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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Terme und einfache Gleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Weiterzeichnen bis Bild 24 dauert lange, und beim Zählen verrutscht man. Einige merken „immer drei mehr“ und rechnen, aber jede Gruppe schreibt es anders auf. Ihr habt eine Regel gefunden, die für jedes Bild gilt. Wir schreiben sie so kurz, dass alle sie lesen können: 3 · x + 1, und x ist die Nummer des Bildes.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Term ist eine Rechenvorschrift

Ein Term sagt, was mit Zahlen passiert und in welcher Reihenfolge. Man liest ihn wie einen Bauplan: Was wird zuletzt gerechnet? Eine Variable ist ein Platz, an den jede Zahl kommen kann.

Rechenbaum zu 3 mal Klammer x plus 2: zuerst x plus 2, zuletzt mal 3·zuletzt3+zuerstx23 · (x + 2)

WeiterdenkenDenk nach

Wird 2 + 3 · x größer, wenn x größer wird? Um wie viel wächst der Wert, wenn x um 1 wächst – ohne eine Zahl einzusetzen?

1Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

EntdeckenFrage

Warum zeigen zwei Taschenrechner bei 3 + 4 · 5 manchmal verschiedene Ergebnisse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Einfache Rechner rechnen oft der Reihe nach und zeigen 35. Rechner mit Punkt vor Strich zeigen 23. Richtig ist 23: Die Regel ist eine Abmachung, damit ein Term für alle Menschen dasselbe bedeutet.

MerkenRechenregeln

Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.

So gilt 3 + 4 · 5 = 23, aber (3 + 4) · 5 = 35.

BeispielZahlterme mit Rechenregeln berechnen

Rechne Schritt für Schritt und beachte die Rechenregeln: 4 · 8 + 47 · 3
48·?473·?+?
Schritt für Schritt
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 8 = 32
  3. 47 · 3 = 141
  4. 32 + 141 = 173
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 8 = 32
  3. 47 · 3 = 141
  4. 32 + 141 = 173
Ergebnis:
173

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Berechne: 3 · 8 + 42 : 6
    38·?426:?+?
    So fängst du an:
    Punkt vor Strich.
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 3 · 8 = 24
    3. 42 : 6 = 7
    4. 24 + 7 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●2
    Welchen Wert hat der Term 4 · 3 + 29 · 5? Schreibe jeden Schritt auf.
    43·?295·?+?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 4 · 3 = 12
    3. 29 · 5 = 145
    4. 12 + 145 = 157
    Ergebnis:
    157
  3. ★3
    Rechne Schritt für Schritt und beachte die Rechenregeln: 9 · 6 + 4 · 6
    96·?46·?+?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 9 · 6 = 54
    3. 4 · 6 = 24
    4. 54 + 24 = 78
    Ergebnis:
    78

2Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

EntdeckenFrage

Wie viele Streichhölzer braucht eine Reihe aus 100 Quadraten – ohne sie alle zu legen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

301. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere nur 3, weil es eine Seite mit dem Quadrat davor teilt. Also 3 · 100 + 1. Der Term spart das Legen und gilt für jede Länge.

MerkenVom Text zum Term

Die Wörter verraten die Rechenart.

Summe heißt plus, Differenz minus, Produkt mal, Quotient geteilt. „Multipliziere die Summe aus 7 und 5 mit 3“ wird zu (7 + 5) · 3.

BeispielVom Text zum Zahlterm

3 Kinder teilen 15 Murmeln gerecht. Jedes Kind bekommt dann noch 9 dazu. Stelle einen Term auf: Wie viele Murmeln hat jedes Kind?
Schritt für Schritt
  1. Term: 15 : 3 + 9
  2. 15 : 3 = 5
  3. 5 + 9 = 14
  4. Jedes Kind hat 14 Murmeln.
  1. Term: 15 : 3 + 9
  2. 15 : 3 = 5
  3. 5 + 9 = 14
  4. Jedes Kind hat 14 Murmeln.
Ergebnis:
15 : 3 + 9 = 14 Murmeln

AchtungKlammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe als Term und berechne: Multipliziere die Summe aus 11 und 7 mit 6.
    So fängst du an:
    Term: (11 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Term: (11 + 7) · 6
    2. 11 + 7 = 18
    3. 18 · 6 = 108
    Ergebnis:
    (11 + 7) · 6 = 108
  2. ●5
    Mia kauft 2 Hefte zu je 7 € und einen Block für 8 €. Stelle einen Term für den Preis auf und berechne ihn.
    Lösung zeigen
    1. Term: 2 · 7 + 8
    2. 2 · 7 = 14
    3. 14 + 8 = 22
    4. Mia bezahlt 22 €.
    Ergebnis:
    2 · 7 + 8 = 22 €
  3. ★6
    Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 4 von 68 und teile das Ergebnis durch 8.
    Lösung zeigen
    1. Term: (68 − 4) : 8
    2. 68 − 4 = 64
    3. 64 : 8 = 8
    Ergebnis:
    (68 − 4) : 8 = 8

3Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

EntdeckenFrage

Wie kann jemand deine gedachte Zahl erraten, ohne sie zu kennen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er lässt dich rechnen, zum Beispiel mal 2 plus 10, und hört das Ergebnis. Dann rechnet er rückwärts: minus 10, geteilt durch 2. Jeder Zahlentrick dieser Art ist eine Gleichung, die man durch Rückwärtsrechnen löst.

MerkenRechenbaum

Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.

Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen: (2 + 3) · 4 ist ein Produkt, 2 + 3 · 4 eine Summe.

BeispielRechenbaum und Termname

Ist 2 · 6 + 18 · 5 eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient? Begründe mit dem Rechenbaum und berechne den Wert.
26·?185·?+?
Schritt für Schritt
  1. 2 · 6 = 12
  2. 18 · 5 = 90
  3. 12 + 90 = 102
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 102.
  1. 2 · 6 = 12
  2. 18 · 5 = 90
  3. 12 + 90 = 102
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 102.
Ergebnis:
Summe, Wert 102

AchtungNoch einmal: Punkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ist 5 · 5 + 17 · 8 eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient? Begründe mit dem Rechenbaum und berechne den Wert.
    55·?178·?+?
    So fängst du an:
    5 · 5 = 25
    Lösung zeigen
    1. 5 · 5 = 25
    2. 17 · 8 = 136
    3. 25 + 136 = 161
    4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 161.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 161
  2. ●8
    Im Bild steht der Rechenbaum zu 5 · 7 − 42 : 6. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    57·?426:?−?
    Lösung zeigen
    1. 5 · 7 = 35
    2. 42 : 6 = 7
    3. 35 − 7 = 28
    4. Zuletzt wird „−“ gerechnet.
    5. Der Term ist eine Differenz mit dem Wert 28.
    Ergebnis:
    Differenz, Wert 28
  3. ★9
    Zeichne den Rechenbaum zu 7 · 8 + 7. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
    78·?7+?
    Lösung zeigen
    1. 7 · 8 = 56
    2. 56 + 7 = 63
    3. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    4. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 63.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 63

4Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

EntdeckenFrage

Wie berechnet ein Taxi in Berlin den Fahrpreis, bevor es losfährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einer Rechenvorschrift: Grundpreis plus gefahrene Kilometer mal Kilometerpreis. Das ist ein Term mit einer Variablen. Wer die Kilometer einsetzt, bekommt den Preis – für jede Fahrt nach derselben Vorschrift.

MerkenPlatzhalter und Variable

Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.

Mit einer eingesetzten Zahl bekommt der Term einen Wert: Für x = 4 hat 3 · x + 2 den Wert 14.

BeispielZahlen in einen Term einsetzen

Fülle die Tabelle aus: x · 4 − 4 für x = 4, 5, 6 und 10. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
x45610x·4−4????
Schritt für Schritt
  1. Setze 4 ein → 4 · 4 − 4 = 12
  2. Setze 5 ein → 5 · 4 − 4 = 16
  3. Setze 6 ein → 6 · 4 − 4 = 20
  4. Setze 10 ein → 10 · 4 − 4 = 36
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 4.
  1. Setze 4 ein → 4 · 4 − 4 = 12
  2. Setze 5 ein → 5 · 4 − 4 = 16
  3. Setze 6 ein → 6 · 4 − 4 = 20
  4. Setze 10 ein → 10 · 4 − 4 = 36
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 4.
Ergebnis:
12, 16, 20, 36; je +4

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Fülle die Tabelle aus: x · 9 − 9 für x = 4, 5, 6 und 9. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x4569x·9−9????
    So fängst du an:
    Setze 4 ein → 4 · 9 − 9 = 27
    Lösung zeigen
    1. Setze 4 ein → 4 · 9 − 9 = 27
    2. Setze 5 ein → 5 · 9 − 9 = 36
    3. Setze 6 ein → 6 · 9 − 9 = 45
    4. Setze 9 ein → 9 · 9 − 9 = 72
    5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 9.
    Ergebnis:
    27, 36, 45, 72; je +9
  2. ●11
    Eine Klassenfahrt kostet je Kind 11 € Eintritt, dazu 6 € für den Bus insgesamt. Der Term 11 · x + 6 gibt die Kosten für x Kinder. Berechne die Kosten für 3 Kinder.
    Kinder3Kosten in €?
    Lösung zeigen
    1. Setze 3 ein → 11 · 3 + 6
    2. 11 · 3 = 33
    3. 33 + 6 = 39
    Ergebnis:
    39 €
  3. ★12
    Fülle die Tabelle aus: (x + 1) · 9 für x = 4, 5, 6 und 9. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x4569(x+1)·9????
    Lösung zeigen
    1. Setze 4 ein → (4 + 1) · 9 = 45
    2. Setze 5 ein → (5 + 1) · 9 = 54
    3. Setze 6 ein → (6 + 1) · 9 = 63
    4. Setze 9 ein → (9 + 1) · 9 = 90
    5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 9.
    Ergebnis:
    45, 54, 63, 90; je +9

5Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

EntdeckenFrage

Warum heißt 2 + 3 · 4 eine Summe, obwohl mal darin vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil zuletzt addiert wird: erst 3 · 4 = 12, dann 2 + 12 = 14. Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen. Der Rechenbaum zeigt sie ganz unten.

MerkenMuster beschreiben

Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.

Bei Quadraten aus Hölzern braucht Bild x genau 3 · x + 1 Hölzer: vier für das erste Quadrat, drei für jedes weitere.

BeispielMuster mit einem Term beschreiben

Dreiecke aus Hölzern: Wie viele Hölzer braucht Bild 12? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
Bild 1Bild 2Bild 3…
Schritt für Schritt
  1. Das erste Dreieck braucht 3 Hölzer, jedes weitere 2.
  2. Term: 2 · x + 1
  3. Bild 12 → 2 · 12 + 1 = 25
  1. Das erste Dreieck braucht 3 Hölzer, jedes weitere 2.
  2. Term: 2 · x + 1
  3. Bild 12 → 2 · 12 + 1 = 25
Ergebnis:
2 · x + 1; Bild 12: 25 Hölzer

AchtungNoch einmal: Klammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Tische in einer Reihe: Wie viele Plätze braucht Bild 14? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    So fängst du an:
    An jedem Tisch sitzen 2 an den langen Seiten, dazu 2 an den Enden.
    Lösung zeigen
    1. An jedem Tisch sitzen 2 an den langen Seiten, dazu 2 an den Enden.
    2. Term: 2 · x + 2
    3. Bild 14 → 2 · 14 + 2 = 30
    Ergebnis:
    2 · x + 2; Bild 14: 30 Plätze
  2. ●14
    Zaunfelder: Wie viele Pfosten braucht Bild 14? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Jedes Feld bringt einen Pfosten mit, dazu kommt der erste.
    2. Term: x + 1
    3. Bild 14 → 14 + 1 = 15
    Ergebnis:
    x + 1; Bild 14: 15 Pfosten
  3. ★15
    Tische in einer Reihe: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Plätze in Bild x auf und berechne Bild 11.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. An jedem Tisch sitzen 2 an den langen Seiten, dazu 2 an den Enden.
    2. Term: 2 · x + 2
    3. Bild 11 → 2 · 11 + 2 = 24
    Ergebnis:
    2 · x + 2; Bild 11: 24 Plätze

6Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

EntdeckenFrage

Welche Zahl muss man zu 17 addieren, damit 45 herauskommt – und wie findet man sie ohne Probieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

28. Die Umkehraufgabe liefert sie sofort: 45 − 17 = 28. Plus wird durch minus rückgängig gemacht, mal durch geteilt. So löst man Gleichungen, bevor es Umformungsregeln gibt.

Ausprobieren: Gleichungswaage

Eine Gleichung ist eine Waage im Gleichgewicht. Was du auf einer Seite tust, tust du auch auf der anderen.

MerkenGleichung und Umkehraufgabe

Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?

Die Umkehraufgabe findet sie: Aus x + 17 = 45 folgt x = 45 − 17 = 28. Die Probe zeigt, ob es stimmt.

BeispielGleichung mit der Umkehraufgabe lösen

Löse mit der Umkehraufgabe: x − 12 = 19
x− 1219
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 19 + 12 = 31
  2. x = 31
  3. Probe: 31 − 12 = 19
  1. Umkehraufgabe: 19 + 12 = 31
  2. x = 31
  3. Probe: 31 − 12 = 19
Ergebnis:
x = 31

AchtungUmkehraufgabe mit derselben Rechenart

So nicht
x + 17 = 45 → x = 45 + 17 = 62
So richtig
x + 17 = 45 → x = 45 − 17 = 28

Die Umkehrung von plus ist minus, die von mal ist geteilt – und umgekehrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Finde x und prüfe: 10 + x = 24
    x+ 1024
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 24 − 10 = 14
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 24 − 10 = 14
    2. x = 14
    3. Probe: 14 + 10 = 24
    Ergebnis:
    x = 14
  2. ●17
    Finde □ und prüfe: □ : 6 = 13
    □: 613
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 13 · 6 = 78
    2. □ = 78
    3. Probe: 78 : 6 = 13
    Ergebnis:
    □ = 78
  3. ★18
    Finde □ und prüfe: □ + 25 = 78
    □+ 2578
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 78 − 25 = 53
    2. □ = 53
    3. Probe: 53 + 25 = 78
    Ergebnis:
    □ = 53

7Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

EntdeckenFrage

Ein Wetterbericht aus den USA meldet 86 °F. Wie warm ist das in Grad Celsius?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus Celsius wird Fahrenheit so: mal 1,8, dann plus 32. Rückwärts rechnet man erst minus 32 und dann geteilt durch 1,8. 86 − 32 = 54, und 54 : 1,8 = 30. Es sind also 30 °C.

MerkenRückwärts rechnen

Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.

Die Umkehrrechnungen kommen in umgekehrter Reihenfolge: Bei 3 · x + 5 = 26 erst 26 − 5 = 21, dann 21 : 3 = 7.

BeispielGleichung durch Rückwärtsrechnen lösen

Löse durch Rückwärtsrechnen: 7 · x + 14 = 77
x· 7?+ 1477
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, erst minus 14 → 77 − 14 = 63
  2. dann geteilt durch 7 → 63 : 7 = 9
  3. Probe: 7 · 9 + 14 = 77
  1. Rückwärts, erst minus 14 → 77 − 14 = 63
  2. dann geteilt durch 7 → 63 : 7 = 9
  3. Probe: 7 · 9 + 14 = 77
Ergebnis:
x = 9

AchtungRückwärts in der falschen Reihenfolge

So nicht
3 · x + 5 = 26 → erst 26 : 3, dann − 5
So richtig
26 − 5 = 21 → 21 : 3 = 7 → x = 7

Den letzten Rechenschritt zuerst rückgängig machen, mit umgekehrtem Rechenzeichen. Steht ein Vorzeichen Minus vor dem Ergebnis, wurde falsch herum gerechnet.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die Rechenmaschine im Bild macht aus x die Zahl 147. Rechne rückwärts: Welche Zahl ist x?
    x+ 12?· 7147
    So fängst du an:
    Rückwärts, erst geteilt durch 7 → 147 : 7 = 21
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst geteilt durch 7 → 147 : 7 = 21
    2. dann minus 12 → 21 − 12 = 9
    3. Probe: (9 + 12) · 7 = 147
    Ergebnis:
    x = 9
  2. ●20
    Löse durch Rückwärtsrechnen: (x + 19) · 9 = 216
    x+ 19?· 9216
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst geteilt durch 9 → 216 : 9 = 24
    2. dann minus 19 → 24 − 19 = 5
    3. Probe: (5 + 19) · 9 = 216
    Ergebnis:
    x = 5
  3. ★21
    Löse durch Rückwärtsrechnen: 6 · x − 20 = 124
    x· 6?− 20124
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst plus 20 → 124 + 20 = 144
    2. dann geteilt durch 6 → 144 : 6 = 24
    3. Probe: 6 · 24 − 20 = 124
    Ergebnis:
    x = 24

8Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Ein Team ist nach 10 Spielen ungeschlagen und hat 22 Punkte. Wie oft hat es gewonnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Sieg bringt 3 Punkte, ein Unentschieden 1 Punkt. Mit s Siegen gilt 3 · s + (10 − s) = 22, also 2 · s + 10 = 22. Dann ist 2 · s = 12 und s = 6. Das Team hat 6-mal gewonnen und 4-mal unentschieden gespielt.

MerkenGleichung aufstellen

Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Lösen, die Probe machen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielZahlenrätsel mit einer Gleichung

Ich denke mir eine Zahl. Ich nehme sie mal 4 und addiere 22. Ich erhalte 38. Welche Zahl habe ich gedacht?
x· 4?+ 2238
Schritt für Schritt
  1. Gleichung: 4 · x + 22 = 38
  2. 38 − 22 = 16
  3. 16 : 4 = 4
  4. Probe: 4 · 4 + 22 = 38
  1. Gleichung: 4 · x + 22 = 38
  2. 38 − 22 = 16
  3. 16 : 4 = 4
  4. Probe: 4 · 4 + 22 = 38
Ergebnis:
4

AchtungFalsche Gegenoperation

So nicht
x + 5 = 17 → x = 22
So richtig
x + 5 = 17 | − 5 → x = 12

Schreib die Gegenrechnung hinter einen Strich: bei + 5 steht | − 5.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Zoobesuch kostet 6 € Eintritt je Kind und 37 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 151 €. Wie viele Kinder fahren mit?
    x· 6?+ 37151
    So fängst du an:
    Gleichung: 6 · x + 37 = 151
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: 6 · x + 37 = 151
    2. 151 − 37 = 114
    3. 114 : 6 = 19
    4. Antwort: Es fahren 19 Kinder mit.
    Ergebnis:
    19 Kinder
  2. ●23
    Ich denke mir eine Zahl und addiere 24. Das Ergebnis nehme ich mal 4. Heraus kommt 108. Welche Zahl ist es?
    x+ 24?· 4108
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: (x + 24) · 4 = 108
    2. 108 : 4 = 27
    3. 27 − 24 = 3
    4. Probe: (3 + 24) · 4 = 108
    Ergebnis:
    3
  3. ★24
    Ich denke mir eine Zahl und addiere 13. Das Ergebnis nehme ich mal 3. Heraus kommt 72. Welche Zahl ist es?
    x+ 13?· 372
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: (x + 13) · 3 = 72
    2. 72 : 3 = 24
    3. 24 − 13 = 11
    4. Probe: (11 + 13) · 3 = 72
    Ergebnis:
    11

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne Schritt für Schritt und beachte die Rechenregeln: 7 · 4 − 13 · 2
    74·?132·?−?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 7 · 4 = 28
    3. 13 · 2 = 26
    4. 28 − 26 = 2
    Ergebnis:
    2
  2. ●26
    Welcher Term hat den größeren Wert: (2 + 5) · 6 oder 2 + 5 · 6? Rechne beide aus.
    (2 + 5) · 62 + 5 · 6?
    Lösung zeigen
    1. 2 + 5 = 7
    2. 7 · 6 = 42
    3. 5 · 6 = 30
    4. 2 + 30 = 32
    5. 42 ist mehr als 32.
    Ergebnis:
    (2 + 5) · 6 ist größer
  3. ●27
    Schreibe als Term und berechne: Multipliziere die Summe aus 9 und 3 mit 5.
    Lösung zeigen
    1. Term: (9 + 3) · 5
    2. 9 + 3 = 12
    3. 12 · 5 = 60
    Ergebnis:
    (9 + 3) · 5 = 60
  4. ●28
    Zeichne den Rechenbaum zu 18 · 6 − 7. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
    186·?7−?
    Lösung zeigen
    1. 18 · 6 = 108
    2. 108 − 7 = 101
    3. Zuletzt wird „−“ gerechnet.
    4. Der Term ist eine Differenz mit dem Wert 101.
    Ergebnis:
    Differenz, Wert 101
  5. ●29
    Eine Klassenfahrt kostet je Kind 13 € Eintritt, dazu 15 € für den Bus insgesamt. Der Term 13 · x + 15 gibt die Kosten für x Kinder. Berechne die Kosten für 5 Kinder.
    Kinder5Kosten in €?
    Lösung zeigen
    1. Setze 5 ein → 13 · 5 + 15
    2. 13 · 5 = 65
    3. 65 + 15 = 80
    Ergebnis:
    80 €
  6. ●30
    Zaunfelder: Wie viele Pfosten braucht Bild 7? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Jedes Feld bringt einen Pfosten mit, dazu kommt der erste.
    2. Term: x + 1
    3. Bild 7 → 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    x + 1; Bild 7: 8 Pfosten

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Rechenregeln
Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.
Vom Text zum Term
Die Wörter verraten die Rechenart.
Rechenbaum
Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.
Platzhalter und Variable
Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.
Muster beschreiben
Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.
Gleichung und Umkehraufgabe
Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?
Rückwärts rechnen
Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.
Gleichung aufstellen
Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

    31
    Rechne Schritt für Schritt und beachte die Rechenregeln: 2 · 5 + 41 · 4
    25·?414·?+?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    174

  2. Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

    32
    Schreibe als Term und berechne: Multipliziere die Summe aus 6 und 7 mit 2.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (6 + 7) · 2 = 26

  3. Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

    33
    Im Bild steht der Rechenbaum zu 4 · 5 − 24 : 4. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    45·?244:?−?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Differenz, Wert 14

  4. Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

    34
    Eine Klassenfahrt kostet je Kind 6 € Eintritt, dazu 4 € für den Bus insgesamt. Der Term 6 · x + 4 gibt die Kosten für x Kinder. Berechne die Kosten für 3 Kinder.
    Kinder3Kosten in €?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22 €

  5. Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

    35
    Dreiecke aus Hölzern: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Hölzer in Bild x auf und berechne Bild 10.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · x + 1; Bild 10: 21 Hölzer

  6. Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

    36
    Welche Zahl gehört für □ in die Gleichung 3 + □ = 15? Mache die Probe.
    □+ 315
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    □ = 12

  7. Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

    37
    Rechne rückwärts und mache die Probe: (x + 13) · 6 = 90
    x+ 13?· 690
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 2

  8. Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

    38
    Der Zoobesuch kostet 5 € Eintritt je Kind und 35 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 85 €. Wie viele Kinder fahren mit?
    x· 5?+ 3585
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Kinder

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Term mit einer Variablen als Rechenvorschrift für jedes Bild eines Musters.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Eintritt plus Busfahrt, Zahlentricks, Muster aus Fliesen. Beruf: Kalkulation mit Grundpreis, Tabellenkalkulation.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Term
eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
Variable
ein Buchstabe, der für eine Zahl steht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Muster, Zahlenfolgen und Platzhalter, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen, Terme und Gleichungen

Lösungen

  1. 31
  2. 157
  3. 78
  4. (11 + 7) · 6 = 108
  5. 2 · 7 + 8 = 22 €
  6. (68 − 4) : 8 = 8
  7. Summe, Wert 161
  8. Differenz, Wert 28
  9. Summe, Wert 63
  10. 27, 36, 45, 72; je +9
  11. 39 €
  12. 45, 54, 63, 90; je +9
  13. 2 · x + 2; Bild 14: 30 Plätze
  14. x + 1; Bild 14: 15 Pfosten
  15. 2 · x + 2; Bild 11: 24 Plätze
  16. x = 14
  17. □ = 78
  18. □ = 53
  19. x = 9
  20. x = 5
  21. x = 24
  22. 19 Kinder
  23. 3
  24. 11
  25. 2
  26. (2 + 5) · 6 ist größer
  27. (9 + 3) · 5 = 60
  28. Differenz, Wert 101
  29. 80 €
  30. x + 1; Bild 7: 8 Pfosten
  31. 174
  32. (6 + 7) · 2 = 26
  33. Differenz, Wert 14
  34. 22 €
  35. 2 · x + 1; Bild 10: 21 Hölzer
  36. □ = 12
  37. x = 2
  38. 10 Kinder