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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis5,00 €10,00 €?50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    2. Lücke: 5 · 5,00 € = 25,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis5,00 €10,00 €? 25,00 €50,00 €
      y : x5555

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 5 · 5,00 €.

    Ergebnis:
    25,00 €
  2. ●40
    Beim Fußballtraining dauern 3 Trainingseinheiten zusammen 270 Minuten. Wie lange dauern 10 Trainingseinheiten?
    Lösung zeigen
    1. TrainingseinheitenMinuten
    2. 3 Trainingseinheiten→270 Minuten
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Trainingseinheit→270 Minuten : 3 = 90 Minuten
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Trainingseinheiten→90 Minuten · 10 = 900 Minuten
    Ergebnis:
    900 Minuten

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In Tüte A sind 10 von 20 Bonbons rot, in Tüte B 3 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
erste Gruppe10 von 20zweite Gruppe3 von 8
Schritt für Schritt
  1. Tüte A: 1020 = 12
  2. Tüte B: 38
  3. Gleicher Nenner 40: 2040 und 1540
  4. 2040 ist mehr: Tüte A.
  1. Tüte A: 1020 = 12
  2. Tüte B: 38
  3. Gleicher Nenner 40: 2040 und 1540
  4. 2040 ist mehr: Tüte A.
Ergebnis:
Tüte A

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 2 von 4 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 5 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe2 von 4zweite Gruppe4 von 5
    So fängst du an:
    Klasse A: 24 = 12
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 24 = 12
    2. Klasse B: 45
    3. Gleicher Nenner 20: 1020 und 1620
    4. 1620 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●2
    In Tüte A sind 2 von 4 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe2 von 4zweite Gruppe1 von 8
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 24 = 12
    2. Tüte B: 18
    3. Gleicher Nenner 8: 48 und 18
    4. 48 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A
  3. ★3
    Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 32 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 2 von 24 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe2 von 32zweite Gruppe2 von 24
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 232 = 116
    2. Herr Ott: 224 = 112
    3. Gleicher Nenner 96: 696 und 896
    4. 896 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Himbeerlimonade rührt Can 2 Löffel Sirup in 6 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 2 : 6
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 3
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 1 : 3
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 2 : 6
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 3
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 1 : 3
Ergebnis:
1 : 3

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Himbeerlimonade rührt Can 1 Löffel Sirup in 2 Löffel Wasser. Gib das Verhältnis Sirup zu Wasser so einfach wie möglich an.
    So fängst du an:
    Zuerst Sirup, dann Wasser: 1 : 2
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 1 : 2
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 1 : 2
    Ergebnis:
    1 : 2
  2. ●5
    Für Himbeerlimonade rührt Can 4 Löffel Sirup in 10 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 4 : 10
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 5
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 2 : 5
    Ergebnis:
    2 : 5
  3. ★6
    Für Saftschorle mischt Emil 3 Gläser Saft mit 9 Gläsern Wasser. Schreibe das Verhältnis Wasser zu Saft mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Wasser, dann Saft: 9 : 3
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 1
    3. Verhältnis Wasser zu Saft: 3 : 1
    Ergebnis:
    3 : 1

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Gelb und Blau werden im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
Schritt für Schritt
  1. 5 : 6 heißt: 5 Teile Gelb, 6 Teile Blau.
  2. Zusammen: 5 + 6 = 11 Teile
  3. Gelb: 5 von 11 Teilen, also 511
  1. 5 : 6 heißt: 5 Teile Gelb, 6 Teile Blau.
  2. Zusammen: 5 + 6 = 11 Teile
  3. Gelb: 5 von 11 Teilen, also 511
Ergebnis:
511

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 2 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    So fängst du an:
    5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 2 = 7 Teile
    3. Wasser: 2 von 7 Teilen, also 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●8
    Zement und Sand werden im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    Lösung zeigen
    1. 3 : 5 heißt: 3 Teile Zement, 5 Teile Sand.
    2. Zusammen: 3 + 5 = 8 Teile
    3. Zement: 3 von 8 Teilen, also 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★9
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 12 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 2 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 1 + 2 = 3 Teile.
    3. Saft: 1 von 3 Teilen, also 13
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 13

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig nimmt man 150 g Mehl auf 600 ml Milch. Tim nimmt 450 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. 450 : 150 = 3 – also 3-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 600 · 3 = 1800
  1. 450 : 150 = 3 – also 3-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 600 · 3 = 1800
Ergebnis:
1800 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Mörtel steht im Rezept: 1 Eimer Zement und 2 Eimer Sand. Lea hat 2 Eimer Zement. Wie viel Sand muss dazu?
    ZementSand
    So fängst du an:
    2 : 1 = 2 – also 2-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 2 : 1 = 2 – also 2-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Eimer
  2. ●11
    Für Pfannkuchenteig steht im Rezept: 200 g Mehl und 250 ml Milch. Lea hat 600 g Mehl. Wie viel Milch muss dazu?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 600 : 200 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 250 · 3 = 750
    Ergebnis:
    750 ml
  3. ★12
    Für Mörtel nimmt man 2 Eimer Zement auf 3 Eimer Sand. Tim nimmt 3 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 3 : 2 = 1,5 – also 1,5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 1,5 = 4,5
    Ergebnis:
    4,5 Eimer

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Sara und Tim teilen 49 € im Verhältnis 4 : 3. Wie viel bekommt jeder?
SaraTim
Schritt für Schritt
  1. Teile: 4 + 3 = 7
  2. Ein Teil: 49 : 7 = 7
  3. Sara: 4 · 7 = 28
  4. Tim: 3 · 7 = 21
  1. Teile: 4 + 3 = 7
  2. Ein Teil: 49 : 7 = 7
  3. Sara: 4 · 7 = 28
  4. Tim: 3 · 7 = 21
Ergebnis:
Sara 28 €, Tim 21 €

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ina und Ole teilen 40 € im Verhältnis 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    InaOle
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 40 : 5 = 8
    3. Ina: 1 · 8 = 8
    4. Ole: 4 · 8 = 32
    Ergebnis:
    Ina 8 €, Ole 32 €
  2. ●14
    70 Murmeln werden im Verhältnis 3 : 4 an Mia und Can verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 4 = 7
    2. Ein Teil: 70 : 7 = 10
    3. Mia: 3 · 10 = 30
    4. Can: 4 · 10 = 40
    Ergebnis:
    Mia 30 Murmeln, Can 40 Murmeln
  3. ★15
    Ina und Ole teilen 110 € im Verhältnis 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    InaOle
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 110 : 5 = 22
    3. Ina: 1 · 22 = 22
    4. Ole: 4 · 22 = 88
    Ergebnis:
    Ina 22 €, Ole 88 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Vergleiche die Anteile: Kanne A hat 1 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser, Kanne B hat 1 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser.
Kanne AKanne B?
Schritt für Schritt
  1. Kanne A: 1 von 2 Teilen sind Himbeersirup, also 1/2.
  2. Kanne B: 1 von 3 Teilen sind Himbeersirup, also 1/3.
  3. Gleicher Nenner 6: 36 und 26
  4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
  1. Kanne A: 1 von 2 Teilen sind Himbeersirup, also 1/2.
  2. Kanne B: 1 von 3 Teilen sind Himbeersirup, also 1/3.
  3. Gleicher Nenner 6: 36 und 26
  4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
Ergebnis:
Kanne A

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 1 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 4 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
    2. Eimer B: 4 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 4/8.
    3. Gleicher Nenner 8: 28 und 48
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  2. ●17
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 1 Becher rote Farbe auf 1 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 5 Becher rote Farbe auf 2 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 2 Teilen sind rote Farbe, also 1/2.
    2. Eimer B: 5 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 5/7.
    3. Gleicher Nenner 14: 714 und 1014
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  3. ★18
    Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Vergleiche die Anteile: Kanne A hat 4 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser, Kanne B hat 5 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser.
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 4 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 4/5.
    2. Kanne B: 5 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 5/7.
    3. Gleicher Nenner 35: 2835 und 2535
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 3. In der Gruppe sind 15 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 5 : 3: auf 3 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 15 : 3 = 5
  3. Jungen: 5 · 5 = 25
  1. 5 : 3: auf 3 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 15 : 3 = 5
  3. Jungen: 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Welche Zahl fehlt? 4 zu 8 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___ → 6,4
So richtig
Welche Zahl fehlt? 4 zu 8 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___ → 10

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 4 zu 8 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 4 : 8 wird zu 1 : 2
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 4 : 8 wird zu 1 : 2
    2. 5 ist 5-mal 1.
    3. Also 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●20
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 7. In der Gruppe sind 14 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 7: auf 7 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 14 : 7 = 2
    3. Jungen: 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10 Jungen
  3. ★21
    Welche Zahl fehlt? 15 zu 18 soll dasselbe Verhältnis sein wie 45 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 15 : 18 wird zu 5 : 6
    2. 45 ist 9-mal 5.
    3. Also 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    54

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Beim Schulfest werden 24 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 2. Wie viel Liter Saft braucht man?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. Schorle: 24 · 0,25 = 6
  2. Teile: 1 + 2 = 3
  3. Ein Teil: 6 : 3 = 2
  4. Saft: 1 · 2 = 2
  1. Schorle: 24 · 0,25 = 6
  2. Teile: 1 + 2 = 3
  3. Ein Teil: 6 : 3 = 2
  4. Saft: 1 · 2 = 2
Ergebnis:
2 Liter

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
20 € im Verhältnis 1 : 4 → 5 € und 15 €
So richtig
20 € im Verhältnis 1 : 4 → 5 Teile, 4 € und 16 €

Leg die Teile hin: 1 Teil und 4 Teile. Zähl sie zusammen, bevor du teilst.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Beim Schulfest werden 50 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,3 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 4. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    So fängst du an:
    Schorle: 50 · 0,3 = 15
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 50 · 0,3 = 15
    2. Teile: 1 + 4 = 5
    3. Ein Teil: 15 : 5 = 3
    4. Saft: 1 · 3 = 3
    Ergebnis:
    3 Liter
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 48 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 4, gekürzt 1 : 2
    2. Teile: 2 + 4 = 6
    3. Ein Teil: 48 : 6 = 8
    4. Ada: 2 · 8 = 16
    Ergebnis:
    16 €
  3. ★24
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 70 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 5 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 5
    2. Teile: 2 + 5 = 7
    3. Ein Teil: 70 : 7 = 10
    4. Ada: 2 · 10 = 20
    Ergebnis:
    20 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 21 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 5 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe21 von 25zweite Gruppe5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 2125
    2. Klasse B: 510 = 12
    3. Gleicher Nenner 50: 4250 und 2550
    4. 4250 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 2 von 10 Dosen, Ali 7 von 12. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A2 von 10B7 von 12
    Lösung zeigen
    1. Tom: 210 = 15
    2. Ali: 712
    3. Gleicher Nenner 60: 1260 und 3560
    4. 3560 ist mehr: Ali.
    5. Ali hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Ali
  3. ●27
    Für Saftschorle mischt Emil 2 Gläser Saft mit 6 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 2 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 3
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 1 : 3
    Ergebnis:
    1 : 3
  4. ●28
    Lena fädelt die Perlen aus dem Bild auf eine Kette. Welches Verhältnis Rot zu Blau hat ihre Kette? Kürze.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 1 Perle, Blau: 2 Perlen
    2. Rot zu Blau: 1 : 2
    3. Kürzen geht nicht.
    Ergebnis:
    1 : 2
  5. ●29
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 3 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Saft?
    Lösung zeigen
    1. 4 : 3 heißt: 4 Teile Saft, 3 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 4 + 3 = 7 Teile
    3. Saft: 4 von 7 Teilen, also 47
    Ergebnis:
    47
  6. ●30
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 4 Liter weiße Farbe und 5 Liter rote Farbe. Lea hat 12 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 12 : 4 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 Liter

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In der Klasse A kommen 3 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 2 von 4 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 5zweite Gruppe2 von 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse A

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Mörtel nimmt der Maurer 2 Schaufeln Zement und 1 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 : 1

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 57 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, 512

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Pfannkuchenteig: 500 g Mehl und 100 ml Milch. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    500 ml

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Mia und Can teilen 48 € im Verhältnis 1 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mia 8 €, Can 40 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Zwei Mischungen: Kanne A enthält 3 Löffel Himbeersirup auf 1 Löffel Wasser, Kanne B enthält 5 Löffel Himbeersirup auf 4 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kanne A

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 8 zu 2 soll dasselbe Verhältnis sein wie 24 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 35 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 5 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse B
  2. Tüte A
  3. Herr Ott
  4. 1 : 2
  5. 2 : 5
  6. 3 : 1
  7. 27
  8. 38
  9. nein, 13
  10. 4 Eimer
  11. 750 ml
  12. 4,5 Eimer
  13. Ina 8 €, Ole 32 €
  14. Mia 30 Murmeln, Can 40 Murmeln
  15. Ina 22 €, Ole 88 €
  16. Eimer B
  17. Eimer B
  18. Kanne A
  19. 10
  20. 10 Jungen
  21. 54
  22. 3 Liter
  23. 16 €
  24. 20 €
  25. Klasse A
  26. ja, Ali
  27. 1 : 3
  28. 1 : 2
  29. 47
  30. 15 Liter
  31. Klasse A
  32. 2 : 1
  33. nein, 512
  34. 500 ml
  35. Mia 8 €, Can 40 €
  36. Kanne A
  37. 6
  38. 10 €
  39. 25,00 €
  40. 900 Minuten