Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

●39
Wie viele Teiler hat die Zahl 45? Zähle 1 und 45 mit.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 45, 3 · 15, 5 · 9
2. Teiler: 1, 3, 5, 9, 15, 45
3. Das sind 6 Teiler.
Ergebnis:
6
●40
Welcher Rest bleibt, wenn du 183 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
Lösung zeigen
1. Die Einerziffer ist 3.
2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 3. Der Rest ist 3.
Ergebnis:
3

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

●41
72 : 9 = ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
8
●42
10 · 9 = ___
Lösung zeigen
1. 10 Reihen mit je 9 Punkten
2. 10 · 9 = 90
Ergebnis:
90

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Ist 99 durch 4 teilbar? Begründe mit der Division.

Schritt für Schritt

99 : 4 = 24 Rest 3
Rest 3: nicht teilbar.

99 : 4 = 24 Rest 3
Rest 3: nicht teilbar.

Ergebnis:

Nein, Rest 3

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht

108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse

So richtig

108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

○1
Welche Zahl ist durch 6 teilbar: 32, 72, 62, 40? Begründe mit der Division.
So fängst du an:
Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
Lösung zeigen
1. Jede Zahl durch 6 teilen und auf den Rest achten.
2. 72 : 6 = 12; bei 32, 62, 40 bleibt ein Rest.
3. Ohne Rest: 72
Ergebnis:
72
●2
Welcher Rest bleibt bei 93 : 8? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. 11 · 8 = 88
2. 93 − 88 = 5
3. 93 : 8 = 11 Rest 5
Ergebnis:
Rest 5
★3
Welche durch 5 teilbare Zahl liegt am nächsten an 961? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. 961 : 5 = 192 Rest 1
2. Nach unten: 961 − 1 = 960. Nach oben: 961 + 4 = 965.
3. Am nächsten: 960
Ergebnis:
960

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 9 auf.

Schritt für Schritt

Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72

Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72

Ergebnis:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht

Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6

So richtig

Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

○4
Nenne alle Vielfachen von 5, die zwischen 21 und 56 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
So fängst du an:
Das erste Vielfache über 21: 25.
Lösung zeigen
1. Das erste Vielfache über 21: 25.
2. Immer 5 weiter: 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
Ergebnis:
25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
●5
Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 30 und 56 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
1. Das erste Vielfache über 30: 32.
2. Immer 4 weiter: 32, 36, 40, 44, 48, 52
Ergebnis:
32, 36, 40, 44, 48, 52
★6
Ist 45 ein Vielfaches von 7? Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
1. 45 : 7 = 6 Rest 3
2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
Ergebnis:
Nein

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Finde alle Teiler von 15. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.

Schritt für Schritt

Teilerpaare: 1 · 15, 3 · 5
Teiler der Größe nach: 1, 3, 5, 15

Teilerpaare: 1 · 15, 3 · 5
Teiler der Größe nach: 1, 3, 5, 15

Ergebnis:

1, 3, 5, 15

AchtungTeiler vergessen

So nicht

Teiler von 24: 2, 3, 4, 6

So richtig

Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

○7
Finde alle Teiler von 36. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
So fängst du an:
Teilerpaare: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
●8
Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Ergebnis:
6 Teiler
★9
Wie viele Teiler hat 96? Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 96, 2 · 48, 3 · 32, 4 · 24, 6 · 16, 8 · 12
2. 12 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
Ergebnis:
12 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 268_ soll durch 2, aber nicht durch 10 teilbar sein.

Schritt für Schritt

Nur die letzte Ziffer entscheidet.
Passend: 2, 4, 6, 8

Nur die letzte Ziffer entscheidet.
Passend: 2, 4, 6, 8

Ergebnis:

2, 4, 6, 8

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht

438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht

So richtig

438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

○10
Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 7188 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
So fängst du an:
Letzte Ziffer: 8. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer: 8. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
2. Teilbar durch 2.
Ergebnis:
2
●11
Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 4660 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer: 0. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
2. Teilbar durch 2, 5, 10.
Ergebnis:
2, 5, 10
★12
Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 15.501 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer: 1. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
2. Durch keine der drei.
Ergebnis:
durch keine

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Ist 72.810 durch 100 teilbar?

Schritt für Schritt

Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 10.
Nicht durch 100 teilbar.

Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 10.
Nicht durch 100 teilbar.

Ergebnis:

Nein

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht

7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar

So richtig

7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

○13
Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 2300 teilbar?
So fängst du an:
Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
Ergebnis:
2, 5, 10, 100
●14
Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 5 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
Lösung zeigen
1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
2. Gegenbeispiel 15: durch 5 teilbar, durch 10 nicht.
Ergebnis:
falsch
★15
Ist 515.300 durch 100 teilbar?
Lösung zeigen
1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
2. Teilbar durch 100.
Ergebnis:
Ja

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

Ausprobieren: Stellenwerttafel: bündeln und entbündeln

Plättchen in die Stellenwerttafel legen, zehn bündeln, einen entbündeln – die Zahl bleibt gleich.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum genügt bei 163 der Blick auf die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch 5?

Schritt für Schritt

Zerlegen: 163 = 160 + 3
160 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
Es kommt nur auf 3 an: nicht durch 5 teilbar.

Zerlegen: 163 = 160 + 3
160 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
Es kommt nur auf 3 an: nicht durch 5 teilbar.

Ergebnis:

nicht teilbar, weil 160 sicher teilbar ist und nur 3 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht

438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht

So richtig

438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

○16
Zerlege 599 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 599 durch 5 teilbar?
So fängst du an:
599 = 590 + 9
Lösung zeigen
1. 599 = 590 + 9
2. 590 ist durch 5 teilbar, 9 nicht: Nein.
Ergebnis:
Nein
●17
Zerlege 185 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 185 durch 5 teilbar?
Lösung zeigen
1. 185 = 180 + 5
2. 180 ist durch 5 teilbar, 5 auch: Ja.
Ergebnis:
Ja
★18
Warum genügt bei 4129 der Blick auf die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch 5?
Lösung zeigen
1. Zerlegen: 4129 = 4120 + 9
2. 4120 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 5 teilbar.
3. Es kommt nur auf 9 an: nicht durch 5 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 4120 sicher teilbar ist und nur 9 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 25 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.

Schritt für Schritt

5 · 5 = 25
Ein Quadrat mit Seite 5: Quadratzahl.

5 · 5 = 25
Ein Quadrat mit Seite 5: Quadratzahl.

Ergebnis:

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht

Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12

So richtig

Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

○19
Ist 55 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
So fängst du an:
7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
Lösung zeigen
1. 7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein
●20
Ist 54 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Lösung zeigen
1. 7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein
★21
Ist 75 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Lösung zeigen
1. 8 · 8 = 64 ist zu klein, 9 · 9 = 81 zu groß.
2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 12 Minuten. Fährt um 7:18 Uhr ein Bus?

Schritt für Schritt

Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
Ist 18 ein Vielfaches von 12? 18 : 12 = 1 Rest 6
Nein, dann fährt keiner.

Abfahrten nach 7:00 Uhr: Vielfache von 12 Minuten.
Ist 18 ein Vielfaches von 12? 18 : 12 = 1 Rest 6
Nein, dann fährt keiner.

Ergebnis:

Nein

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○22
Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Sofia genau 43 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
So fängst du an:
Durch 10: letzte Ziffer 0.
Lösung zeigen
1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
2. 43 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
Ergebnis:
Nein
●23
24 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
Lösung zeigen
1. Gesucht sind Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2. Zwischen 2 und 10: 3, 4, 6, 8
Ergebnis:
3, 4, 6, 8
★24
32 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
Lösung zeigen
1. Gesucht sind Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
2. Zwischen 2 und 10: 4, 8
Ergebnis:
4, 8

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahl ist durch 9 teilbar: 65, 88, 108, 35? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
1. Jede Zahl durch 9 teilen und auf den Rest achten.
2. 108 : 9 = 12; bei 65, 88, 35 bleibt ein Rest.
3. Ohne Rest: 108
Ergebnis:
108
●26
106 Kinder fahren ins Stadion. Ein Bus hat 55 Plätze. Wie viele Busse braucht die Schule?
Lösung zeigen
1. 106 : 55 = 1 Rest 51
2. Auch die 51 übrigen Kinder brauchen einen Platz: 1 + 1 = 2 Busse
Ergebnis:
2 Busse
●27
Nenne alle Vielfachen von 6, die zwischen 49 und 80 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
Lösung zeigen
1. Das erste Vielfache über 49: 54.
2. Immer 6 weiter: 54, 60, 66, 72, 78
Ergebnis:
54, 60, 66, 72, 78
●28
Finde alle Teiler von 16. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
1. Teilerpaare: 1 · 16, 2 · 8, 4 · 4
2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 4, 8, 16
Ergebnis:
1, 2, 4, 8, 16
●29
Aus 13 Plättchen legst du Rechtecke. Alle Reihen sind gleich lang. Wie viele verschiedene Rechtecke gibt es?
Lösung zeigen
1. Jedes Rechteck ist ein Teilerpaar: 1 · 13.
2. 13 hat nur die Teiler 1 und 13: nur eine lange Reihe.
Ergebnis:
1 Rechteck
●30
Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 649 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
Lösung zeigen
1. Letzte Ziffer: 9. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
2. Durch keine der drei.
Ergebnis:
durch keine

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest: Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache: Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren: Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern: Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden: In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert: Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen: Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag: Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.
31
Welche Zahl ist durch 8 teilbar: 66, 25, 49, 24? Begründe mit der Division.
Lösung zeigen
Ergebnis:
24
Ich finde Vielfache einer Zahl.
32
Schreibe die ersten 6 Vielfachen von 5 auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
5, 10, 15, 20, 25, 30
Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.
33
Wie viele Teiler hat 30? Schreibe die Teilerpaare auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Teiler
Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.
34
Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 2455; 7853; 9573; 7014?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2455
Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.
35
Ist 323.500 durch 100 teilbar?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ja
Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.
36
Zerlege 493 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 493 durch 2 teilbar?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein
Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.
37
Ist 49 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ja
Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.
38
Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Lea genau 75 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ja, 15 Bögen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

72
Rest 5
960
25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
32, 36, 40, 44, 48, 52
Nein
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
6 Teiler
12 Teiler
2
2, 5, 10
durch keine
2, 5, 10, 100
falsch
Ja
Nein
Ja
nicht teilbar, weil 4120 sicher teilbar ist und nur 9 zählt
Nein
Nein
Nein
Nein
3, 4, 6, 8
4, 8
108
2 Busse
54, 60, 66, 72, 78
1, 2, 4, 8, 16
1 Rechteck
durch keine
24
5, 10, 15, 20, 25, 30
8 Teiler
2455
Ja
Nein
Ja
Ja, 15 Bögen
6
3
8
90