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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis5,00 €?25,00 €50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    2. Lücke: 2 · 5,00 € = 10,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis5,00 €? 10,00 €25,00 €50,00 €
      y : x5555

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 2 · 5,00 €.

    Ergebnis:
    10,00 €
  2. ●40
    Ein Bundesligaverein schießt in 5 Spiele im Schnitt 15 Tore. Wie viele Tore sind es in 6 Spiele?
    Lösung zeigen
    1. SpieleTore
    2. 5 Spiele→15 Tore
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Spiel→15 Tore : 5 = 3 Tore
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Spiele→3 Tore · 6 = 18 Tore
    Ergebnis:
    18 Tore

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 5 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 14 von 20 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe2 von 5zweite Gruppe14 von 20
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 25
  2. Herr Ott: 1420 = 710
  3. Gleicher Nenner 20: 820 und 1420
  4. 1420 ist mehr: Herr Ott.
  1. Frau Kaya: 25
  2. Herr Ott: 1420 = 710
  3. Gleicher Nenner 20: 820 und 1420
  4. 1420 ist mehr: Herr Ott.
Ergebnis:
Herr Ott

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In Tüte A sind 2 von 5 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 12 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe2 von 5zweite Gruppe1 von 12
    So fängst du an:
    Tüte A: 25
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 25
    2. Tüte B: 112
    3. Gleicher Nenner 60: 2460 und 560
    4. 2460 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A
  2. ●2
    In Tüte A sind 5 von 10 Bonbons rot, in Tüte B 17 von 20 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe5 von 10zweite Gruppe17 von 20
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 510 = 12
    2. Tüte B: 1720
    3. Gleicher Nenner 20: 1020 und 1720
    4. 1720 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B
  3. ★3
    Im Beet von Frau Kaya sind 11 von 18 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 14 von 24 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe11 von 18zweite Gruppe14 von 24
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 1118
    2. Herr Ott: 1424 = 712
    3. Gleicher Nenner 72: 4472 und 4272
    4. 4472 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Mörtel nimmt der Maurer 15 Schaufeln Zement und 12 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 15 : 12
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 4
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 4
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 15 : 12
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 4
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 4
Ergebnis:
5 : 4

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Saftschorle mischt Emil 10 Gläser Saft mit 2 Gläsern Wasser. Schreibe das Verhältnis Saft zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    So fängst du an:
    Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 2
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 2
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 1
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 1
    Ergebnis:
    5 : 1
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 6 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 4 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 3
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 2 : 3
    Ergebnis:
    2 : 3
  3. ★6
    Für Mörtel nimmt der Maurer 12 Schaufeln Zement und 8 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Sand zu Zement? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sand, dann Zement: 8 : 12
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 2 : 3
    3. Verhältnis Sand zu Zement: 2 : 3
    Ergebnis:
    2 : 3

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 3 : 2 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
Schritt für Schritt
  1. 3 : 2 heißt: 3 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 3 + 2 = 5 Teile
  3. Wasser: 2 von 5 Teilen, also 25
  1. 3 : 2 heißt: 3 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 3 + 2 = 5 Teile
  3. Wasser: 2 von 5 Teilen, also 25
Ergebnis:
25

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 2 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    So fängst du an:
    5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 2 = 7 Teile
    3. Wasser: 2 von 7 Teilen, also 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●8
    49 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 9 Teilen sind 4 rot.
    2. Blau: 9 − 4 = 5 Teile
    3. Rot zu Blau: 4 : 5
    Ergebnis:
    4 : 5
  3. ★9
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 3 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 37 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 3 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 3 + 7 = 10 Teile.
    3. Saft: 3 von 10 Teilen, also 310
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 310

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 4 Liter weiße Farbe und 1 Liter rote Farbe. Lea hat 20 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
weiße Farberote Farbe
Schritt für Schritt
  1. 20 : 4 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 1 · 5 = 5
  1. 20 : 4 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 1 · 5 = 5
Ergebnis:
5 Liter

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für ein zartes Rosa nimmt man 5 Liter weiße Farbe auf 4 Liter rote Farbe. Tim nimmt 25 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    weiße Farberote Farbe
    So fängst du an:
    25 : 5 = 5 – also 5-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 25 : 5 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Liter
  2. ●11
    Für Pfannkuchenteig steht im Rezept: 450 g Mehl und 300 ml Milch. Lea hat 1350 g Mehl. Wie viel Milch muss dazu?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 1350 : 450 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 300 · 3 = 900
    Ergebnis:
    900 ml
  3. ★12
    Für Mörtel nimmt man 2 Eimer Zement auf 3 Eimer Sand. Tim nimmt 6 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 6 : 2 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Eimer

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mia und Can teilen 20 € im Verhältnis 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
MiaCan
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 20 : 4 = 5
  3. Mia: 1 · 5 = 5
  4. Can: 3 · 5 = 15
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 20 : 4 = 5
  3. Mia: 1 · 5 = 5
  4. Can: 3 · 5 = 15
Ergebnis:
Mia 5 €, Can 15 €

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Band von 108 cm wird im Verhältnis 4 : 5 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 4 + 5 = 9
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 5 = 9
    2. Ein Teil: 108 : 9 = 12
    3. erstes Stück: 4 · 12 = 48
    4. zweites Stück: 5 · 12 = 60
    Ergebnis:
    48 cm und 60 cm
  2. ●14
    63 Murmeln werden im Verhältnis 5 : 2 an Sara und Tim verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 5 + 2 = 7
    2. Ein Teil: 63 : 7 = 9
    3. Sara: 5 · 9 = 45
    4. Tim: 2 · 9 = 18
    Ergebnis:
    Sara 45 Murmeln, Tim 18 Murmeln
  3. ★15
    85 Murmeln werden im Verhältnis 2 : 3 an Ada und Ben verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 85 : 5 = 17
    3. Ada: 2 · 17 = 34
    4. Ben: 3 · 17 = 51
    Ergebnis:
    Ada 34 Murmeln, Ben 51 Murmeln

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 2 Becher rote Farbe und 6 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 5 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe.
Eimer AEimer B?
Schritt für Schritt
  1. Eimer A: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
  2. Eimer B: 5 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 5/9.
  3. Gleicher Nenner 72: 1872 und 4072
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
  1. Eimer A: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
  2. Eimer B: 5 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 5/9.
  3. Gleicher Nenner 72: 1872 und 4072
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
Ergebnis:
Eimer B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Kanne A: 5 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser. Kanne B: 1 Löffel Himbeersirup und 6 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    So fängst du an:
    Kanne A: 5 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 5/8.
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 5 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 5/8.
    2. Kanne B: 1 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 1/7.
    3. Gleicher Nenner 56: 3556 und 856
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A
  2. ●17
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 4 Becher rote Farbe und 5 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 2 Becher rote Farbe und 6 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 4 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 4/9.
    2. Eimer B: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
    3. Gleicher Nenner 72: 3272 und 1872
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  3. ★18
    Zwei Mischungen: Kanne A enthält 4 Löffel Himbeersirup auf 4 Löffel Wasser, Kanne B enthält 2 Löffel Himbeersirup auf 3 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 4 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 4/8.
    2. Kanne B: 2 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 2/5.
    3. Gleicher Nenner 40: 2040 und 1640
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Welche Zahl fehlt? 8 zu 28 soll dasselbe Verhältnis sein wie 6 zu ___.
Schritt für Schritt
  1. Kürzen: 8 : 28 wird zu 2 : 7
  2. 6 ist 3-mal 2.
  3. Also 7 · 3 = 21
  1. Kürzen: 8 : 28 wird zu 2 : 7
  2. 6 ist 3-mal 2.
  3. Also 7 · 3 = 21
Ergebnis:
21

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Welche Zahl fehlt? 8 zu 28 soll dasselbe Verhältnis sein wie 6 zu ___ → 37,33
So richtig
Welche Zahl fehlt? 8 zu 28 soll dasselbe Verhältnis sein wie 6 zu ___ → 21

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 6 : 5 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 15 Liter Blau?
    GelbBlau
    So fängst du an:
    6 : 5: auf 5 Liter Blau kommen 6 Liter Gelb.
    Lösung zeigen
    1. 6 : 5: auf 5 Liter Blau kommen 6 Liter Gelb.
    2. 15 : 5 = 3
    3. Gelb: 6 · 3 = 18
    Ergebnis:
    18 Liter
  2. ●20
    Welche Zahl fehlt? 2 zu 8 soll dasselbe Verhältnis sein wie 3 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 2 : 8 wird zu 1 : 4
    2. 3 ist 3-mal 1.
    3. Also 4 · 3 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 2. In der Gruppe sind 16 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 2: auf 2 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 16 : 2 = 8
    3. Jungen: 5 · 8 = 40
    Ergebnis:
    40 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 56 € ein. Ada hat 4 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 4 : 3
  2. Teile: 4 + 3 = 7
  3. Ein Teil: 56 : 7 = 8
  4. Ada: 4 · 8 = 32
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 4 : 3
  2. Teile: 4 + 3 = 7
  3. Ein Teil: 56 : 7 = 8
  4. Ada: 4 · 8 = 32
Ergebnis:
32 €

AchtungNoch einmal: Durch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 60 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5. Ein Eimer Zement kostet 4,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 60 : 6 = 10 Eimer
    3. Zement: 1 · 10 = 10 Eimer
    4. 10 · 4,5 = 45
    Ergebnis:
    45,00 €
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 72 € ein. Ada hat 4 Stunden gearbeitet, Ben 5 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 4 : 5
    2. Teile: 4 + 5 = 9
    3. Ein Teil: 72 : 9 = 8
    4. Ada: 4 · 8 = 32
    Ergebnis:
    32 €
  3. ★24
    Für eine Gartenmauer braucht man 35 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 35 : 7 = 5 Eimer
    3. Zement: 2 · 5 = 10 Eimer
    4. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 2 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 7 von 8 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe2 von 5zweite Gruppe7 von 8
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 25
    2. Klasse B: 78
    3. Gleicher Nenner 40: 1640 und 3540
    4. 3540 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 6 von 10 Dosen, Ali 24 von 25. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A6 von 10B24 von 25
    Lösung zeigen
    1. Tom: 610 = 35
    2. Ali: 2425
    3. Gleicher Nenner 50: 3050 und 4850
    4. 4850 ist mehr: Ali.
    5. Ali hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Ali
  3. ●27
    Für Saftschorle mischt Emil 15 Gläser Saft mit 9 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 15 : 9
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 3
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Rot zu Blau an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 3 Perlen, Blau: 12 Perlen
    2. Rot zu Blau: 3 : 12
    3. Durch 3 teilen: 1 : 4
    Ergebnis:
    1 : 4
  5. ●29
    Gelb und Blau werden im Verhältnis 5 : 3 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3 heißt: 5 Teile Gelb, 3 Teile Blau.
    2. Zusammen: 5 + 3 = 8 Teile
    3. Gelb: 5 von 8 Teilen, also 58
    Ergebnis:
    58
  6. ●30
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 3 Liter weiße Farbe und 5 Liter rote Farbe. Lea hat 15 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 15 : 3 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Liter

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 2 von 10 Bonbons rot, in Tüte B 11 von 12 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe2 von 10zweite Gruppe11 von 12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte B

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Mörtel nimmt der Maurer 12 Schaufeln Zement und 9 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 : 3

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    512 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 : 7

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle nimmt man 1 Becher Saft auf 5 Becher Wasser. Tim nimmt 2 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Lea und Max teilen 35 € im Verhältnis 1 : 6. Wie viel bekommt jeder?
    LeaMax
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Lea 5 €, Max 30 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 1 Gläser Saft und 3 Gläser Wasser, Krug B hat 1 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Krug B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 4 zu 16 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Beim Schulfest werden 40 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 4. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Liter

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Tüte A
  2. Tüte B
  3. Frau Kaya
  4. 5 : 1
  5. 2 : 3
  6. 2 : 3
  7. 27
  8. 4 : 5
  9. nein, 310
  10. 20 Liter
  11. 900 ml
  12. 9 Eimer
  13. 48 cm und 60 cm
  14. Sara 45 Murmeln, Tim 18 Murmeln
  15. Ada 34 Murmeln, Ben 51 Murmeln
  16. Kanne A
  17. Eimer A
  18. Kanne A
  19. 18 Liter
  20. 12
  21. 40 Jungen
  22. 45,00 €
  23. 32 €
  24. 30,00 €
  25. Klasse B
  26. ja, Ali
  27. 5 : 3
  28. 1 : 4
  29. 58
  30. 25 Liter
  31. Tüte B
  32. 4 : 3
  33. 5 : 7
  34. 10 Becher
  35. Lea 5 €, Max 30 €
  36. Krug B
  37. 8
  38. 2 Liter
  39. 10,00 €
  40. 18 Tore