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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Terme und einfache Gleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Weiterzeichnen bis Bild 24 dauert lange, und beim Zählen verrutscht man. Einige merken „immer drei mehr“ und rechnen, aber jede Gruppe schreibt es anders auf. Ihr habt eine Regel gefunden, die für jedes Bild gilt. Wir schreiben sie so kurz, dass alle sie lesen können: 3 · x + 1, und x ist die Nummer des Bildes.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Term ist eine Rechenvorschrift

Ein Term sagt, was mit Zahlen passiert und in welcher Reihenfolge. Man liest ihn wie einen Bauplan: Was wird zuletzt gerechnet? Eine Variable ist ein Platz, an den jede Zahl kommen kann.

Rechenbaum zu 3 mal Klammer x plus 2: zuerst x plus 2, zuletzt mal 3·zuletzt3+zuerstx23 · (x + 2)

WeiterdenkenDenk nach

Wird 2 + 3 · x größer, wenn x größer wird? Um wie viel wächst der Wert, wenn x um 1 wächst – ohne eine Zahl einzusetzen?

1Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

EntdeckenFrage

Warum zeigen zwei Taschenrechner bei 3 + 4 · 5 manchmal verschiedene Ergebnisse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Einfache Rechner rechnen oft der Reihe nach und zeigen 35. Rechner mit Punkt vor Strich zeigen 23. Richtig ist 23: Die Regel ist eine Abmachung, damit ein Term für alle Menschen dasselbe bedeutet.

MerkenRechenregeln

Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.

So gilt 3 + 4 · 5 = 23, aber (3 + 4) · 5 = 35.

BeispielZahlterme mit Rechenregeln berechnen

Welchen Wert hat der Term 4 · 2 + 9 · 8? Schreibe jeden Schritt auf.
42·?98·?+?
Schritt für Schritt
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 2 = 8
  3. 9 · 8 = 72
  4. 8 + 72 = 80
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 2 = 8
  3. 9 · 8 = 72
  4. 8 + 72 = 80
Ergebnis:
80

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Berechne: 15 · (11 − 4)
    15114−?·?
    So fängst du an:
    Klammer zuerst.
    Lösung zeigen
    1. Klammer zuerst.
    2. 11 − 4 = 7
    3. 15 · 7 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●2
    Rechne Schritt für Schritt und beachte die Rechenregeln: 9 · 7 + 14 · 4
    97·?144·?+?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 9 · 7 = 63
    3. 14 · 4 = 56
    4. 63 + 56 = 119
    Ergebnis:
    119
  3. ★3
    Berechne: (17 − 4) · 11
    174−?11·?
    Lösung zeigen
    1. Klammer zuerst.
    2. 17 − 4 = 13
    3. 13 · 11 = 143
    Ergebnis:
    143

2Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

EntdeckenFrage

Wie viele Streichhölzer braucht eine Reihe aus 100 Quadraten – ohne sie alle zu legen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

301. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere nur 3, weil es eine Seite mit dem Quadrat davor teilt. Also 3 · 100 + 1. Der Term spart das Legen und gilt für jede Länge.

MerkenVom Text zum Term

Die Wörter verraten die Rechenart.

Summe heißt plus, Differenz minus, Produkt mal, Quotient geteilt. „Multipliziere die Summe aus 7 und 5 mit 3“ wird zu (7 + 5) · 3.

BeispielVom Text zum Zahlterm

Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 5 von 29 und teile das Ergebnis durch 3.
Schritt für Schritt
  1. Term: (29 − 5) : 3
  2. 29 − 5 = 24
  3. 24 : 3 = 8
  1. Term: (29 − 5) : 3
  2. 29 − 5 = 24
  3. 24 : 3 = 8
Ergebnis:
(29 − 5) : 3 = 8

AchtungKlammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Mia kauft 4 Hefte zu je 8 € und einen Block für 5 €. Stelle einen Term für den Preis auf und berechne ihn.
    So fängst du an:
    Term: 4 · 8 + 5
    Lösung zeigen
    1. Term: 4 · 8 + 5
    2. 4 · 8 = 32
    3. 32 + 5 = 37
    4. Mia bezahlt 37 €.
    Ergebnis:
    4 · 8 + 5 = 37 €
  2. ●5
    Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 12 von 54 und teile das Ergebnis durch 7.
    Lösung zeigen
    1. Term: (54 − 12) : 7
    2. 54 − 12 = 42
    3. 42 : 7 = 6
    Ergebnis:
    (54 − 12) : 7 = 6
  3. ★6
    Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 5 von 53 und teile das Ergebnis durch 8.
    Lösung zeigen
    1. Term: (53 − 5) : 8
    2. 53 − 5 = 48
    3. 48 : 8 = 6
    Ergebnis:
    (53 − 5) : 8 = 6

3Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

EntdeckenFrage

Wie kann jemand deine gedachte Zahl erraten, ohne sie zu kennen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er lässt dich rechnen, zum Beispiel mal 2 plus 10, und hört das Ergebnis. Dann rechnet er rückwärts: minus 10, geteilt durch 2. Jeder Zahlentrick dieser Art ist eine Gleichung, die man durch Rückwärtsrechnen löst.

MerkenRechenbaum

Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.

Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen: (2 + 3) · 4 ist ein Produkt, 2 + 3 · 4 eine Summe.

BeispielRechenbaum und Termname

Ist 2 · 6 + 11 · 6 eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient? Begründe mit dem Rechenbaum und berechne den Wert.
26·?116·?+?
Schritt für Schritt
  1. 2 · 6 = 12
  2. 11 · 6 = 66
  3. 12 + 66 = 78
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 78.
  1. 2 · 6 = 12
  2. 11 · 6 = 66
  3. 12 + 66 = 78
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 78.
Ergebnis:
Summe, Wert 78

AchtungNoch einmal: Punkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zeichne den Rechenbaum zu 6 + 8 · 5. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
    685·?+?
    So fängst du an:
    8 · 5 = 40
    Lösung zeigen
    1. 8 · 5 = 40
    2. 6 + 40 = 46
    3. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    4. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 46.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 46
  2. ●8
    Im Bild steht der Rechenbaum zu 8 · 4 + 25 · 2. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    84·?252·?+?
    Lösung zeigen
    1. 8 · 4 = 32
    2. 25 · 2 = 50
    3. 32 + 50 = 82
    4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 82.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 82
  3. ★9
    Im Bild steht der Rechenbaum zu 5 · 8 + 14 · 6. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    58·?146·?+?
    Lösung zeigen
    1. 5 · 8 = 40
    2. 14 · 6 = 84
    3. 40 + 84 = 124
    4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 124.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 124

4Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

EntdeckenFrage

Wie berechnet ein Taxi in Berlin den Fahrpreis, bevor es losfährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einer Rechenvorschrift: Grundpreis plus gefahrene Kilometer mal Kilometerpreis. Das ist ein Term mit einer Variablen. Wer die Kilometer einsetzt, bekommt den Preis – für jede Fahrt nach derselben Vorschrift.

MerkenPlatzhalter und Variable

Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.

Mit einer eingesetzten Zahl bekommt der Term einen Wert: Für x = 4 hat 3 · x + 2 den Wert 14.

BeispielZahlen in einen Term einsetzen

Fülle die Tabelle aus: x · 5 − 2 für x = 4, 5, 6 und 10. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
x45610x·5−2????
Schritt für Schritt
  1. Setze 4 ein → 4 · 5 − 2 = 18
  2. Setze 5 ein → 5 · 5 − 2 = 23
  3. Setze 6 ein → 6 · 5 − 2 = 28
  4. Setze 10 ein → 10 · 5 − 2 = 48
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 5.
  1. Setze 4 ein → 4 · 5 − 2 = 18
  2. Setze 5 ein → 5 · 5 − 2 = 23
  3. Setze 6 ein → 6 · 5 − 2 = 28
  4. Setze 10 ein → 10 · 5 − 2 = 48
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 5.
Ergebnis:
18, 23, 28, 48; je +5

AchtungVon links nach rechts statt Punkt vor Strich

So nicht
9 + 3 · 4 = 48
So richtig
9 + 3 · 4 = 9 + 12 = 21

Unterstreiche zuerst Mal und Geteilt. Rechne sie zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Fülle die Tabelle aus: 7 · x + 11 für x = 1, 2, 3 und 5. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x12357·x+11????
    So fängst du an:
    Setze 1 ein → 7 · 1 + 11 = 18
    Lösung zeigen
    1. Setze 1 ein → 7 · 1 + 11 = 18
    2. Setze 2 ein → 7 · 2 + 11 = 25
    3. Setze 3 ein → 7 · 3 + 11 = 32
    4. Setze 5 ein → 7 · 5 + 11 = 46
    5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 7.
    Ergebnis:
    18, 25, 32, 46; je +7
  2. ●11
    Fülle die Tabelle aus: 72 − 9 · x für x = 1, 2, 3 und 7. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x123772−9·x????
    Lösung zeigen
    1. Setze 1 ein → 72 − 9 · 1 = 63
    2. Setze 2 ein → 72 − 9 · 2 = 54
    3. Setze 3 ein → 72 − 9 · 3 = 45
    4. Setze 7 ein → 72 − 9 · 7 = 9
    5. Wächst x um 1, sinkt der Wert um 9.
    Ergebnis:
    63, 54, 45, 9; je −9
  3. ★12
    Fülle die Tabelle aus: 32 − 4 · x für x = 2, 3, 4 und 7. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x234732−4·x????
    Lösung zeigen
    1. Setze 2 ein → 32 − 4 · 2 = 24
    2. Setze 3 ein → 32 − 4 · 3 = 20
    3. Setze 4 ein → 32 − 4 · 4 = 16
    4. Setze 7 ein → 32 − 4 · 7 = 4
    5. Wächst x um 1, sinkt der Wert um 4.
    Ergebnis:
    24, 20, 16, 4; je −4

5Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

EntdeckenFrage

Warum heißt 2 + 3 · 4 eine Summe, obwohl mal darin vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil zuletzt addiert wird: erst 3 · 4 = 12, dann 2 + 12 = 14. Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen. Der Rechenbaum zeigt sie ganz unten.

MerkenMuster beschreiben

Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.

Bei Quadraten aus Hölzern braucht Bild x genau 3 · x + 1 Hölzer: vier für das erste Quadrat, drei für jedes weitere.

BeispielMuster mit einem Term beschreiben

Zaunfelder: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Pfosten in Bild x auf und berechne Bild 13.
Bild 1Bild 2Bild 3…
Schritt für Schritt
  1. Jedes Feld bringt einen Pfosten mit, dazu kommt der erste.
  2. Term: x + 1
  3. Bild 13 → 13 + 1 = 14
  1. Jedes Feld bringt einen Pfosten mit, dazu kommt der erste.
  2. Term: x + 1
  3. Bild 13 → 13 + 1 = 14
Ergebnis:
x + 1; Bild 13: 14 Pfosten

AchtungNoch einmal: Klammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Dreiecke aus Hölzern: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Hölzer in Bild x auf und berechne Bild 12.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    So fängst du an:
    Das erste Dreieck braucht 3 Hölzer, jedes weitere 2.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Dreieck braucht 3 Hölzer, jedes weitere 2.
    2. Term: 2 · x + 1
    3. Bild 12 → 2 · 12 + 1 = 25
    Ergebnis:
    2 · x + 1; Bild 12: 25 Hölzer
  2. ●14
    Dreiecke aus Hölzern: Wie viele Hölzer braucht Bild 13? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Das erste Dreieck braucht 3 Hölzer, jedes weitere 2.
    2. Term: 2 · x + 1
    3. Bild 13 → 2 · 13 + 1 = 27
    Ergebnis:
    2 · x + 1; Bild 13: 27 Hölzer
  3. ★15
    Zaunfelder: Wie viele Pfosten braucht Bild 10? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Jedes Feld bringt einen Pfosten mit, dazu kommt der erste.
    2. Term: x + 1
    3. Bild 10 → 10 + 1 = 11
    Ergebnis:
    x + 1; Bild 10: 11 Pfosten

6Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

EntdeckenFrage

Welche Zahl muss man zu 17 addieren, damit 45 herauskommt – und wie findet man sie ohne Probieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

28. Die Umkehraufgabe liefert sie sofort: 45 − 17 = 28. Plus wird durch minus rückgängig gemacht, mal durch geteilt. So löst man Gleichungen, bevor es Umformungsregeln gibt.

MerkenGleichung und Umkehraufgabe

Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?

Die Umkehraufgabe findet sie: Aus x + 17 = 45 folgt x = 45 − 17 = 28. Die Probe zeigt, ob es stimmt.

BeispielGleichung mit der Umkehraufgabe lösen

Finde x und prüfe: 11 + x = 40
x+ 1140
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 40 − 11 = 29
  2. x = 29
  3. Probe: 29 + 11 = 40
  1. Umkehraufgabe: 40 − 11 = 29
  2. x = 29
  3. Probe: 29 + 11 = 40
Ergebnis:
x = 29

AchtungUmkehraufgabe mit derselben Rechenart

So nicht
x + 17 = 45 → x = 45 + 17 = 62
So richtig
x + 17 = 45 → x = 45 − 17 = 28

Die Umkehrung von plus ist minus, die von mal ist geteilt – und umgekehrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Welche Zahl gehört für □ in die Gleichung □ : 3 = 6? Mache die Probe.
    □: 36
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 6 · 3 = 18
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 6 · 3 = 18
    2. □ = 18
    3. Probe: 18 : 3 = 6
    Ergebnis:
    □ = 18
  2. ●17
    Welche Zahl gehört für □ in die Gleichung □ − 3 = 19? Mache die Probe.
    □− 319
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 19 + 3 = 22
    2. □ = 22
    3. Probe: 22 − 3 = 19
    Ergebnis:
    □ = 22
  3. ★18
    Finde x und prüfe: x + 48 = 91
    x+ 4891
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 91 − 48 = 43
    2. x = 43
    3. Probe: 43 + 48 = 91
    Ergebnis:
    x = 43

7Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

EntdeckenFrage

Ein Wetterbericht aus den USA meldet 86 °F. Wie warm ist das in Grad Celsius?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus Celsius wird Fahrenheit so: mal 1,8, dann plus 32. Rückwärts rechnet man erst minus 32 und dann geteilt durch 1,8. 86 − 32 = 54, und 54 : 1,8 = 30. Es sind also 30 °C.

MerkenRückwärts rechnen

Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.

Die Umkehrrechnungen kommen in umgekehrter Reihenfolge: Bei 3 · x + 5 = 26 erst 26 − 5 = 21, dann 21 : 3 = 7.

BeispielGleichung durch Rückwärtsrechnen lösen

Rechne rückwärts und mache die Probe: 5 · x + 11 = 36
x· 5?+ 1136
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, erst minus 11 → 36 − 11 = 25
  2. dann geteilt durch 5 → 25 : 5 = 5
  3. Probe: 5 · 5 + 11 = 36
  1. Rückwärts, erst minus 11 → 36 − 11 = 25
  2. dann geteilt durch 5 → 25 : 5 = 5
  3. Probe: 5 · 5 + 11 = 36
Ergebnis:
x = 5

AchtungRückwärts in der falschen Reihenfolge

So nicht
3 · x + 5 = 26 → erst 26 : 3, dann − 5
So richtig
26 − 5 = 21 → 21 : 3 = 7 → x = 7

Den letzten Rechenschritt zuerst rückgängig machen, mit umgekehrtem Rechenzeichen. Steht ein Vorzeichen Minus vor dem Ergebnis, wurde falsch herum gerechnet.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Rechne rückwärts und mache die Probe: 7 · x − 3 = 60
    x· 7?− 360
    So fängst du an:
    Rückwärts, erst plus 3 → 60 + 3 = 63
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst plus 3 → 60 + 3 = 63
    2. dann geteilt durch 7 → 63 : 7 = 9
    3. Probe: 7 · 9 − 3 = 60
    Ergebnis:
    x = 9
  2. ●20
    Die Rechenmaschine im Bild macht aus x die Zahl 24. Rechne rückwärts: Welche Zahl ist x?
    x+ 6?· 224
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst geteilt durch 2 → 24 : 2 = 12
    2. dann minus 6 → 12 − 6 = 6
    3. Probe: (6 + 6) · 2 = 24
    Ergebnis:
    x = 6
  3. ★21
    Die Rechenmaschine im Bild macht aus x die Zahl 23. Rechne rückwärts: Welche Zahl ist x?
    x· 7?+ 223
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst minus 2 → 23 − 2 = 21
    2. dann geteilt durch 7 → 21 : 7 = 3
    3. Probe: 7 · 3 + 2 = 23
    Ergebnis:
    x = 3

8Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Ein Team ist nach 10 Spielen ungeschlagen und hat 22 Punkte. Wie oft hat es gewonnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Sieg bringt 3 Punkte, ein Unentschieden 1 Punkt. Mit s Siegen gilt 3 · s + (10 − s) = 22, also 2 · s + 10 = 22. Dann ist 2 · s = 12 und s = 6. Das Team hat 6-mal gewonnen und 4-mal unentschieden gespielt.

MerkenGleichung aufstellen

Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Lösen, die Probe machen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielZahlenrätsel mit einer Gleichung

Der Zoobesuch kostet 11 € Eintritt je Kind und 27 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 115 €. Wie viele Kinder fahren mit?
x· 11?+ 27115
Schritt für Schritt
  1. Gleichung: 11 · x + 27 = 115
  2. 115 − 27 = 88
  3. 88 : 11 = 8
  4. Antwort: Es fahren 8 Kinder mit.
  1. Gleichung: 11 · x + 27 = 115
  2. 115 − 27 = 88
  3. 88 : 11 = 8
  4. Antwort: Es fahren 8 Kinder mit.
Ergebnis:
8 Kinder

AchtungNoch einmal: Rückwärts in der falschen Reihenfolge

So nicht
3 · x + 5 = 26 → erst 26 : 3, dann − 5
So richtig
26 − 5 = 21 → 21 : 3 = 7 → x = 7

Den letzten Rechenschritt zuerst rückgängig machen, mit umgekehrtem Rechenzeichen. Steht ein Vorzeichen Minus vor dem Ergebnis, wurde falsch herum gerechnet.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ich denke mir eine Zahl. Ich nehme sie mal 8 und addiere 18. Ich erhalte 66. Welche Zahl habe ich gedacht?
    x· 8?+ 1866
    So fängst du an:
    Gleichung: 8 · x + 18 = 66
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: 8 · x + 18 = 66
    2. 66 − 18 = 48
    3. 48 : 8 = 6
    4. Probe: 8 · 6 + 18 = 66
    Ergebnis:
    6
  2. ●23
    Ich denke mir eine Zahl und addiere 23. Das Ergebnis nehme ich mal 9. Heraus kommt 279. Welche Zahl ist es?
    x+ 23?· 9279
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: (x + 23) · 9 = 279
    2. 279 : 9 = 31
    3. 31 − 23 = 8
    4. Probe: (8 + 23) · 9 = 279
    Ergebnis:
    8
  3. ★24
    Ich denke mir eine Zahl und addiere 25. Das Ergebnis nehme ich mal 5. Heraus kommt 190. Welche Zahl ist es?
    x+ 25?· 5190
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: (x + 25) · 5 = 190
    2. 190 : 5 = 38
    3. 38 − 25 = 13
    4. Probe: (13 + 25) · 5 = 190
    Ergebnis:
    13

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Berechne: 9 · 7 + 32 : 8
    97·?328:?+?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 9 · 7 = 63
    3. 32 : 8 = 4
    4. 63 + 4 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●26
    Setze in 2 + 8 · 6 ein Klammerpaar so, dass 60 herauskommt.
    Lösung zeigen
    1. Ohne Klammer gilt Punkt vor Strich: 2 + 8 · 6 = 50.
    2. Die Klammer muss die Strichrechnung zuerst machen.
    3. 2 + 8 = 10
    4. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    (2 + 8) · 6
  3. ●27
    Schreibe als Term und berechne: Addiere 9 zum Produkt aus 3 und 8.
    Lösung zeigen
    1. Term: 9 + 3 · 8
    2. 3 · 8 = 24
    3. 9 + 24 = 33
    Ergebnis:
    9 + 3 · 8 = 33
  4. ●28
    Zeichne den Rechenbaum zu 8 · 2 + 5. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
    82·?5+?
    Lösung zeigen
    1. 8 · 2 = 16
    2. 16 + 5 = 21
    3. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    4. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 21.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 21
  5. ●29
    Fülle die Tabelle aus: 81 − 9 · x für x = 4, 5, 6 und 8. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x456881−9·x????
    Lösung zeigen
    1. Setze 4 ein → 81 − 9 · 4 = 45
    2. Setze 5 ein → 81 − 9 · 5 = 36
    3. Setze 6 ein → 81 − 9 · 6 = 27
    4. Setze 8 ein → 81 − 9 · 8 = 9
    5. Wächst x um 1, sinkt der Wert um 9.
    Ergebnis:
    45, 36, 27, 9; je −9
  6. ●30
    Dreiecke aus Hölzern: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Hölzer in Bild x auf und berechne Bild 14.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Das erste Dreieck braucht 3 Hölzer, jedes weitere 2.
    2. Term: 2 · x + 1
    3. Bild 14 → 2 · 14 + 1 = 29
    Ergebnis:
    2 · x + 1; Bild 14: 29 Hölzer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Rechenregeln
Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.
Vom Text zum Term
Die Wörter verraten die Rechenart.
Rechenbaum
Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.
Platzhalter und Variable
Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.
Muster beschreiben
Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.
Gleichung und Umkehraufgabe
Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?
Rückwärts rechnen
Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.
Gleichung aufstellen
Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

    31
    Rechne Schritt für Schritt und beachte die Rechenregeln: 8 · (11 + 3)
    8113+?·?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  2. Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

    32
    Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 8 von 16 und teile das Ergebnis durch 2.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (16 − 8) : 2 = 4

  3. Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

    33
    Zeichne den Rechenbaum zu 9 · 7 − 9 · 6. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
    97·?96·?−?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Differenz, Wert 9

  4. Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

    34
    Fülle die Tabelle aus: 5 · x + 4 für x = 2, 3, 4 und 8. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x23485·x+4????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14, 19, 24, 44; je +5

  5. Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

    35
    Tische in einer Reihe: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Plätze in Bild x auf und berechne Bild 11.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · x + 2; Bild 11: 24 Plätze

  6. Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

    36
    Welche Zahl gehört für □ in die Gleichung □ − 7 = 6? Mache die Probe.
    □− 76
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    □ = 13

  7. Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

    37
    Die Rechenmaschine im Bild macht aus x die Zahl 154. Rechne rückwärts: Welche Zahl ist x?
    x+ 12?· 7154
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 10

  8. Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

    38
    Der Zoobesuch kostet 6 € Eintritt je Kind und 29 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 119 €. Wie viele Kinder fahren mit?
    x· 6?+ 29119
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Kinder

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Term mit einer Variablen als Rechenvorschrift für jedes Bild eines Musters.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Eintritt plus Busfahrt, Zahlentricks, Muster aus Fliesen. Beruf: Kalkulation mit Grundpreis, Tabellenkalkulation.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Term
eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
Variable
ein Buchstabe, der für eine Zahl steht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Muster, Zahlenfolgen und Platzhalter, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen, Terme und Gleichungen

Lösungen

  1. 105
  2. 119
  3. 143
  4. 4 · 8 + 5 = 37 €
  5. (54 − 12) : 7 = 6
  6. (53 − 5) : 8 = 6
  7. Summe, Wert 46
  8. Summe, Wert 82
  9. Summe, Wert 124
  10. 18, 25, 32, 46; je +7
  11. 63, 54, 45, 9; je −9
  12. 24, 20, 16, 4; je −4
  13. 2 · x + 1; Bild 12: 25 Hölzer
  14. 2 · x + 1; Bild 13: 27 Hölzer
  15. x + 1; Bild 10: 11 Pfosten
  16. □ = 18
  17. □ = 22
  18. x = 43
  19. x = 9
  20. x = 6
  21. x = 3
  22. 6
  23. 8
  24. 13
  25. 67
  26. (2 + 8) · 6
  27. 9 + 3 · 8 = 33
  28. Summe, Wert 21
  29. 45, 36, 27, 9; je −9
  30. 2 · x + 1; Bild 14: 29 Hölzer
  31. 112
  32. (16 − 8) : 2 = 4
  33. Differenz, Wert 9
  34. 14, 19, 24, 44; je +5
  35. 2 · x + 2; Bild 11: 24 Plätze
  36. □ = 13
  37. x = 10
  38. 15 Kinder