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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Terme und einfache Gleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Weiterzeichnen bis Bild 24 dauert lange, und beim Zählen verrutscht man. Einige merken „immer drei mehr“ und rechnen, aber jede Gruppe schreibt es anders auf. Ihr habt eine Regel gefunden, die für jedes Bild gilt. Wir schreiben sie so kurz, dass alle sie lesen können: 3 · x + 1, und x ist die Nummer des Bildes.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Term ist eine Rechenvorschrift

Ein Term sagt, was mit Zahlen passiert und in welcher Reihenfolge. Man liest ihn wie einen Bauplan: Was wird zuletzt gerechnet? Eine Variable ist ein Platz, an den jede Zahl kommen kann.

Rechenbaum zu 3 mal Klammer x plus 2: zuerst x plus 2, zuletzt mal 3·zuletzt3+zuerstx23 · (x + 2)

WeiterdenkenDenk nach

Wird 2 + 3 · x größer, wenn x größer wird? Um wie viel wächst der Wert, wenn x um 1 wächst – ohne eine Zahl einzusetzen?

1Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

EntdeckenFrage

Warum zeigen zwei Taschenrechner bei 3 + 4 · 5 manchmal verschiedene Ergebnisse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Einfache Rechner rechnen oft der Reihe nach und zeigen 35. Rechner mit Punkt vor Strich zeigen 23. Richtig ist 23: Die Regel ist eine Abmachung, damit ein Term für alle Menschen dasselbe bedeutet.

MerkenRechenregeln

Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.

So gilt 3 + 4 · 5 = 23, aber (3 + 4) · 5 = 35.

BeispielZahlterme mit Rechenregeln berechnen

Welchen Wert hat der Term 4 · 3 + 35 : 7? Schreibe jeden Schritt auf.
43·?357:?+?
Schritt für Schritt
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 3 = 12
  3. 35 : 7 = 5
  4. 12 + 5 = 17
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 3 = 12
  3. 35 : 7 = 5
  4. 12 + 5 = 17
Ergebnis:
17

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welchen Wert hat der Term 9 · 9 − 37 · 2? Schreibe jeden Schritt auf.
    99·?372·?−?
    So fängst du an:
    Punkt vor Strich.
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 9 · 9 = 81
    3. 37 · 2 = 74
    4. 81 − 74 = 7
    Ergebnis:
    7
  2. ●2
    Berechne: 11 · 3 − 9
    113·?9−?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 11 · 3 = 33
    3. 33 − 9 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★3
    Welchen Wert hat der Term 14 · 4 + 12? Schreibe jeden Schritt auf.
    144·?12+?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 14 · 4 = 56
    3. 56 + 12 = 68
    Ergebnis:
    68

2Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

EntdeckenFrage

Wie viele Streichhölzer braucht eine Reihe aus 100 Quadraten – ohne sie alle zu legen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

301. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere nur 3, weil es eine Seite mit dem Quadrat davor teilt. Also 3 · 100 + 1. Der Term spart das Legen und gilt für jede Länge.

MerkenVom Text zum Term

Die Wörter verraten die Rechenart.

Summe heißt plus, Differenz minus, Produkt mal, Quotient geteilt. „Multipliziere die Summe aus 7 und 5 mit 3“ wird zu (7 + 5) · 3.

BeispielVom Text zum Zahlterm

Mia kauft 3 Hefte zu je 3 € und einen Block für 8 €. Stelle einen Term für den Preis auf und berechne ihn.
Schritt für Schritt
  1. Term: 3 · 3 + 8
  2. 3 · 3 = 9
  3. 9 + 8 = 17
  4. Mia bezahlt 17 €.
  1. Term: 3 · 3 + 8
  2. 3 · 3 = 9
  3. 9 + 8 = 17
  4. Mia bezahlt 17 €.
Ergebnis:
3 · 3 + 8 = 17 €

AchtungKlammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 7 von 23 und teile das Ergebnis durch 4.
    So fängst du an:
    Term: (23 − 7) : 4
    Lösung zeigen
    1. Term: (23 − 7) : 4
    2. 23 − 7 = 16
    3. 16 : 4 = 4
    Ergebnis:
    (23 − 7) : 4 = 4
  2. ●5
    8 Kinder teilen 24 Murmeln gerecht. Jedes Kind bekommt dann noch 3 dazu. Stelle einen Term auf: Wie viele Murmeln hat jedes Kind?
    Lösung zeigen
    1. Term: 24 : 8 + 3
    2. 24 : 8 = 3
    3. 3 + 3 = 6
    4. Jedes Kind hat 6 Murmeln.
    Ergebnis:
    24 : 8 + 3 = 6 Murmeln
  3. ★6
    Schreibe als Term und berechne: Addiere 5 zum Produkt aus 9 und 3.
    Lösung zeigen
    1. Term: 5 + 9 · 3
    2. 9 · 3 = 27
    3. 5 + 27 = 32
    Ergebnis:
    5 + 9 · 3 = 32

3Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

EntdeckenFrage

Wie kann jemand deine gedachte Zahl erraten, ohne sie zu kennen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er lässt dich rechnen, zum Beispiel mal 2 plus 10, und hört das Ergebnis. Dann rechnet er rückwärts: minus 10, geteilt durch 2. Jeder Zahlentrick dieser Art ist eine Gleichung, die man durch Rückwärtsrechnen löst.

MerkenRechenbaum

Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.

Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen: (2 + 3) · 4 ist ein Produkt, 2 + 3 · 4 eine Summe.

BeispielRechenbaum und Termname

Im Bild steht der Rechenbaum zu 5 · 5 + 8 · 7. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
55·?87·?+?
Schritt für Schritt
  1. 5 · 5 = 25
  2. 8 · 7 = 56
  3. 25 + 56 = 81
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 81.
  1. 5 · 5 = 25
  2. 8 · 7 = 56
  3. 25 + 56 = 81
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 81.
Ergebnis:
Summe, Wert 81

AchtungNoch einmal: Punkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ist 17 · 7 + 10 eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient? Begründe mit dem Rechenbaum und berechne den Wert.
    177·?10+?
    So fängst du an:
    17 · 7 = 119
    Lösung zeigen
    1. 17 · 7 = 119
    2. 119 + 10 = 129
    3. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    4. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 129.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 129
  2. ●8
    Im Bild steht der Rechenbaum zu (11 + 11) · 8. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    1111+?8·?
    Lösung zeigen
    1. 11 + 11 = 22
    2. 22 · 8 = 176
    3. Zuletzt wird „·“ gerechnet.
    4. Der Term ist ein Produkt mit dem Wert 176.
    Ergebnis:
    Produkt, Wert 176
  3. ★9
    Im Bild steht der Rechenbaum zu 4 · 5 − 2. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    45·?2−?
    Lösung zeigen
    1. 4 · 5 = 20
    2. 20 − 2 = 18
    3. Zuletzt wird „−“ gerechnet.
    4. Der Term ist eine Differenz mit dem Wert 18.
    Ergebnis:
    Differenz, Wert 18

4Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

EntdeckenFrage

Wie berechnet ein Taxi in Berlin den Fahrpreis, bevor es losfährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einer Rechenvorschrift: Grundpreis plus gefahrene Kilometer mal Kilometerpreis. Das ist ein Term mit einer Variablen. Wer die Kilometer einsetzt, bekommt den Preis – für jede Fahrt nach derselben Vorschrift.

MerkenPlatzhalter und Variable

Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.

Mit einer eingesetzten Zahl bekommt der Term einen Wert: Für x = 4 hat 3 · x + 2 den Wert 14.

BeispielZahlen in einen Term einsetzen

Fülle die Tabelle aus: 9 · x + 12 für x = 3, 4, 5 und 10. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
x345109·x+12????
Schritt für Schritt
  1. Setze 3 ein → 9 · 3 + 12 = 39
  2. Setze 4 ein → 9 · 4 + 12 = 48
  3. Setze 5 ein → 9 · 5 + 12 = 57
  4. Setze 10 ein → 9 · 10 + 12 = 102
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 9.
  1. Setze 3 ein → 9 · 3 + 12 = 39
  2. Setze 4 ein → 9 · 4 + 12 = 48
  3. Setze 5 ein → 9 · 5 + 12 = 57
  4. Setze 10 ein → 9 · 10 + 12 = 102
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 9.
Ergebnis:
39, 48, 57, 102; je +9

AchtungVon links nach rechts statt Punkt vor Strich

So nicht
9 + 3 · 4 = 48
So richtig
9 + 3 · 4 = 9 + 12 = 21

Unterstreiche zuerst Mal und Geteilt. Rechne sie zuerst.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne den Wert des Terms 18 − 2 · x für x = 1, 2, 3, 8.
    x123818−2·x????
    So fängst du an:
    Setze 1 ein → 18 − 2 · 1 = 16
    Lösung zeigen
    1. Setze 1 ein → 18 − 2 · 1 = 16
    2. Setze 2 ein → 18 − 2 · 2 = 14
    3. Setze 3 ein → 18 − 2 · 3 = 12
    4. Setze 8 ein → 18 − 2 · 8 = 2
    Ergebnis:
    16, 14, 12, 2
  2. ●11
    Fülle die Tabelle aus: 5 · x + 2 für x = 2, 3, 4 und 9. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x23495·x+2????
    Lösung zeigen
    1. Setze 2 ein → 5 · 2 + 2 = 12
    2. Setze 3 ein → 5 · 3 + 2 = 17
    3. Setze 4 ein → 5 · 4 + 2 = 22
    4. Setze 9 ein → 5 · 9 + 2 = 47
    5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 5.
    Ergebnis:
    12, 17, 22, 47; je +5
  3. ★12
    Eine Klassenfahrt kostet je Kind 6 € Eintritt, dazu 5 € für den Bus insgesamt. Der Term 6 · x + 5 gibt die Kosten für x Kinder. Berechne die Kosten für 5 Kinder.
    Kinder5Kosten in €?
    Lösung zeigen
    1. Setze 5 ein → 6 · 5 + 5
    2. 6 · 5 = 30
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35 €

5Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

EntdeckenFrage

Warum heißt 2 + 3 · 4 eine Summe, obwohl mal darin vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil zuletzt addiert wird: erst 3 · 4 = 12, dann 2 + 12 = 14. Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen. Der Rechenbaum zeigt sie ganz unten.

MerkenMuster beschreiben

Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.

Bei Quadraten aus Hölzern braucht Bild x genau 3 · x + 1 Hölzer: vier für das erste Quadrat, drei für jedes weitere.

BeispielMuster mit einem Term beschreiben

Tische in einer Reihe: Wie viele Plätze braucht Bild 12? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
Bild 1Bild 2Bild 3…
Schritt für Schritt
  1. An jedem Tisch sitzen 2 an den langen Seiten, dazu 2 an den Enden.
  2. Term: 2 · x + 2
  3. Bild 12 → 2 · 12 + 2 = 26
  1. An jedem Tisch sitzen 2 an den langen Seiten, dazu 2 an den Enden.
  2. Term: 2 · x + 2
  3. Bild 12 → 2 · 12 + 2 = 26
Ergebnis:
2 · x + 2; Bild 12: 26 Plätze

AchtungNoch einmal: Klammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Quadrate aus Hölzern: Wie viele Hölzer braucht Bild 10? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    So fängst du an:
    Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
    2. Term: 3 · x + 1
    3. Bild 10 → 3 · 10 + 1 = 31
    Ergebnis:
    3 · x + 1; Bild 10: 31 Hölzer
  2. ●14
    Quadrate aus Hölzern: Wie viele Hölzer braucht Bild 11? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
    2. Term: 3 · x + 1
    3. Bild 11 → 3 · 11 + 1 = 34
    Ergebnis:
    3 · x + 1; Bild 11: 34 Hölzer
  3. ★15
    Tische in einer Reihe: Wie viele Plätze braucht Bild 29? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. An jedem Tisch sitzen 2 an den langen Seiten, dazu 2 an den Enden.
    2. Term: 2 · x + 2
    3. Bild 29 → 2 · 29 + 2 = 60
    Ergebnis:
    2 · x + 2; Bild 29: 60 Plätze

6Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

EntdeckenFrage

Welche Zahl muss man zu 17 addieren, damit 45 herauskommt – und wie findet man sie ohne Probieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

28. Die Umkehraufgabe liefert sie sofort: 45 − 17 = 28. Plus wird durch minus rückgängig gemacht, mal durch geteilt. So löst man Gleichungen, bevor es Umformungsregeln gibt.

Ausprobieren: Gleichungswaage

Eine Gleichung ist eine Waage im Gleichgewicht. Was du auf einer Seite tust, tust du auch auf der anderen.

MerkenGleichung und Umkehraufgabe

Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?

Die Umkehraufgabe findet sie: Aus x + 17 = 45 folgt x = 45 − 17 = 28. Die Probe zeigt, ob es stimmt.

BeispielGleichung mit der Umkehraufgabe lösen

Welche Zahl gehört für x in die Gleichung x + 8 = 18? Mache die Probe.
x+ 818
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 18 − 8 = 10
  2. x = 10
  3. Probe: 10 + 8 = 18
  1. Umkehraufgabe: 18 − 8 = 10
  2. x = 10
  3. Probe: 10 + 8 = 18
Ergebnis:
x = 10

AchtungUmkehraufgabe mit derselben Rechenart

So nicht
x + 17 = 45 → x = 45 + 17 = 62
So richtig
x + 17 = 45 → x = 45 − 17 = 28

Die Umkehrung von plus ist minus, die von mal ist geteilt – und umgekehrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Finde □ und prüfe: □ : 8 = 20
    □: 820
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 20 · 8 = 160
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 20 · 8 = 160
    2. □ = 160
    3. Probe: 160 : 8 = 20
    Ergebnis:
    □ = 160
  2. ●17
    Finde x und prüfe: 7 + x = 20
    x+ 720
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 20 − 7 = 13
    2. x = 13
    3. Probe: 13 + 7 = 20
    Ergebnis:
    x = 13
  3. ★18
    Welche Zahl gehört für □ in die Gleichung 8 · □ = 568? Mache die Probe.
    □· 8568
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 568 : 8 = 71
    2. □ = 71
    3. Probe: 8 · 71 = 568
    Ergebnis:
    □ = 71

7Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

EntdeckenFrage

Ein Wetterbericht aus den USA meldet 86 °F. Wie warm ist das in Grad Celsius?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus Celsius wird Fahrenheit so: mal 1,8, dann plus 32. Rückwärts rechnet man erst minus 32 und dann geteilt durch 1,8. 86 − 32 = 54, und 54 : 1,8 = 30. Es sind also 30 °C.

MerkenRückwärts rechnen

Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.

Die Umkehrrechnungen kommen in umgekehrter Reihenfolge: Bei 3 · x + 5 = 26 erst 26 − 5 = 21, dann 21 : 3 = 7.

BeispielGleichung durch Rückwärtsrechnen lösen

Löse durch Rückwärtsrechnen: 5 · x − 7 = 3
x· 5?− 73
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, erst plus 7 → 3 + 7 = 10
  2. dann geteilt durch 5 → 10 : 5 = 2
  3. Probe: 5 · 2 − 7 = 3
  1. Rückwärts, erst plus 7 → 3 + 7 = 10
  2. dann geteilt durch 5 → 10 : 5 = 2
  3. Probe: 5 · 2 − 7 = 3
Ergebnis:
x = 2

AchtungRückwärts in der falschen Reihenfolge

So nicht
3 · x + 5 = 26 → erst 26 : 3, dann − 5
So richtig
26 − 5 = 21 → 21 : 3 = 7 → x = 7

Den letzten Rechenschritt zuerst rückgängig machen, mit umgekehrtem Rechenzeichen. Steht ein Vorzeichen Minus vor dem Ergebnis, wurde falsch herum gerechnet.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Löse durch Rückwärtsrechnen: 8 · x − 15 = 33
    x· 8?− 1533
    So fängst du an:
    Rückwärts, erst plus 15 → 33 + 15 = 48
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst plus 15 → 33 + 15 = 48
    2. dann geteilt durch 8 → 48 : 8 = 6
    3. Probe: 8 · 6 − 15 = 33
    Ergebnis:
    x = 6
  2. ●20
    Rechne rückwärts und mache die Probe: 9 · x + 9 = 117
    x· 9?+ 9117
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst minus 9 → 117 − 9 = 108
    2. dann geteilt durch 9 → 108 : 9 = 12
    3. Probe: 9 · 12 + 9 = 117
    Ergebnis:
    x = 12
  3. ★21
    Löse durch Rückwärtsrechnen: 6 · x + 13 = 79
    x· 6?+ 1379
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst minus 13 → 79 − 13 = 66
    2. dann geteilt durch 6 → 66 : 6 = 11
    3. Probe: 6 · 11 + 13 = 79
    Ergebnis:
    x = 11

8Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Ein Team ist nach 10 Spielen ungeschlagen und hat 22 Punkte. Wie oft hat es gewonnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Sieg bringt 3 Punkte, ein Unentschieden 1 Punkt. Mit s Siegen gilt 3 · s + (10 − s) = 22, also 2 · s + 10 = 22. Dann ist 2 · s = 12 und s = 6. Das Team hat 6-mal gewonnen und 4-mal unentschieden gespielt.

MerkenGleichung aufstellen

Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Lösen, die Probe machen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielZahlenrätsel mit einer Gleichung

Der Zoobesuch kostet 9 € Eintritt je Kind und 40 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 112 €. Wie viele Kinder fahren mit?
x· 9?+ 40112
Schritt für Schritt
  1. Gleichung: 9 · x + 40 = 112
  2. 112 − 40 = 72
  3. 72 : 9 = 8
  4. Antwort: Es fahren 8 Kinder mit.
  1. Gleichung: 9 · x + 40 = 112
  2. 112 − 40 = 72
  3. 72 : 9 = 8
  4. Antwort: Es fahren 8 Kinder mit.
Ergebnis:
8 Kinder

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ich denke mir eine Zahl. Ich nehme sie mal 4 und addiere 4. Ich erhalte 56. Welche Zahl habe ich gedacht?
    x· 4?+ 456
    So fängst du an:
    Gleichung: 4 · x + 4 = 56
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: 4 · x + 4 = 56
    2. 56 − 4 = 52
    3. 52 : 4 = 13
    4. Probe: 4 · 13 + 4 = 56
    Ergebnis:
    13
  2. ●23
    Ich denke mir eine Zahl und addiere 17. Das Ergebnis nehme ich mal 2. Heraus kommt 40. Welche Zahl ist es?
    x+ 17?· 240
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: (x + 17) · 2 = 40
    2. 40 : 2 = 20
    3. 20 − 17 = 3
    4. Probe: (3 + 17) · 2 = 40
    Ergebnis:
    3
  3. ★24
    Der Zoobesuch kostet 11 € Eintritt je Kind und 33 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 66 €. Wie viele Kinder fahren mit?
    x· 11?+ 3366
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: 11 · x + 33 = 66
    2. 66 − 33 = 33
    3. 33 : 11 = 3
    4. Antwort: Es fahren 3 Kinder mit.
    Ergebnis:
    3 Kinder

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Berechne: 35 − 8 : 2
    3582:?−?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 8 : 2 = 4
    3. 35 − 4 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●26
    Welcher Term hat den größeren Wert: (7 + 7) · 9 oder 7 + 7 · 9? Rechne beide aus.
    (7 + 7) · 97 + 7 · 9?
    Lösung zeigen
    1. 7 + 7 = 14
    2. 14 · 9 = 126
    3. 7 · 9 = 63
    4. 7 + 63 = 70
    5. 126 ist mehr als 70.
    Ergebnis:
    (7 + 7) · 9 ist größer
  3. ●27
    Schreibe als Term und berechne: Multipliziere die Summe aus 4 und 4 mit 2.
    Lösung zeigen
    1. Term: (4 + 4) · 2
    2. 4 + 4 = 8
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    (4 + 4) · 2 = 16
  4. ●28
    Zeichne den Rechenbaum zu 5 · 5 + 6 · 3. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
    55·?63·?+?
    Lösung zeigen
    1. 5 · 5 = 25
    2. 6 · 3 = 18
    3. 25 + 18 = 43
    4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 43.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 43
  5. ●29
    Fülle die Tabelle aus: x · 8 − 6 für x = 1, 2, 3 und 7. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x1237x·8−6????
    Lösung zeigen
    1. Setze 1 ein → 1 · 8 − 6 = 2
    2. Setze 2 ein → 2 · 8 − 6 = 10
    3. Setze 3 ein → 3 · 8 − 6 = 18
    4. Setze 7 ein → 7 · 8 − 6 = 50
    5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 8.
    Ergebnis:
    2, 10, 18, 50; je +8
  6. ●30
    Quadrate aus Hölzern: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Hölzer in Bild x auf und berechne Bild 7.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
    2. Term: 3 · x + 1
    3. Bild 7 → 3 · 7 + 1 = 22
    Ergebnis:
    3 · x + 1; Bild 7: 22 Hölzer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Rechenregeln
Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.
Vom Text zum Term
Die Wörter verraten die Rechenart.
Rechenbaum
Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.
Platzhalter und Variable
Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.
Muster beschreiben
Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.
Gleichung und Umkehraufgabe
Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?
Rückwärts rechnen
Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.
Gleichung aufstellen
Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

    31
    Welchen Wert hat der Term 5 · 3 + 5 · 2? Schreibe jeden Schritt auf.
    53·?52·?+?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  2. Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

    32
    Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 9 von 81 und teile das Ergebnis durch 8.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (81 − 9) : 8 = 9

  3. Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

    33
    Ist 12 · 11 + 10 eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient? Begründe mit dem Rechenbaum und berechne den Wert.
    1211·?10+?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Summe, Wert 142

  4. Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

    34
    Fülle die Tabelle aus: 49 − 7 · x für x = 1, 2, 3 und 6. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x123649−7·x????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42, 35, 28, 7; je −7

  5. Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

    35
    Quadrate aus Hölzern: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Hölzer in Bild x auf und berechne Bild 6.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · x + 1; Bild 6: 19 Hölzer

  6. Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

    36
    Finde x und prüfe: 11 + x = 34
    x+ 1134
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 23

  7. Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

    37
    Rechne rückwärts und mache die Probe: (x + 3) · 2 = 12
    x+ 3?· 212
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 3

  8. Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

    38
    Ich denke mir eine Zahl und addiere 13. Das Ergebnis nehme ich mal 2. Heraus kommt 46. Welche Zahl ist es?
    x+ 13?· 246
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Term mit einer Variablen als Rechenvorschrift für jedes Bild eines Musters.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Eintritt plus Busfahrt, Zahlentricks, Muster aus Fliesen. Beruf: Kalkulation mit Grundpreis, Tabellenkalkulation.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Term
eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
Variable
ein Buchstabe, der für eine Zahl steht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Muster, Zahlenfolgen und Platzhalter, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen, Terme und Gleichungen

Lösungen

  1. 7
  2. 24
  3. 68
  4. (23 − 7) : 4 = 4
  5. 24 : 8 + 3 = 6 Murmeln
  6. 5 + 9 · 3 = 32
  7. Summe, Wert 129
  8. Produkt, Wert 176
  9. Differenz, Wert 18
  10. 16, 14, 12, 2
  11. 12, 17, 22, 47; je +5
  12. 35 €
  13. 3 · x + 1; Bild 10: 31 Hölzer
  14. 3 · x + 1; Bild 11: 34 Hölzer
  15. 2 · x + 2; Bild 29: 60 Plätze
  16. □ = 160
  17. x = 13
  18. □ = 71
  19. x = 6
  20. x = 12
  21. x = 11
  22. 13
  23. 3
  24. 3 Kinder
  25. 31
  26. (7 + 7) · 9 ist größer
  27. (4 + 4) · 2 = 16
  28. Summe, Wert 43
  29. 2, 10, 18, 50; je +8
  30. 3 · x + 1; Bild 7: 22 Hölzer
  31. 25
  32. (81 − 9) : 8 = 9
  33. Summe, Wert 142
  34. 42, 35, 28, 7; je −7
  35. 3 · x + 1; Bild 6: 19 Hölzer
  36. x = 23
  37. x = 3
  38. 10