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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Terme und einfache Gleichungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Weiterzeichnen bis Bild 24 dauert lange, und beim Zählen verrutscht man. Einige merken „immer drei mehr“ und rechnen, aber jede Gruppe schreibt es anders auf. Ihr habt eine Regel gefunden, die für jedes Bild gilt. Wir schreiben sie so kurz, dass alle sie lesen können: 3 · x + 1, und x ist die Nummer des Bildes.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Term ist eine Rechenvorschrift

Ein Term sagt, was mit Zahlen passiert und in welcher Reihenfolge. Man liest ihn wie einen Bauplan: Was wird zuletzt gerechnet? Eine Variable ist ein Platz, an den jede Zahl kommen kann.

Rechenbaum zu 3 mal Klammer x plus 2: zuerst x plus 2, zuletzt mal 3·zuletzt3+zuerstx23 · (x + 2)

WeiterdenkenDenk nach

Wird 2 + 3 · x größer, wenn x größer wird? Um wie viel wächst der Wert, wenn x um 1 wächst – ohne eine Zahl einzusetzen?

1Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

EntdeckenFrage

Warum zeigen zwei Taschenrechner bei 3 + 4 · 5 manchmal verschiedene Ergebnisse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Einfache Rechner rechnen oft der Reihe nach und zeigen 35. Rechner mit Punkt vor Strich zeigen 23. Richtig ist 23: Die Regel ist eine Abmachung, damit ein Term für alle Menschen dasselbe bedeutet.

MerkenRechenregeln

Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.

So gilt 3 + 4 · 5 = 23, aber (3 + 4) · 5 = 35.

BeispielZahlterme mit Rechenregeln berechnen

Welchen Wert hat der Term 4 · 2 + 5? Schreibe jeden Schritt auf.
42·?5+?
Schritt für Schritt
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 2 = 8
  3. 8 + 5 = 13
  1. Punkt vor Strich.
  2. 4 · 2 = 8
  3. 8 + 5 = 13
Ergebnis:
13

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Berechne: 39 − 7 · 4
    3974·?−?
    So fängst du an:
    Punkt vor Strich.
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 7 · 4 = 28
    3. 39 − 28 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●2
    Welchen Wert hat der Term 16 · (12 − 5)? Schreibe jeden Schritt auf.
    16125−?·?
    Lösung zeigen
    1. Klammer zuerst.
    2. 12 − 5 = 7
    3. 16 · 7 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★3
    Welchen Wert hat der Term 2 · 8 − 40 : 4? Schreibe jeden Schritt auf.
    28·?404:?−?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 2 · 8 = 16
    3. 40 : 4 = 10
    4. 16 − 10 = 6
    Ergebnis:
    6

2Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

EntdeckenFrage

Wie viele Streichhölzer braucht eine Reihe aus 100 Quadraten – ohne sie alle zu legen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

301. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere nur 3, weil es eine Seite mit dem Quadrat davor teilt. Also 3 · 100 + 1. Der Term spart das Legen und gilt für jede Länge.

MerkenVom Text zum Term

Die Wörter verraten die Rechenart.

Summe heißt plus, Differenz minus, Produkt mal, Quotient geteilt. „Multipliziere die Summe aus 7 und 5 mit 3“ wird zu (7 + 5) · 3.

BeispielVom Text zum Zahlterm

9 Kinder teilen 18 Murmeln gerecht. Jedes Kind bekommt dann noch 7 dazu. Stelle einen Term auf: Wie viele Murmeln hat jedes Kind?
Schritt für Schritt
  1. Term: 18 : 9 + 7
  2. 18 : 9 = 2
  3. 2 + 7 = 9
  4. Jedes Kind hat 9 Murmeln.
  1. Term: 18 : 9 + 7
  2. 18 : 9 = 2
  3. 2 + 7 = 9
  4. Jedes Kind hat 9 Murmeln.
Ergebnis:
18 : 9 + 7 = 9 Murmeln

AchtungKlammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schreibe als Term und berechne: Addiere 2 zum Produkt aus 2 und 8.
    So fängst du an:
    Term: 2 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Term: 2 + 2 · 8
    2. 2 · 8 = 16
    3. 2 + 16 = 18
    Ergebnis:
    2 + 2 · 8 = 18
  2. ●5
    Schreibe als Term und berechne: Subtrahiere 8 von 18 und teile das Ergebnis durch 5.
    Lösung zeigen
    1. Term: (18 − 8) : 5
    2. 18 − 8 = 10
    3. 10 : 5 = 2
    Ergebnis:
    (18 − 8) : 5 = 2
  3. ★6
    Ben hat 46 €. Er kauft 5 Kinokarten zu je 8 € und bekommt 5 € geschenkt. Stelle einen Term auf: Wie viel Geld hat er dann?
    Lösung zeigen
    1. Term: 46 − 5 · 8 + 5
    2. 5 · 8 = 40
    3. 46 − 40 = 6
    4. 6 + 5 = 11
    5. Ben hat dann 11 €.
    Ergebnis:
    46 − 5 · 8 + 5 = 11 €

3Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

EntdeckenFrage

Wie kann jemand deine gedachte Zahl erraten, ohne sie zu kennen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er lässt dich rechnen, zum Beispiel mal 2 plus 10, und hört das Ergebnis. Dann rechnet er rückwärts: minus 10, geteilt durch 2. Jeder Zahlentrick dieser Art ist eine Gleichung, die man durch Rückwärtsrechnen löst.

MerkenRechenbaum

Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.

Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen: (2 + 3) · 4 ist ein Produkt, 2 + 3 · 4 eine Summe.

BeispielRechenbaum und Termname

Zeichne den Rechenbaum zu 7 · 5 + 16 · 7. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
75·?167·?+?
Schritt für Schritt
  1. 7 · 5 = 35
  2. 16 · 7 = 112
  3. 35 + 112 = 147
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 147.
  1. 7 · 5 = 35
  2. 16 · 7 = 112
  3. 35 + 112 = 147
  4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
  5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 147.
Ergebnis:
Summe, Wert 147

AchtungNoch einmal: Punkt vor Strich missachtet

So nicht
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35
So richtig
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

Erst Klammern, dann mal und geteilt, zuletzt plus und minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Im Bild steht der Rechenbaum zu 4 · 8 + 14 · 4. Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    48·?144·?+?
    So fängst du an:
    4 · 8 = 32
    Lösung zeigen
    1. 4 · 8 = 32
    2. 14 · 4 = 56
    3. 32 + 56 = 88
    4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 88.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 88
  2. ●8
    Ist 5 · 5 + 20 · 4 eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient? Begründe mit dem Rechenbaum und berechne den Wert.
    55·?204·?+?
    Lösung zeigen
    1. 5 · 5 = 25
    2. 20 · 4 = 80
    3. 25 + 80 = 105
    4. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    5. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 105.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 105
  3. ★9
    Zeichne den Rechenbaum zu 10 · 12 + 2. Welche Rechenart steht ganz unten im Baum? Wie heißt der Term deshalb?
    1012·?2+?
    Lösung zeigen
    1. 10 · 12 = 120
    2. 120 + 2 = 122
    3. Zuletzt wird „+“ gerechnet.
    4. Der Term ist eine Summe mit dem Wert 122.
    Ergebnis:
    Summe, Wert 122

4Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

EntdeckenFrage

Wie berechnet ein Taxi in Berlin den Fahrpreis, bevor es losfährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit einer Rechenvorschrift: Grundpreis plus gefahrene Kilometer mal Kilometerpreis. Das ist ein Term mit einer Variablen. Wer die Kilometer einsetzt, bekommt den Preis – für jede Fahrt nach derselben Vorschrift.

MerkenPlatzhalter und Variable

Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.

Mit einer eingesetzten Zahl bekommt der Term einen Wert: Für x = 4 hat 3 · x + 2 den Wert 14.

BeispielZahlen in einen Term einsetzen

Fülle die Tabelle aus: x · 3 − 3 für x = 2, 3, 4 und 6. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
x2346x·3−3????
Schritt für Schritt
  1. Setze 2 ein → 2 · 3 − 3 = 3
  2. Setze 3 ein → 3 · 3 − 3 = 6
  3. Setze 4 ein → 4 · 3 − 3 = 9
  4. Setze 6 ein → 6 · 3 − 3 = 15
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 3.
  1. Setze 2 ein → 2 · 3 − 3 = 3
  2. Setze 3 ein → 3 · 3 − 3 = 6
  3. Setze 4 ein → 4 · 3 − 3 = 9
  4. Setze 6 ein → 6 · 3 − 3 = 15
  5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 3.
Ergebnis:
3, 6, 9, 15; je +3

AchtungKlammer übersehen

So nicht
(8 + 5) · 6 = 8 + 30 = 38
So richtig
(8 + 5) · 6 = 13 · 6 = 78

Rechne zuerst, was in der Klammer steht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Fülle die Tabelle aus: 56 − 7 · x für x = 1, 2, 3 und 7. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x123756−7·x????
    So fängst du an:
    Setze 1 ein → 56 − 7 · 1 = 49
    Lösung zeigen
    1. Setze 1 ein → 56 − 7 · 1 = 49
    2. Setze 2 ein → 56 − 7 · 2 = 42
    3. Setze 3 ein → 56 − 7 · 3 = 35
    4. Setze 7 ein → 56 − 7 · 7 = 7
    5. Wächst x um 1, sinkt der Wert um 7.
    Ergebnis:
    49, 42, 35, 7; je −7
  2. ●11
    Eine Klassenfahrt kostet je Kind 6 € Eintritt, dazu 5 € für den Bus insgesamt. Der Term 6 · x + 5 gibt die Kosten für x Kinder. Berechne die Kosten für 5 Kinder.
    Kinder5Kosten in €?
    Lösung zeigen
    1. Setze 5 ein → 6 · 5 + 5
    2. 6 · 5 = 30
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35 €
  3. ★12
    Fülle die Tabelle aus: x · x + 6 für x = 1, 2, 3 und 6. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x1236x·x+6????
    Lösung zeigen
    1. Setze 1 ein → 1 · 1 + 6 = 7
    2. Setze 2 ein → 2 · 2 + 6 = 10
    3. Setze 3 ein → 3 · 3 + 6 = 15
    4. Setze 6 ein → 6 · 6 + 6 = 42
    5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 3.
    Ergebnis:
    7, 10, 15, 42

5Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

EntdeckenFrage

Warum heißt 2 + 3 · 4 eine Summe, obwohl mal darin vorkommt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil zuletzt addiert wird: erst 3 · 4 = 12, dann 2 + 12 = 14. Die Rechenart, die zuletzt kommt, gibt dem Term den Namen. Der Rechenbaum zeigt sie ganz unten.

MerkenMuster beschreiben

Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.

Bei Quadraten aus Hölzern braucht Bild x genau 3 · x + 1 Hölzer: vier für das erste Quadrat, drei für jedes weitere.

BeispielMuster mit einem Term beschreiben

Quadrate aus Hölzern: Wie viele Hölzer braucht Bild 5? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
Bild 1Bild 2Bild 3…
Schritt für Schritt
  1. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
  2. Term: 3 · x + 1
  3. Bild 5 → 3 · 5 + 1 = 16
  1. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
  2. Term: 3 · x + 1
  3. Bild 5 → 3 · 5 + 1 = 16
Ergebnis:
3 · x + 1; Bild 5: 16 Hölzer

AchtungNoch einmal: Klammer beim Übersetzen vergessen

So nicht
Die Summe aus 7 und 5, mal 3: 7 + 5 · 3 = 22
So richtig
(7 + 5) · 3 = 12 · 3 = 36

Kommt die Summe zuerst, gehört sie in eine Klammer: die Summe aus 7 und 5, mal 3, ist (7 + 5) · 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Quadrate aus Hölzern: Wie viele Hölzer braucht Bild 12? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    So fängst du an:
    Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer, jedes weitere 3.
    2. Term: 3 · x + 1
    3. Bild 12 → 3 · 12 + 1 = 37
    Ergebnis:
    3 · x + 1; Bild 12: 37 Hölzer
  2. ●14
    Dreiecke aus Hölzern: Wie viele Hölzer braucht Bild 13? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Das erste Dreieck braucht 3 Hölzer, jedes weitere 2.
    2. Term: 2 · x + 1
    3. Bild 13 → 2 · 13 + 1 = 27
    Ergebnis:
    2 · x + 1; Bild 13: 27 Hölzer
  3. ★15
    Tische in einer Reihe: Wie viele Plätze braucht Bild 19? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. An jedem Tisch sitzen 2 an den langen Seiten, dazu 2 an den Enden.
    2. Term: 2 · x + 2
    3. Bild 19 → 2 · 19 + 2 = 40
    Ergebnis:
    2 · x + 2; Bild 19: 40 Plätze

6Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

EntdeckenFrage

Welche Zahl muss man zu 17 addieren, damit 45 herauskommt – und wie findet man sie ohne Probieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

28. Die Umkehraufgabe liefert sie sofort: 45 − 17 = 28. Plus wird durch minus rückgängig gemacht, mal durch geteilt. So löst man Gleichungen, bevor es Umformungsregeln gibt.

MerkenGleichung und Umkehraufgabe

Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?

Die Umkehraufgabe findet sie: Aus x + 17 = 45 folgt x = 45 − 17 = 28. Die Probe zeigt, ob es stimmt.

BeispielGleichung mit der Umkehraufgabe lösen

Löse mit der Umkehraufgabe: 3 · x = 54
x· 354
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 54 : 3 = 18
  2. x = 18
  3. Probe: 3 · 18 = 54
  1. Umkehraufgabe: 54 : 3 = 18
  2. x = 18
  3. Probe: 3 · 18 = 54
Ergebnis:
x = 18

AchtungUmkehraufgabe mit derselben Rechenart

So nicht
x + 17 = 45 → x = 45 + 17 = 62
So richtig
x + 17 = 45 → x = 45 − 17 = 28

Die Umkehrung von plus ist minus, die von mal ist geteilt – und umgekehrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Welche Zahl gehört für □ in die Gleichung □ : 8 = 13? Mache die Probe.
    □: 813
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 13 · 8 = 104
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 13 · 8 = 104
    2. □ = 104
    3. Probe: 104 : 8 = 13
    Ergebnis:
    □ = 104
  2. ●17
    Welche Zahl gehört für x in die Gleichung 2 + x = 29? Mache die Probe.
    x+ 229
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 29 − 2 = 27
    2. x = 27
    3. Probe: 27 + 2 = 29
    Ergebnis:
    x = 27
  3. ★18
    Welche Zahl gehört für □ in die Gleichung 30 + □ = 105? Mache die Probe.
    □+ 30105
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 105 − 30 = 75
    2. □ = 75
    3. Probe: 75 + 30 = 105
    Ergebnis:
    □ = 75

7Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

EntdeckenFrage

Ein Wetterbericht aus den USA meldet 86 °F. Wie warm ist das in Grad Celsius?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Aus Celsius wird Fahrenheit so: mal 1,8, dann plus 32. Rückwärts rechnet man erst minus 32 und dann geteilt durch 1,8. 86 − 32 = 54, und 54 : 1,8 = 30. Es sind also 30 °C.

MerkenRückwärts rechnen

Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.

Die Umkehrrechnungen kommen in umgekehrter Reihenfolge: Bei 3 · x + 5 = 26 erst 26 − 5 = 21, dann 21 : 3 = 7.

BeispielGleichung durch Rückwärtsrechnen lösen

Löse durch Rückwärtsrechnen: 7 · x + 18 = 102
x· 7?+ 18102
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, erst minus 18 → 102 − 18 = 84
  2. dann geteilt durch 7 → 84 : 7 = 12
  3. Probe: 7 · 12 + 18 = 102
  1. Rückwärts, erst minus 18 → 102 − 18 = 84
  2. dann geteilt durch 7 → 84 : 7 = 12
  3. Probe: 7 · 12 + 18 = 102
Ergebnis:
x = 12

AchtungRückwärts in der falschen Reihenfolge

So nicht
3 · x + 5 = 26 → erst 26 : 3, dann − 5
So richtig
26 − 5 = 21 → 21 : 3 = 7 → x = 7

Den letzten Rechenschritt zuerst rückgängig machen, mit umgekehrtem Rechenzeichen. Steht ein Vorzeichen Minus vor dem Ergebnis, wurde falsch herum gerechnet.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die Rechenmaschine im Bild macht aus x die Zahl 25. Rechne rückwärts: Welche Zahl ist x?
    x· 7?− 325
    So fängst du an:
    Rückwärts, erst plus 3 → 25 + 3 = 28
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst plus 3 → 25 + 3 = 28
    2. dann geteilt durch 7 → 28 : 7 = 4
    3. Probe: 7 · 4 − 3 = 25
    Ergebnis:
    x = 4
  2. ●20
    Rechne rückwärts und mache die Probe: 4 · x − 18 = 18
    x· 4?− 1818
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst plus 18 → 18 + 18 = 36
    2. dann geteilt durch 4 → 36 : 4 = 9
    3. Probe: 4 · 9 − 18 = 18
    Ergebnis:
    x = 9
  3. ★21
    Die Rechenmaschine im Bild macht aus x die Zahl 1. Rechne rückwärts: Welche Zahl ist x?
    x· 2?− 71
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, erst plus 7 → 1 + 7 = 8
    2. dann geteilt durch 2 → 8 : 2 = 4
    3. Probe: 2 · 4 − 7 = 1
    Ergebnis:
    x = 4

8Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

EntdeckenFrage

Ein Team ist nach 10 Spielen ungeschlagen und hat 22 Punkte. Wie oft hat es gewonnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Sieg bringt 3 Punkte, ein Unentschieden 1 Punkt. Mit s Siegen gilt 3 · s + (10 − s) = 22, also 2 · s + 10 = 22. Dann ist 2 · s = 12 und s = 6. Das Team hat 6-mal gewonnen und 4-mal unentschieden gespielt.

MerkenGleichung aufstellen

Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Lösen, die Probe machen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielZahlenrätsel mit einer Gleichung

Der Zoobesuch kostet 8 € Eintritt je Kind und 45 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 69 €. Wie viele Kinder fahren mit?
x· 8?+ 4569
Schritt für Schritt
  1. Gleichung: 8 · x + 45 = 69
  2. 69 − 45 = 24
  3. 24 : 8 = 3
  4. Antwort: Es fahren 3 Kinder mit.
  1. Gleichung: 8 · x + 45 = 69
  2. 69 − 45 = 24
  3. 24 : 8 = 3
  4. Antwort: Es fahren 3 Kinder mit.
Ergebnis:
3 Kinder

AchtungFalsche Gegenoperation

So nicht
x + 5 = 17 → x = 22
So richtig
x + 5 = 17 | − 5 → x = 12

Schreib die Gegenrechnung hinter einen Strich: bei + 5 steht | − 5.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ich denke mir eine Zahl und addiere 19. Das Ergebnis nehme ich mal 9. Heraus kommt 234. Welche Zahl ist es?
    x+ 19?· 9234
    So fängst du an:
    Gleichung: (x + 19) · 9 = 234
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: (x + 19) · 9 = 234
    2. 234 : 9 = 26
    3. 26 − 19 = 7
    4. Probe: (7 + 19) · 9 = 234
    Ergebnis:
    7
  2. ●23
    Der Zoobesuch kostet 12 € Eintritt je Kind und 27 € für den Bus. Die Klasse zahlt zusammen 63 €. Wie viele Kinder fahren mit?
    x· 12?+ 2763
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: 12 · x + 27 = 63
    2. 63 − 27 = 36
    3. 36 : 12 = 3
    4. Antwort: Es fahren 3 Kinder mit.
    Ergebnis:
    3 Kinder
  3. ★24
    Ich denke mir eine Zahl. Ich nehme sie mal 4 und addiere 8. Ich erhalte 84. Welche Zahl habe ich gedacht?
    x· 4?+ 884
    Lösung zeigen
    1. Gleichung: 4 · x + 8 = 84
    2. 84 − 8 = 76
    3. 76 : 4 = 19
    4. Probe: 4 · 19 + 8 = 84
    Ergebnis:
    19

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welchen Wert hat der Term 8 · 3 − 12 : 6? Schreibe jeden Schritt auf.
    83·?126:?−?
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich.
    2. 8 · 3 = 24
    3. 12 : 6 = 2
    4. 24 − 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●26
    Welcher Term hat den größeren Wert: (3 + 2) · 3 oder 3 + 2 · 3? Rechne beide aus.
    (3 + 2) · 33 + 2 · 3?
    Lösung zeigen
    1. 3 + 2 = 5
    2. 5 · 3 = 15
    3. 2 · 3 = 6
    4. 3 + 6 = 9
    5. 15 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    (3 + 2) · 3 ist größer
  3. ●27
    Schreibe als Term und berechne: Addiere 7 zum Produkt aus 4 und 2.
    Lösung zeigen
    1. Term: 7 + 4 · 2
    2. 4 · 2 = 8
    3. 7 + 8 = 15
    Ergebnis:
    7 + 4 · 2 = 15
  4. ●28
    Im Bild steht der Rechenbaum zu 32 · (9 − 3). Rechne ihn von oben nach unten aus. Ist der Term eine Summe, Differenz, ein Produkt oder ein Quotient?
    3293−?·?
    Lösung zeigen
    1. 9 − 3 = 6
    2. 32 · 6 = 192
    3. Zuletzt wird „·“ gerechnet.
    4. Der Term ist ein Produkt mit dem Wert 192.
    Ergebnis:
    Produkt, Wert 192
  5. ●29
    Fülle die Tabelle aus: x · 6 − 4 für x = 3, 4, 5 und 9. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x3459x·6−4????
    Lösung zeigen
    1. Setze 3 ein → 3 · 6 − 4 = 14
    2. Setze 4 ein → 4 · 6 − 4 = 20
    3. Setze 5 ein → 5 · 6 − 4 = 26
    4. Setze 9 ein → 9 · 6 − 4 = 50
    5. Wächst x um 1, wächst der Wert um 6.
    Ergebnis:
    14, 20, 26, 50; je +6
  6. ●30
    Zaunfelder: Wie viele Pfosten braucht Bild 13? Beschreibe das Muster mit einem Term für Bild x.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    1. Jedes Feld bringt einen Pfosten mit, dazu kommt der erste.
    2. Term: x + 1
    3. Bild 13 → 13 + 1 = 14
    Ergebnis:
    x + 1; Bild 13: 14 Pfosten

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Rechenregeln
Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.
Vom Text zum Term
Die Wörter verraten die Rechenart.
Rechenbaum
Der Rechenbaum zeigt, was zuerst gerechnet wird.
Platzhalter und Variable
Ein Buchstabe wie x steht für eine Zahl.
Muster beschreiben
Ein Term beschreibt, wie ein Muster wächst.
Gleichung und Umkehraufgabe
Eine Gleichung fragt: Für welche Zahl stimmt es?
Rückwärts rechnen
Bei zwei Rechenschritten rechnet man rückwärts.
Gleichung aufstellen
Erst die gesuchte Zahl x nennen, dann den Text Satz für Satz in Rechenzeichen übersetzen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich berechne Zahlterme mit Klammern und Punkt vor Strich.

    31
    Berechne: 9 · 3 − 18 : 3
    93·?183:?−?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  2. Ich übersetze Rechenanweisungen und Sachsituationen in Zahlterme.

    32
    Mia kauft 9 Hefte zu je 3 € und einen Block für 12 €. Stelle einen Term für den Preis auf und berechne ihn.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 · 3 + 12 = 39 €

  3. Ich zeichne einen Rechenbaum und benenne den Term nach der letzten Rechenart.

    33
    Ist 4 · 6 + 19 · 5 eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient? Begründe mit dem Rechenbaum und berechne den Wert.
    46·?195·?+?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Summe, Wert 119

  4. Ich setze Zahlen für eine Variable ein und fülle Wertetabellen.

    34
    Fülle die Tabelle aus: 28 − 4 · x für x = 2, 3, 4 und 6. Wie ändert sich der Wert, wenn x um 1 wächst?
    x234628−4·x????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20, 16, 12, 4; je −4

  5. Ich beschreibe Muster aus Hölzern und Plättchen mit einem Term.

    35
    Zaunfelder: Zähle in Bild 1, 2 und 3. Stelle einen Term für die Pfosten in Bild x auf und berechne Bild 13.
    Bild 1Bild 2Bild 3…
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x + 1; Bild 13: 14 Pfosten

  6. Ich löse Gleichungen mit einem Rechenschritt durch Umkehraufgaben.

    36
    Finde x und prüfe: x − 9 = 10
    x− 910
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 19

  7. Ich löse Gleichungen mit zwei Rechenschritten durch Rückwärtsrechnen.

    37
    Rechne rückwärts und mache die Probe: (x + 8) · 9 = 108
    x+ 8?· 9108
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x = 4

  8. Ich löse Zahlenrätsel und Sachaufgaben mit einer Gleichung.

    38
    Ich denke mir eine Zahl. Ich nehme sie mal 3 und addiere 15. Ich erhalte 72. Welche Zahl habe ich gedacht?
    x· 3?+ 1572
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Reihe aus Quadraten wird aus Streichhölzern gelegt: Bild 1 hat ein Quadrat, Bild 2 zwei, Bild 3 drei. Wie viele Hölzer braucht Bild 24?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Term mit einer Variablen als Rechenvorschrift für jedes Bild eines Musters.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Eintritt plus Busfahrt, Zahlentricks, Muster aus Fliesen. Beruf: Kalkulation mit Grundpreis, Tabellenkalkulation.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Quotient
was herauskommt, wenn man teilt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Term
eine Rechnung ohne Gleichheitszeichen
Variable
ein Buchstabe, der für eine Zahl steht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Muster, Zahlenfolgen und Platzhalter, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen, Terme und Gleichungen

Lösungen

  1. 11
  2. 112
  3. 6
  4. 2 + 2 · 8 = 18
  5. (18 − 8) : 5 = 2
  6. 46 − 5 · 8 + 5 = 11 €
  7. Summe, Wert 88
  8. Summe, Wert 105
  9. Summe, Wert 122
  10. 49, 42, 35, 7; je −7
  11. 35 €
  12. 7, 10, 15, 42
  13. 3 · x + 1; Bild 12: 37 Hölzer
  14. 2 · x + 1; Bild 13: 27 Hölzer
  15. 2 · x + 2; Bild 19: 40 Plätze
  16. □ = 104
  17. x = 27
  18. □ = 75
  19. x = 4
  20. x = 9
  21. x = 4
  22. 7
  23. 3 Kinder
  24. 19
  25. 22
  26. (3 + 2) · 3 ist größer
  27. 7 + 4 · 2 = 15
  28. Produkt, Wert 192
  29. 14, 20, 26, 50; je +6
  30. x + 1; Bild 13: 14 Pfosten
  31. 21
  32. 9 · 3 + 12 = 39 €
  33. Summe, Wert 119
  34. 20, 16, 12, 4; je −4
  35. x + 1; Bild 13: 14 Pfosten
  36. x = 19
  37. x = 4
  38. 19