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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 42 hat das Teilerpaar 2 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 2 · □ = 42
    2. 42 : 2 = 21
    3. Probe: 2 · 21 = 42
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 859 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    859
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 9.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 9.
    Ergebnis:
    9

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    30 : 5 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6
  2. ●42
    10 · 4 = ___
    4 in jeder Reihe10 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 4 Punkten
    2. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 9 teilbar: 23, 75, 63, 25? Begründe mit der Division.
23756325
Schritt für Schritt
  1. Jede Zahl durch 9 teilen und auf den Rest achten.
  2. 63 : 9 = 7; bei 23, 75, 25 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 63
  1. Jede Zahl durch 9 teilen und auf den Rest achten.
  2. 63 : 9 = 7; bei 23, 75, 25 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 63
Ergebnis:
63

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ist 153 durch 7 teilbar? Begründe mit der Division.
    153: 7
    So fängst du an:
    153 : 7 = 21 Rest 6
    Lösung zeigen
    1. 153 : 7 = 21 Rest 6
    2. Rest 6: nicht teilbar.
    Ergebnis:
    Nein, Rest 6
  2. ●2
    Ist 104 durch 8 teilbar? Begründe mit der Division.
    104: 8
    Lösung zeigen
    1. 104 : 8 = 13
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★3
    Welche Zahl ist durch 5 teilbar: 40, 94, 78, 33? Begründe mit der Division.
    40947833
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 5 teilen und auf den Rest achten.
    2. 40 : 5 = 8; bei 94, 78, 33 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 40
    Ergebnis:
    40

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Ist 33 ein Vielfaches von 3? Schreibe sie der Reihe nach auf.
152025303540455033
Schritt für Schritt
  1. 33 : 3 = 11
  2. 33 = 3 · 11: ein Vielfaches.
  1. 33 : 3 = 11
  2. 33 = 3 · 11: ein Vielfaches.
Ergebnis:
Ja

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 128 ein Vielfaches von 6? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    110115120125130135140145128
    So fängst du an:
    128 : 6 = 21 Rest 2
    Lösung zeigen
    1. 128 : 6 = 21 Rest 2
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●5
    Schreibe die ersten 5 Vielfachen von 6 auf.
    05101520253035
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3 und so weiter.
    2. 6, 12, 18, 24, 30
    Ergebnis:
    6, 12, 18, 24, 30
  3. ★6
    Welches Vielfache von 5 liegt am nächsten an 500? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    470480490500510520530
    Lösung zeigen
    1. 500 : 5 = 100
    2. Darunter 500, darüber 505.
    3. Am nächsten: 500
    Ergebnis:
    500

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Finde alle Teiler von 30. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
30 = 1 · 3030 = ? · ?
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Ergebnis:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Teiler hat 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    2. 8 Teiler: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
    Ergebnis:
    8 Teiler
  2. ●8
    Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
    2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
    Ergebnis:
    6 Teiler
  3. ★9
    Wie viele Teiler hat 100? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 100, 2 · 50, 4 · 25, 5 · 20, 10 · 10
    2. 9 Teiler: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
    Ergebnis:
    9 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 294_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
T2H9Z4E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
Ergebnis:
0

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 9855; 174; 859; 8641?
    So fängst du an:
    Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●11
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 456_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
    T4H5Z6E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 5
    Ergebnis:
    5
  3. ★12
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 218_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
    T2H1Z8E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 5
    Ergebnis:
    5

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
Schritt für Schritt
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Gegenbeispiel 15: durch 5 teilbar, durch 10 nicht.
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Gegenbeispiel 15: durch 5 teilbar, durch 10 nicht.
Ergebnis:
falsch

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
    Ergebnis:
    falsch
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★15
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 und durch 5 teilbar ist, ist durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gerade und Endziffer 0 oder 5: Es bleibt nur die 0.
    Ergebnis:
    wahr

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 937 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 937 durch 5 teilbar?
H9Z3E7
Schritt für Schritt
  1. 937 = 930 + 7
  2. 930 ist durch 5 teilbar, 7 nicht: Nein.
  1. 937 = 930 + 7
  2. 930 ist durch 5 teilbar, 7 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 476 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 476 durch 10 teilbar?
    H4Z7E6
    So fängst du an:
    476 = 470 + 6
    Lösung zeigen
    1. 476 = 470 + 6
    2. 470 ist durch 10 teilbar, 6 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Zerlege 593 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 593 durch 5 teilbar?
    H5Z9E3
    Lösung zeigen
    1. 593 = 590 + 3
    2. 590 ist durch 5 teilbar, 3 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Zerlege 2218 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 2218 durch 5 teilbar?
    T2H2Z1E8
    Lösung zeigen
    1. 2218 = 2210 + 8
    2. 2210 ist durch 5 teilbar, 8 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 2 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
Schritt für Schritt
  1. 2 Reihen mit je 2 Plättchen.
  2. 2 · 2 = 4
  1. 2 Reihen mit je 2 Plättchen.
  2. 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 3 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    So fängst du an:
    3 Reihen mit je 3 Plättchen.
    Lösung zeigen
    1. 3 Reihen mit je 3 Plättchen.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Plättchen
  2. ●20
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 10 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 10 Plättchen.
    2. 10 · 10 = 100
    Ergebnis:
    100 Plättchen
  3. ★21
    Welche Quadratzahlen liegen zwischen 37 und 68?
    Lösung zeigen
    1. Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
    2. Zwischen 37 und 68: 49, 64
    Ergebnis:
    49, 64

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 20 Minuten. Fährt um 7:27 Uhr ein Bus?
Schritt für Schritt
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
  2. Ist 27 ein Vielfaches von 20? 27 : 20 = 1 Rest 7
  3. Nein, dann fährt keiner.
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 20 Minuten.
  2. Ist 27 ein Vielfaches von 20? 27 : 20 = 1 Rest 7
  3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 8 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 41 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    8 Stück41 Förmchen
    So fängst du an:
    41 : 8 = 5 Rest 1
    Lösung zeigen
    1. 41 : 8 = 5 Rest 1
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 6 Packungen.
    Ergebnis:
    6 Packungen
  2. ●23
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Hanna genau 90 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    10 Stück90 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. 90 passt: 90 : 10 = 9 Bögen.
    Ergebnis:
    Ja, 9 Bögen
  3. ★24
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 2 Stück. Kann Paul genau 136 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    2 Stück136 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer gerade.
    2. 136 passt: 136 : 2 = 68 Bögen.
    Ergebnis:
    Ja, 68 Bögen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 5 teilbar: 32, 87, 20, 36? Begründe mit der Division.
    32872036
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 5 teilen und auf den Rest achten.
    2. 20 : 5 = 4; bei 32, 87, 36 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●26
    Ein Hof packt 69 Eier in Kartons zu 6 Stück. Wie viele Kartons werden voll? Wie viele Eier bleiben übrig?
    69 Eier6 Stück
    Lösung zeigen
    1. 69 : 6 = 11 Rest 3
    2. 11 volle Kartons, 3 Eier übrig.
    Ergebnis:
    11 Kartons, 3 Eier übrig
  3. ●27
    Ist 60 ein Vielfaches von 6? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    40455055606570758060
    Lösung zeigen
    1. 60 : 6 = 10
    2. 60 = 6 · 10: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Finde alle Teiler von 18. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    18 = 1 · 1818 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 6, 9, 18
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18
  5. ●29
    Aus 18 Plättchen legst du Rechtecke. Alle Reihen sind gleich lang. Wie viele verschiedene Rechtecke gibt es? Ein Beispiel siehst du im Bild.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Rechteck ist ein Teilerpaar: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6.
    2. Gedrehte Rechtecke zählen nicht doppelt.
    Ergebnis:
    3 Rechtecke
  6. ●30
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 325_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
    T3H2Z5E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 5
    Ergebnis:
    5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Ist 160 durch 8 teilbar? Begründe mit der Division.
    160: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Nenne alle Vielfachen von 8, die zwischen 33 und 68 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    354045505560653368
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40, 48, 56, 64

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Finde alle Teiler von 24. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    24 = 1 · 2424 = ? · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 5657 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    durch keine

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Ist 11.060 durch 100 teilbar?
    ZT1T1H0Z6E0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum reicht bei 422 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 5 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 420 sicher teilbar ist und nur 2 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Aus dem Quadrat mit Seite 5 wird eines mit Seite 6. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 8 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 71 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    8 Stück71 Förmchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Packungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Nein, Rest 6
  2. Ja
  3. 40
  4. Nein
  5. 6, 12, 18, 24, 30
  6. 500
  7. 8 Teiler
  8. 6 Teiler
  9. 9 Teiler
  10. 174
  11. 5
  12. 5
  13. falsch
  14. falsch
  15. wahr
  16. Nein
  17. Nein
  18. Nein
  19. 9 Plättchen
  20. 100 Plättchen
  21. 49, 64
  22. 6 Packungen
  23. Ja, 9 Bögen
  24. Ja, 68 Bögen
  25. 20
  26. 11 Kartons, 3 Eier übrig
  27. Ja
  28. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  29. 3 Rechtecke
  30. 5
  31. Ja
  32. 40, 48, 56, 64
  33. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  34. durch keine
  35. Nein
  36. nicht teilbar, weil 420 sicher teilbar ist und nur 2 zählt
  37. 11 Plättchen
  38. 9 Packungen
  39. 21
  40. 9
  41. 6
  42. 40