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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 42? Zähle 1 und 42 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 42, 2 · 21, 3 · 14, 6 · 7
    2. Teiler: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
    3. Das sind 8 Teiler.
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 614 durch 10 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    614
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 4.
    2. Alles davor sind volle Zehner. Der Rest ist 4.
    Ergebnis:
    4

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    12 : 3 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4
  2. ●42
    2 · 4 = ___
    4 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 4 Punkten
    2. 2 · 4 = 8
    Ergebnis:
    8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Ist 100 durch 5 teilbar? Begründe mit der Division.
100: 5
Schritt für Schritt
  1. 100 : 5 = 20
  2. Kein Rest: teilbar.
  1. 100 : 5 = 20
  2. Kein Rest: teilbar.
Ergebnis:
Ja

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welcher Rest bleibt bei 128 : 5? Begründe mit der Division.
    128: 5
    So fängst du an:
    25 · 5 = 125
    Lösung zeigen
    1. 25 · 5 = 125
    2. 128 − 125 = 3
    3. 128 : 5 = 25 Rest 3
    Ergebnis:
    Rest 3
  2. ●2
    Welcher Rest bleibt bei 145 : 4? Begründe mit der Division.
    145: 4
    Lösung zeigen
    1. 36 · 4 = 144
    2. 145 − 144 = 1
    3. 145 : 4 = 36 Rest 1
    Ergebnis:
    Rest 1
  3. ★3
    Welche Zahl ist durch 11 teilbar: 56, 51, 44, 26? Begründe mit der Division.
    56514426
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 11 teilen und auf den Rest achten.
    2. 44 : 11 = 4; bei 56, 51, 26 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 44
    Ergebnis:
    44

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 4 auf.
05101520253035
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
  2. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
  1. Vielfache sind 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3 und so weiter.
  2. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
Ergebnis:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe die ersten 5 Vielfachen von 9 auf.
    01020304050
    So fängst du an:
    Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    2. 9, 18, 27, 36, 45
    Ergebnis:
    9, 18, 27, 36, 45
  2. ●5
    Nenne alle Vielfachen von 9, die zwischen 23 und 52 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    2530354045502352
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 23: 27.
    2. Immer 9 weiter: 27, 36, 45
    Ergebnis:
    27, 36, 45
  3. ★6
    Welches Vielfache von 13 liegt am nächsten an 200? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    170180190200210220230
    Lösung zeigen
    1. 200 : 13 = 15 Rest 5
    2. Darunter 195, darüber 208.
    3. Am nächsten: 195
    Ergebnis:
    195

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Finde alle Teiler von 32. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
32 = 1 · 3232 = ? · ?
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 32, 2 · 16, 4 · 8
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 8, 16, 32
  1. Teilerpaare: 1 · 32, 2 · 16, 4 · 8
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Ergebnis:
1, 2, 4, 8, 16, 32

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
    2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
    Ergebnis:
    6 Teiler
  2. ●8
    Finde alle Teiler von 36. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    36 = 1 · 3636 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  3. ★9
    Finde alle Teiler von 80. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 80, 2 · 40, 4 · 20, 5 · 16, 8 · 10
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 302_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
T3H0Z2E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
Ergebnis:
0

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 9867; 6795; 1684; 9053?
    So fängst du an:
    Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. Teilbar: 6795
    Ergebnis:
    6795
  2. ●11
    Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 503_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
    T5H0Z3E?
    Lösung zeigen
    1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
    2. Passend: 5
    Ergebnis:
    5
  3. ★12
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 78.366; 25.600; 71.321; 99.095?
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 25.600
    Ergebnis:
    25.600

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
Schritt für Schritt
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Endet eine Zahl auf 00, endet sie auch auf 0.
  1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
  2. Endet eine Zahl auf 00, endet sie auch auf 0.
Ergebnis:
wahr

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 15: durch 5 teilbar, durch 10 nicht.
    Ergebnis:
    falsch
  2. ●14
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 5 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Endet eine Zahl auf 0, ist sie durch 5 teilbar.
    Ergebnis:
    wahr
  3. ★15
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 100 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 30: endet auf 0, nicht auf 00.
    Ergebnis:
    falsch

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Zerlege 231 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 231 durch 2 teilbar?
H2Z3E1
Schritt für Schritt
  1. 231 = 230 + 1
  2. 230 ist durch 2 teilbar, 1 nicht: Nein.
  1. 231 = 230 + 1
  2. 230 ist durch 2 teilbar, 1 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum genügt bei 886 der Blick auf die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch 10?
    So fängst du an:
    Zerlegen: 886 = 880 + 6
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 886 = 880 + 6
    2. 880 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 6 an: nicht durch 10 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 880 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  2. ●17
    Zerlege 462 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 462 durch 2 teilbar?
    H4Z6E2
    Lösung zeigen
    1. 462 = 460 + 2
    2. 460 ist durch 2 teilbar, 2 auch: Ja.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★18
    Zerlege 56.372 in ein Vielfaches von 100 und den Rest. Entscheide damit: Ist 56.372 durch 100 teilbar?
    ZT5T6H3Z7E2
    Lösung zeigen
    1. 56.372 = 56.300 + 72
    2. 56.300 ist durch 100 teilbar, 72 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ein Quadrat aus Plättchen hat 3 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
Schritt für Schritt
  1. 3 Reihen mit je 3 Plättchen.
  2. 3 · 3 = 9
  1. 3 Reihen mit je 3 Plättchen.
  2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 5 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    So fängst du an:
    5 Reihen mit je 5 Plättchen.
    Lösung zeigen
    1. 5 Reihen mit je 5 Plättchen.
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Plättchen
  2. ●20
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 6 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 6 Reihen mit je 6 Plättchen.
    2. 6 · 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Plättchen
  3. ★21
    Aus dem Quadrat mit Seite 8 wird eines mit Seite 9. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 8 · 8 = 64. Nachher: 9 · 9 = 81.
    2. Dazu: 81 − 64 = 17
    Ergebnis:
    17 Plättchen

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 10 Minuten. Fährt um 7:48 Uhr ein Bus?
Schritt für Schritt
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 10 Minuten.
  2. Ist 48 ein Vielfaches von 10? 48 : 10 = 4 Rest 8
  3. Nein, dann fährt keiner.
  1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 10 Minuten.
  2. Ist 48 ein Vielfaches von 10? 48 : 10 = 4 Rest 8
  3. Nein, dann fährt keiner.
Ergebnis:
Nein

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 85 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    6 Stück85 Förmchen
    So fängst du an:
    85 : 6 = 14 Rest 1
    Lösung zeigen
    1. 85 : 6 = 14 Rest 1
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 15 Packungen.
    Ergebnis:
    15 Packungen
  2. ●23
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 70 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück70 Förmchen
    Lösung zeigen
    1. 70 : 12 = 5 Rest 10
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 6 Packungen.
    Ergebnis:
    6 Packungen
  3. ★24
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 59 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück59 Förmchen
    Lösung zeigen
    1. 59 : 12 = 4 Rest 11
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 5 Packungen.
    Ergebnis:
    5 Packungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 9 teilbar: 24, 108, 78, 91? Begründe mit der Division.
    241087891
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 9 teilen und auf den Rest achten.
    2. 108 : 9 = 12; bei 24, 78, 91 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●26
    84 Kinder fahren ins Stadion. Ein Bus hat 45 Plätze. Wie viele Busse braucht die Schule?
    84 Kinder45 Plätze
    Lösung zeigen
    1. 84 : 45 = 1 Rest 39
    2. Auch die 39 übrigen Kinder brauchen einen Platz: 1 + 1 = 2 Busse
    Ergebnis:
    2 Busse
  3. ●27
    Ist 105 ein Vielfaches von 7? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    859095100105110115120125105
    Lösung zeigen
    1. 105 : 7 = 15
    2. 105 = 7 · 15: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 16 oder 27? Schreibe die Teilerpaare auf.
    1627
    Lösung zeigen
    1. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
    2. 27: 1, 3, 9, 27 (4 Teiler)
    3. 16 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    16
  5. ●29
    Das Bild zeigt 20 Plättchen als Rechteck mit 4 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare von 20: 1 · 20, 2 · 10, 4 · 5.
    2. Reihen mal Länge, außer 4 · 5: 1 · 20, 2 · 10
    Ergebnis:
    1 · 20, 2 · 10
  6. ●30
    Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 721; 6515; 6649; 404?
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. Teilbar: 6515
    Ergebnis:
    6515

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welche Zahl ist durch 4 teilbar: 65, 99, 78, 44? Begründe mit der Division.
    65997844
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Nenne alle Vielfachen von 8, die zwischen 35 und 73 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    35404550556065703573
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40, 48, 56, 64, 72

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Wie viele Teiler hat 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Teiler

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 643; 2625; 109; 5068?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5068

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Warum genügt bei 326 der Blick auf die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch 5?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 320 sicher teilbar ist und nur 6 zählt

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 7 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 54 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    6 Stück54 Förmchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Packungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. Rest 3
  2. Rest 1
  3. 44
  4. 9, 18, 27, 36, 45
  5. 27, 36, 45
  6. 195
  7. 6 Teiler
  8. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  9. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
  10. 6795
  11. 5
  12. 25.600
  13. falsch
  14. wahr
  15. falsch
  16. nicht teilbar, weil 880 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  17. Ja
  18. Nein
  19. 25 Plättchen
  20. 36 Plättchen
  21. 17 Plättchen
  22. 15 Packungen
  23. 6 Packungen
  24. 5 Packungen
  25. 108
  26. 2 Busse
  27. Ja
  28. 16
  29. 1 · 20, 2 · 10
  30. 6515
  31. 44
  32. 40, 48, 56, 64, 72
  33. 5 Teiler
  34. 5068
  35. falsch
  36. nicht teilbar, weil 320 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  37. 49 Plättchen
  38. 9 Packungen
  39. 8
  40. 4
  41. 4
  42. 8