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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 40? Zähle 1 und 40 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 40, 2 · 20, 4 · 10, 5 · 8
    2. Teiler: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
    3. Das sind 8 Teiler.
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 191 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    191
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 1.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 1. Der Rest ist 1.
    Ergebnis:
    1

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    45 : 5 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9
  2. ●42
    2 · 4 = ___
    4 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 4 Punkten
    2. 2 · 4 = 8
    Ergebnis:
    8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 52, 92, 58, 28? Begründe mit der Division.
52925828
Schritt für Schritt
  1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
  2. 28 : 7 = 4; bei 52, 92, 58 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 28
  1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
  2. 28 : 7 = 4; bei 52, 92, 58 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 28
Ergebnis:
28

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahl ist durch 5 teilbar: 23, 35, 28, 46? Begründe mit der Division.
    23352846
    So fängst du an:
    Jede Zahl durch 5 teilen und auf den Rest achten.
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 5 teilen und auf den Rest achten.
    2. 35 : 5 = 7; bei 23, 28, 46 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●2
    Ist 116 durch 6 teilbar? Begründe mit der Division.
    116: 6
    Lösung zeigen
    1. 116 : 6 = 19 Rest 2
    2. Rest 2: nicht teilbar.
    Ergebnis:
    Nein, Rest 2
  3. ★3
    Welche Zahl ist durch 10 teilbar: 67, 58, 50, 85? Begründe mit der Division.
    67585085
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 10 teilen und auf den Rest achten.
    2. 50 : 10 = 5; bei 67, 58, 85 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 50
    Ergebnis:
    50

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 5 auf.
051015202530354045
Schritt für Schritt
  1. Vielfache sind 5 · 1, 5 · 2, 5 · 3 und so weiter.
  2. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
  1. Vielfache sind 5 · 1, 5 · 2, 5 · 3 und so weiter.
  2. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
Ergebnis:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 35 und 61 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    3540455055603561
    So fängst du an:
    Das erste Vielfache über 35: 36.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 35: 36.
    2. Immer 4 weiter: 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
    Ergebnis:
    36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
  2. ●5
    Ist 44 ein Vielfaches von 6? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    253035404550556044
    Lösung zeigen
    1. 44 : 6 = 7 Rest 2
    2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★6
    Welches Vielfache von 6 liegt am nächsten an 500? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    470480490500510520530
    Lösung zeigen
    1. 500 : 6 = 83 Rest 2
    2. Darunter 498, darüber 504.
    3. Am nächsten: 498
    Ergebnis:
    498

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Welche Zahl hat mehr Teiler: 15 oder 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
1530
Schritt für Schritt
  1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
  2. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
  3. 30 hat mehr Teiler.
  1. 15: 1, 3, 5, 15 (4 Teiler)
  2. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
  3. 30 hat mehr Teiler.
Ergebnis:
30

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Finde alle Teiler von 24. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    24 = 1 · 2424 = ? · ?
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  2. ●8
    Finde alle Teiler von 30. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    30 = 1 · 3030 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  3. ★9
    Finde alle Teiler von 80. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 80, 2 · 40, 4 · 20, 5 · 16, 8 · 10
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 302_ soll durch 5, aber nicht durch 2 teilbar sein.
T3H0Z2E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 5
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 5
Ergebnis:
5

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 7455; 6153; 9281; 1114?
    So fängst du an:
    Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. Teilbar: 7455
    Ergebnis:
    7455
  2. ●11
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 7515; 6539; 2003; 1902?
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 1902
    Ergebnis:
    1902
  3. ★12
    Wie viele Zahlen von 50 bis 149 sind durch 10 teilbar?
    5060708090100110120130140
    Lösung zeigen
    1. Die erste: 50, die letzte: 140.
    2. Immer 10 weiter: (140 − 50) : 10 + 1 = 10
    Ergebnis:
    10 Zahlen

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Ist 804.400 durch 100 teilbar?
HT8ZT0T4H4Z0E0
Schritt für Schritt
  1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
  2. Teilbar durch 100.
  1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
  2. Teilbar durch 100.
Ergebnis:
Ja

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar.“
    So fängst du an:
    Mit der letzten Ziffer prüfen.
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Die Endziffer 0 ist gerade.
    Ergebnis:
    wahr
  2. ●14
    Ist 750.700 durch 100 teilbar?
    HT7ZT5T0H7Z0E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★15
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum genügt bei 676 der Blick auf die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch 5?
Schritt für Schritt
  1. Zerlegen: 676 = 670 + 6
  2. 670 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 6 an: nicht durch 5 teilbar.
  1. Zerlegen: 676 = 670 + 6
  2. 670 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 6 an: nicht durch 5 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 670 sicher teilbar ist und nur 6 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum genügt bei 686 der Blick auf die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch 5?
    So fängst du an:
    Zerlegen: 686 = 680 + 6
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 686 = 680 + 6
    2. 680 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 6 an: nicht durch 5 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 680 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  2. ●17
    Warum genügt bei 857 der Blick auf die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch 5?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 857 = 850 + 7
    2. 850 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 7 an: nicht durch 5 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 850 sicher teilbar ist und nur 7 zählt
  3. ★18
    Warum genügt bei 44.894 der Blick auf die letzten beiden Ziffern für die Teilbarkeit durch 100?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 44.894 = 44.800 + 94
    2. 44.800 ist ein Vielfaches von 100 und damit durch 100 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 94 an: nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 44.800 sicher teilbar ist und nur 94 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Aus dem Quadrat mit Seite 7 wird eines mit Seite 8. Wie viele Plättchen kommen dazu?
Schritt für Schritt
  1. Vorher: 7 · 7 = 49. Nachher: 8 · 8 = 64.
  2. Dazu: 64 − 49 = 15
  1. Vorher: 7 · 7 = 49. Nachher: 8 · 8 = 64.
  2. Dazu: 64 − 49 = 15
Ergebnis:
15 Plättchen

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 6 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    So fängst du an:
    6 Reihen mit je 6 Plättchen.
    Lösung zeigen
    1. 6 Reihen mit je 6 Plättchen.
    2. 6 · 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Plättchen
  2. ●20
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 5 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 5 Reihen mit je 5 Plättchen.
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Plättchen
  3. ★21
    Ist 36 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 6 = 36
    2. Ein Quadrat mit Seite 6: Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Ja

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

28 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
28 Kinder210 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Gesucht sind Teiler von 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 7
  1. Gesucht sind Teiler von 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 7
Ergebnis:
4, 7

AchtungNoch einmal: Teiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    30 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    30 Kinder210 Kinder
    So fängst du an:
    Gesucht sind Teiler von 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
    Lösung zeigen
    1. Gesucht sind Teiler von 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
    2. Zwischen 2 und 10: 3, 5, 6
    Ergebnis:
    3, 5, 6
  2. ●23
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Zeynep genau 119 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    10 Stück119 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. 119 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★24
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:14 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    1. Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
    2. Ist 14 ein Vielfaches von 12? 14 : 12 = 1 Rest 2
    3. Nein, dann fährt keiner.
    Ergebnis:
    Nein

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 92, 55, 28, 59? Begründe mit der Division.
    92552859
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
    2. 28 : 7 = 4; bei 92, 55, 59 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●26
    Auf eine Albumseite passen 7 Fotos. Sofia hat 60 Fotos. Wie viele Seiten werden voll, wie viele Fotos bleiben?
    7 Fotos60 Fotos
    Lösung zeigen
    1. 60 : 7 = 8 Rest 4
    2. 8 volle Seiten, 4 Fotos auf der letzten Seite.
    Ergebnis:
    8 volle Seiten, 4 Fotos
  3. ●27
    Nenne alle Vielfachen von 5, die zwischen 23 und 59 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    253035404550552359
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 23: 25.
    2. Immer 5 weiter: 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
    Ergebnis:
    25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 36 oder 18? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3618
    Lösung zeigen
    1. 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 Teiler)
    2. 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (6 Teiler)
    3. 36 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    36
  5. ●29
    Kann Aylin aus 7 Plättchen ein Rechteck mit genau 2 gleich langen Reihen legen?
    Lösung zeigen
    1. 7 : 2 = 3 Rest 1
    2. Es bleibt ein Rest: Das geht nicht.
    Ergebnis:
    Nein
  6. ●30
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 7821; 8645; 6030; 1872?
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 6030
    Ergebnis:
    6030

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welche Zahl ist durch 5 teilbar: 44, 44, 39, 60? Begründe mit der Division.
    44443960
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 147 ein Vielfaches von 8? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    130135140145150155160165147
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 30 oder 22? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3022
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 1150; 4744; 7615; 5497?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1150

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 100 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    wahr

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 134 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 134 durch 2 teilbar?
    H1Z3E4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 10 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    100 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:09 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. 35
  2. Nein, Rest 2
  3. 50
  4. 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
  5. Nein
  6. 498
  7. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  8. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  9. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
  10. 7455
  11. 1902
  12. 10 Zahlen
  13. wahr
  14. Ja
  15. falsch
  16. nicht teilbar, weil 680 sicher teilbar ist und nur 6 zählt
  17. nicht teilbar, weil 850 sicher teilbar ist und nur 7 zählt
  18. nicht teilbar, weil 44.800 sicher teilbar ist und nur 94 zählt
  19. 36 Plättchen
  20. 25 Plättchen
  21. Ja
  22. 3, 5, 6
  23. Nein
  24. Nein
  25. 28
  26. 8 volle Seiten, 4 Fotos
  27. 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
  28. 36
  29. Nein
  30. 6030
  31. 60
  32. Nein
  33. 30
  34. 1150
  35. wahr
  36. Ja
  37. 100 Plättchen
  38. Nein
  39. 8
  40. 1
  41. 9
  42. 8