4 Reihen mit je 4 Plättchen.
    Lösung zeigen
    1. 4 Reihen mit je 4 Plättchen.
    2. 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    16 Plättchen
  2. ●20
    Ist 43 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★21
    Ist 16 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 4 = 16
    2. Ein Quadrat mit Seite 4: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:12 Uhr ein Bus?
Schritt für Schritt
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
  2. Ist 12 ein Vielfaches von 15? 12 : 15 = 0 Rest 12
  3. Nein, dann fährt keiner.
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
  2. Ist 12 ein Vielfaches von 15? 12 : 15 = 0 Rest 12
  3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Teiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:06 Uhr ein Bus?
    So fängst du an:
    Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 15 Minuten.
    2. Ist 6 ein Vielfaches von 15? 6 : 15 = 0 Rest 6
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●23
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:21 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    2. Ist 21 ein Vielfaches von 12? 21 : 12 = 1 Rest 9
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★24
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Emma genau 394 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    5 Stück394 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. 394 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
    Ergebnis:
    Nein

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welcher Rest bleibt bei 125 : 6? Begründe mit der Division.
    125: 6
    Lösung zeigen
    1. 20 · 6 = 120
    2. 125 − 120 = 5
    3. 125 : 6 = 20 Rest 5
    Ergebnis:
    Rest 5
  2. ●26
    31 Kinder sollen Gruppen zu je 7 bilden. Wie viele volle Gruppen gibt es, und wie viele Kinder bleiben übrig?
    31 Kinder7
    Lösung zeigen
    1. 31 : 7 = 4 Rest 3
    2. 4 volle Gruppen, 3 bleiben übrig.
    Ergebnis:
    4 Gruppen, 3 übrig
  3. ●27
    Ist 65 ein Vielfaches von 5? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    45505560657075808565
    Lösung zeigen
    1. 65 : 5 = 13
    2. 65 = 5 · 13: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 32 oder 24? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3224
    Lösung zeigen
    1. 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32 (6 Teiler)
    2. 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 Teiler)
    3. 24 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    24
  5. ●29
    Kann Can aus 30 Plättchen ein Rechteck mit genau 9 gleich langen Reihen legen?
    Lösung zeigen
    1. 30 : 9 = 3 Rest 3
    2. Es bleibt ein Rest: Das geht nicht.
    Ergebnis:
    Nein
  6. ●30
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 1817 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 7. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Ist 32 durch 8 teilbar? Begründe mit der Division.
    32: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 105 ein Vielfaches von 9? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    859095100105110115120125105
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Wie viele Teiler hat 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Teiler

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 261_ soll durch 10 teilbar sein.
    T2H6Z1E?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    wahr

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 784 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 784 durch 2 teilbar?
    H7Z8E4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 4 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:44 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. 36
  2. Rest 2
  3. 960
  4. Nein
  5. 40, 48, 56, 64
  6. 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54
  7. 36
  8. 6 Teiler
  9. 12 Teiler
  10. 5
  11. durch keine
  12. 2
  13. 2, 5, 10
  14. 2, 5, 10, 100
  15. 2, 5, 10
  16. Nein
  17. nicht teilbar, weil 420 sicher teilbar ist und nur 1 zählt
  18. teilbar, weil 8680 sicher teilbar ist und nur 8 zählt
  19. 16 Plättchen
  20. Nein
  21. Ja
  22. Nein
  23. Nein
  24. Nein
  25. Rest 5
  26. 4 Gruppen, 3 übrig
  27. Ja
  28. 24
  29. Nein
  30. durch keine
  31. Ja
  32. Nein
  33. 8 Teiler
  34. 0
  35. wahr
  36. Ja
  37. 16 Plättchen
  38. Nein
  39. 5
  40. 1
  41. 6
  42. 4